43恒定磁场的旋度--安培环路定律解读
磁场的安培环路定理
电荷均匀分布
E
2 0r
E0
E
2 0r
E
r 2 0 R2
E 2 0r
电流均匀分布
B 0I 2r
B0
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
(16)磁场的安培环路定理 （2）面对称
无限大载流导体薄板
I
已知：导线中电流强度 I
单位长度
位置移动
I1 I2
I4
I3
l
不变
? B dl 0 Ii 0 ( I2 I3 )
? 改变
?
不变
(16)磁场的安培环路定理
注意3
安培环路定理
n
B dl 0 Ii
i 1
当电流呈体分布时 B dl 0 S j dS
闭合路径包围的电流为电流
导线匝数n
解：分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图
ab、cd与导体板等距
dB
ba
.........
cd
(16)磁场的安培环路定理
计B算 d环l 流abBdl cos 0
c
b
Bdl
cos
2
cd Bdl cos 0
da
Bdl
cos
2
B ab B cd
2B ab
l
B B1 B2 B3
Bdl
l
0 (I 2
I3)
【总结】以上结果对任意 形状的闭合电流（伸向无 限远的电流）均成立.
安培环路定理
安培环路定律—恒定磁场的旋度方程
磁场是有旋场(涡旋场)，与磁场的散度方程一致
磁感线与电流垂直并相互交链
恒定磁场有旋性的直接证明
B A ( A) 2 A
A 0 Jc (r)dV
4 V
R
0
4
V
J
c
(r
)
1 dV R
0 Jc (r) dV
4 V
R
0 Jc (r) dS 0
4 S R
4 V
R
0
4
V
Jc (r)2
1 R
dV
0 V Jc (r) (r r)dV
R r r
2 1 4 (r r)
r r
冲激函数
0Jc (r )
B 0Jc (r )
Bdl l
S ( B) dS 0
S JC dS 0
Ii
4.3 安培环路定律— 恒定磁场的旋度方程
电工基础教研室 由佳欣
真空中的安培环路定律
Bdl l
0
S JC dS 0Ii来自在真空稳恒磁场中，B 沿任一闭合路径的积分，等于0 乘以
该闭合路径所包围的各电流的代数和
B 对任意闭合曲线L 的环流不恒等于零，磁场是非保守立场，
没有磁势的概念
B 0JC
R r r
1 1 RR
(F) F F (F) F F
恒定电流场是无源场
Jc 0
由于所有电流分布被包含在积分区域内，因此没有电流通过 界面S，面积分为零，则有 A 0
恒定磁场有旋性的直接证明
B A ( A) 2 A
2 A 0 2 Jc (r) dV
磁场高斯定理 安培环路定理
R
例题 无限大平板电流的磁场分布。设一无限大导体 薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直 的单位长度的电流）到处均匀。大小为 j 。
解：视为无限多平行长 直电流的场。 分析求场点p的对称性 做 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
多电流情况
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 B d l 0 ( I 2 I 3 )
l
l
以上结果对任意形状 的闭合电流（伸向无限远 的电流）均成立.
n B dl 0 Ii i 1
安培环路定理
2. 明确几点 (1) 电流正负规定：电流方向与环路方向满足 右手定则时电流 I取正；反之取负。 (2) B 是指环路上一点的磁感应强度，不是任 意点的，它是空间所有电流共同产生的。
I
a
b
B
B d l lb c d d a c B d l B d l B d l B d l Bab
a
得长直载流螺线管内的磁场： B μ0 nI 无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外 部磁场为零。
B
b
l
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都为均 匀磁场，并且大小相等，但方向相反。
同轴电缆的内导体圆柱
半径为R1，外导体圆筒内外
半径分别为R2、 R3，电缆载 有电流I，求磁场的分布。
课堂练习
0 I B r r R1 2 2 R1 0 I B R1 r R2 2 r 2 2 0 I ( R3 r ) B r R2 2 2 2 r ( R3 R2 )
真空中恒定磁场的安培环路定理
dI
dB dB dB dB
P
I 当r R时, I内 r 2 R2
B
L
r2 B 2 r 0 2 I R
0 I B r 2 2 R
R
7
r
2、求无限长螺线管内的磁感应强度。设螺线管长 为L，共有N匝线圈，通有电流I。 解：管内中部磁场均匀，方 向与管平行；管外中部贴近管 P b a 壁处磁场很弱，B=0。 作一长方形环路abcda c d B dl B dl B dl B dl B dl
二、安培环路定理的应用举例 1、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体 半径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I R 解：沿圆周L的B环流为 P B dl B 2 r 0 I内
( L)
当r R时,
0 I B 2 r
I内 I
B 2 r 0 I
l B dl 0 I
I
l
d
B dlIrl3
(2) 闭合曲线不包围长直电流：
B1
dφ
B2
dl 2 dl
1
I
r1
r2
0 I 0 I B1 B2 2π r1 2π r2 μ0 I B1 dl1 dφ 2π μ0 I B2 dl2 dφ 2π l B dl l B1 dl1 l B2 dl2
abcda ab bc cd da
B ab
0
0
0
N )B dl 0 ab L I 0 abn I (L
B 0 n I
8
例题 一矩形截面的空心环形螺线管，尺寸如图所示， 其上均匀绕有N匝线圈，线圈中通有电流I。试求： （1）环内距轴线为r 远处的磁感应强度； （2）通过螺线管截面的磁通量。 I 解：与螺线管共轴的圆周上各点 B大小相等，方向沿圆周切线。 r 0 N I B dl B 2 r
安培环路定律与应用
安培环路定律与应用安培环路定律，又称为安培定理、安培环路法则，是电磁学中一个十分重要的定律，用来描述电流在闭合回路中的分布和变化规律。
它是由法国物理学家安培于1827年发现并总结出来的。
安培环路定律的表达方式有两种形式，即积分形式和微分形式。
积分形式的安培环路定律是这样表述的：一条闭合回路中，沿着回路所围成的面积求取磁场强度的积分，等于通过该回路的电流的总和乘以真空中的磁导率。
即∮B·dl = μ₀·I，其中∮代表环路的积分运算，B是磁场强度，dl是环路上的微元线段，μ₀是真空中的磁导率，I是通过回路的电流。
微分形式的安培环路定律是这样表述的：一个回路上任意一点的磁场强度的旋度，等于通过该回路的电流的总和乘以真空中的磁导率。
即∇×B = μ₀·J，其中∇×代表旋度运算，B是磁场强度，μ₀是真空中的磁导率，J是通过回路的电流密度。
安培环路定律的应用十分广泛，下面将从几个方面介绍一些常见的应用。
一、计算磁场强度根据安培环路定律，可以通过沿着闭合回路所围成的面积求取磁场强度的积分来计算磁场强度。
这对于研究电磁场的分布和变化规律非常有帮助，例如计算磁铁周围的磁场强度、电感线圈中的磁场强度等。
二、设计电磁铁电磁铁是一种可以产生强磁场的设备，广泛应用于电动机、发电机、磁悬浮列车等领域。
设计电磁铁时，可以利用安培环路定律来确定电磁铁的线圈匝数、材料特性和电流强度等参数，以便使得磁场强度满足要求。
三、磁场感应根据安培环路定律，一个变化的磁场可以诱导出沿着闭合回路的电动势，即磁场感应。
利用这个原理，可以制造感应电流、感应电压等现象，例如电磁感应现象、变压器的工作原理等。
四、计算电流密度根据安培环路定律的微分形式，可以通过计算一个回路上任意一点的磁场强度的旋度来求取通过回路的电流密度。
这对于研究电流分布和变化规律非常有帮助，例如计算电流在导线中的分布情况、研究电流在电子器件中的流动规律等。
电磁学讲义11-安培环路定理
• 如图示电流I均匀分布在半径R的无限长圆柱体
内，取柱坐标系
– 根据对称性分析有（a）以ｚ轴为轴的圆柱面上磁场大小 相等（b）磁场方向应该是垂直r，沿 ϕˆ 方向，和ｚ轴成 右手螺旋关系（把圆柱电流划分成无数电流线，考虑对 称电流线的磁场的叠加的结果）。
– 如图，取圆形环路在垂直ｚ轴的面内，且圆心在ｚ轴
I
z 上，环路方向和ｚ轴成右手螺旋关系。
R
根据安K培环K路定理： K K
K ∫ B • d l = μ 0 ∫∫ j • d S
B
S
KK
又： ∫ B ⋅ dl = 2πrB
LK
r
L O
K B
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
μ0 I ϕˆ 2πr μ0 Ir ϕˆ
⎩ 2πR 2
r≥R r≤R
B
O
R
r
例：均匀无限大直向面电流的磁场
∇•B =0
• 据在矢矢量量分场析AK ，，此满K 式足成：立的K 充要条件是存
B =∇×A
– 矢量A称为磁矢势 – 矢 的梯量A度并：不∇ 唯× (一AK ，+ 可∇ ϕ以)加= 任∇ 意× A一K 个标量场φ
– 为了唯一确定磁矢K势，常规定： ∇⋅A= 0
# 三种坐标系中的弧微分矢量
•
直角坐标系
对安培环路定理的一个误解
• 恒定磁场安培环路定理中的电流是闭合稳恒电 流(无限长电流可看作在无限远处闭合)，而不
适用于非稳衡电流或电流元。
如图：取围绕电流元的圆形闭合环路
∫
KK B ⋅ dl
=
μ0I 4π
∫
⎜⎛ ⎝
ΔxK × rˆ r2
⎟⎞
⋅
K dl
物理定律安培定律
物理定律安培定律安培定律，又称作安培环路定理，是电磁学中的基本定律之一。
它由法国物理学家安培于1827年提出，描述了电流在导线中的行为。
安培定律在电路分析和设计中具有重要的应用价值。
本文将详细介绍安培定律以及其应用。
一、安培定律的表述安培定律的基本表述是：通过一个闭合回路的总磁力线数等于通过该回路的总电流除以该回路所围成的面积。
具体公式可以表示为：∮B·dl = μ0 · I其中，∮B·dl表示磁场强度B在回路上的线积分，表示磁力线的总数；μ0表示真空中的磁导率，其值约等于4π×10^(-7) T·m/A；I表示通过回路的总电流。
二、安培定律的解释安培定律的解释是基于磁场对电流的作用。
当电流通过导线时，会产生一个环绕导线的磁场。
按照安培定律，这个磁场的强度与通过导线的电流成正比。
当电流改变时，磁场的强度也会随之改变。
同时，磁场的强度也取决于回路所围成的面积。
三、安培定律的应用1. 计算磁场强度：利用安培定律可以计算通过回路的总电流和回路所围成的面积，从而求得磁场强度B。
这在电磁学实验和磁场测量中具有重要意义。
2. 分析电磁感应现象：安培定律是解释电磁感应现象的关键定律之一。
当磁场的磁力线发生变化时，会产生感应电动势。
根据安培定律，这个感应电动势与磁场的变化率成正比。
因此，安培定律可用来分析和计算感应电动势。
3. 设计电磁铁和电磁悬浮系统：根据安培定律，可以通过控制通过线圈的电流来控制电磁铁或电磁悬浮系统的磁场强度。
这种原理广泛应用于电磁铁的设计和电磁悬浮技术。
4. 研究电流分布和电磁场分布：利用安培定律可以分析电流在导线内部的分布情况，进而研究电磁场在空间中的分布。
这对于电磁学的研究和电路设计具有重要意义。
四、安培定律的实验验证安培定律的实验验证主要基于安培环路法。
通过在导线的周围画一个回路，利用磁力计测量回路上的磁场强度，然后通过改变导线中的电流，观察磁场强度的变化。
稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导
稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导稳恒磁场真空中的安培环路定理的推导过程如下：以长直载流导线产生的磁场为例，证明安培环路定理的正确性。
在长直载流导线的周围作三个不同位置，且不同形状的环路，可以证明对磁场中这三个环路，安培环路定理均成立。
对称环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，以载流导线为圆心作一条半径为r的圆形环路l，则在这圆周上任一点的磁感强度H的大小为其方向与圆周相切．取环路的绕行方向为逆时针方向，取线元矢量dl，则H与dl间的夹角，H沿这一环路l的环流为式中积分是环路的周长。
于是上式可写成为从上式看到，H沿此圆形环路的环流只与闭合环路所包围的电流I有关，而与环路的大小、形状无关。
任意环路包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，环绕载流直导线作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
在环路上任取一段线元dl，载流直导线在线元dl处的磁感强度B大小为H 与dl的夹角为，则H对dl的线积分为直导线中向线元的张角为，则有，所以有可见，H对dl的线积分与到直导线的距离无关。
那么B对整个环路的环流值为上述计算再次说明H的环流值与环路的大小、形状无关。
不包围电流在垂直于长直载流导线的平面内，在载流直导线的外侧作一条如下图所示的任意环路l，取环路的绕行方向为逆时针方向。
以载流直导线为圆心向环路作两条夹角为的射线，在环路上截取两个线元和。
和距直导线圆心的距离分别为和，直导线在两个线元处的磁感强度分别为和。
从上图可以看出，而。
利用安培环路定理的证明之二的结论可知结论所以有从载流直导线中心O出发，可以作许多条射线，将环路分割成许多成对的线元，磁感强度对每对线元的标量积之和，都有上式的结果，故即环路不包围电流时，B的环流值为零。
安培环路定理反映了磁场的基本规律。
和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
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A 0 J
2
A
2
S
B dS
S
0 J dS
C B dl 0 I
安培环路定律的积分形式
0 J
0 I B a 2r
证明： C B dl 0 I
y
左边圆柱 2 r1 B1 0 r12 J
0 r1 J B1 a1 2 右边圆柱
r1
O1
r2
d
O2
x
2 r2 B2 0 r22 J
0 r2 J B2 a 2 2
0 J d ay B B1 B2 2
电磁场理论基础第四章
这是由于 A1 满足库仑规范，而 A2 不满足库仑规范。
电磁场理论基础第四章
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ， d 2 a 。除两
圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流， 密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
解：
C
B dl 0 I
a 例5：半径为 的长圆柱面上有密度为 J S的面电流，分别求
下述两种情况下的圆柱内、外的磁感应强度。
电磁场理论基础第四章
⑴ 电流方向沿 a 方向； ⑵ 电流方向沿 az 方向。
在圆柱内、外， B 0 Bz B a 0 r
解： ⑴
B az Bz r
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
例4：两个半径为 a 的圆柱体，轴间距为 d ， d 2 a 。除两 圆柱重叠部分外，柱内有大小相等，方向相反的电流， 密度为 J ，求两圆柱重叠部分的磁感应强度。
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位 A1 a x cos y a y sinx 和 A2 a y sinx x sin y
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？
电磁场理论基础第四章
解：
1 1 a x cos y a y si n x J1 B1
第四章 恒定磁场
4.1 安培定理与磁感应强度 4.2 恒定磁场的散度和矢量磁位
4.3 恒定磁场的旋度
4.4 物质的磁化
4.5 恒定磁场的基本方程 4.6 标量磁位
4.7 边界条件
B A
B 0 J
安培环路定律的微分形式
2 A A
由此可知，磁场是一个与 ，z 和
r 无关的常量。
⑵
例2：判断矢量函数 B A y a x A x a y 是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。
电磁场理论基础第四章
例3：证明矢量磁位A1 a x cos y a y sinx 和 A2 a y sinx x sin y
a
bc
例题：计算电流面密度为 J S的
dB2
y
P
l
dl1
无限大的均匀电流平面 的磁场。 解：
B B
dB
dB1 d
dl2
c
l
B d l 0 I
o
a
x
b
2B l 0 J S l
B
0 J S
2
0 J S 在平面上方：B ax 2 0 J S 在平面下方： B ax 2
z
2 dz z r
0
l
R
r
Px, y, z
1、安培环路与磁力线重合
d
r
C
dl B
B
r
2
l
I
2、安培环路与磁力线不重合 3、安培环路不交链电流 B dl 0
C
M ( , , z )
C
C
4、安培环路与若干根电流交链
C
B dl 0 I k
0
0 0
1 1 a x cos y a y si n x J2 B2
0
2 A1 a x cos y a y sinx 2 2 A2 a y sinx x sin y
2
ห้องสมุดไป่ตู้
a x cos y a y sinx 0 J1 a y sinx x sin y 0 J 2
给出相同的磁感应强度，并证明它们得自相同的电流分布。
它们是否满足矢量泊松方程，为什么？ ax ay az 解： B1 A1 x y z az cos x sin y cos y si n x 0 ax ay az a z cos x sin y B2 A2 x y z 0 si n x x si n y 0 显然，两者的磁场相同。
例题：求无限长同轴线 各处的磁感应强度。
b
c a
0 Ir B a 2 2 a 0 I B a 2 r
ra arb
z
r
0 I r 2 b 2 B 1 2 2 a 2 r c b
B0 cr
br c
Br
0 I 2a 0 I 2b
真空中恒定磁场的计算：
一、磁感应强度的计算
电磁场理论基础第二章
1、直接应用磁感应强度的计算公式。
2、应用安培环路定理。
3、由矢量磁位的旋度求。 二、矢量磁位的计算
1、直接应用矢量磁位的计算公式。
2、求解矢量磁位的泊松方程或拉普拉斯方程。 三、电流的计算 四、磁通量的计算 五、力的计算
例2：判断矢量函数 B A y a x A x a y 是否可能是某区域
的磁感应强度?若是,求相应的电流分布。 解：
电磁场理论基础第四章
由 B 0 ，可知此矢量函数可以是某区域的
ax ay y Ax az z 0
磁感应强度。
1 1 J B
0
0
x Ay
2A az
0
例3：证明矢量磁位 A1 a x cos y a y sinx 和 A2 a y sinx x sin y