五年级下册数学讲义-奥数思维训练：5余数问题(无答案)全国通用
五年级奥数：余数问题
五年级奥数：余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
小学五年级逻辑思维学习—余数问题
⼩学五年级逻辑思维学习—余数问题⼩学五年级逻辑思维学习—余数问题知识定位余数问题是数论知识板块中另⼀个内容丰富，题⽬难度较⼤的知识体系，也是各⼤杯赛⼩升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学⽣来说⾮常重要。
许多孩⼦都接触过余数的有关问题，并有不少孩⼦说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三⼤余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应⽤。
知识梳理⼀、带余除法的定义及性质⼀般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上⾯的除法算式为⼀个带余除法算式。
这⾥：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0注：⼀个完美的带余除法讲解模型:如图，这是⼀堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本⼀捆打包，那么b就是除数的⾓⾊，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学⽣清晰的明⽩带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数⼀定要⽐除数⼩。
⼆、三⼤余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
=。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)除以5的余数等于313当余数的和⽐除数⼤时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学五年级逻辑思维学习—余数问题
小学五年级逻辑思维学习—余数问题知识定位余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识梳理一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0注：一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
⨯=。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(2316)⨯除以5的余数等于313当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
数学讲义(五年级奥数)
2 因数和倍数（2） 【题型概述】 今天， 我们学习因数的运用， 解决这种问题主要是根据问题的要求， 寻找因数的个数。 【典型例题】 29÷（ ）=( )· · · · · ·5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少种 不同的填法？ 思路点拨 根据有余数除法各部分之间的关系，可以知道除数与商的积是 29-5=24. 两个自然数相乘的积是 24 的有四种情况：1×24,2×12,3×8,4×6，再根据“除 数比余数大”可以知道除数只能是 24，12,8,6. 所以，共有 4 种不同的填法。 【举一反三】 1.37÷（ ）=（ ） · · · · · ·5，在括号内填上适当的数，使等式成立，共有多少 种不同的填法？
6. 有 50 张卡片，分别写着 1~50 这 50 个数，正反两面写的数字相同，卡片一面是 红，一面是蓝，某班有 50 名学生，老师把 50 张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌 子上，对同学说： “请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上 的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。 ”那么当每个学生 都翻完以后，红色朝上的卡片有几张？
4. 五个连续奇数的和是 35，这 5 个奇数中最大的一个是多少？
5. 有三个不同的自然数组成一个等式： ■+△+○=■×△-○ 这三个数中最多有多少个奇数？
4,奇数和偶数（2） 【题型概述】 奇数和偶数有一些有趣而常用的性质： 1. 奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数时相间排列的。 2. 偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的 和是偶数。 3. 奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数 偶数±奇数=奇数 4. 奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 运用这些性质可以解决很多问题。 【典型例题】
五年级奥数余数问题讲练PPT
验证：
两两作差求公因数，除数就是公因数
45÷1274＝＝2362‧‧‧‧‧‧‧‧‧3‧3‧1 59－45＝14
5599÷÷217＝4＝＝2849‧‧‧‧‧‧‧3‧31 101－59＝42 101÷1274＝＝51704 ‧‧‧‧‧‧‧313
14的因数有：1、2、7、14 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42
15×4－1＝59 59÷7＝8 ‧‧‧‧‧‧ 3 （不符合）
精炼1
（1）3356+7685+904除以13的余数是多少？
3356÷13＝258 ‧‧‧‧‧‧ 2 7685÷13＝591 ‧‧‧‧‧‧ 2 904÷13＝பைடு நூலகம்9 ‧‧‧‧‧‧ 7 2＋2＋7＝11 11＜13 答：3356+7685+904除以13的余数是11。
精炼1
（2）17×354×409×672除以13的余数是多少？
答：这个数可能是2、7或14。
精炼2
73、216、227被某个数b除余数相同，那么，108被这个数除的余数是多少？
216－73＝143
143的因数有：1、11、13、143
227－216＝11
11的因数有：1、11
108÷11＝9 ‧‧‧‧‧‧ 9
答：108被这个数除的余数是9。
例题3
一个大于1的数去除290、235、200时，得余数分别为a，a+2，a+5，则这个自然
17÷13＝1 ‧‧‧‧‧‧ 4
354÷13＝26 ‧‧‧‧‧‧ 6
409÷13＝31 ‧‧‧‧‧‧ 6 672÷13＝51 ‧‧‧‧‧‧ 9
4×6×6×9＝1296
1296＞13
1296÷13＝99 ‧‧‧‧‧‧ 9
五年级下册数学奥数学案-余数问题 苏教版
五年级下册数学奥数学案-余数问题苏教版一、导言在五年级下册的数学奥数学案中，余数问题是一个非常重要的内容。
掌握余数问题不仅能够帮助学生巩固对除法的理解，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
在本文档中，我们将针对苏教版五年级下册的数学奥数学案中的余数问题进行详细的介绍和讲解。
二、什么是余数在进行除法运算时，如果除数不能整除被除数，则会产生一个余数。
余数表示了除数除不尽被除数的部分。
在数学中，余数通常用符号“%”表示。
例如，对于除法算式15÷7，我们可以得到商为2，余数为1。
表达成数学式就是15÷7=2，余1。
三、如何计算余数在计算余数时，我们可以使用数学中的除法算法来进行计算。
下面以一个例子来进行说明：例子：计算1234÷19的余数。
首先，我们将除数19写在左边，被除数1234写在左上方，然后从左往右逐位进行计算：19---------1234第一步，我们将19除以1（个位上的数字），得到的商为1，余数为0。
然后将余数0写在个位上。
19---------1234接下来，我们将余数0和2（十位上的数字）组合成为02，然后将02÷19进行计算。
得到的商为0，余数为2。
19---------123402最后，我们将余数2和3（百位上的数字）组合成为23，然后将23÷19进行计算。
得到的商为1，余数为4。
19---------1234124所以，1234÷19的商为1，余数为4。
四、余数问题的应用除了进行基本的余数计算，我们还可以将余数问题应用到其他数学问题中。
下面通过一些例子来说明：例子1：小明买糖果小明有27元，他想买一些糖果。
每颗糖果的价钱是3元。
小明想知道他能买多少颗糖果以及还剩下多少钱。
解答：首先，我们可以通过27÷3计算出可以买的整颗糖果的数量，得到的商为9。
然后，我们可以通过27%3计算出剩下的钱，得到的余数为0。
所以，小明能够买到9颗糖果，剩下的钱为0元。
尾数和余数问题--五年级下册思维拓展(通用版)
小学五年级数学下册思维通用版尾数和余数问题习题及答案知识点总结：自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。
尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题【经典例题1】17×17×17×…×17积的尾数是几?109个17【思路分析】若干个自然数的积的尾数等于这若干个自然数尾数之积的尾数,102个17的连来积的尾数等于102个7的连乘积的尾数。
【本题解答】我们先列举前几个7的积,看看尾数在怎样变化,1个7的尾数就是7;7×7的尾数是9;7×7×7的尾数是3;7×7×7×7 的尾数是 1;......由此可见,积的尾数以7、9、3、1这四个数字循环出现,102÷4=25……2,说明 102个7相乘,积的尾数是 9,即 102 个17 相乘，积的尾数是 9。
【扩展训练】1.9×9×9×…×9×9积的末尾数字是几?2013个92. 3×3×3×…×3×3(2009个3相乘)的积的个位数字是多少？3. 2012 个2012 相乘的末位数字是。
A.2B.4C. 6D.8【经典例题2】一个两位数除723，余数是30,满足条件的两位数共有个,分别是。
【思路分析】由题意知:723÷□□=商……30,□□×商=723-30=693,把693分解质因数 693=3×3×7×11,因为除数□□比 30 大,满足条件的两位数 3×11=33,3×3×7=63,7×11=77,3×3×11=99。
【本题解答】723-30=693把693分解质因数:693=3×3×7×11满足条件的两位数:3×11=33,3×3×7=63,7×11=77,3×3×11=99。
五年级奥数归类详细讲解——余数问题
余数问题在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：（1）余数小于除数。
（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。
（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。
例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。
（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。
例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。
5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。
将5056分解质因数，得到5056=26×79。
由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。
例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。
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5、余数问题
知识讲解
一、消去余数
1、出示例1：把蛋糕和面包平均分给敬老院老人。
蛋糕230块面包345个
蛋糕分到最后余2块，面包分到最后还多3个，这些蛋糕和面包最多可以分给多少位老人？
这是一道求除数的问题，设除数a。
已知：230÷a=（） (2)
345÷a=（） (3)
如果消去余数，就转化为整除问题。
230－2=228，345－3=342。
228，342分别能被a整除，a最大是几呢？
（228，342）==114，最多可以分给114位老人。
如果这个敬老院的老人在50～60人之间，你能求出正确的人数和每位老人分到的蛋糕块数、面包个数吗？
2、写出除数和余数相同，被除数不同的出发算式。
（）÷5=4...2 （）÷8=（） (5)
（）÷5=7...2 （）÷8=（） (5)
（）÷5=12...2 （）÷8=（） (5)
（）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12)
（）÷12=（）...7 （）÷23=（） (12)
（1）说说你的发现。
22÷5=4…2 22－2=5×4
37÷5=7…2 37－2=5×7
62÷5=12…2 62－2=5×12
219÷23=9…12 357－12=23×9
357÷23=15…12 357－12=23×15
被除数和余数的差是除数的倍数。
37－22=5×3 357－219=138
62－22=5×8 138÷23=6
62－37=5×5
如果两个等式除数和余数相同，被除数之间的差是除数的倍数。
（2）你能再举一些这样的例子吗？
A：被除数分别是43和75，余数都是3，除数是多少？
B：被除数分别是75、51和111，余数相同，除数是多少？
问题A：因为被除数与余数的差是除数的倍数，因此除数必定是（43－3）和（75－3）的公因数。
（40，72）=8，其他的因数还有1，2，4。
1，2比余数3小，不可能是除数，因此除数是4或8。
问题B：因为被除数之间的差是除数的倍数，因此除数必定是（75－51），（111－51）的公因数。
（24，36，60）=12，其他公因数还有2，3，4，6。
75÷2=37…1，51÷2=25…1，111÷2=55…1。
如果除数都是2，那么余数是1。
75÷3=25，51÷3=17，111÷3=37。
如果都是3，那么余数是0。
75÷4=18…3，51÷4=12…3，111÷4=27…3，
75÷6=12…3，51÷6=8…3，111÷6=18…3。
如果除数都是4或6，那么余数是3。
3、巩固练习：
（1）、用一个数去除47，61，75，结果都余5。
这个数是几？
（2）、用一个数去除193余4，除1087则余7。
这个数是几？
（3）、69，90，125被一个数n除时，余数相同，试求n的最大值。
（4）59，97，135分别除以一个数所得余数都是2。
这个数是几？
（5）59，97，135分别除以一个数所得余数相同，这个数是几？
（6）、服装批发站把453件羊毛衫，627件衬衫，725件体恤衫平均分发到零售店，结果羊毛衫余3件，衬衫缺3件，体恤衫余5件。
零售店不到10个，究竟有多少个？
二、找被除数
1、例1：有一批苹果，如果6个装1袋余3个，如果8个装一袋也余3个。
这批苹果有多少个？（不超过100个）
这批苹果至少的个数：[6，8]+3=27。
这批苹果还可能有的个数是：
27＋24×1=51（个） 27＋24×2=75（个）
27＋24×3=99（个）
2、巩固练习
（1）一批数大约300到400本，如果每包12本还剩11本，每包18本还缺1本，每包15本剩下14本。
这批书有多少本？
（每包12本剩11本，每包15本剩14本，实际上是如果再多加1包就缺1本，与每包18本还缺1本的意思是一样的，因此，这批书的本数是300到400之间比12，15，18的公倍数少1的数。
（2）被除数和余数相同的除法算式，被除数、除数和余数之间有什么关系？
29÷6=4...5 53÷6=8 (5)
29÷8=3...5 53÷8=6 (5)
76÷6=12...4 99÷6=16 (3)
76÷8=9...4 99÷8=12 (3)
76－4=72 99－3=96
被除数和余数的差是除数的公倍数。
除数的公倍数加上余数是被除数。
（3）被除数相同的除法算式，除数分别是5，6，8，余数都是2，被除数最小是多少？被除数不超过800，还有哪些？。