2013高三立体几何选择填空问题集(较难,有答案)
2013年全国各地高考数学试题分类汇编(文科)：立体几何
2013年全国各地高考数学试题分类汇编（文科）：立体几何各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢2013年全国各地高考数学试题分类汇编（文科）：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】D2 ．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是,画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到正视图可以为（）A．B．C．D．【答案】A3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（）A．B．C．D．【答案】A4 ．（2013年高考大纲卷（文））已知正四棱锥的正弦值等于（）A．B．C．D．【答案】A5 ．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（）A．棱柱B．棱台C．圆柱D．圆台【答案】D6 ．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3【答案】B7 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体中, 为对角线的三等分点,则到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】B8 ．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【答案】B9 ．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于（）A．B．1 C．D．【答案】D10．（2013年高考浙江卷（文））设是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, （）A．若m‖α,n‖α,则m‖n B．若m‖α,m‖β,则α‖βC．若m‖n,m⊥α,则n⊥α D．若m‖α,α⊥β,则m⊥β【答案】C11．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若, , ,则球的半径为（）A．B．C．D．【答案】C12．（2013年高考广东卷（文））设为直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若, ,则B．若, ,则C．若, ,则D．若, ,则【答案】B13．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．B．C．D．8,8【答案】B14．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为（）A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π【答案】A二、填空题15．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.【答案】16．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)【答案】317．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知是球的直径上一点, , 平面, 为垂足, 截球所得截面的面积为,则球的表面积为_______.【答案】;18．（2013年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.【答案】319．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.【答案】20．（2013年高考大纲卷（文））已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径, 则球的表面积等于______.【答案】21．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱的母线长为,底面半径为, 是上地面圆心, 、是下底面圆周上两个不同的点, 是母线,如图.若直线与所成角的大小为,则________.【答案】22．（2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为______.【答案】23．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】24．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】425．（2013年高考安徽（文））如图,正方体的棱长为1, 为的中点,为线段上的动点,过点的平面截该正方体所得的截面记为,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).①当时, 为四边形;②当时, 为等腰梯形;③当时, 与的交点满足;④当时, 为六边形;⑤当时, 的面积为.【答案】①②③⑤三、解答题26．（2013年高考辽宁卷（文））如图,(I)求证:(II)设【答案】27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC 所成的角的正切值;(Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求PGGC 的值.【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形是等腰三角形,且底角等于30°,且,所以;、,又因为;(Ⅱ)设,由(1)知,连接,所以与面所成的角是,由已知及(1)知: ,,所以与面所成的角的正切值是;(Ⅲ)由已知得到: ,因为,在中, ,设28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.【答案】解: (Ⅰ) 设...(证毕)(Ⅱ).在正方形AB CD中,AO = 1 ..所以, .29．（2013年高考福建卷（文））如图,在四棱锥中, ,, ,, , , .(1)当正视图方向与向量的方向相同时,画出四棱锥的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);(2)若为的中点,求证: ;(3)求三棱锥的体积.【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形中,过点作,垂足为, 由已知得,四边形为矩形,,在中,由, ,依勾股定理得:,从而,又由平面得,从而在中,由, ,得正视图如右图所示:(Ⅱ)取中点,连结,,在中, 是中点,∴, ,又,∴,, ∴四边形为平行四边形,∴又平面, 平面, ∴平面(Ⅲ) ,又, ,所以解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)取的中点,连结,在梯形中, ,且,∴四边形为平行四边形∴,又平面, 平面∴平面,又在中,平面, 平面∴平面.又,∴平面平面,又平面∴平面(Ⅲ)同解法一30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形中, 分别是边上的点, , 是的中点, 与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.(1) 证明: //平面;(2) 证明:平面;(3) 当时,求三棱锥的体积.【答案】(1)在等边三角形中,,在折叠后的三棱锥中也成立,, 平面,平面, 平面;(2)在等边三角形中, 是的中点,所以①,.在三棱锥中, , ②;(3)由(1)可知,结合(2)可得.31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC= ,AA1=3,D是BC的中点,点E在菱BB1上运动.(I) 证明:AD⊥C1E;(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.【答案】解: (Ⅰ)..(证毕)(Ⅱ) ..32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥中, , , ,平面底面, , 和分别是和的中点,求证:(1) 底面;(2) 平面;(3)平面平面【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD 所以PA垂直底面ABCD.(II)因为AB‖CD,CD=2AB,E为CD的中点所以AB‖DE,且AB=DE所以ABED为平行四边形,所以BE‖AD,又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD所以BE‖平面PAD.(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA ⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD 和PC的中点所以PD‖EF,所以CD⊥EF,所以CD ⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.33．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱中, ,, .(Ⅰ)证明: ;(Ⅱ)若, ,求三棱柱的体积.【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接、、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,∠BA A1=600,故为等边三角形,所以OA ⊥AB.因为OC⨅OA =O,所以AB 平面OA C.又A CC平面OA C,故AB AC.(II)由题设知34．（2013年高考山东卷（文））如图,四棱锥中, ,,分别为的中点(Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)求证:【答案】35．（2013年高考四川卷（文））如图,在三棱柱中,侧棱底面, , ,分别是线段的中点, 是线段上异于端点的点.(Ⅰ)在平面内,试作出过点与平面平行的直线,说明理由,并证明直线平面;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线交于点,求三棱锥的体积.(锥体体积公式: ,其中为底面面积, 为高)【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点作直线,因为在平面外,BC在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, 平面.由已知, , 是BC中点,所以BC⊥AD,则直线,又因为底面,所以,又因为AD, 在平面内,且AD与相交,所以直线平面(Ⅱ)过D作于E,因为平面,所以,又因为AC, 在平面内,且AC与相交,所以平面,由,∠BAC ,有,∠DAC ,所以在△ACD中, ,又,所以因此三棱锥的体积为36．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为, ,且. 过, 的中点, 且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.(Ⅰ)证明:中截面是梯形;(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明.【答案】(Ⅰ)依题意平面, 平面, 平面,所以A1A2‖B1B2‖C1C2. 又, , ,且.因此四边形、均是梯形.由‖平面, 平面,且平面平面,可得AA2‖ME,即A1A2‖DE. 同理可证A1A2‖FG,所以DE‖FG.又、分别为、的中点,则、、、分别为、、、的中点,即、分别为梯形、的中位线.因此, ,而,故,所以中截面是梯形.(Ⅱ) . 证明如下:由平面, 平面,可得.而EM‖A1A2,所以,同理可得.由是△的中位线,可得即为梯形的高,因此,即.又,所以.于是.由,得, ,故.37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E 分别是AB,BB1的中点.(1) 证明: BC1//平面A1CD;(2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C一A1DE的体积.【答案】38．（2013年高考大纲卷（文））如图,四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=900，BC=2AD，△PAB与△PAD 都是边长为2的等边三角形.(I)证明:PB⊥CD；(II)求点A到平面PCD的距离.【答案】(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由和都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故,从而.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE//CD.因此, .(Ⅱ)解:取PD的中点F,连结OF,则OF//PB.由(Ⅰ)知, ,故.又, ,故为等腰三角形,因此, .又,所以平面PCD.因为AE//CD, 平面PCD, 平面PCD,所以AE//平面PCD.因此,O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,而,所以A至平面PCD的距离为1.39．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形, .已知.(Ⅰ)证明:(Ⅱ)若为的中点,求三菱锥的体积.【答案】解:(1)证明:连接交于点又是菱形而⊥面⊥(2)由(1) ⊥面=40．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥底面边长为,高为,求该三棱锥的体积及表面积.【答案】41．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.【答案】42．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12 分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)如题(19)图,四棱锥中, ⊥底面, , ,(Ⅰ)求证: ⊥平面;(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.【答案】43．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD –A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD于F,则在在,故由(2),同理,因此.设点B1到平面的距离为d,则,从而各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
天津市2013届新颖高三数学精选分类总汇编7立体几何文2
最新2013届天津高三数学文科试题精选分类汇编7：立体几何姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文科数学）如图,是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图,则该几何体的体积是（ ）A ．24B ．12C ．8D ．42 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）在正三棱锥P ABC -中,,D E 分别是,AB AC 的中点,有下列三个论断:①PB AC ⊥;②AC //平面PDE ;③AB ⊥平面PDE ,其中正确论断的个数为 （ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）设,m n 是两条不同的直线,γβα、、是三个不同的平面.给出下列四个命题:①若m ⊥α,//n α,则m n ⊥;②若γβγα⊥⊥,,则βα//; ③若//,//m n αα,则//m n ; ④若//,//,m αββγα⊥,则m γ⊥.其中正确命题的序号是 （ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④4 ．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C l D 1中，AA 1=2AB ，E是AA 1的中点，则异面直线D 1C 与BE 所成角的余弦值为 （ ）A ．15BCD ．35二、填空题5 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为___________.6 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）如图,二面角l αβ--的大小是60°,线段AB α⊂.B l ∈,AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是_________.7 ．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是______.8 ．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（文）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.9 ．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）若某几何的三视图(单位:cm )如下图所示,此几何体的体积是_____________3cm .10．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,部分边长如图所示,则此五面体的体积为________.11．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位cm)，可得这个几何体的体积是 cm 3.12．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为13．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）一个几何体的三视图如右图所示(单位：cm)，则这个几何体的体积为 立方厘米．2 2 2224正视图侧视图 俯视图三、解答题14．（天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科数学试题）如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥底面ABCD,且AB=PD=1.(1)求证:AC ⊥PB;(2)求异面直线PC 与AB 所成的角;(3)求直线PB 和平面PAD 所成角的正切值.15．（天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文科数学）如图,PAD ∆为等边三角形,ABCD 为矩形,平面⊥PAD 平面ABCD ,2=AB ,E 、F 、G 分别为PA 、BC 、PD 中点,22=AD .(1)求PB 与平面ABCD 所成角;(2)求证:EF AG ⊥;(3)求多面体AGF P -的体积.16．（天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学文试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,侧面PAD 是正三角形,且平面PAD ⊥底面ABCD(1)求证:AB ⊥平面PAD(2)求直线PC 与底面ABCD 所成角的余弦值;(3)设1AB =,求点D 到平面PBC 的距离.17．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,2,CA CB CD BD AB AD ======(Ⅰ)求证:AO ⊥平面BCD ;(Ⅱ)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值;(III)求点E 到平面ACD 的距离.B E18．（天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学文试题）在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ，分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点.求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B;(2)直线1//A F 平面ADE .19．（天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（文）试题）已知在四棱锥P ABCD-中,//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====,,E F 分别是,AD PC 的中点.(Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面;(Ⅱ)求证//PA BEF 平面;(Ⅲ)若PB AD =,求二面角F BE C --的大小.20．（天津市六校2013届高三第二次联考数学文试题）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ,E 为AD 的中点,M 是棱PC 的中点,2PA PD ==,112BC AD ==,CD =. (Ⅰ)求证:PE ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值;(Ⅲ)求直线BM 与CD 所成角的余弦值.P AB CD E MA D FE B G C 21．（天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学（文）试题(解析版)）在如图的多面体中,EF⊥平面AEB ,AE EB ⊥,//AD //EF BC ,24BC AD ==,2AE BE ==,G 是BC 的中点.(Ⅰ)求证://AB 平面DEG ;(Ⅱ)求直线BD 与平面BCFE 所成角的正切值;(Ⅲ)求证:BDEG ⊥.22．（天津市和平区2013届高三第一次质量调查文科数学）如图，在直三棱柱ABC —A1BlC1中，，∠ACB=90o．AA 1=2，D 为AB 的中点.(I)求证：AC ⊥BC 1;(II)求证：AC 1//平面B 1CD ：(III)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值23．（天津市渤海石油第一中学2013届高三模拟数学（文）试题（2））如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，90AD BC ABC ∠=，∥°，PA ⊥平面ABCD ．326PA AD AB BC ====，，．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角P BD A --的大小24．（2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)）如图，四边形ABCD 是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE ，BE ⊥EC ，EC=1．点F 为线段BE 的中点．( I )求证：CE ⊥平面ABE ；AED PCB(Ⅱ)求证：DE∥平面A CF；(Ⅲ)求AC和平面ABE所成角的正弦值。
2013年高考数学试题（8）立体几何
1.（安徽理科第6题、文科第8题）（A ） 48 (B)32+817 (C) 48+8 (C) 48+817 (D) 80解析：由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为()12244242´+´=，四个侧面的面积为()44221724817++=+，所以几何体的表面积为48817+故选C. 2.（安徽理科第17题，文科第19题，本小题满分13分）分） 如图，A B E D F C 为多面体，平面ABED 与平面A C F D 垂直，点O 在线段A D 上，1O A =，OD =，ODE ODF OAC OAB D D D D ,,,都是正三角形。
都是正三角形。
(Ⅰ)证明直线BC EF ∥；(Ⅱ)求棱锥F OBED -的体积. （1）证明：分别去OA ，OD 的中点M ，N ，连接CM ，ＢＭ，ＢＭＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，ＥＮ，ＦＮ，设ＥＢ和ＤＡ相交于Ｇ，由于ＯＡ＝１，OD=2，则EN BM //，且EN BM 21=，则M 为GN 的中点，所以GA=1 同理可得：G 为FC 和DA 的交点。
则有C 为FG 的中点，B 为EG 的中点。
所以的中点。
所以BC 是EFG D 的中位线。
故BC EF ∥。
（2）四边形OBED 是梯形，其中OB=1，DE=2，底边上的高为323260sin =×=°OE2333)21(2131331=××+×=×=\-O B E D O B E DF S V3.（北京理科第7题）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是(A) 8 (B) 62 (C)10 (D) 82解：根据三视图可知，该四面体满足：^SA 平面ABC ，ABC D 中 °=Ð90ABC ，3,4===BC AB SA ，四个三角形都是直角三角形，四个三角形都是直角三角形 6,26,8,10,5,24======D D D D ABC SBC SAB SAC S S S S AC SB4.（北京理科第16题）如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60A B B A D =Ð=.(Ⅰ)求证：BD ^平面;P A C（Ⅱ）若,P A A B =求P B 与A C 所成角的余弦值；所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面P B C 与平面P D C 垂直时，求P A 的长的长. .解：（1）因为ABCD 是菱形，则对角线互相垂直，BD AC ^\，又^PA 平面ABC所以BD ^平面PAC ，（2）设O BD AC = ，3,1,2,60=====°=ÐCO AO BO AB PA BAD以以O 为坐标原点以OC OB ,所在的直线分别为y x ,轴建立空间直角坐标系xyz O -则)0,3,0(),0,1,1(,0,3,0(),2,3,0(C B A P ）--，)2,3,1(-=\PB ，)0,32,0(=AC 设AC PB ,的夹角为q ，则4632226||||cos=´=×=AC PB AC PB q（3）由（）由（22）知),0,3,1(-=BC 设)0)(,3,0(>t t P 设平面PBC 的法向量为),,(z y x m =，则0,0=×=×m BP m BC所以ïîïíì=+--=+-0303tz y x y x ，令3=y ，则t z x 6,3==，)6,3,3(t m =\同理，平面PDC 的法向量为)6,3,3(tn -=，因为平面PBC ^平面PDC 所以0=×n m ，即03662=+-t，解得6=t ，6=\PA5.（北京文科第5题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+6.（北京文科17）如图，在四面体PABC 中，,,P C A B P A B C ^^点,,,D E F G 分别是棱,,,A PA CB C P B的中点。
2013高考数学试题分类汇编：专题09 立体几何(解析版b)
专题09 立体几何一、选择题：1．（山东省济南市2013年1月高三上学期期末文10）若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是A. 36 cm 3B. 48 cm 3C. 60 cm 3D. 72 cm 32．(山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考文10)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为 （ ）A ．3(16)cm p +B ．3(163)cm p +C ．3(204)cm p +D ．3(18)cm p + 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体上面是个长宽都是4，高为1的长方体，下面是直径为2，高为3的圆柱。
所以长方体的体积为314416()cm ⨯⨯=，圆柱的体积为333()cm ππ⨯=，所以该几何体的体积为3(163)cm p +，选B.3. (山东省济宁市2013届高三1月份期末测试文7)下列命题中错误．．的是 A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么直线l ⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4. (山东省烟台市2013届高三上学期期末文6)右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为A.8πB.6πC.4+D.2+5. (山东省烟台市2013届高三上学期期末文10)已知直线a 和平面,,l a a αβαβαβ=⊄⊄I 、，，且a 在αβ、内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面6.(山东省潍坊市2013年1月高三上学期期末考试A 卷文7)设m ，n 是两条不同直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是（A ）βα//,//n m 且,//βα则n m //（B ） βα⊥⊥n m ,且 βα⊥，则 n m ⊥（C ）,,,n m n m ⊥⊂⊥βα 则βα⊥（D ）,//,//,,ββααn m n m ⊂⊂则βα//7. (山东省潍坊市2013年1月高三上学期期末考试A 卷文10)一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（A ）π12（B ）π24 （C ）π32 （D ）π48【答案】D 【解析】该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为CC 1=4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为D.8.（山东省泰安市2013届高三上学期期末文2）如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为A.13B.12C.16D.19.（山东省泰安市2013届高三上学期期末文8）下列命题正确的是A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行10. （山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试文7）设a,b 是不同的直线，βα、是不同的平面，则下列命题：①若βα//,//,b a b a 则⊥ ②若ββαα⊥⊥a a 则,,//③若αβαβ//,,a a 则⊥⊥ ④若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,b a b a 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.311.（山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试文）已知直线a 和平面,,,,l a a a b a ba b ?怂，且a 在,a b 内的射影分别为直线b 和c ，则b 和c 的位置关系是 A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面12.（山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试文）四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为 A.12pB.24pC.36pD.48p【答案】A13.（山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月文）已知两条直线 a ，b 与两个平面α、αβ⊥b ，，则下列命题中正确的是①若α//a ，则b a ⊥；②若b a ⊥，则α//a ； ③若β⊥b ，则βα//；④若βα⊥，则β//b .A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③14.（山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月文）若一个底面为正三角形的几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为A ．． C ． ． 615.（山东省青岛一中2013届高三1月调研考试文）已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（ ）A. 8πB. 7πC. 2π `D. 74π16.（山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试）设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ）A. 若n m n m //,//,//则ααB. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥【答案】D【解析】因为选项A 中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B 中，只有Mm,n 相交时成立，选项C 中，只有m 垂直于交线时成立，故选D17.（山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆.其中正确的是A.①B.②C.③D.④18.（山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）对于直线m ，n 和平面,,αβγ，有如下四个命题：（1）若//,,m m n n αα⊥⊥则（2）若,,//m m n n αα⊥⊥则 （3）若,,//αβγβαγ⊥⊥则（4）若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则其中真命题的个数是A.1B.2C.3D.419.（山东省临沂市2013届高三上学期期中考试文）某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是二、填空题：20. (山东省济宁市2013届高三1月份期末测试文14)已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是.21.（山东省潍坊一中2013届高三12月月考测试文）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为323p，则A、B两点的球面距离为____________.22.（山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测文）在正三棱锥S-ABC中，侧面-外接球的表SAB、侧面SAC、侧面SBC两两垂直，且侧棱SA=，则正三棱锥S ABC面积为____________.23.（山东省临沂市2013届高三上学期期中考试文）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于。
2013年全国高考理科数学考试试题分类汇编7：立体几何
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π【答案】A2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥【答案】D3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:16【答案】C4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．3C ．3D ．13【答案】A5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+【答案】A6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）A ．1243V V V V <<< B．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<【答案】C7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 （ ）A ．1BC ．2D ．2【答案】C8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．143C ．163D ．6【答案】B9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则 （ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l【答案】D10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为94,的正三角形.若P 为底面111A B C的中心,则PA 与平面ABC所成角的大小为（ ）A ．512πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】B11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题()5图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．5603B ．5803C ．200D ．240正视图俯视图侧视图第5题图【答案】C12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ）A B ．C ．132D ．【答案】C13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且ABCD ,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】A14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是公理．．的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则（ ）A ．平面α与平面β垂直B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045C ．平面α与平面β平行D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060【答案】A17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是【答案】D 二、填空题18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________【答案】2216ππ+.19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3π_____.【答案】3π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.【答案】16π21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】51B22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.【答案】1:2423．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .【答案】2424．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,SA BCADEF BC【答案】①②③⑤25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.【答案】1616π-26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________【答案】12π27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______【答案】3π三、解答题28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点. (I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；D 1 C 1 B 1A 1D C AB(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.【答案】1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ . 所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) rPOOPF F CD r =︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒-︒=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[21cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.法二:1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCDA -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为060,求BDC ∠的大小.【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC ;ABCDPQM（第20题图）方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42QH AD MD ,所以////P OQ H P Q O H ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D--的二面角;由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以cos ,sin ,sin ,,CD CG CBCD CG BC BD CD BDαααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin BGBCG BG BCααα∠=∴=∴=,所以在R T B H G ∆中,2133HG α=∴=,所以在RT CHG ∆中tan tan 6033CGCHG HG ∠==== tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直线1BC与1AA 所成角的大小为6π,求该三棱柱的体积.【答案】[解]因为1CC 1AA .所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6π. 在Rt 1BC C ∆中,11tan 6BC CC BC C =⋅∠==,从而2ABC S ∆==因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ∆=⋅==3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC, AB ⊆平面ABC ∴EF∥平面ABC 同理:FG∥平面ABC又∵EF FG=F, EF.FG ⊆平面ABC∴平面//EFG 平面ABC (2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ⊆平面SABAF⊥SB∴AF⊥平面SBC 又∵BC ⊆平面SBC ∴AF⊥BC又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ⊆平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ⊆平面SAB∴BC⊥SAABCSGFEB 1A 1C 1ACB4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯= 而1AD C ∆中,11AC DC AD ===,故132AD C S ∆= 所以,13123233V h h =⨯⨯=⇒=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23.5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.【答案】解:(I)EF AC ,AC ABC ⊆平面,EF ABC ⊆平面EF ABC ∴平面第19题图⊆平面又EF BEF∴EF l∴平面l PAC(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三角形ABC中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE ==O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=.(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD ===.CO BDEA CDOBE'A图1图2连结,OD OE ,在OCD ∆中,由余弦定理可得OD=由翻折不变性可知A D '=,所以222A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, 理可证A O OE '⊥, 又ODOE O =,所以A O '⊥平面BCDE .(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.结合图1可知,H 为AC 中点,故2OH =,从而2AH '== 所以cos OH A HO A H '∠=='所以二面角A CD '--.向量法:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0C -,()1,2,0D -所以(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则00n CA n DA ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x =,得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,所以cos ,53n OA n OA n OA '⋅'===',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5.7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;C D OBE'AH(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1, 求线段AM的长.【答案】8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.(Ⅰ)证明AB⊥A1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E,∵AB=1AA ,1BAA ∠=060,∴1BAA ∆是正三角形,∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA,∴AB⊥1AC ;(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),1A(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则BC1BB =1AA),1A C设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,则100BC BB ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩n n ,即0x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,可取n,1,-1), ∴1cos ,A C n =11|A C A C ∙n |n ||∴直线A 1C 与平面BB1C 1C9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.1A【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴⊂⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥⊂⊥=⋂⊥11111,，故面且面所以；且. 在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=∆O A OA A RT 中，在O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设. [来源:学_科_网]，所以由以上三点得且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =⋂⊂⊂111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=⇒A B A C B ，，，，）（.由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111）（==-==OB A n 设平面OCB 1的法向量为，则0,0,2122=⋅=⋅n OB n n ).1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221|||,cos |cos 212111=⋅=⋅=><=n n n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3π1A10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P A B-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ∆≅∆====，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面;(2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.【答案】解:(1)在ABD ∆中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故,23BAD ABE AEB ππ∠=∠=∠=,因为DAB DCB ∆≅∆,所以EAB ECB ∆≅∆, 从而有FED FEA ∠=∠,故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA . 又PA ⊥平面ABCD ,所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D ,(4)3(0,0,)2P ,故133333(0),(,),(2222BC CP CD ==--=-，，，设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z =,则11110233022y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ,解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即12(1,)3n =. 设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z =,则2223233022y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即2n =.从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为12124cos 416n n n n θ⋅===. 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.[来源:学,科,网](Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.1C【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A()II 解法一:连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥. 所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==. 又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12AP AM ==, 在1Rt AA P 中, 12A P =;在1Rt A AM中, 1AM =从而,11AA AP AE A P ∙==11AA AM AF A M ∙==,所以sin AE AF θ==.所以cos θ===. 故二面角1A A M N --解法二:设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,A E A D ,1AA 的方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ,()0,0,1A .因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以131,12A M ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()10,0,1A A =,()3,0,0NM =.设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有 ()()()1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫∙=⎪⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪∙=⎩ 从而111110,20.y z z ++=⎪=⎩取11x =,则1y =所以()11,n =. 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩故有()())2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫∙=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪∙=⎪⎩从而222210,220.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-. 设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角,则1212cos 5n n n n θ∙===∙.故二面角1A A M N -- 12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点 (1)求异面直线B A 1与D C1所成角的余弦值 (2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.解:(1)以{}1,,AA 为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=B A ,)4,1,1(1--=B A∴10103182018,cos 11==>=<C A ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为10103 (2))0,2,0(=AC 是平面1ABA 的的一个法向量设平面1ADC 的法向量为),,(z y x m =,∵)0,1,1(=AD ,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥ ∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ∴32324,cos cos =⨯-==><=m AC θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为3513．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱锥P ABCD-中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==∆，与PAD ∆都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.【答案】14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值. 【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC ,又EF ⊂平面PCD ,DC ⊂平面PCD ,所以EF ∥平面PCD ,又EF ⊂平面EFQ ,平面EFQ平面PCD GH =,所以EF ∥GH ,又EF ∥AB ,所以AB ∥GH . (Ⅱ)解法一:在△ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =,所以=90ABQ ∠,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥,又BP BQ B =,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ⊂平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥,所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设2BA BQ BP ===,连接PC ,在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC =在t R △PBC 中,由勾股定理得,PC =又H 为△PBQ 的重心,所以133HC PC == 同理3FH =,在△FHC 中,由余弦定理得552499cos 5529FHC +-∠==-⨯,即二面角D GH E --的余弦值为45-. 解法二:在△ABQ 中,2AQ BD =,AD DQ =,所以90ABQ ∠=,又PB ⊥平面ABQ ,所以,,BA BQ BP 两两垂直,以B 为坐标原点,分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BA BQ BP ===,则(1,0,1)E ,(0,0,1)F ,(0,2,0)Q ,(1,1,0)D ,(0,1,0)C (0,0,2)P ,,所以(1,2,1)EQ =--,(0,2,1)FQ =-,(1,1,2)DP =--,(0,1,2)CP =-,设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)m x y z =,由0m EQ ⋅=,0m FQ ⋅=,得111112020x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取11y =,得(0,1,2)m =.设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =由0n DP ⋅=,0n CP ⋅=,得222222020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取21z =,得(0,2,1)n =.所以4cos ,5m n m n m n ⋅==因为二面角D GH E --为钝角,所以二面角D GH E --的余弦值为45-.15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，,90,,1BAD AC BD BC ∠=⊥=,13AD AA ==.(I)证明:1AC B D ⊥; (II)求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.【答案】解:(Ⅰ) AC BB ABCD BD ABCD BB D C B A ABCD ⊥⇒⊂⊥∴-111111,面且面是直棱柱D B AC BDB D B BDB AC B BB BD BD AC 11111,,⊥∴⊂⊥∴=⋂⊥，面。
2013年高考真题理科数学解析分类汇编7-立体几何
2013年高考真题理科数学解析分类汇编7 立体几何一选择题1.[湖南]7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD【答案】 C 【解析】由题知，正方体的棱长为1，1]2,1[1<，宽在区间正视图的高为。
选C2.陕西12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 3π. 【答案】3π 【解析】立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。
所以体积32121312ππ=⋅⋅⋅⋅=V3.安徽理（3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】B,C,D 说法均不需证明，也无法证明，是公理；A 选项可以推导证明，故是定理。
所以选A4.广东5.某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是图1A. 4B.143C.163D. 6解析：显然棱台的上下底的面积分别为1214S S==、，故其体积为121114V=()(124)2333S S h+=++⨯=选B5.广东6.设m，n是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A.若,,m nαβαβ⊥⊂⊂，则m⊥n； B. 若//,,m nαβαβ⊂⊂，则//m nC. 若,,m n m nαβ⊥⊂⊂，则αβ⊥； D. 若,//,//m m n nαβ⊥，则αβ⊥解析：选D ∵,//,//m m n nαβ⊥，∴平面β内存在直线α⊥，故αβ⊥其它选项均错。
6.新课标I，6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A、500π3cm3B、866π3cm3错误！未找到引用源。
2013年全国高考理科数学试题立体几何
2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1错误！未指定书签。
．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ）A ．35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm π D ．320483cm π2错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥3错误！未指定书签。
．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为 （ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:164错误！未指定书签。
．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）A ．23B ．33C ．23D ．13错误！未指定书签。
．5.（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+错误！未指定书签。
6．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （ ） A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．213V V V <<7错误！未指定书签。
2013高考真题专题汇编立体几何文(生)
立体几何一、选择题错误！未指定书签。
．某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．180B ．200C ．220D ．240错误！未指定书签。
．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．错误！未指定书签。
．某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+错误！未指定书签。
．已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 （ ）A ．23 B ．3C ．3D ．13错误！未指定书签。
．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ）A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台错误！未指定书签。
．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100 cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3错误！未指定书签。
．如图,在正方体1111ABCD A B C D 中,P 为对角线1BD 的三等分点,则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个第二部分(非选择题 共110分)错误！未指定书签。
．某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是图 2俯视图侧视图正视图 （ ）A ．16 B ．13C ．23D ．1错误！未指定书签。
．已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______ （ ）AB ．1 CD错误！未指定书签。
．设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,（ ）A ．若m∥α,n∥α,则m∥nB ．若m∥α,m∥β,则α∥βC ．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD ．若m∥α,α⊥β,则m⊥β错误！未指定书签。
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2013高三立体几何选择填空问题集(有难度有答案)
班级______姓名________
一． 选择题
1．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的
三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ）
（Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个
2．P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，
C，D三点的距离分别是5，17，13，则P到A点的距离是
（ ）
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４
3．直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，直角顶点C在平面α外，
C在平面α内的射影为C1，且C1AB，则△C1AB为 （ ）
（Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对
4．已知四点，无三点共线，则可以确定( )
A.1个平面 B.4个平面 C.1个或4个平面 D.无法确定
5． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧
且相距是1，那么这个球的半径是( )
A.4 B.3 C.2 D.5
6．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3
个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )
A.43 B.23 C.2 D. 3
7．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则
被截形体的表面积为（ ）
A．45π B．87π C．π D．47π
8．某刺猬有2013根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四
根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。
A．2013 B．4022 C．4024 D．4026
命题①空间直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c ②非零向量c、b、a，若a∥b，b∥c则a∥c
③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a、b、c若有a⊥b，b⊥c，则a∥c
⑤直线a、b与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
9．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）
A、3（，） B、23（，） C、（0，2） D、23（，）3
10．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面
的概率为 （ ）
A．367385 B． 376385 C．192385 D．18385
二．填空题
11．在三棱锥P—ABC中，底面是边长为2 cm的正三角形，PA＝PB＝3 cm，
转动点P时，三棱锥的最大体积为 ．
12．P为ABC所在平面外一点，PA、PB、PC与平面ABC所的角均相等，又PA与BC垂直，那么
ABC
的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形
13．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底
面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ .
14．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为
1，点M在A上，且AM=31AB，点P在平面ABCD
上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M
的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动
点P的轨迹方程是 .
15．三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，
则此直线与另外一条直线所成的角 。
16．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳，
AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm
的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条
绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了
_________.
17．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图
正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正
方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和
4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离
可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号．．）
18.如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不
计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，
容器存水的最大容积是_______m3.
A
B C D A1 B1 D1 C1 x y M
P
图－1
E
S
F
C B A
参考答案：
1．【答案】D解析： 过P作一个与AB，AC都平行的平面，则它符合要求；设边AB，BC，CA的中
点分别为E，F，G，则平面PEF符合要求；同理平面PFG，平面PGE符合要求
2．【答案】A解析：设AB＝a，BC＝b，PA＝h，则a2+h2=5, b2+h2=13, a2+b2+h2=17,∴h=1．
3．【答案】C解析：∵C1A2+C1B2
个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.
5．【答案】B解析： 如图，设球的半径是r，则πBD2＝5π，πAC2＝8π，
∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，设OA＝x.
∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.
解之，得r＝3
故选B.
6．【答案】B解析： 设球半径为R，小圆半径为r，则2πr＝4π,∴r＝2.如图，设三点A、B、C，O
为球心，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝3，又∵OA＝OB
∴ΔAOB是等边三角形
同理，ΔBOC、ΔCOA都是等边三角形，得ΔABC为等边三角形.
边长等于球半径R，r为ΔABC的外接圆半径.
r＝33AB＝33R
R＝33r＝23
∴应选B.
7．【答案】A．解析：S=41π·12×3+81×4π·12=45π。
8．【答案】B．解析：当有n根刺时有an种支撑法，n = 4，5， 6，… ，则an+1=an+3－1=an+2或an+1=an+4
－2=an+2，∴{an}n = 4，5，6，…， 为等差数列，∵a4 = 4∴an=2n－4，A2013＝4022 。
9．【答案】A．解析：法一：考察正三棱锥P–ABC，O为底面中心，不妨将底面正△ABC固定，顶点
P运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC.
当PO→0时，面PAB→△OAB，面PBC→△OBC，∠AHC→π
当PO→+∞时，∠AHC→∠ABC=3. 故3<∠AHC <π，选A.
法二：不妨设AB=2，PC= x，则x > OC =332.
等腰△PBC中，S△PBC =21x·CH =21·2·1x2CH =2x112
等腰△AHC中，sin2x1121CH2AC2AHC
由x>332得2AHCsin21<1，∴322AHC6＜∠AHC＜π.
10．【答案】A解析：此问题可以分解成五个小问题：
（１）由正方体的八个顶点可以组成3856c个三角形；
（２）正方体八个顶点中四点共面有12个平面；
（３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有244c个；
（４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率243561218358cpc；
（５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得
18367
1;385385P
故选A．
11.。362cm3.解析:点P到面ABC距离最大时体积最大，此时面PAB⊥面ABC，
高PD=22cm．V=
362224433
1
3
cm
.
12．由题意可知ABC的外心在BC边的高线上，故一定有AB=AC选（1）（2）（4）。
13．37.解析：原四个顶点截去后剩下截面为边长为1的正三角形，而原四面体的四个侧面变为边
长为1的正六边形，其表积为 374364434 .
14．91322xy。解析：过P点作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连PH，利用三垂线定
理可证PH⊥A1D1. 设P（x，y），∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x2 +1- [(x13)2+y2] =1，化简得91322xy.
15. 45o.利用长方体性质。
16.10cm,可利用向量。
17.①②④
18.65
P
A
B
C
H
O