1.有理数

一、正负数与有理数的分类1）有理数：整数与分数统称有理数2）有理数的分类注：①小学学过的π不是有理数．②“四非”：非负数，非负整数，非正数，非正整数．（不要丢掉“0”）.③“0”既不是正数也不是负数．④对于正负数的理解不能简单理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，3+里的“+”可以省略.字母可以代表任何数，却不含正负号.二、数轴、相反数、倒数1）数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.①数轴是条直线，可以向两方无限延伸.②数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、三者缺一不可.a. 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.b. 学会正确的画数轴，常见的错误：没有方向，没有原点，单位长度不统一等.③有理数与数轴的关系：a. 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.b. 在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.c. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.d. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.2）相反数是成对出现的，不能单独存在.相反数和为零. ① 3的相反数是3-，0的相反数还是0.② 字母也可以表示相反数，若0a b +=，则a 与b 互为相反数，反之也成立.③ 一个正数前面不管有多少个“+”号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“-”号，也可以把“-”号全部去掉；一个正数前面有奇数个“-”号，则化简后只保留一个“-”号，既“奇负偶正”.3）① 倒数：若1ab =，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则1ab =. 注：a. 0没有倒数；b. 求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数．② 负倒数：若a 与b 的乘积是1-，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则 1.ab =-三、有理数的大小比较1）数轴法：利用数轴比较有理数的大小，数轴右侧的数永远大于它左侧的数. 2）正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.四、绝对值的意义及其化简1）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .① a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． ② a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离.2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.3）绝对值的性质：① ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，② ()()00a a a a a ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩或()()00a a a a a >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩ 4）绝对值其他的重要性质：① 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥且a a ≥- 若a b =，则a b =或a b =-.② (),0aa ab a b b b b⋅=⋅=≠. ③ 222a a a ==.五、绝对值的非负性绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0,0,0a b c ===.一、用正负数表示具有相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 例如：用正数表示向北，那么向南3km 可以用负数表示为3km -.“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 【题干】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0C ︒表示没有温度．其中正确的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A【解析】①0不带“-”号，但是它不是正数．②0-带负号，但是它不是负数．③0既不是正数也不是负数．④0C ︒表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．综上所述，①②③④全部错误.【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意0这个特殊的数字，既不是正数也不是负数.【题干】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A 地出发，所走路程（单位：千米）为：8,6,2,+--4,5,2+-+，问：①他们________填：（有或没有）回到出发点，在A 地的正________方向，距A 地________千米．②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油________升.【答案】① 没有，南，1；② 40.5【解析】① 根据题意可得：南记为正，北记为负，则距A 的距离为()()()862++-+-()()()4521+++-++=+ 最后他们没有回到出发点，在A 地的正南方向，距A 地1千++-+-+++-++=；故从A地出发米.② 从A地出发，汽车共走了86245227⨯=（升）.到收工时耗油量为27 1.540.5【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.-米，实际上是（）【题干】飞机上升了80-米A．上升80米 B．下降80C．先上升80米，再下降80米 D．下降80米【答案】D-米，实际上是下降80米．【解析】负号表示与上升意义相反，即下降，则飞机上升了80【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．二、有理数概念和分类的考查1）正面分类需要注意：分数已经包括了有限小数和无限循环小数，分数里面没有可以化成无限不循环小数的.2）反面分类：目前接触到的数里，只有无限不循环小数和开方开不尽（初二会学到）的数是无理数，其他的都是有理数.【题干】下列说法中不正确的是（）-既是负数，分数，也是有理数A. 3.14B. 0既不是正数，也不是负数，但是整数-既是负数，也是整数，但不是有理数C. 2000D. 0是正数和负数的分界【答案】C-是负数，分数，是有理数，故A正确；B. 0既不是正数也不是负数，【解析】A. 3.14-是负数，是整数，是有理数，故C错误；D. 0是正数0是有理数，故B正确；C. 2000和负数的分界，故D正确.【点评】【题干】下列说法不正确的是（）A. 存在最小的自然数B. 存在最小的正有理数C. 不存在最大的正有理数D.存在最大的负有理数 【答案】B【解析】根据有理数的分类可知A 、C 、D 选项正确B 错误，而最小的自然数是0. 【点评】【题干】下列数中：322215,,,5,3.8,2,23%,0.420,|0.05|,873π------，负有理数有________，分数有________.【答案】32,5,2,|0.05|83-----；3222,,2,23%,0.420,|0.05|873---- 【解析】负有理数：32,5,2,|0.05|83----- 分数：3222,,2,23%,0.420,873--|0.05|--.【点评】三、相反数、倒数和数轴【题干】下列说法正确的个数是（ ）① a 一定大于0；② a -一定是负数；③ m -的倒数一定是1m；④ ||1a --一定是负数；⑤ 若0ab =，则a ，b 均为O ；⑥ 若x y =，则x 与y 相等或互为相反数； ⑦ 若0x y +=，则x ，y 中至少有一个为0． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 【解析】 【点评】【题干】a -的相反数为5，b 的倒数是c ，c 的负倒数是2，有理数d 在数轴上的对应点到原点的距离为3，求()32a b d c ---的值．【答案】198. 【解析】根据题意得：5a =，2b =-，12c =-，3d =或3-，当3d =时，原式()1110231588⎛⎫=-----= ⎪⎝⎭；当3d =-时，原式()111023988⎛⎫=--+--= ⎪⎝⎭【点评】【题干】数轴上的点A 、B 、C 分别对应的数为0、1-、x ，点C 与点A 的距离大于点C 与点B 的距离，则（ ）A. 0x >B. 1x >-C. 12x <- D. 1x <- 【答案】C【解析】如图：∵C 与A 的距离大于C 与B 的距离，故12x <-.【点评】四、绝对值及其性质绝对值表示一个数和零之间的差值（或距离），它是一个正直，在具体题目中常常要判断一个是大于零还是小于零的，常见的表示一个字母是大于零的等价式子有： ① a 不为零，且a a = 0a >，a =-0a <.② 0ab <，且a > 0a >，0b <.③ c c -=c =0c >.④1m m m =⇒大于0，1mm m=-⇒小于0. 【题干】同学们都知道，()52--表示5与2-之差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： ① 求()52--=_______ .② 找出所有符合条件的整数，使得527x x ++-=这样的整数是________.③ 由以上探索猜想对于任何有理数x ，36x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【答案】①7；②5,4,3,2,1,0,1,2-----；③有，最小值为3.【解析】①原式527=+=；②令50x +=或20x -=时，则5x =-或2x =， 当5x <-时，∴()()527x x -+--=，527x x ---+=，5x =（范围内不成立），当52x -<<时，∴()()527x x ++-=，527x x +-+=，77=，∴4,3,2,1,0,1x =----，当2x >时，∴()()527x x ++-=，527x x ++-=，24x =，2x =，2x =（范围内不成立）. ∴综上所述，符合条件的整数x 有：5,4,3,2,1,0,1,2-----；③由②的探索思想，对于任何有理数x ，36x x -+-有最小值为3. 【点评】【题干】设,,a b c 都是实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么化简a b a c +-的值为（ ）A. 2c b -B. 2b a -C. bD. b -所以原式 【答案】C【解析】由已知得0,0,0a b c ≤≤≥，所以原式()()()b a bc b c a =-++--+-b a b c b c a b =-++-++-=.【点评】【题干】若有理数,,m n p 满足1m n p m n p++=，则23mnpmnp =________. 【答案】23-【解析】有理数,,m n p 满足1m n p m n p++=，所以,,0m n p ≠；根据绝对值的性质：①当0,0,0m n p >><时，原式1111=+-=，则2233mnp mnp =-；② 当0,0,0m n p ><>时，原式111=1=-+，则2233mnp mnp =-；③ 当0,0,0m n p <>>时，原式1111=-++=，则2233mnp mnp =-.【点评】五、利用绝对值的非负性解题0a ≥，a 为任意值都满足这一条性质，这就是绝对值的非负性.另：平方数也是非负数.【题干】已知2ab -与1b -互为相反数，试求代数式()()1111ab a b ++⨯+()()()()112220122012a b a b ++++⨯++⨯+()()120122012a b ++⨯+的值．【答案】20132014【解析】根据题意得：210ab b -+-=.解得：2,1a b ==，则原式111223=+⨯⨯ 1111111201311201320142232013201420142014++=-+-++-=-=⨯. 【点评】【题干】已知()255a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =________. 【答案】19-【解析】由210a b --=知：210a b --=，∴21b a =-，∴()255a b b b +++=+可以简化为：()2312424a a a -++=+，① 当240a +>即2a >-时，310a -=所以13a =，② 当240a +<即2a <-时，()()2231243124a a a a -++=---24a =+，∴291070a a --=，解得a =a =2a <-不符，这种情况不存在.综上可知：13a =，13b =-，∴19ab =-. 【点评】【题干】已知()2120x y x +++=，则yx =_________.【答案】1【解析】绝对值与平方项均恒非负，两者之和0=，两者分别0=，10x +=，1x =-；20y x +=，()2212y x =-=--=；()211y x =-=.【点评】六、比较有理数大小的常用方法1）代数法：正数大于非正数，零大于一切负数． 2）数轴法：数轴右边的数比左边的数大.3）绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小．4）特殊值法：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小． 【题干】三个有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则（ ）A.111c a c b a b >>--- B. 111b c c a b a >>--- C.111c a b a b c >>--- D. 111a b a c b c>>--- 【答案】B【解析】由图可见c b a <<.所以0,0a b a c b c a c <-<-<-<-，由此110a c a b <<-- ①，110a c b c <<--②，由①得：110c a b a >>--③，由10a b>-及④可知应排除A ，故A 错误；由③和②得：B 正确；由10b c>-及③可知应排除C ，故C 错误；由②得：110c a c b>>--④，由②知，应排除D ，故D 错误. 【点评】【题干】已知10a -<<，试将a ，a -，2a ，1a按从小到大的顺序排列. 【答案】21a a a a<<<- 【解析】假设12a =-；21111,,,2224a a a a =--===-；∴21a a a a<<<- 【点评】【题干】设0a b c >>>，1,,,b c a c a ba b c m n p a b c+++++====，则,,m n p 之间的关系为（ ）A ．m p n >>B ．n p m >>C ．p m n >>D ．m p n >> 【答案】D【解析】∵1a b c ++=，∴1,1,1b c a a c b a b c +=-+=-+=-，∴b c m a+=111a a a -==-+，111a c b n b b b +-===-+，111a b c p c c c+-===-+. ∵0a b c >>>，∴1110a c b >>>，∴111111a c b +>-+>-+，即m p n >>.【点评】七、初步理解分类讨论的思想（零点分段法）分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 【题干】化简：121x x --++ 【答案】见解析.【解析】①3x ≥，原式1213122x x x x x =--++=-++=-；②13x ≤<，原式121314x x x x =--++=-++=；③11x -≤<，原式121x x =--++()111122x x x x x =-+++=+++=+；④1x <-，原式()121x x =---+ ()()111122x x x x x =-+--=-+--=--.【点评】【题干】化简：2136x x x +--+-. 【答案】见解析.【解析】∵由210x +=、30x -=、60x -=分别求得：1,3,62x x x =-==，当12x <-时，原式()()()213622x x x x =-++---=-+；当132x -<<时，原式()21x =+()()3624x x x +---=+；当36x ≤<时，原式()()213x x =+-- ()610x --=；当6x ≥时，原式()()()213622x x x x =+--+-=-；∴原式122,2124,3210,3622,6x x x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪+-≤<=⎨⎪≤<⎪⎪-≥⎩【点评】【题干】已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，求m n +的值．【答案】3或5或6或2 【解析】当20m -=时，1m n -=，∴2,1m n ==或3n =，∴3m n +=或5.当21m -=时，0m n -=，∴3m =或1n =，n m =，∴6m n +=或2.综上，3m n +=，或5，或6，或2.【点评】八、体会数形结合思想数形结合思想是一种重要的数学方法，数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，本章中的“数”就是有理数，“形”就是数轴，由于任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，就把数和形巧妙的结合起来了，数轴是数形结合常用的工具，运用数形结合思想可解决与数轴有关的各种问题.【题干】（2013湖北省咸宁市1）在数轴上，点A （表示整数a ）在原点的左侧，点B （表示整数b ）在原点的右侧．若2013a b -=，且2AO BO =，则a b +的值为________．【答案】671-【解析】如图，0a b <<. ∵2013a b -=，且2AO BO =，∴2013b a -=①，2a b =-②，由①②，解得671b =，∴2671a b b b b +=-+=-=-.【点评】【题干】数,a b 在数轴上对应的点如右图所示，化简a b b a b a a ++-+--.【答案】见解析.【解析】0,0,0,0a b a b b a <>+<->，所以原式a b b a b a a=--+-+-+2222a b a a b a b =-+-=-++=.【点评】【题干】如图所示，若点A 是有理数a 在数轴上对应的点，则关于a 、a -、1的大小关系正确的是（ ）A. 1a a <<-B. 1a a <-<C. 1a a <-<D. 1a a -<<【答案】A【解析】∵实数a 在数轴上原点的左边，∴0a <，但1,1a a >->，则有1a a <<-.【点评】。