人教A版高中数学选修2-3课件：1.2.2《组合》PPT(新-).pptx

C m1 n

2Cnm
②
Cm n1

C m1 n

Cm n1

C m1 n1
（4）求 C91 C92 C99 的值 511
●思悟小结
1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.
43
P 4 3
34
C 4
33
P3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的
排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个
元素的组合数 C．nm
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 Anm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
（2）已知3A8n1 4A9n2 ,则n ___7___
C （3）
x 10

C 3x2 10
,
则x

___1_,或_5___
C （4） 97 99

C 98 99

C 99 100

__5_0_5_0 __
（5）求 C91 C92 C99 的值 511
例题解读
求证： 1 2 3 n 1 1 1
2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.
P27 习题1.2 10、 11
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的公式及其性质：
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？组合问题
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共
练习如图,在以AB为直径的半圆周上有异于
A,B的六个点C1, C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 ,AB上有异于 A, B的四个点D1 , D2 , D3 , D4,问 (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三
角形?
(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶
点,可作多少个四边形?
﹒ C3 ﹒ C2 ﹒ C1
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
概念理解思考一:aB与Ba是相同的排列还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同；２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
n!
评注：注意阶乘的变形形式：(n 1)! (n 1) n!
练习精选：证明下列等式：
（1） 1!2 2!33! n n! (n 1)!1
（2）Cn0

C1 n1

C2 n2

C m1 n m 1

C m1 nm
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
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1.2.2《组合》
教学目标
• 1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；
• 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 • 教学重点： • 理解组合的意义，掌握组合数的计算公式
情境创设
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
例3 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,
ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为
顶点,可以得到多少个三角形?
EN
A ·B·C· D· ·
O F· G· H· I· M
例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
（2）Cnm

n! m!(n m)!
作业P27习题1.2 2、 9
组合应用
【练习】
1.用m、n表示 Cnm
2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共有种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有种方法.
3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有种；
例1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？
小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
例2 从数字1,2,5,7中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和? 6个
(2)可以得到多少个不同的差? 12个
练习有不同的英文书5本,不同的中文书7本, 从中选出两本书.
(1)若其中一本为中文书,一本为英文书.
问共有多少种选法?
35种
(2)若不限条件,问共有多少种选法? 66种
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素中每次取出 2个元素,按照一定的顺序排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有种选法、又若其中6道必答，共有不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学参加某科课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？（1）无任何限制条件；（2）正、副班长必须入选；（3）正、副班长只有一人入选；（4）正、副班长都不入选；（5）正、副班长至少有一人入选；（5）正、副班长至多有一人入选；
因此：Cnm

Anm Amm

nn 1n 2n m 1
m!
这里m,n是自然数，且 mn，这个公式叫做组合
数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cmm
Ann
种方法
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；
解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
C61C52C33 60种方法．
d
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的组合数，用符号 Cn表m 示.
注意：
是Cn一m 个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素
的所有组合个数是:
C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出
Cnm

n! m!(n m)!
Cnm

Anm Amn

n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
组合数性质1：C
m n

C nm n
C C C C C 1 2：
m
n1
m
n
m 1 n
特别地：
0 n
n n
练习一
（1）C140 C73 A33 ____0______
2! 3! 4!
n!
n!
证明：因为 n! (n 1)! (n 1) (n 1)!
1 1 (n 1) (n 1)! n! n!
左边= 1 1 1 1 1 1 1 1
2! 2! 3! 3! 4!
(n 1)! n!
1 1 =左边，所以等式成立
Cnm

n! m!(n m)!
我们规定：Cn0
1.
例题分析
例1、计算：⑴ C74
⑵ C170
C A （3）已知：
3
n
2 n
，求n的值
⑴35
(2)120
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况. 解：（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
﹒C4 ﹒C5 ﹒C6
﹒﹒﹒ ﹒
A D1 D2 D3 D4
B
组合数的性质
（1）
Cnm

C nm n
C （2） m
C 96 99

C 97 99
的值
161700
（2）求满足
C x2 17

C2x 17
的x值
5或2
（3）求证：①
C m1 n2

C m1 n
解：（1）根据分步计数原理得到：

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人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合1》ppt课件

第一章
1.2
1.2.2
第1课时ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
3．从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组的组合数相同吗？为什么？ 4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组
m 合数 Cn ＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元
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组合数公式
思维导航 2．组合的本质是取出的 m 个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，因此这 m 个元素的全排列数只对应组合
m 数中的一个，由此你能得出求 Cn 的计算公式吗？你能不用列举
数数的方法求出前面 3 个问题中的票价种数、积的个数、线段条数吗？
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
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牛刀小试 1．C2 n＝10，则 n 的值为( A．10 C．3
[答案] B
) B．5 D．4
nn－1 [解析] 由题意得 2 ＝10，解得 n＝5 或 n＝－4(舍去)，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
2．从 9 名学生中选出 3名参加“希望英语”口语比赛，有
( )种不同选法．( A．504 C．84 [答案] C
[解析] 只需从 9 名学生中选出 3 名即可，从而有 C3 9＝ 9×8×7 ＝84 种选法． 3×2×1

高中数学人教A版选修2-3课件1.2.2 组合ppt版本

= C119 + C118 + ⋯ + C112 = 124. (3)原式 = C44 + C43 + C53 + ⋯ + C130
= C54 + C53 + C63 + ⋯ + C130 = C64 + C63 + ⋯ + C130 = C74 + C73 + C83 + C93 + C130 = C84 + C83 + C93 + C130
(4)规定每两人相互通话一次,5人共通了多少次电话? (5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)取出3个数字后,如果改变3个数字的顺序,会得到不同的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.
(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字之间的顺序,其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序无关,是组合问题.
活动,则至多有2名男运动员的选法有
.
解析:(1)第一步选男运动员有C41种选法,第二步选女运动员有C61
种选法.所以共有C41C61 = 24 种选法. (2)“至多有 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况.
①没有男运动员时,有C63种选法; ②有 1 名男运动员时,有C41C62种选法; ③有 2 名男运动员时,有C42C61种选法.
所以共有C63 + C41C62 + C42C61 = 20 + 60 + 36 = 116 种选法.
答案:(1)D (2)116种

人教版高中数学选修2-3课件：1.2.2 组合

所以 Cmn ＝Cnn－m. 性质 1 的应用：
n
8×7
(1)简化计算，当 m>2时，通常将计算 Cmn转化为计算 Cnn－m，如 C68＝C28＝2×1＝28.
(2)列等式，Cxn＝Cyn⇒x＝y 或 x＋y＝n，如 Cm7 ＝C72⇒m＝2 或 m＝5.
备课素材
2．性质 2 的证明：
n！
n！
因为 Cmn ＋Cmn －1＝m！（n－m）！＋（m－1）！[n－（m－1）]！＝
第一章
计数原理
1.2.2 组合
第1课时组合的概念及组合数公式
三维目标
1．知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题，能解决有限制条件的组合问题． 2．过程与方法了解组合数的意义，理解排列数A与组合数C之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算． 3．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．
的子集的个数是
()
A.4 B.5 C.7 D.8
[答案] (1)A
考点类析
(2)五个点中任何三点都不共线,则这
五个点可以连成
条线段;如
果是有向线段,共有
条.
[答案] (2)10 20
考点类析
(3)有10名教师,其中6名男教师,4名女教师.
①现要从中选2名去参加会议,
有 45 种不同的选法;
②现要从中选出男、女教师各
考点类析
例1 有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1名.选派5人外出比赛, 按下列要求各有多少种选派方法? (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)至少有1名队长参加; (4)既要有队长,又要有女运动员.

人教A版数学选修2-3全册课件第一章 1.2 1.2.2 第一课时组合与组合数公式精选ppt课件

[化解疑难] 1．取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质． 2．只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
组合数公式
[提出问题]
从 1,3,5,7 中任取两个数相除．问题 1：可以得到多少个不同的商？提示：A42＝4×3＝12 个不同的商．问题 2：如何用分步法求商的个数？提示：第 1 步，从这四个数中任取两个数，有 C24种方法；第 2 步，将每个组合中的两个数排列，有 A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为 C24A22.
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！＝7×71－0×m7！！m！，
(3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C26种，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C42种，根据分步乘法计数原理，共有 C26×C24＝ 62××51×42××31＝90 种不同的选法．
3.关注组合数中字母的取值范围
[典例] 已知：C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，求 m. [解] 依题意，m 的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}．因为m！55！－m！－m！66！－m！＝7×m1！0×77－！m！，化简得 m2 －23m＋42＝0，解得 m＝21 或 m＝2.因为 0≤m≤5，m∈N*，所以 m＝21 舍去，所以 m＝2.
[导入新知]

数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)

小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个例2 从数字中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差有不同的英文书5本不同的中文书不同的中文书7本练习有不同的英文书本,不同的中文书本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书一本为英文书若其中一本为中文书,一本为英文书若其中一本为中文书一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件问共有多少种选法若不限条件,问共有多少种选法若不限条件问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有写出从组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步排列数，可以分为以下步：先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个第1步，先求出从这个不同元素中取出个 m 元素的组合数 C． n 2步求每一个组合中m个元素的全排列数第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：

人教A版高中数学选修2-3课件 1.2.2组合(一)课件2

3．已知 C2x009＝C92009，则 x＝________.
[答案] 9或2000.
4．计算 C28＋C38＋C29＝________. [答案] 120 [解析] 由组合数性质知 Cmn ＋Cmn －1＝Cmn＋1， ∴C28＋C38＋C29＝C39＋C29＝C310＝130××29××18＝120.
重点：组合的概念与组合数公式．难点：组合数公式及组合数性质的应用．
组合的概念
思维导航
1．前边我们曾经讨论过三个城市之间直达航线的机票种数问题，机票种数与票价种数一样吗？
2．从2、3、5、7四个不同的数中任取两个数相乘或相除，所得积与商的个数相同吗？它们是排列吗？
3．A、B、C、D四个点中任意三个点不共线，从中任取两个点，以这两个点为端点的线段条数与以这两点中的一个为始点、另一个为终点的有向线段条数相同吗？它们是排列吗？上述三个问题有何共同点？
由此可知，定序问题属组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n 个元素属于组合问题．
(1)已知a、b、c、d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合；
(2)已知A、B、C、D、E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．
(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，即
3．从 5 本不同书中取出 2 本并成一组和取出 3 本并成一组的组合数相同吗？为什么？
4．从含有元素 a 的 n＋1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 Cnm＋1，可以分成两类：一类不含元素 a，从剩余的 n 个元素中选 m 个的组合数为 Cmn ；另一类含有元素 a，只要从其余的 n 个元素中选 m－1 个，其组合数为 Cmn －1，由分类计数原理可以得出 Cnm＋1与 Cmn 和 Cmn －1的关系式，此式也可以用阶乘证明，你会吗？

人教A版高中数学选修2-3课件1.2.2《组合》课件(2)(新选修2-3)

已知
C
4 n
=
C
6 n
，求
C
9 n+
2
的值.
C9 n+2
=
C
9 12
=
C
3 12
=
220
例2
已知
C
2 n+
3
=
C2 n+1
+
C
2 n
+
C
1 n+
1(n
?
2)
求n的值.
n＝4
例3
计算：C
2 2
+
C
2 3
+
C
2 4
+
L
+
C
2 20
1330
例4 化简下列各式：
(1)
C
m n+
C
m n
1
-
C n- m+1 n C n- m n
+ 1)(n - m ) 2)L 2 ?1
可得什么结论？
C
m n
=
m+1 (n - m )
C
m n
+
1
思考4：由
C
m n
=
n-
m m
+
1 ?n(n - 1)(n - 2)L (n - m + (m - 1)(m - 2)L 2 ?1
2)
可得什么结论？
C
m n
=
n-
m m
+
1C
m n
-
1
理论迁移
例1
=
C
m n
+

高二数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 组合

=
C�� =左边,
故原式成立.
迁移应用
一二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
三、简单组合问题解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数. 在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.
种,从4名C女62教师中选2名的选法有种,根据分步乘法计数C原42理,共有选法
C62
×
C42
=
6×5 ×
2×1
42××31=90(种).
一二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
A.360
B.520
C.600
D.720
答案:C
解析:分两类:第1类,甲、乙中只有一人参加,则有
=2×10×24=480(种)选法.
C21 × C53 × A44
一二三四
知识精要
典题例解
【例1】判断下列问题是排列问题还是组合问题,并分别求出对应的方法数.
迁移应用
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?
答)

高中数学人教A版选修2-3课件：1.2.2组合

问题导学
当堂检测
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序,而区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.
问题导学
当堂检测
二、与组合数有关的计算与证明
问题导学
当堂检测
解:(1)是组合问题.由于 4 张票是相同的(都是当日动物园的门票), 不同的分配方法取决于从 5 人中选择哪 4 人,这和顺序无关.分配方法有
4 C5 =5 种.
(2)是排列问题,选出的 2 个数有角色差异(作分子与作分母).不同的分数有A2 5 =20 个. (3)是组合问题,选出的 4 人无角色差异,不需要排列他们的顺序.不
4 同的选法有C9 =126 种.
问题导学
当堂检测
迁移与应用 1.若已知集合 P={1,2,3,4,5,6},则集合 P 的子集中含有 3 个元素的子集数为 . 答案:20 解析:由于集合中的元素具有无序性,因此含 3 个元素的子集个数
3 与元素顺序无关,是组合问题,共有C6 =20 种.
2.中国、日本、韩国、朝鲜四国举行女足邀请赛,赛制采取单循环赛方式,请列举出所有各场比赛的双方. 解:单循环赛,指双方只赛一场, 因此所有各场比赛双方为中国——日本;中国——韩国; 中国——朝鲜;日本——韩国; 日本——朝鲜;韩国——朝鲜.
目标导航
预习导引
2.组合数、组合数公式 (1)组合数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合
�� 的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号C�� 表示. �� (2)组合数公式:C�� = 0 C�� =1.(m,n∈N*,且 m≤n)

人教a版数学【选修2-3】1.2.2《组合2》ppt课件

2 构成一个平行四边形，故共有 C2 C 8 10＝1 260(个)．
[答案] B
[解析] 至少 2 件次品包含两类： (1)
3 共 C2 3C197种，
2 件次品， 3 件正品，
2 (2)3 件次品，2 件正品，共 C3 C 3 197种， 3 3 2 由分类加法计数原理得抽法共有 C2 3C197＋C3C197，故选 B.
第一章
1.2
1.2.2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
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5．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共
10条，这两组平行线相互不平行． (1)它们共能构成________个平行四边形； (2)共有________个交点． [答案] 1 260 80
[解析]
(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能
3 ． (2013· 福州文博中学高二期末 ) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方式共有( A．4种 ) B．10种
C．18种
[答案] B
D．20种
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(4)辩证地看待“元素”与“位置” 排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时 “定元素选位置”，有时“定位置选元素”． (5)把实际问题抽象成组合模型

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