大一高等数学模拟试卷及答案
大专大一高数试题及答案
大专大一高数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是：A. 1B. -1C. 3D. 1和3答案：D2. 极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)的值是：A. 0B. 4C. 8D. 不存在答案：C3. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = -x答案：B4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 27答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分dy=f'(x)dx表示函数y=f(x)在x处的变化量是______。
答案：f'(x)dx2. 函数y=x^2+1的导数是______。
答案：2x3. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是______。
答案：1/34. 函数y=ln(x)的不定积分是______。
答案：xln(x) - x + C三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+1的极值点。
答案：首先求导数：y'=3x^2-12x+9令y'=0，解得x=1或x=3。
检查二阶导数：y''=6x-12当x=1时，y''=-6<0，所以x=1是极大值点。
当x=3时，y''=6>0，所以x=3是极小值点。
2. 求曲线y=x^2与直线y=2x-1的交点坐标。
答案：联立方程组：\begin{cases}y = x^2 \\y = 2x - 1\end{cases}解得x^2=2x-1，即x^2-2x+1=0，解得x=1。
将x=1代入任一方程得y=1。
因此交点坐标为(1, 1)。
3. 计算定积分∫(0,2) (2x+3) dx。
答案：∫(0,2) (2x+3) dx = [x^2 + 3x](0,2) = (2^2 + 3*2) - (0^2 + 3*0) = 4 + 6 = 10。
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2． 由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析 在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−， 所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析 因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫， 所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析 因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析 原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析 条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析 将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+− ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+− ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析 因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析 由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析 当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析 令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫， 故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析 方法一 由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+． 方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析 由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫， 则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析 令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+， 当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________． 答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫． 第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析 因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+， 所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ． 证 设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−． 于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<． 故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。
大一高等数学考卷及答案
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f'(a)等于（）A.f(a)B.f(a+h)-f(a)/h(h趋于0)C.lim(f(a+h)-f(a))/h(h趋于0)D.f(a+h)-f(a)2.下列函数中，在x=0处连续但不可导的是（）A.y=|x|B.y=x^2C.y=x^3D.y=1/x3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上（）A.必大于0B.必小于0C.可以为0D.不存在4.设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在(a,b)内（）A.单调递增B.单调递减C.有极值点D.无极值点5.设函数f(x)在x=a处连续，且lim(f(x)-f(a))/(x-a)=L，则f(x)在x=a处（）A.可导，f'(a)=LB.可导，f'(a)不存在C.不可导D.无法确定二、判断题（每题1分，共5分）1.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处一定连续。
（）2.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f'(x)在I上一定大于0。
（）3.若函数f(x)在区间I上有极值点，则f'(x)在I上一定存在零点。
（）4.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上一定可积。
（）5.若函数f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上一定连续。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数为______。
2.函数f(x)=e^x在x=0处的导数为______。
3.函数f(x)=lnx在x=1处的导数为______。
4.函数f(x)=sinx在x=π/2处的导数为______。
5.函数f(x)=cosx在x=0处的导数为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1.简述导数的定义。
2.简述连续与可导的关系。
3.简述罗尔定理。
4.简述拉格朗日中值定理。
大一数学测试题
高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e =。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、011lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dydx 。
三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2secx xdx⎰3、40⎰4、2201dx a x +四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ； 2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx xC=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)x x x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d =。
《高等数学》考试模拟题及答案
《高等数学》考试模拟题（一）一、求极限（每小题4分，共16分）1．1limcos 2n n n π→∞2．0tan limx kx x →4．1lim ()ln ln x x x x→∞-二、导数、微分及其应用（每小题6分，共30分）1．ln y x x =，求y '2．arccos y x x =y '3．求隐函数的导数求dy dx ：cos()xy x = 3．1sin()sin()y xy x xy +-4．求x y x e =的n 阶导数。
5．利用微分求arcsin0.4983的近似值。
三、计算不定积分、定积分和反常积分（每小题6分，共36分） 1．121x x dx e ⎰2．arctan xdx ⎰ 2．21arctan ln(1)2x x x C -++3 111ln 21x C x x -+++4．42 0tan xdx π⎰5．⎰6． 0sin x x dx e -+∞⎰四、证明题（每小题6分，共18分）1．按极限定义证明3lim(31)8x x →-=。
2．证明sin sin a b a b -≤-， a b 、为任意实数。
3．若方程11100n n n n a x a x a x a --++++= 有一个正根0x ，证明方程 12121(1)20n n n n na x n a x a x a ---+-+++= 必有一个小于0x 的正根。
模拟题参考答案（一）一、1. 0 2. k 3. e 4. -1二、1．1ln x +2．arccos x3．1sin()sin()y xy x xy +- 4．()x x n e +5．0.00176π-或0.5216三、1．1x C e -+2．21arctan ln(1)2x x x C -++ 3．111ln 21x C x x -+++ 4．14π-5．3π+ 6．12四、1．0, =3εεδ∀>∃，当03x δ<-<时，318333x x δε--=-<=。
高等数学大一上学期试题(含答案)
高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)xx x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、11lim()ln(1)x x x →-+ 2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰ 3、40⎰ 4、2201dx a x +⎰ 四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数24lg(1)y x x =-+-的定义域是 ； 2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx x C=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)xx x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b ，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d = 。
大一数学试卷模拟题
大一数学试卷模拟题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = √(x - 1)+ln(2 - x)的定义域是（）- A. [1,2)- B. (1,2)- C. [1, +∞)- D. (-∞,2)解析：对于根式函数√(x - 1)，要使其有意义，则x-1≥0，即x≥1；对于对数函数ln(2 - x)，要使其有意义，则2 - x>0，即x<2。
所以函数的定义域是[1,2)，答案为A。
2. 若limlimits_x→1frac{x^2+ax + b}{x - 1}=3，则a、b的值分别为（）- A. a = 1,b=-2- B. a = -1,b = 2- C. a = 1,b = 2- D. a=-1,b = -2解析：因为limlimits_x→1frac{x^2+ax + b}{x - 1}=3，当x→1时，分母x -1→0，那么分子x^2+ax + b在x = 1时的值为0，即1 + a + b=0，b=-a - 1。
则frac{x^2+ax - a - 1}{x - 1}=((x - 1)(x+a + 1))/(x - 1)=x+a + 1，limlimits_x→1(x+a + 1)=3，即1+a + 1=3，a = 1，b=-2，答案为A。
3. 函数y=sin x在x = (π)/(2)处的导数是（）- A. 0.- B. 1.- C. -1.- D. 不存在。
解析：根据求导公式(sin x)^′=cos x，当x=(π)/(2)时，cos(π)/(2)=0，答案为A。
4. 设y = x^3+2x，则dy=（）- A. (3x^2+2)dx- B. (3x^2+2)- C. 3x^2+2dx- D. x^3+2x + C解析：因为y^′=(x^3+2x)^′ = 3x^2+2，根据微分的定义dy=y^′ dx=(3x^2+2)dx，答案为A。
5. 曲线y = x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程是（）- A. y=-3x + 2- B. y = 3x-4- C. y=-3x- D. y = 3x-2解析：首先对y = x^3-3x^2+1求导，y^′=3x^2-6x，当x = 1时，y^′=3 - 6=-3，切线方程为y+1=-3(x - 1)，即y=-3x + 2，答案为A。
大一高等数学期末模拟试卷五套
大一高等数学期末模拟试卷（一）一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）210)(cos lim x x x →=_____e 1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.（3）已知xx xe e f -=')(，且0)1(=f ,则=)(x f ______=)(x f 2)(ln 21x _____.（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线方程为.9131-=x y （5）微分方程522(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.)1()1(32227+++=x C x y 二、选择题(本题共5小题，每小题4分，共20分).（1）下列积分结果正确的是（D ）(A)0111=⎰-dx x (B)21112-=⎰-dx x (C)+∞=⎰∞+141dx x (D)+∞=⎰∞+11dx x （2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（D）.(A)21,x x 都是极值点.(B)()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C)1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点.(D)())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.图1-1（3）函数212e e e x x xy C C x -=++满足的一个微分方程是（D ）.（A）23e .xy y y x '''--=（B）23e .xy y y '''--=（C）23e .x y y y x '''+-=（D）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h→--为（A）.(A)()0f x '.(B)()0f x '-.(C)0.(D)不存在（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(())().f x dx f x '=⎰(B)()().=⎰df x f x (C)[()]().d f x dx f x =⎰(D)()().f x dx f x '=⎰三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.1．求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.解ln 11(lim 1x x x x --→=xx x x x x ln )1(1ln lim1-+-→1分)(x f y '=y O1x 2x ab x=x xx x x ln 1ln lim1+-→2分=x x x x x x ln 1ln lim1+-→1分=211ln 1ln 1lim 1=+++→x x x 2分2.方程⎩⎨⎧+==tt t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与22dx yd .解,sin )()(t t t x t y dx dy =''=（3分）.sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dxy d +=''=（6分）3.计算不定积分.2arctan 22(1) =2arctan arctan 2 =arctan 2d x C =----------+-------+---------⎰⎰分分（分4.计算定积分⎰++3011dxx x.解⎰⎰-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ⎰+--=3011(dx x （3分）35)1(3233023=++-=x （6分）（或令t x =+1）四、解答题（本题共4小题，共29分）.1．（本题6分）解微分方程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分代入解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．解：建立坐标系如图220322203*********RR P g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------⎰⎰分）分[（）]分分3.（本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =⎰，试求()()baxf x f x dx'⎰.222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b baabab b aaxf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------⎰⎰⎰⎰解：分分分分4.（本题8分）过坐标原点作曲线xy ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)(3)求D 的面积A;(2)(4)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.解：(1)设切点的横坐标为x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+=----1分由该切线过原点知01ln 0=-x ，从而.0e x =所以该切线的方程为.1x ey =----1分平面图形D 的面积⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y ----2分（2）切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为.3121e V π=2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 212)(⎰-=π，1分xyxyO1e1D因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ1分五、证明题（本题共1小题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1xe x ≥+.解法一：2112xe e x x xξ=++≥+解法二：设() 1.xf x e x =--则(0)0.f =1分因为() 1.xf x e '=-1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
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一、填空题（每小题2分,共20分）1.数列 ,41,0,31,0,21,0,1,0的一般项=n x . 答：nn)1(1-+.2. 极限=-+→)cos 1(cos -1lim0x x xx .答：21. 3. 极限=-→xx x 10)1(lim .答：1e. 4. 设函数1()cos f x x=，则[(1)]f '=. 答：0.5.函数()ln ||f x x =的导数()f x '=.答:1x. 注：答为1||x 不给分6. 已知x y sin =，则(20)y =.答:sin x . 7. 已知21()1df x dx x=+, 则()f x =. 答: arctan x C +. 注：答为arctan x 扣1分8.当∞→n 时，如果nk1sin与n1为等价无穷小，则k =. 答:2.9. 若函数31,1(),1.x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩，在),(+∞-∞上连续，则a =.答:2-.10. 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，根据拉格朗日定理，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得)(ξf '=.答:()()f b f a b a--.二、单项选择题（每小题3分,共18分）1. 若极限0lim =∞→n n x ，而数列}{n y 有界，则数列}{n n y x （ Ａ ）.(A) 收敛于0； (B) 收敛于1； (C) 发散； (D) 收敛性不能确定. 2. 0=x 是函数1()12xf x =-的（ C ）间断点. (A) 可去； (B) 跳跃； (C) 无穷； (D) 振荡. 3．设函数()(1)(2)(2011)f x x x x x =+++，则=')0(f （ C ）.(A) !n ； (B) 2010!； (C) 2011!； (D) 2012!. 4．若函数)(x f 、()g x 都可导，设[()]y f g x =，则d d yx=（ B ）. (A){[()]}()f g x g x ''⋅； (B)[()]()f g x g x ''⋅； (C)[()]()f g x g x '⋅； (D)[()]f g x '.5．设函数 ，则在=0处（ C ）(A)极限不存在； (B)极限存在但不连续； (C)连续； (D)可导.6．下列函数中，在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的是（ A ）.(A)21x -； (B) xe ； (C) x ln ； (D)211x -.三、求下列极限（每小题6分,共24分）1.xx x 11lim-+→.解：001limx x x →→= (2分) 012x →==. (6分)2. 1lim 1xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭解：211212lim lim 111x x x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4分)2e = (6分)3.xxx ln cot ln lim 0+→ 解：原式=x x x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020++→→-=-⋅(3分)1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=++→→xx x x x ．(6分)4. 1lim n n n →∞⎛⎫++ 解：设22212111nn nn x n ++++++=，(1分)则，≤n x n y nnn==+++1111222； (2分)≥n x n z nnn n nn nn nn =+=+=++++++/1111112222，(3分)因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，(4分)由夹逼定理112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n . (6分)四. 求导数或微分（每小题6分,共18分）1．已知)1sin(ln x y -=,求y d 解：cos(1)(1)sin(1)x dy dx x -=--(4分)cot(1)x dx =--. (6分)２．求由参数方程222,dy ,arctan ),1ln(dx yd dx t y t x 求⎩⎨⎧=+=.解：t tt t dx 211211dy 22=++=将上式对x 求导，右端先对t 求导，再乘上dx dt，32224112211)21(t t t t t x t t +-=+⋅-='⋅'得322241tt dx y d +-=3. 设函数)(x y y =由方程yx y e 1+=确定, 求)(x y y =在0x =处的切线方程. 解：当0, 1.x y ==(1分)方程yx y e 1+=两边对x 求导，有xyx x y yy d d e e d d +=，(3分) 得d e d 1eyy y x x =-(4分) 所以,x dy e dx==. (5分)因此,所求的切线方程为1y e x =+. (6分)五.（8分）已知函数2arcsin(),0,()2b,0ax x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩在0x =点可导, 求常数ba 、的值.解：要使)(x f 在0x =处可导，必须)(x f 在0x =处连续，(1分)而0(0)lim arcsin()0x f ax ++→==；(0)f b =.(2分) 由(0)(0)f f +=，有0b =. (3分)又000()(0)arcsin()(0)lim lim lim 0x x x f x f a x a xf a x x x++++→→→-'====-，(4分) 200()(0)2(0)lim lim 20x x f x f x xf x x---→→-+'===-.(5分)由)(x f 在0x =处可导，有(0)(0)f f -+''=(6分), 得2a =.(7分) 故当0,2a b ==时，函数)(x f 在0x =处可导. (8分)六．证明题（12分）若函数)(x f 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f =,(1)1f =.证明: (1) 存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-; (2) 存在两个不同的点,(0,1)a b ∈,使得()()1f a f b ''=. 证明：(1) 令()()1g x f x x =+-, (1分) 则()g x 在[0,1]上连续, (2分)又(0)10g =-<，(1)10g =>(3分)，由零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使得()()10g f ξξξ=+-=(5分), 即()1f ξξ=-.(6分)(2) 分别在[0,]ξ和[,1]ξ上应用拉格朗日中值定理 (7分), 存在(0,)a ξ∈,(,1)b ξ∈使得()(0)1()f f f a ξξξξ--'==, (9分)(1)()1(1)()111f f f b ξξξξξξ---'===---, (11分)因此()()1f a f b ''=. (12分)附加题（10分,不计入总成绩，只作为参考） 如果)(x f 和()g x 满足下列三个条件：（1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,内可导；（3）对任意(),x a b ∈，均有()0g x '≠．则存在一点(),a b ξ∈，使得()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-．证明：令()[()()][()()]F x f a f x g x g b =--.(2分)因为()F x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0F a F b ==,(3分)由罗尔定理, 存在一点(),a b ξ∈,使得()0F ξ'=. (5分)由于()[()()]()[()()]()F x f a f x g x g x g b f x '''=-⋅--⋅, (6分) 所以()[()()]()[()()]()0F f a f g g g b f ξξξξξ'''=-⋅--⋅=,(8分)整理,得 ()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-.(10分)。