绍兴一中高二第一学期期中数学试卷(理科)
绍兴一中高二数学期中考试卷（理科）一.选择题（每小题4分，共40分）1.空间直线a 、b 、c ，平面α，则下列命题中真命题的是 （ ） A. 若a ⊥b,c ⊥b,则a//c;B. 若a//c,c ⊥b,则b ⊥a;C. 若a 与b 是异面直线, a 与c 是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.D. 若a//α ，b//α，则a// b;答案：B2. 下列几何体各自．．的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④答案：D3. 已知O 为空间直角坐标系的原点，以下能使向量,,OA OB OC 共面的三点,,A B C 的坐标是（ ）A. A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)B. A (1，2，3)，B (3，0，2)，C (4，2，5)C. A (1，1，0)，B (1，0，1)，C (0，1，1)D. A (1，1，1)，B (1，1，0)，C (1，0，1)答案：B4. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ） ABC．3D．5答案：D5. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A.2123πcm 3 B. 70πcm 3 C. 3263πcm 3 D. 100πcm 3 答案：A正视图侧视图6. 设a ,b 是两条直线，,αβ是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是 ( ). A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥ 答案：C7. 在三棱锥P —ABC 中，所有棱长均相等，若M 为棱AB 的中点，则PAAC D答案：C8. 已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为 （ ）A．12C答案：D9．如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( ). （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C'∠=（C ）CA '与平面A BD '所成的角为30（D ）四面体A BCD '-的体积为13答案：B10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点. 已知下列判断：①1AC ^平面1B EF ；②1B EF D 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线；④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关. 其中正确判断的个数有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 答案：BCBPMAB CD BDA '俯视图二. 填空题（每小题3分，共21分）11．表面积为27π的半球体的体积是 ． 答案：36π12. 对于平面 , αβ和直线 m ，试用 “ ⊥ ” 和 “ // ”构造条件 使之能推出 m ⊥β 答案：, //m ααβ⊥13. 一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形.则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体.答案：3 13．某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为2cm （制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）.答案：4160014. 如图，两矩形ABCD 、ABEF 所在平面互相垂直，DE 与平面ABCD 及平面ABEF 所成角分别为300、450, M 、N 分别为DE 与DB 的中点，且MN=1.线段AB 的长为 . 解： 24822=-=-=EB AE AB ．16. 如图在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,A B A D A A B A D'===∠=，60BAA DAA ''∠=∠= ，则AC '的长是解：||AC '=17．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ． 解：18 三.解答题18. （本小题满分9分）B如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， 45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ．（Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ；解：（Ⅰ）证明： //AB CD ，又AB ⊄平面PCDCD ⊂平面PCD ∴AB ∥平面PCD ……… 4分(Ⅱ)在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ，…… 5分∴BC ⊥平面PAC…………9分19. （本小题满分10分）已知四棱锥P —ABCD 及其三视图如下图所示，E 是侧棱PC 上的动点。
（1）求四棱锥P —ABCD 的体积；（2）不论点E 在何位置，是否都有B D ⊥AE ？试证明你的结论； （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D —AE —B 的大小。
………3分………6分 （3）解：………10分20.（本小题满分10分）已知梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =2，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF∥BC，AE =2，G 是BC 的中点．如图，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.FE DCBA GFDECBA（Ⅰ）求证：BD⊥EG ； (Ⅱ)求二面角D-BF-C 的余弦值．解：（Ⅰ）方法一：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，,2,//π=∠AEF AD EF∴AE ⊥EF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，故可如图建立空间坐标系E-xyz ．2,2=∴=EB EA ，又G 为BC 的中点，BC=4， 2=∴BG ．则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0，0），BD =（－2，2，2），EG = （2，2，0），BD EG ⋅=（－2，2，2） （2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥．……………4分方法二：作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ⊂平面EBCF ，故EG ⊥DH ．AEHDEF AD DH AE EF AE EBC AEH BC EF ∴∴⊥∴=∠=∠∴,//.//,,2,// π为平行四边形，,,//,2BC EH BC EH AD EH =∴==∴且2,2===∠BC BE EBC π，∴四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ，BH ⋂DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ， 而BD ⊂平面DBH ，∴ EG ⊥BD ．………5分（或者直接利用三垂线定理得出结果）GFDECBAHy(Ⅱ)设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z =，∵AE=2， B （2，0，0），D （0，2，2）， F （0，3，0），∴(2,3,0),BF =- ………6分BD = （－2，2，2）， 则 1100n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=⎧⎨-=⎩，2220230 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取3,2,1x y z ===，∴1(3,2,1)n =BCF AE 面⊥ ，∴面BCF 一个法向量为2(0,0,1)n =，………8分 则cos<12,n n>=121214||||n n n n =， 由于所求二面角D-BF-C．………10分 21. （本小题满分10分）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝31AD. （Ⅰ）求异面直线BF 与DE 所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段CE 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面CDE 所成角的正弦值为36？若存在，试确定点M 的位置；若不存在，请说明理由. 解法一：建立如图所示的直角坐标系， 不妨设AB ＝１则(1,0,0),(1,1,0),(0,3,0),(0,0,1),(0,1,1)B C D F E …………2分 （Ⅰ）)1,2,0(),1,0,1(-=-=1010521||||,cos =⋅=>=<DE BF ∴异面直线BF 与DE 所成角的余弦值为1010. ……………4分 （Ⅱ）设平面CDE 的一个法向量为),,(z y x =AF EBCDM（第19题图）……………10分解法二：（Ⅰ）不妨设AB ＝１，EF BC 且EF BC BCEF =∴ 四边形是平行四边形，∴∠CED 异面直线BF 与DE 所成角cos10CED CED ∆∠==在中，所以，异面直线BF 与DE。
最新-绍兴鲁迅中学2018学年第一学期高二数学期中测试卷 精品
2018学年第一学期高二数学期中测试卷命题人：范培养 核对人：范培养考生须知：1．全卷分试卷Ⅰ、Ⅱ，共6页，有三大题，18小题，满分为100分，考试时间为90分钟。
2．本卷答案必须做在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上，做在试卷上无效。
第Ⅰ卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．过点)2,1(且倾斜角为090的直线方程为（ ▲ ）A ．1=xB ．2=yC ．不存在D ．以上都不对 2．圆066222=--++y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ▲ ）A ．16),3,1(-B ．16),3,1(-C ．4),3,1(-D ．4),3,1(- 3．设椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则下列说法正确的是（ ▲ ）A ．1e 越大椭圆越扁，2e 越大双曲线开口越阔B ．1e 越小椭圆越扁，2e 越大双曲线开口越阔C ．1e 越大椭圆越扁，2e 越小双曲线开口越阔D ．1e 越小椭圆越扁，2e 越小双曲线开口越阔 4．直线)(1sin cos R y x ∈=+θθθ与圆122=+y x 的位置关系是（ ▲ ） A ．恒相交 B ．恒相离 C ．恒相切 D ．不能确定，与θ的取值有关 5．点)5,3(-关于直线04=+-y x 的对称点为（ ▲ ） A ．)1,1( B ．)1,1(- C ．)1,1(-- D ．)1,1(-6．若点)1,2(a在直线01=--y x 的左上方，则实数a 的取值范围是（ ▲ ） A ．1<a B ．0>a C ．10<<a D ．0<a 或1>a7．若两平行直线022=+-y x 与01010=--y ax 分椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的短轴三等分，则此椭圆的离心率为（ ▲ ） A ．52 B ．53 C ．54D ．不能确定8．若椭圆1121622=+y x 上有一点P 到其左焦点的距离是到其右准线距离的两倍，则点P 到其右焦点的距离为（ ▲ ） A ．54 B ．58 C ．516 D ．532二、填空题（每小题4分，共16分）9．若经过点)3,4(-A 及点),2(m B 的直线斜率为1-，则线段AB 的垂直平分线方程为▲。
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2018高二上·西城期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （1分） (2020高二上·哈尔滨开学考) 直线在两坐标轴上的截距之积是（）A . 1B . -1C .D .3. （1分） (2019高二上·江西月考) 若点在圆外，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .4. （1分） (2015高一上·福建期末) 已知 a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A . 若a∥α，b∥α，则a∥bB . 若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥bC . 若a⊥b，b⊥α，则a∥αD . 若α∥β，a⊂α，则a∥β5. （1分）两直线＝1与＝1的图象可能是图中的哪一个（）A .B .C .D .6. （1分） (2016高二上·自贡期中) 设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数a，b满足不等式组，那么a2+b2的取值范围是（）A . [9，49]B . （17，49]C . [9，41]D . （17，41]7. （1分）在直角坐标系xOy中，设A（﹣2，3），B（3，﹣2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时，则θ的大小为（）A . 120°B . 60°C . 30°D . 45°8. （1分）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在（）A . 直线AB上B . 直线BC上C . 直线AC上D . △ABC的内部9. （1分） (2017高一下·菏泽期中) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆的方程为（）A . （x﹣2）2+（y+1）2=3B . （x+2）2+（y﹣1）2=3C . （x﹣2）2+（y+1）2=9D . （x+2）2+（y﹣1）2=910. （1分） (2018高二上·遂宁期末) 已知直线m,l，平面，且，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则 .其中正确的命题是（）A . ①④B . ③④C . ①②D . ②③二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是________12. （1分） (2018高二上·台州期末) 在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，则，两点间的距离为________．13. （1分） (2018高二上·扬州期中) 过点（1，0）且与直线平行的直线方程是________.14. （1分）(2017·山东模拟) 若直线l：ax﹣y﹣a+3=0将关于x，y的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z=2x﹣ay的最小值为________．15. （1分） (2017高二下·长春期末) 圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是________.16. （1分）(2018·临川模拟) 设 P点在圆上移动，点满足条件，则的最大值是________.17. （1分） (2019高一上·聊城月考) 在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k与b都是无理数，则直线不经过任何整点③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题 (共5题；共10分)18. （1分）光线从A（﹣2，3）出发，经直线x﹣y+10=0反射，反射光线经过点C（1，2），求入射光线所在的直线方程．19. （2分）(2018·沈阳模拟) 如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，, , ，， .（1）求证： //平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为 .20. （2分） (2020高二上·深圳期末) 已知正方体，（1）证明：平面；（2）求异面直线与所成的角．21. （2分） (2019高二上·砀山月考) 定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比 .（1）设圆求过（2,0）的直线关于圆的距离比的直线方程；（2）若圆与轴相切于点（0,3）且直线 = 关于圆的距离比，求此圆的的方程；（3）是否存在点，使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等？若存在，求出相应的点点坐标；若不存在，请说明理由.22. （3分） (2019高二下·九台期中) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 .（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，，求 .参考答案一、单选题 (共10题；共10分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共10分)答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
浙江省绍兴市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷(I)卷
浙江省绍兴市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为（）A . 1B .C .D .2. （2分） (2019高一下·通榆月考) 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是（）A . 6B . 3C . 6D . 123. （2分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣， 0）∪（0，）C . [﹣，]D . （﹣∞，﹣）∪（，+∞）4. （2分） (2018高二上·武邑月考) 直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于（）A . －1B . 1C . ±1D . －5. （2分）在空间直角坐标系中，点到平面yOz的距离是（）A . 1B . 2C . 3D .6. （2分）虚数(x-2)+yi中x,y均为实数，当此虚数的模为1时，的取值范围是（）A .B .C . ［-,］D . [-,0）∪（0,]7. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知，，，四点均在以点为球心的球面上，且，， .若球在球内且与平面相切，则球直径的最大值为（）A . 1B . 2C . 4D . 88. （2分）点（）在圆+－2y－4=0的内部，则a的取值范围是（）A . －1<a<1B . 0<a<1C . –1<a<D . －<a<19. （2分）右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是（）A .B .C .D .10. （2分）两个定点A、B间距离为6，动点P到A、B距离平方差为常数λ，动点Q到A、B两点距离平方和为26，且Q轨迹上恰有三个点到P的轨迹的距离为1，则λ值可为（）A . 12B . 24C . 4D . 1二、填空题 (共5题；共6分)11. （2分） (2019高二上·南湖期中) 直线l1 ， l2的斜率k1 ， k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2 ，则m＝________.若l1∥l2 ，则m＝________.12. （1分） (2019高一上·武威期末) 正方体的表面积是96，则该正方体的体积为________.13. （1分） (2018高一上·阜城月考) 直线经过原点和，则它的倾斜角是________．14. （1分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在长方体中， 3 cm， 2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为________cm3 ．15. （1分） (2018高二上·海安期中) 已知集合集合，则中元素的个数为________.三、解答题 (共5题；共45分)16. （5分） (2019高二上·伊春期末) 在直角坐标系中，以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆的圆心的坐标为半径为 ,直线的参数方程为为参数) （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；直线的普通方程;（Ⅱ）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.17. （10分） (2017高二上·荔湾月考) 如图，在直角梯形中，，，，是中点，将沿折起，使得面．（1）求证：平面平面．（2）若是的中点，求三棱锥的体积．18. （10分） (2016高二下·友谊开学考) 已知曲线方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）当m=﹣6时，求圆心和半径；（2）若曲线C表示的圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N，且，求m的值．19. （10分） (2017高二上·哈尔滨月考) 已知圆C： .（1）若直线过定点，且与圆C相切，求方程；（2）若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D方程.20. （10分）(2017·盐城模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD 是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共45分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。
浙江省绍兴一中高二数学上学期期中试题（国际班）（答案不全）
期中测试试题高二（国际班）数学第I 卷（共30分）一、选择题: 本大题共10小题, 每题3分,共30分．在每题给出的四个选项中, 只 有一项为哪一项符合题目要求的．1．与向量a ＝(1，-3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(-1,3，-2) B. (-1，-3,2) C ．(1,3,2) D ．(1，-3，-2)2.空间有四个点,若是其中任意三个点都不在同一直线上,那么过其中三个点的平面（ ） A ．可能有三个，也可能有两个； B.可能有四个，也可能有一个； C.可能有三个，也可能有一个；D ．可能有四个，也可能有三个；3.空间直线a 、b 、c ，平面α，那么以下命题中真命题的是（ ）：A. 假设a ⊥b,c ⊥b,则a//c;B. 假设a//c,c ⊥b,则b ⊥a;C. 假设a 与b 是异面直线, a 与c 是异面直线, 则b 与c 也是异面直线.D. 假设a//α ，b//α，那么a// b; 4.某几何体的三视图如下图，依照图中标出的 数据，可得那个几何体的体积为（ ）A ．443+B ．445+C ．83D ．12 5．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，那么以下向量中能够与p ，q 一路组成空间的另一个基底的是( ) A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对6．如图，在三棱锥S -ABC 中，SA =SC =AB =BC ，那么直线SB 与AC 所成角的大小是( )A. 30ºB 45ºC. 60º7．如图，在三棱锥O-ABC 中，G 是△ABC 的重心， 若OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，试用基底{ a ，b ，c }表示向量OG →等于( )ABCSA.13a ＋13b ＋13cB.12a ＋12b ＋12c C ．a ＋b ＋c D ．3a ＋3b ＋3c8. 三棱锥P —ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两相互垂直，侧面面积别离是6，4，3，那么三棱锥的体积是( ) A.4 B ．6 C ．8 D ． 109.已知四棱锥底面是边长为2的正方形，侧棱长均为2，那么侧面与底面所成二面角的余弦值为 （ ） A ．32 B ．36 C ．33 D ．6310．已知A ∈α，P ∉α，PA →＝(－32，12，2)，平面α的一个法向量n ＝(0，－12，－2)，那么直线PA 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．150° 第Ⅱ卷 非选择题部份 （共70分） 二. 填空题（每题4分，共28分）11.过平面外一点作该平面的平行线有 条；平行平面有 个.12.已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，假设PC ⊥BD ，那么平行四边形ABCD 必然 是 形.13．点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标别离为 。
浙江省绍兴鲁迅中学2019-2020学年高二数学学科第一学期期中考试试卷
2019年鲁迅中学高二上期中一、选择题110y ++=的倾斜角是（ ）A ．34πB ．23πC ．4πD ．56π 2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ3．圆224x y +=被直线3450x y ++=截得的弦长为（ ）A ．1B ．2CD ．4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（ ）A ．()2234x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++= 6．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．1B ．9C ．15-D ．9-7．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2AD =，E 、F 、G 分别是1DD 、AB 、1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成角的余弦值是（ ）A ．0 B．5C．2 D．5 8．若圆()()22:2C x a y b -+-=与y x =、y x =-两条直线与都有公共点，则22a b +的取值范围是（ ）A ．[]2,4B ．[]0,4C ．)4,+∞⎡⎣D ．)2,+∞⎡⎣ 9．已知圆()()22:4616M x y -+-=，x 过轴上的点()0,0P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PA PB =，则0x 的取值范围（ ）A ．⎡-⎣B ．⎡-⎣C ．4⎡-+⎣D ．4⎡-+⎣ 10．如图，已知P ，Q 分别是正四面体ABCD 的侧面ABC 与侧面ABD 上动点（不包含侧面边界），则异面直线CP ，BQ 所成角不可能的是( )A ．45︒B ．65︒C ．75︒D ．90︒二、填空题11．已知圆C 的方程为22220x y x my +--=，若圆C 过点()0,2则m =______，若圆心C 在直线20x y -=上，则m =______．12．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积之比是______，球的表面积与圆柱的表面积之比是______．13．已知直线1:32l mx y m +=-，()2:21l x m y ++=，若12//l l ，则实数m =______，若12l l ∧，则实数m =______．14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长度为______，则该几何体的体积是______．15．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．16．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，已知4AB =，AE BE ==且当规定正视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的侧视图的面积为若M ，N 分别是线段DE ，CE 上的动点，则AM MN NB ++的最小值为______．17．平面直角坐标系xOy 中，已知mn 是()()22:122C x y -+-=的一条弦，且CM CN ⊥，P 是MN 的中点，当弦MN 在圆C 上运动时，直线:4100l x y --=上存在两点A ，B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是______．18．已知ABC △的顶点()2,4A ，()0,2B -，()4,2C -，求（1）AB 边上的中线CM 所在直线的方程；（2）求A 点关于直线BC 对称点坐标．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，90ABC BCD ∠=∠=︒，1PA PD DC BC ====，2AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：//EC 平面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值．20．已知圆C 满足方程：222410x y x y +--+=；()1,2A -，()1,4B 为两个定点．（1）若直线l 经过点()0,4，且与圆C 相交所得的弦长为l 的方程；（2）已知点()00,P x y 为圆C 上的点，满足PB PA =，求出点P 的坐标．21．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BCD π∠=∠=，24AB BC AD ===，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，//EF BC ，AE x =，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图）．（1）当2x =时，①证明：EF ⊥平面ABE ；②求二面角D BF E --的余弦值；（2）三棱锥D FBC -的体积是否可能等于几何体ABE FDC -体积的49？并说明理由． 22．已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆相切于A ，B 两点．（1）当点P 坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆方程，并求直线AB 的方程；（2）当](00,4x ∈时，切线PA ，PB 与直线2y =-分别相交于点()1,2M x ，()2,2N x -，求12x x +的取值范围．。
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）数学中无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，如： 88，454，7337，43534等都是回文数，体现对称美，读起来还真有趣！那么六位的回文数共有（）个.A . 800B . 810C . 900D . 10002. （2分） (2019高二上·南充期中) 下列函数为偶函数的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知等差数列，若，则的前7项的和是（）A . 112B . 51C . 28D . 184. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知向量，，若，则实数（）A .B .C . 3D .5. （2分） (2019高二上·南充期中) 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A . 8B . 9C . 10D . 126. （2分） (2019高二上·南充期中) 袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列各对事件中互为对立事件的是（）A . 恰有1个白球和全是白球B . 至少有1个白球和全是黑球C . 至少有1个白球和至少有2个白球D . 至少有1个白球和至少有1个黑球7. （2分） (2019高二上·南充期中) 某中学从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 108. （2分） (2019高二上·南充期中) 某校为了了解全校高中学生十一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示，估计这100名学生参加实践活动时间的中位数是（）A . 7.2B . 7.16C . 8.2D . 79. （2分） (2019高二上·南充期中) 若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为，例如 .如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的（）A . 8B . 18C . 23D . 3810. （2分） (2019高二上·南充期中) 已知一个样本为x，1，y，5，其中x,y是方程组的解，则这个样本的标准差是（）A . 2B . 5C .D .11. （2分） (2019高二上·南充期中) 过点斜率为k的直线l与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·南充期中) 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·四川期中) 点关于点的对称点的坐标为________．14. （1分） (2019高二上·南充期中) 圆关于直线对称的圆的标准方程是________.15. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知直线平行，则________16. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知A,B两点分别在两直线，上运动，是线段AB的中点，且，则的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知椭圆C:,过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M。
浙江省绍兴市2020年高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
浙江省绍兴市2020年高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·拉萨月考) 如下图，在同一直角坐标系中表示直线y＝ax与y＝x＋a，正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2016·黄山模拟) 已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）A . ①②③⑤B . ②③④⑤C . ①②④⑤D . ①②③④3. （2分）已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是（）A . m∥α，n∥αB . m⊥α，n⊥αC . m∥α，n⊂αD . m、n与α所成的角相等4. （2分）已知是三个不同的平面，命题“，且是真命题，如果把中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2分）方程y=k（x﹣1）（k∈R）表示（）A . 过点（﹣1，0）的一切直线B . 过点（1，0）的一切直线C . 过点（1，0）且不垂直于x轴的一切直线D . 过点（1，0）且除x轴外的一切直线6. （2分） (2019高二下·徐汇月考) 设、是两条不同的直线，是一个平面，有如下四个命题：A．若，，则；B．若，，则；C．若，，则；D．若，，则；其中所有错误命题的序号是（）A . ABCB . ABDC . ACDD . BCD7. （2分）点P（1，﹣1）到直线ax+3y+2a﹣6=0的距离的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·潮阳期中) 给出下列条件（其中l为直线，α为平面）：①l垂直于α内的一五边形的两条边；②l垂直于α内三条不都平行的直线；③l垂直于α内无数条直线；④α垂直于α内正六边形的三条边．其中l⊥α的充分条件的所有序号是（）A . ②B . ①③C . ②④D . ③9. （2分） (2020高一上·林芝期末) 若直线与圆相切，则等于（）A . 或B . 或C . 或D . 或10. （2分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB . 若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC . 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD . 若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2018高一上·阜城月考) 已知两点，，并且直线的斜率为，则________．12. （1分） (2016高二上·杭州期中) 直线（2λ+1）x+（λ﹣1）y+1=0（λ∈R），恒过定点________13. （1分）(2016·潍坊模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．14. （1分） (2019高三上·汉中月考) 点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，，则点S与中心的距离为________．15. （1分） (2015高二上·安阳期末) 已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是________．16. （1分） (2016高三上·辽宁期中) 连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别为2 和4 ，M，N分别是AB，CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB，CD可能相交于点M；②弦AB，CD可能相交于点N；③MN的最大值是5；④MN的最小值是1；其中所有正确命题的序号为________．三、解答题 (共4题；共50分)17. （5分） (2017高二上·定州期末) 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米的费用为2千元，设该容器的建造费用为y千元.（1）求y关于r的函数关系，并求其定义域；（2）求建造费用最小时的 .18. （15分） (2019高二下·鹤岗月考) 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19. （15分）(2019·浙江模拟) 如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.20. （15分） (2019高一下·中山月考) 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．（1）求线段的中点的轨迹的方程；（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、第11 页共11 页。
浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷
浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·南昌期中) 已知为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）设等差数列的前n项和为且满足则中最大的项为（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·右玉期中) 三角形ABC的斜二侧直观图如图所示，则三角形ABC的面积为（）A . 1B . 2C .D .5. （2分）若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若,则6. （2分）四棱锥P-ABCD的三视图如右图所示,其中a=2，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，则该球表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）在△ABC中，若，，此三角形面积，则a的值是（）A .B . 75C . 51D . 498. （2分）(2020·安徽模拟) 如图，棱长为l的正方体中，P为线段的中点，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A .B .C .D . 2二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）已知两点A（﹣2，0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是________．10. （1分）(2018·天津) 如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为________．11. （1分）空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3、AC=4、BD= ，那么AC与BD所成角的度数是________12. （1分）过点作圆的两条切线，切点分别为，则·= ________ .13. （1分）(2017·青浦模拟) 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值是________．14. （1分） (2019高二上·大观月考) 已知椭圆C：，直线m过点且斜率为1，则椭圆C被直线m截得的弦长为________.15. （1分） (2016高二上·宝安期中) 已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，则cx2+bx+a＜0的解集为________．三、解答题 (共4题；共30分)16. （10分） (2019高一下·西湖期中) 在中，角，，的对边分别为，已知，且 .（1）求角的大小；（2）求的最大值.17. （5分） (2017高一下·温州期末) 已知数列{an]的前n项和记为Sn ，且满足Sn=2an﹣n，n∈N*（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）证明：+… （n∈N*）18. （5分）(2017·顺义模拟) 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．（I）求证：EM⊥AD；（II）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值；（III）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19. （10分） (2020高二下·广东月考) 已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，椭圆截直线所得线段的长度为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，若（为坐标原点），求直线l的斜率的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共30分) 16-1、16-2、17-1、19-1、19-2、。
浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析
浙江省绍兴一中2018-2019学年上学期期中考试高二数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（）A．0 B．C．D．2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C． D．3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．B．C．πD．2π4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（）A．AD B．CD C．PC D．PD5．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A．B． a C． a D． a6．已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m∥α，α∩β=n，则m∥n D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β7．在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（）A．B．C．D．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．10．如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（用V表示）11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为．12．平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积．13．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB 1A1=n，则m，n所成角的正弦值为．14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD 分成上、下两部分的体积之比等于．三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16．（8分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．17．（8分）已知两点A（﹣1，2），B（m，3）．且实数m∈[﹣﹣1，﹣1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．18．（10分）一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a 的正方形． （1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线AC ，BD 交于点O ，E 为线段AA 1的中点，求证：OE ∥平面A 1C 1C ； （3）求该多面体的表面积．19．（10分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，CB ⊥C 1B ，BC=1，CC 1=2，A 1B 1=，（1）试在棱CC 1（不包含端点C ，C 1）上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； （2）在（Ⅰ）的条件下，求AE 和BC 1所成角．20．（12分）已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE=x ，G 是BC 的中点，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ．（1）当x=2时，①求证：BD ⊥EG ；②求二面角D ﹣BF ﹣C 的余弦值；（2）三棱锥D ﹣FBC 的体积是否可能等于几何体ABE ﹣FDC 体积的一半？并说明理由．浙江省绍兴一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为（）A．0 B．C．D．【考点】确定直线位置的几何要素．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得．故选：D．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据所给的锥体的体积和锥体的高，得到这个锥体的底面面积的值，根据面积确定图形，这是选择题目特有的方法．【解答】解：由正视图与侧视图可知，这是一个锥体，根据锥体的体积是知=，∴s=1，即底面面积是1，在所给的四个图形中，只有正方形是一个面积为1的图形，故选D．【点评】本题考查由几何体确定俯视图，本题是一个基础题，题目的解决方向非常明确，只要得到一个底面面积是1的图形就可以．3．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．B．C．πD．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个倒放的圆锥，由正视图和侧视图都是边长为•的正三角形可知此圆锥的半径与圆锥的高，故解三角形求出其高即可求得几何体的表面积．【解答】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，其底面半径为，且其高为正三角形的高由于此三角形的高为，故圆锥的高为此全面积为=，故选：B．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．4．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于（）A．AD B．CD C．PC D．PD【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，可得CD⊥面MNO即可．．【解答】解：连结AC、取AC中点为O，连结NO、MO，如图所示：∵N、O分别为PC、AC中点，∴NO∥PA，∵PA⊥面ABCD，∴NO⊥面ABCD，∴NO⊥CD．又∵M、O分别为AB、AC中点，∴MO⊥CD，∵NO∩MO=O，∴CD⊥面MNO，∴CD⊥MN．故选：B．【点评】本题考查了通过线面垂直判定线线垂直，属于基础题．5．在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A．B． a C． a D． a 【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A 1DM 中，A 1D=，A 1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以d（设d 是点C 到平面A 1DM 的距离）∴=故选A ．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．6．已知α，β是相异两平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中不正确的是 （ ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n D ．若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A 中，由直线与平面垂直的判定定理得n ⊥α；在B 中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在C 中，m 与n 平行或异面；在D 中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B正确；在C中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故C错误；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7．在棱锥P﹣ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，Q为底面△ABC内一点，若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ为直径的球的体积为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意，点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，分析可知以PQ为直径的球是它的外接球，再由长方体和其外接球的关系求解．【解答】解：根据题意：点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体，则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线．∴2r==5，∴r=，由球的体积公式得：S=πr3=π．故选B．【点评】本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系，确定外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线是关键．8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上，且AM=BN．以下结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面，⑤MN与 A1C1成30°．其中有可能成立的结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】棱柱的结构特征．【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，故MN∥平面A1B1C1D1；MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；⑤EF与AC成30°时，MN与 A1C1成30°．【解答】解：①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM=BN，∴NE=MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF⊂面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；由①知，MN∥面AC，面AC∥平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正确；MN∥FE，FE与AC所在直线相交时，MN与A1C1异面，FE与AC平行时，则平行，故②④可能成立；⑤EF与AC成30°时，MN与 A1C1成30°．故选A．【点评】本题考查线面平行、垂直，考查线面角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围；【解答】解：∵过P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，即＜0，即，解得﹣2＜a＜1，故a的取值范围为（﹣2，1）．【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．10．如图，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，若四棱锥P﹣BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为（用V表示）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用AA1到对面距离不变，转化P到A点，利用棱锥与棱柱的体积关系，即可得出结论．【解答】解：由题意，P为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点，所以AA1到对面距离不变，移动P到A点，由棱锥的体积的推导方法可知：四棱锥P﹣BCC1B1的体积=×三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积=．故答案为．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生的计算能力，基本知识的考查．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为线段CB1．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，即BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，得到点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段，结合平面的基本性质知这两个平面的交线是CB1．【解答】解：如图，先找到一个平面总是保持与BD1垂直，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易得BD1⊥CB1，BD1⊥AC；则BD1⊥面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面ACB1与面BCC1B1的交线段CB1．故答案为线段CB1．【点评】本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的表面积3π．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：所以球的表面积为： =3π．故答案为：3π．【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．13．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB 1A1=n，则m，n所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，由△CB1D1是正三角形，即可得出m、n所成角．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB=2，AE=BE=，且当规定正视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为．若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM+MN+NB的最小值为 3 ．【考点】由三视图还原实物图．【分析】由几何体的侧视图的面积为求出几何体的高AD，再四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平，在平面内利用余弦定理求得线段AM+MN+NB长为所求．【解答】解：取AB中点F，∵AE=BE=，∴EF⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EF⊥平面ABCD，易求EF=，左视图的面积S=AD•EF=AD=，∴AD=1，∴∠AED=∠BEC=30°，∠DEC=60°，将四棱锥E﹣ABCD的侧面AED、DEC、CEB展开铺平如图，则AB2=AE2+BE2﹣2AE•BE•cos120°=3+3﹣2×3×（﹣）=9，∴AB=3，∴AM+MN+BN的最小值为3．故答案为：3．【点评】本题考查由三视图还原实物图，解题的关键是由三视图还原出实物图的几何特征及其度量，还考查曲面距离最值问题，采用化曲面为平面的办法．须具有空间想象能力、转化、计算能力．15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比等于．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，我们易计算出三棱锥A﹣BCD的体积，又由点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，我们可以判断M的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，AC⊥AD，∠BAC=60°，AB=AC=AD=4，则棱锥A﹣BCD的体积V==又∵点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，∴点M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上则点M的轨迹把三棱锥A﹣BCD分成上、下两部分的体积之比为：：（﹣）=，故答案为．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其中判断出M的轨迹在以A为球心以1半径的球面上是解答本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接BD ，BD ∩AC=O ，连接A 1O ，则BD ⊥AC ，BD ⊥平面ACC 1A 1，∠BA 1O 是直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角．【解答】解：连接BD ，BD ∩AC=O ，连接A 1O ，则BD ⊥AC ，BD ⊥平面ACC 1A 1，∠BA 1O 是直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角． ∵DA=DC=4，DD 1=3，∴BO=2，A 1B=，∴直线A 1B 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值=．【点评】此题考查了直线与平面所成的角，找出直线与平面所成的角是解本题的关键．17．已知两点A （﹣1，2），B （m ，3）．且实数m ∈[﹣﹣1，﹣1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 【考点】直线的倾斜角．【分析】分类讨论，当m=﹣1时，直线AB 倾斜角α=；②当m ≠﹣1时，直线AB 的斜率为，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围【解答】解：①当m=﹣1时，直线AB 倾斜角α=；②当m ≠﹣1时，直线AB 的斜率为，∵m+1∈[﹣，]，∴k=∈（﹣∞，﹣]∪[，+∞），∴α∈[，）∪（，]，综合①②知，直线AB的倾斜角α∈∈[，]．【点评】本题考查了直线的斜率与倾斜角之间的关系、正切函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．18．（10分）（2012•安徽模拟）一个多面体的直观图，正（主）视图，侧（左）视图如下所示，其中正（主）视图、侧（左）视图为边长为a的正方形．（1）请在指定的框内画出多面体的俯视图；（2）若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；（3）求该多面体的表面积．【考点】直线与平面平行的判定；简单空间图形的三视图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图．（2）连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，可得OE为△AA1C的中位线，OE∥A1C，从而证得OE∥平面A1C1 C．（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，SABCD=a2，，再求出，的值，由表面积，运算求出结果．【解答】解：（1）根据多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图，得到俯视图如下：（2）证明：如图，连接AC，BD交于O点，因为E为AA1的中点，O为AC的中点，所以在△AA1C中，OE 为△AA 1C 的中位线，所以OE ∥A 1C ，∵OE ⊄平面A 1C 1C ，A 1C 1⊂平面A 1C 1C ， 所以OE ∥平面A 1C 1C ．（3）由三示图可知多面体表面共包括10个面，S ABCD =a 2，，，，所以表面积．【点评】本题考查几何体的三视图，证明直线和平面平行的方法，求几何体的表面积，体现了数形结合的数学思想，是一道中档题19．（10分）（2016秋•越城区校级期中）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，CB ⊥C 1B ，BC=1，CC 1=2，A 1B 1=，（1）试在棱CC 1（不包含端点C ，C 1）上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1； （2）在（Ⅰ）的条件下，求AE 和BC 1所成角．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．【分析】（1）由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ，从而B 1E ⊥平面ABE 且BE ⊂平面ABE ，故BE ⊥B 1E ．利用余弦定理及其勾股定理即可得出．（2）取BC 中点D ，则DE ∥BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角．利用余弦定理即可得出．【解答】解：（1）由EA ⊥EB 1，AB ⊥EB 1，AB ∩AE=A ，AB ，AE ⊂平面ABE ， 从而B 1E ⊥平面ABE 且BE ⊂平面ABE ，故BE ⊥B 1E ． 不妨设 CE=x ，则C 1E=2﹣x ， ∵∠BCC 1=60°，∴BE 2=1+x 2﹣x ，∵∠BCC 1=60°，∴∠B 1C 1C=120°，∴．在Rt △BEB 1中有1+x 2﹣x+x 2﹣5x+7=4，从而x=1或x=2（当x=2时E 与C 1重合不满足题意）． 故E 为CC 1的中点时，EA ⊥EB 1．（2）取BC 中点D ，则DE ∥BC 1，连接AD ，所以∠AED 或其补角为异面直线AE 和BC 1所成角所成的角．∵，∴cos ∠AED==，∴∠AED=60°．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角、余弦定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2016秋•越城区校级期中）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）当x=2时，①求证：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；（2）三棱锥D﹣FBC的体积是否可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半？并说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）①：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH，由已知得四边形ADHE是正方形，四边形EHGB是正方形，由此能证明BD⊥EG．②以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣BF﹣C的余弦值．（2）由已知得三棱锥D﹣BCF的体积为V===，VABE﹣FDC =VABE﹣DGH+VD﹣HGCF=＞2V，从而棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．【解答】（1）①证明：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH．如图．∵AE=AD=2 且AE∥DH，AD∥EF，∠A=．∴四边形ADHE是正方形∵EH=2∴四边形EHGB是正方形即：BH⊥EG（正方形对角线互为垂直）∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，∴EG⊥△BDH所在平面即：BD⊥EG．②解：以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，B（2，0，0），F（0，3，0），D（0，2，2），C（2，4，0），=（﹣2，3，0），=（﹣2，2，2），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，2，1），又平面BCF的法向量=（0，0，1），cos＜＞===．∴二面角D﹣BF﹣C的余弦值为．（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE⊂平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x，又∵S△BCF=BC•BE==8﹣2x．∴三棱锥D﹣BCF的体积为V===，VABE﹣FDC =VABE﹣DGH+VD﹣HGCF===＞2V，∴棱锥D﹣FBC的体积不可能等于几何体ABE﹣FDC体积的一半．【点评】本题给出平面折叠问题，求证直线与直线垂直，求体积的最大值并求此时异面直线所成角大小．着重考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角大小的求法等知识，属于中档题．。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题含解析
上虞2023学年第一学期高二数学期中测试（答案在最后）注意事项：1.考试时间：120分钟；2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合要求）1.若直线l 经过坐标原点和()3,3-，则它的倾斜角是（）A.45-︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，进而可求得该直线的倾斜角．【详解】由题意可知，直线l 的斜率为30130k --==--，设直线l 的倾斜角为θ，则0180θ︒≤<︒，显然90θ≠︒，所以tan 1θ=-，得135θ=︒．故选：C ．2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为2c 的值为（）A.9B.11或9- C.11- D.9或11-【答案】B 【解析】【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c 的值.【详解】解： 直线x-2y-1=0与直线x-2y-c=0的距离为∴=，解得：c=11或c=-9.故选B.【点睛】本题主要考查两平行线间的距离公式，相对简单.3.方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则实数a 的值为A.0B.1C.1-D.2【解析】【分析】先假设方程可以表示圆得到a 的值，从而可得到不能表示圆时a 的值.【详解】方程22210x y ax y +-++=能表示圆，则22()2410a -+-⨯>，解得20a >，即0a ≠.所以，若方程22210x y ax y +-++=不能表示圆，则0a =.故选A.【点睛】本题主要考查了圆的一般方程及正难则反的数学思想.4.若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.5.已知R m ∈，则“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】求得方程表示椭圆的充要条件所对应的m 的范围，再根据充分必要条件的定义判断即可．【详解】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得26m <<且4m ≠，所以“26m <<”是“曲线22126x y m m+=--表示椭圆”的必要不充分条件.6.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(3)2x y -+=上，则ABP 面积的最小值为（）A.6B.C.12D.【答案】A 【解析】【分析】确定A ，B 两点坐标，再根据点到直线距离确定P 到AB 距离的最小值，进而求得三角形面积的最小值.【详解】(3,0)A -，(0,3)B -，∴AB ==，圆22(3)2x y -+=的圆心到直线30x y ++=的距离d ==∴P 到AB 距离的最小值为，∴ABP 面积的最小值为162⨯=，故选：A.7.三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，点P 在11A B 上，且满足111A P A B λ=，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为（）A.12B.2C.2D.5【答案】D 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN 与平面ABC 所成的角，即可求得结论．【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，()()111,0,0,0,1,0,,022B C N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，设直线PN 与平面ABC 所成的角为θ，sin PN nPN nθ⋅∴==⋅，当12λ=时，max (sin )5θ=，此时角θ最大．故选：D．8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于AB 两点，P 为AB 的中点，1134|,tan 2F P AB APF =∠=，则该椭圆的离心率为（）A.12B.2C.2D.【答案】B 【解析】【分析】在1AF P △中，由余弦定理可得1AF 的长度，进而根据边的关系得1AF P △为直角三角形，根据焦点三角形即可得,a c 关系.【详解】设20AB x,x =>则AP BP x ==，所以114|=2F P AB F P x =⇒由于13tan 02APF ∠=>，所以1APF ∠为锐角，故1cos APF ∠=在1AF P △中，由余弦定理得132AF x ==，因此22211AF AP PF +=,故1AF P △为直角三角形，所以152BF x ===，由1AF B △的周长为35242223a x x x x a =++Þ=，所以121322AF x a,AF a AF a,===-=故1222F F c e ==Þ=，故选：B二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下面四个结论正确的是（）A.向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=B.若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线C.已知向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，若//a b，则2x =-D.任意向量a ，b满足()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 【答案】ABC 【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A ，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B ，根据空间向量共线的坐标表示可判断C ，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A ：因为0,0a b ≠≠r r r r，a b ⊥ ，则0a b ⋅=，正确；对于B ：因为1344PC PA PB =+ ，则11334444PC PA PB PC -=-，即3AC CB = ，又AC 与CB有公共点，所以,,A B C 三点共线，正确；对于C ：因为向量()1,1,a x = ，()2,,4b x =- ，//a b，所以存在R λ∈，使得b a λ=，即()()2,,41,1,x x λ-=，则2114x x λλλ-=⨯⎧⎪=⨯⎨⎪=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩，正确；对于D ：()a b c ⋅⋅ 表示平行于c 的向量，()a b c ⋅⋅表示平行于a 的向量，当a 与c不平行时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅ 一定不成立，错误.故选：ABC10.关于直线l ：0ax y a ++=，以下说法正确的是（）A.直线l 过定点()1,0-B.若1a =-，直线l 与20x y +-=垂直C.a<0时，直线l 不过第一象限D.0a >时，直线l 过第二，三，四象限【答案】ABD 【解析】【分析】利用分离参数法、直线的斜截式方程以及两直线垂直的判定求解.【详解】直线l ：0ax y a ++=可变形为：(1)0a x y ++=，由100x y +=⎧⎨=⎩解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点()1,0-，故A 正确；当1a =-，直线l ：10x y -+-=，所以l 与直线20x y +-=的斜率之积为1-，即两直线垂直，故B 正确；对于C 选项，直线l ：0ax y a ++=可变形为：=--y ax a ，当a<0时，0a ->，直线l 经过第一，二，三，象限，故C 错误；对于D 选项，直线l ：=--y ax a ，当0a >时，0a -<，直线l 经过第二，三，四象限，故D 正确；故选：ABD ．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知12(1,1),(1,0),(1,0)A F F -，若动点P 满足124PF PF +=，则（）A.存在点P ，使得21PF =B.12PF F △面积的最大值为C.对任意的点P ，都有2||3PA PF +> D.有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意求得P 的轨迹是椭圆为22143x y +=，从而判断椭圆上是否存在点P ，使得21PF =；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值；由椭圆定义知，21122PA PF PA a PF a AF +=+-≥-，验证C 选项；求得使得1PAF V 的面积为32的P 点坐满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数.【详解】由题知，点P 的轨迹是2a =，1c =，焦点在x 轴上的椭圆，则b =，椭圆方程为22143x y +=，当点P 为椭圆右顶点时，21PF a c =-=，故A 正确；当点P 为椭圆上、下顶点时，12PF F △面积的取最大值，为1212F F b ⋅=B正确；2112244PA PF PA a PF a AF +=+-≥-==因43<，故C 错误；设使得1PAF V 的面积为32的P 点坐标为00(,)x y ，由1,A F坐标知，1AF =1AF 的方程为210x y -+=，则1322=，解得00220x y --=或00240x y -+=，联立002200220143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得200230y y -=，则90∆=>，因此存在两个交点；同理可得直线00240x y -+=与椭圆仅有一个交点；综上，有且仅有3个点P ，使得1PAF V 的面积为32，故D 正确；故选：ABD12.如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，点M 在线段1BD 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD 与直线1C M 始终是异面直线B.存在点M ，使得1B M AE ⊥C.四面体EMAC 的体积为定值D.H 为线段1AA 的中点，//MH ACE 平面【答案】BCD 【解析】【分析】对于A 选项，当M 位于1BD 中点时，AD 与1C M 共面；对于选项B 和D 可采用空间向量计算，对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，易证所以四面体EMAC 的体积为定值，由面面平行的判定定理得出平面1//BHD 平面AEC ，进而可得//MH 平面AEC .【详解】解：对于A 选项，连接1AC 交1BD 与O ，当点M 在O 点时，直线AD 与直线1C M 相交，故A 选项不正确；对于C 选项，连接AC ,BD 交于1O ，此时11//EO BD ，故线段1BD 到平面AEC 的距离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故C 选项正确；以D 为坐标原点，建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,0D ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,0B ，()12,2,2B对于B 选项，存在点M ，使得1B M AE ⊥，则()2,0,1AE =-，()()()1110,0,22,2,22,2,22B M B B BD λλλλλ=+=-+---=--- ，[]0,1λ∈，所以14220AE B M λλ⋅=+-= ，得13λ=，故当M 满足12D M MB =时，1B M AE ⊥，故B 选项正确；对于D 选项，连接1,,,,AE CE AC BH D H ，如下图所示：因为H 为AA 1的中点，E 为DD 1的中点，所以1//,//,CE BH D H AE 1,,AE CE E BH D H H ⋂=⋂=所以平面1//BHD 平面AEC ，MH ⊂平面1BHD ，所以//MH 平面AEC ，故D 选项正确；故选：BCD.第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线1:20l mx y +-=与直线2:21l y x =-平行，则m =______．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数m 的等式，解之即可.【详解】直线1l 的方程可化为2y mx =-+，因为12//l l ，则2m -=，解得2m =-.故答案为：2-.14.椭圆C ：22214x y m+=的焦距为4，则C 的长轴长为____________【答案】【解析】【分析】设椭圆的长轴长为2a ，由题意有2a >，22242m a ==+，即可得出．【详解】设椭圆的长轴长为2a ，由椭圆22214x y m+=的焦距为4，可得2a >．因此椭圆的焦点只能在y 轴上，可得22242m a ==+，解得a =所以椭圆C的长轴长为2a =.故答案为：15.设A 为圆2220x y x +-=上的动点，PA 是圆的切线且||1PA =，则P 点的轨迹方程是_________【答案】22(1)2x y -+=【解析】【分析】根据切线长可以求得P 点到圆心的距离，代入距离公式即可求得.【详解】由圆2220x y x +-=的方程可知，圆心为(1,0)，半径1r =，PA 是圆的切线且||1PA =，则点P设(,)P x y=，化简得22(1)2x y -+=.故答案为：22(1)2x y -+=16.已知点()00,P x y ，直线:0l Ax By C ++=，且点P 不在直线l 上，则点P 到直线l 的距离d =；类比有：当点()00,P x y 在函数()y f x =图像上时，距离公式变为d =，根据该公式可求33x x ++-+的最小值是____________【答案】4【解析】【分析】依题意可得，33x x+--+=，令y=+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，再结合图象进行求解.【详解】解：依题意可得，33x x+-+，令y=()2210x y y+=≥，该方程表示以()0,0为圆心，以1为半径的半圆，表示该半圆上的点到直线1:30l x y-+=的距离，表示该半圆上的点到直线2:30l x y+-=的距离，+1:30l x y-+=和2:30l x y+-=的距离之和，设为d，则33++-+=x x，如图所示：结合图象，当点P 运动到点(0,1)M 时，此时d 取得取小值，则min 0310312222+--+==d 则223131x x x x +-+-+-的最小值为224=.故答案为：4.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线l 过点P (2，3)，根据下列条件分别求出直线l 的方程:（1）直线l 的倾斜角为120°；（2）在x 轴、y 轴上的截距之和等于0.【答案】（13x +y -3-23；（2）3x -2y =0或x -y +1=0.【解析】【分析】（1）由倾斜角求出斜率，利用直线的点斜式方程即得解；（2）分经过原点时和不过原点两种情况讨论，分别设直线为y kx =，x a +-ya=1(a ≠0)，代入点坐标即得解【详解】（1）由直线l 的倾斜角为120°，可得斜率k =tan 120°=3，由直线的点斜式方程可得，y -3=3(x -2)，化简得直线l 3+y 3（2）当直线l 经过原点时，在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，符合题意，此时直线l 的方程为y =32x ，即3x -2y =0；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x a +ya-=1(a ≠0).因为P (2，3)在直线l 上，所以2a +3a-=1，解得a =1-，则直线l 的方程为x -y +1=0.综上所述，直线l 的方程为3x -2y =0或x -y +1=0.18.已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程.【答案】（1）22(1)4x y -+=（2）0x =或3480x y +-=【解析】【分析】（1）根据题意，设AB 的中点为D ，求出D 的坐标，求出直线CD 的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，由圆心的位置分析可得a 的值，进而计算可得r 的值，据此分析可得答案；（2）设F 为MN 的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线l 的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ，由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CD AB K K ⨯=-，得1CD K =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =-+，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=；（2）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==，圆心C 到直线l 的距离||1d CF ===，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =，解得34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠=︒，11CD CC ==，设CD a =uu u r r ，CB b =uu r r ，1CC c =uuur r ．（1）用a ，b ，c表示1AC 并求出1AC 的长度；（2）求异面直线1AC 与DA 所成角的余弦值．【答案】（1）1()AC a b c =-++ ，1||AC = ；（2）3．【解析】【分析】（1）根据已知条件所给基底，利用向量的线性运算表示即可；（2）写出向量DA b =，代入公式求夹角即可.【小问1详解】因为11CA CD DA AA a b c =++=++ ，所以1()AC a b c =-++ .1AC ===.【小问2详解】由（1）可知，1()AC a b c =-++ ，DA b =，则1()cos ,()a b c bA C DA a b c b -++⋅<>==-++⋅11111116223-⨯⨯--⨯⨯=-，因为异面直线夹角的范围为(0,2π，故异面直线1AC 与DA所成角的余弦值为3.20.已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，且椭圆C 过点3,12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是椭圆C 上任意一点，求1211PF PF +的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）[]1,4.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合椭圆的性质得出椭圆C 的标准方程；（2）由定义得出1211PF PF +()21424PF =--+，结合椭圆的性质得出1211PF PF +的取值范围．【小问1详解】已知椭圆C的两个焦点分别为((120,,F F ，设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，且c =22223a b c b =+=+①，又椭圆C 过点3,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以221314a b +=②，联立①②解得224,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=；【小问2详解】12121211PF PF PF PF PF PF ++=()()()221111111244424424a PF a PF PF PF PF PF PF ====---+--+，又1a c PF a c -≤≤+，即122PF ≤≤+，当12=PF 时，()2124PF --+最大，为4；当12PF =2+时，()2124PF --+最小，为1，即()2141424PF ≤≤--+，即121114PF PF ≤+≤，所以1211PF PF +的取值范围为[]1,4．21.如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF=∠CEF=90°,AD=,EF=2.(1)求证:AE ∥平面DCF;(2)当AB 的长为何值时,二面角A—EF—C的大小为60°?【答案】(1)证明略(2)当AB 为时，二面角A—EF—C 的大小为60°【解析】【详解】方法一（1）过点E 作EG ⊥CF 交CF 于G ，连接DG.可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG.因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF.（2）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.在Rt△EFG中，因为EG=AD=，EF=2，所以∠CFE=60°,FG=1,又因为CE⊥EF,所以CF=4,从而BE=CG=3.于是BH=BE·sin∠BEH=.因为AB=BH·tan∠AHB=×=，所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.方法二如图所示,以点C为坐标原点,以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB=a，BE=b，CF=c，则C（0，0，0），A（，0，a），B（，0，0），E（，b，0），F（0，c，0）.（1）=（0，b，-a），=（，0，0），=（0，b，0），所以·=0，·=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF，AE平面ABE.故AE∥平面DCF.（2）因为=（-，c-b，0），=（，b，0）.·=0，||=2，所以解得所以E（，3，0），F（0，4，0）.设n=(1,y,z)与平面AEF垂直，则n·=0，n·=0，解得n=（1,,）.又因为BA⊥平面BEFC，=（0，0，a），所以|cos〈n,〉|=解得a=.所以当AB为时，二面角A—EF—C的大小为60°.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，过椭圆E 的左焦点1F 且与x 轴垂直的直线与椭圆E 相交于的P ，Q 两点，O 为坐标原点，OPQ △的面积为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）点M ，N 为椭圆E 上不同两点，若22OM ONb k k a⋅=-，求证：OMN 的面积为定值.【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】（1）离心率提供一个等式2c a =，PQ是椭圆的通径，通径长为22b a ，这样OPQ ∆的面积又提供一个等式21222b c a ⨯⨯=，两者联立方程组结合222a b c =+，可求得,a b 得椭圆标准方程．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由2214OM ONb k k a ⋅=-=-得12124x x y y =-，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k x kmx m +++-=.应用韦达定理得1212,x x x x +，代入12124x x y y =-可得,k m 的关系，注意0∆>，然后由圆锥曲线中的弦长公式计算弦长MN ，求出O 到直线MN 的距离，求得OMN ∆的面积，化简可得为定值，同样直线MN 的不斜率存在时，也求得OMN ∆的面积和刚才一样，即得结论．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，则2c a =①过椭圆左焦点1F 且与x 轴垂直的直线方程为x c =-，与椭圆方程联立解得2by a=±，所以22||b PQ a =，所以212322b c a ⨯⨯=②把①代入②，解得21b =又2222234c a b a a -==，解得24a =所以E 的方程为：2214x y +=（2）设()()1122,,,M x y N x y ，因为24a =，21b =，所以2214OM ONb k k a ⋅=-=-，即121214y y x x ⋅=-，即12124x x y y =-（i ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为,(0)y kx m m =+≠，代入椭圆方程并整理，得()222148440k xkmx m +++-=.则122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+()()()22222(8)414441614km k m k m ∆=-+-=+-③()()()2222121212122414k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+所以2222244441414m k m k k --+=-⨯++，整理得22142k m +=，代入③，2160m ∆=>||MN ==，O 到直线MN的距离d =，所以OMN21214||||214SMN d m k ∆=⋅==⋅+22||||||12m m m m m=⋅=⋅=，即OMN 的面积为定值1（ii ）当直线MN 的斜率不存在时，不妨设OM 的斜率为12且点M 在第一象限，此时OM 的方程为12yx =，代入椭圆方程，解得22M ⎫⎪⎪⎭，此时OMN的面积为122122⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.综上可知，OMN 的面积为定值1【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线MN 的方程为y kx m =+，设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得1212,x x x x +，代入OM ON k k ⋅得参数间的关系，由弦长公式求弦长并代入1212,x x x x +化简．同时求三角形的高，求出三角形面积．注意还要讨论直线MN 斜率不存在的情形．。