多项式除以多项式
多项式除多项式除法长除法
多项式除多项式除法长除法介绍多项式除法是数学中的一个重要概念，它用于将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
多项式除法长除法是一种常用的计算方法，用于解决多项式除法问题。
本文将详细介绍多项式除法长除法的步骤和原理，以及如何应用它来解决实际问题。
多项式除法的定义多项式除法是指将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数的过程。
在多项式除法中，被除数是一个多项式，除数是另一个多项式。
多项式是由若干项组成的代数表达式，每一项包含一个系数和一个指数。
多项式除法长除法的步骤多项式除法长除法是一种逐步计算的方法，通过逐步减少被除数的次数，最终得到商和余数。
下面是多项式除法长除法的步骤：1.将被除数和除数按照指数的降序排列。
2.将被除数的最高次项与除数的最高次项进行除法运算，得到商的最高次项。
3.将得到的商的最高次项与除数相乘，得到一个新的多项式。
4.将新的多项式与被除数进行减法运算，得到一个新的被除数。
5.重复步骤2至步骤4，直到新的被除数的次数小于除数的次数。
6.此时，新的被除数即为余数，所有得到的商的系数按照降序排列，即为最终的商。
多项式除法长除法的原理多项式除法长除法的原理基于整数除法的原理。
在整数除法中，我们将被除数除以除数，得到商和余数。
同样，在多项式除法长除法中，我们将被除数除以除数，得到多项式的商和余数。
多项式除法长除法的步骤是逐步减少被除数的次数，每一步都相当于一次整数除法运算。
通过多次整数除法运算，我们可以得到多项式的商和余数。
多项式除法长除法的应用多项式除法长除法在数学和工程领域有广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1.多项式求导：通过多项式除法长除法，我们可以求得多项式的导数。
将多项式除以x的幂，得到导数的多项式。
2.多项式插值：通过多项式除法长除法，我们可以将已知点的坐标插值为一个多项式。
将已知点的坐标作为被除数，插值多项式的系数作为除数，进行多项式除法长除法运算，得到插值多项式的系数。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算(X2+9X +20)4-(X +4)规范解法x+5x+4 丿F+9X+20~5天+205x+20O'••• (x2+9x + 20) * (x + 4) = x + 5 ・解法步骤说明：(1) 先把被除式X2+9X + 20与除式x+4分别按字母的降幕排列好.(2) 将被除式X2+9A +20的第一项/除以除式x+4的第一项x, =这就是商的第一项.(3) 以商的第一项尤与除式兀+4相乘，得X2+4X.写在A-2+9X +20的下面.(4) 从X2+9X +20减去F+4X,得差5X+20,写在下面，就是彼除式去掉x2+4x后的一部分.(5) 再用5x + 20的第一项5x除以除式的第一项x,得5x*x = 5,这是商的第二项, 写在第一项x的后而，写成代数和的形式.(6) 以商式的第二项5与除式兀+4相乘，得5x + 20,写在上述的差5x + 20的下而.(7) 相减得差0,表示恰好能除尽.(8) 写出运算结果，(，+9尤+ 20)一匕+ 4) = _¥ + 5.例2 计算(6x5一9x4 + 7x2一20x + 3) *(2x2一x — 5)・规范解法3x「3;r'+ 6x-l2 宀x- 56x、-3x“-15十__________~-6/+15/+ 7x2-6f + 3F+15F ______12<- 8十-20工12八6F-30x- 2/+ x +59—2:.(6.v's — 9%4 + 7.v" — 20x + 3)-s-(2x~ — x —5)注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数. 另外，以上两例还可用分离系数法求解.如例2.3 - 3 + 6 ・ 12-1-5 丿6・9+ 0+7 ・ 20 + 36 ・ 3 - 15 __________ ••• （6x 5 一 9x 4 + lx 1 一 20x + 3）令（2x 2 一 x — 5）-6+15+7 -6+3 +15 __________ ‘ 12 - 8 - 20 = 3.V —3x~+6x — 1 ...... •……… ................. 余 12 - 6- 30-2 + 10 + 3 9x _ 2 ・_&什么是综合除法？ 9 - 2由前而的问题4我们知道两个多项式相除可以用 竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊.如：计郭(2x ，+3x — 4)令(x —3)・因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）・还可以再简化・方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写•再注意到，因 除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略.如果再 把代数和中的“ + ”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形 式： -3 2 0 3 -4 :二6 尹二63(-G 21 59 • • ■3 2 0 3 -4 6 18 63 (+将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4）,再将算式（4）中的除数一3换成它的 相反数3,减法就化为了加法，于是得到算式（5）.其中最下而一行前三个数是商式的系数, 末尾一个数是余数.多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1. 例1用综合除法求X 4-3X 3+3X 2-3X + 12除以兀-1的商式和余式.2 6 21 59(3) (4) (5)= 3x 3 -3x 2 +6x-l ..................... 余9x —2・⑴ M+ 6x+21x-3丿2x'+ 0 十 3x- 42 八 6x?6F 十 6宀 18x 2lx- 4 2*63 59" ⑵ 2+6+21 I «3J2 + 0 + 3 - 4 ②- 6 登-18 21-4 丸-63 592 6 21 59 -3/2 0 3-4 7 -6 -18 -63规范解法1-3 3-3 121-21-21-2 1-2 10/.商式=A? -2x2 +x-2 ,余式=10.例2用综合除法证明2疋-15疋+10疋- 9能被x+3整除规范证法这里x + 3 = x-（-3）,所以综合除法中的除数应是一3・（注意被除式按降幕排列.缺项补0.）2 0 -15 10 0 一9-6 18 -9 一3 92 —63 1 —3 0因余数是0,所以2云一15疋+ 10疋_9能被x+3整除.当除式为一次式，而一次项系数不是1时.需要把它变成1以后才能用综合除法…例3求2/+X-7除以Zv + 1的商式和余数.规范解法把2“除以2,化为叫，用综合除法.i 3 3即2宀一3除以22的商式"丐巧，余数仍为巧.3但是,商式H 2工—X ----- >2 当除以2才是所求的商式：余数没有变..1 3 3•••商式丄兀+二，余数=_7二.2 4 4为什么余数不变呢？我们用下而的方法验证一下.1 3这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应3用2X3+X-7除以兀+―,得商式2X2-X +-,余数为一7-,即2 2 4=（22）（宀卜+扌。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除法是数学中的一种计算方法，用于将一个多项式除以另一个多项式，并得到商式和余式。
本文将介绍多项式除法的基本概念、步骤和示例，并探讨在实际问题中如何应用多项式除法。
1.多项式的基本概念：多项式是由数与变量的乘积相加而成的表达式。
它通常写成形如f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0的形式。
其中，a_n到a_0是多项式的系数，x是多项式的未知数，而n是多项式的次数。
多项式可以表示为单项式的和，而单项式是只有一个项的多项式。
2.多项式除法的步骤：多项式除法的基本步骤可以归纳为以下四个部分。
（1）确定除式和被除式：首先，要确定需要进行除法运算的多项式中的除式和被除式。
被除式是需要被除以的多项式，而除式是用来除以被除式的多项式。
（2）确定商的项数：接下来，需要确定商式的项数。
商式的项数应该比被除式的项数少一个，因为除法运算的结果通常包含一个余式。
（3）进行除法运算：按照一般的除法步骤，从左到右依次进行多项式的除法运算。
首先，将被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项。
然后，将商式的第一项乘以除式，并将结果减去被除式的第一项。
这个结果成为一个新的被除式，然后继续用这个新的被除式进行下一步的除法运算。
重复这个过程，直到无法再进行除法运算为止。
（4）确定余式：当无法再进行除法运算时，最后得到的结果即为余式。
余式是多项式除法的结果，它是除不尽的部分。
3.多项式除法的示例：为了更好地理解多项式除法，我们来看一个具体的例子。
假设有以下的多项式需要进行除法运算：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1我们按照多项式除法的步骤，进行以下计算。
（1）确定除式和被除式：被除式：f(x)=2x^3-4x^2+3x+9除式：g(x)=x-1（2）确定商的项数：被除式有三项，所以商式应有两项。
（3）进行除法运算：a)将被除式的第一项除以除式的第一项：(2x^3)/(x)=2x^2b)将商式的第一项乘以除式，并减去被除式的第一项：(2x^2)(x-1)=2x^3-2x^22x^3-2x^2-(2x^3-4x^2)=2x^3-2x^2-2x^3+4x^2=2x^2+4x^2=6x^2c)得到新的被除式：6x^2+3x+9d)重复上述步骤，直到无法再进行除法运算：(6x^2)/(x)=6x(6x)(x-1)=6x^2-6x6x^2-6x-(6x^2+3x)=6x^2-6x-6x^2-3x=-9x最后得到的余式为-9x。
多项式除以多项式——长除法
与因式分解的关系
验算
例1：(5x2 2x3 1) (1 2x)
注意：被除式按x降幂排列时如有缺 项，要留出空位，也可以采用加零的 办法补足缺项
例2 : (a4 40b4 5a3b 22ab3) (a2 4b2 3ab)
例3：2x2 4x 4除2x4 5x3 x2 2的商
练习
1.求x5 y5除以x y的商 2.(a3 b3 4a2b 2ab2 ) (a b)
例4.(2x4 3x3 10x2 13x 27) (x2 2x 3)
注意：当余式不是零而次数低于除式的次数 时，除法演算就不能继续进行，这说明除式 不能整除被除式
被除式=除式×商式+余式
验算
多项式除以多项式的法则如下：
1.多项式除以多项式，先把被除式、除式都按某 一字母的降幂排列（被除式有缺项要留出空位 或加0）
多项式除以多项式
长除法
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都 按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多
位数相除的演算方法，用竖式进行演算
如：(10x x2 4 6x3) (2x 1)
按降幂排列：（6x3 x2 10x 4） (2x 1)
被除式=除式×商式+余式
注意：1.余式为0或次数低于除式的多项式 2.如果余式为0，那么除式能整除被除式
2.用除式的第一项除被除式的第一项，得商式的 第一项
3.用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下 面（同类项对齐），从被除式减去这个积，得 第一余式
4.把所得余式当作新的被除式，再按上面的方法 继续演算直到余式为0或者余式的次数低于除式 的次数为止。
1.(2x3 9x2 3x 5) (x2 4x 3) 2.(3x4 13x3 x) (x2 4x 3) 3.(2x5 10x 15 7x3 6x4 ) (x2 4 3x) 4.(x4 3x3 2x2 1) (x2 1) 5.(8x4 6x3 13x2 4) (2x2 x 2) 6.(10xy2 7x2 y 2x3 10 y3) (x 2 y)
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数． 另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行，和x 无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1． 例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算（一）多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似，现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x 规范解法∴.5)4()209(2+=+÷++x x x x 解法步骤说明：（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+，写在2092++x x 的下面．（4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面，就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘，得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．（7）相减得差0，表示恰好能除尽．（8）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x 例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ． 规范解法∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．注①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出；②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴)52()320796(2245--÷+-+-xxxxxx163323-+-=xxx……………………………余29-x．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式，而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+xxx．因为除法只对系数进行，和x无关，于是算式（1）就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2）就简化成了算式（30的形式：将算式（3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式，而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．． 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数． 规范解法 把12+x 除以2，化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2，被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式；余数没有变．∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=．为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ，余数仍为437-．。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式的运算是一种基本的数学运算，其步骤与一般的除法类似，只不过这里的除数和被除数都是多项式。
具体步骤如下：首先，我们需要理解多项式。
多项式是包含多个项的数学表达式，每个项都由一个系数和一个变量的幂组成。
例如， 3x2+2x−5 是一个多项式，其中 3x2、2x 和−5 是它的项。
在多项式除以多项式的运算中，我们首先要确定一个除数多项式和一个被除数多项式。
例如，我们选择 3x2+2x−5 作为被除数，选择 x2−3x+2 作为除数。
接下来，进行以下步骤：1.确定可以相除的项：只有当被除数的每一项都能被除数的每一项整除时，才能进行多项式除以多项式的运算。
在这个例子中，被除数的每一项都能被除数的每一项整除。
2.计算商的系数：这是被除数每一项与除数每一相应项的系数相除的结果。
例如，(3x2)÷(x2)=3，因为 3 是 3x2 的系数， x2 是 x2 的系数。
类似地，(2x)÷(x)=2 和(5)÷(1)=5。
将这些结果相加，得到 3+2+5=10，因此，商是 10。
3.计算余数：将商乘以除数，得到结果后减去被除数，得到余数。
在这个例子中，余数是 (10(x2−3x+2))−(3x2+2x−5)=4x−13。
最后，商和余数共同构成了多项式除以多项式的结果。
在这个例子中，结果是10+(4x−13)=4x−3。
需要注意的是，多项式除以多项式的运算和普通除法有一个主要区别：在多项式除法中，余数可以是任何形式的多项式，而不一定是常数。
而在普通的除法中，余数一般是常数。
另外，要注意在进行多项式除以多项式的运算时，我们要把每一个步骤都看作一个整体，然后对它们进行整理和简化。
在上述例子中，步骤是先计算商的系数，再计算余数，最后得到结果。
这些步骤并不是独立的，而是相互关联的。
在进行每一步时，我们都要考虑到下一步的需要和上一步的结果。
例如，在计算商的系数时，我们不仅要得到正确的结果，还要考虑到这个结果会对余数的计算产生影响。
如何进行多项式除以多项式的运算
如何进行多项式除以多项式的运算多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下：例1 计算)4()209(2+÷++x x x规范解法∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x解法步骤说明：(1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．（2）将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ,得x x x =÷2，这就是商的第一项．（3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘，得x x 42+,写在2092++x x 的下面．(4）从2092++x x 减去x x 42+，得差205+x ，写在下面,就是被除式去掉x x 42+后的一部分．（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面，写成代数和的形式．（6）以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ,写在上述的差205+x 的下面．(7)相减得差0，表示恰好能除尽．（8)写出运算结果,.5)4()209(2+=+÷++x x x x例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x ．规范解法∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数．另外，以上两例还可用分离系数法求解．如例2．∴ )52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．8．什么是综合除法？由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式,而且它的首项系数为1时，情况比较特殊．如：计算)3()432(3-÷-+x x x ．因为除法只对系数进行,和x 无关，于是算式（1)就可以简化成算式（2）．还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复，可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复，也可以省略．如果再把代数和中的“＋”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2)就简化成了算式(30的形式：将算式(3）改写成比较好看的形式得算式（4），再将算式（4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5）．其中最下面一行前三个数是商式的系数,末尾一个数是余数．多项式相除的这种算法，叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1．例1 用综合除法求12333234+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．规范解法∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10．例2 用综合除法证明910152235-+-x x x 能被3+x 整除．规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是－3．（注意被除式按降幂排列，缺项补0．）因余数是0，所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除．当除式为一次式,而一次项系数不是1时,需要把它变成1以后才能用综合除法．．例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．规范解法 把12+x 除以2,化为21+x ，用综合除法．但是，商式2322+-≠x x ，这是因为除式除以2,被除式没变，商式扩大了2倍，应当除以2才是所求的商式;余数没有变． ∴ 商式43212+-=x x ，余数437-=． 为什么余数不变呢？我们用下面的方法验证一下．用723-+x x 除以21+x ,得商式2322+-x x ，余数为437-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x x x x x ()4374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-=x x ,余数仍为437-．。
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情感态度与价值目标： 2.情感态度与价值目标： 情感态度与价值目标
( 1 )、通过师生观察、归纳、猜想、讨论、交流，培养学生合作探究 、通过师生观察、归纳、猜想、讨论、交流， 的意识和能力。 的意识和能力。 （2）、培养学生的创新意识和应用意识。 ）、培养学生的创新意识和应用意识。 培养学生的创新意识和应用意识 （3）、让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务，激 ）、让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务， 让学生感悟数学知识来源于现实生活又为现实生活服务 学生学习数学的兴趣和热情。 发 学生学习数学的兴趣和热情。
• 设计意图：数学教学论指出， 数学概念要明确其内涵和外延（条 设计意图：数学教学论指出， 数学概念要明确其内涵和外延（ 结论、应用范围等） 件、结论、应用范围等） ，通过对 单项式相除定义几个方面的 阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善， 阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生 的数学理解又一次突破思维的难点。 的数学理解又一次突破思维的难点。
• 小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认 小结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列， 知结构，完善知识体系的一种有效手段， 知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生 的主体地位， 的主体地位，让学生畅谈本节课的收获
当堂检测
对比反馈
• (1) 28x4y2÷7x3y ; • (2) -5a5b3c ÷ 15 a4b • (3) -21 x2y4 ÷ (- 3x2 y3)
布置作业， 布置作业，提高升华
以作业的巩固性和发展性为出发点， 以作业的巩固性和发展性为出发点，我设计了必做题和 选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈， 选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对 本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学， 本节课知识的一个延伸。总的设计意图是反馈教学，巩固 提高。 提高。
四、教学过程分析
• 复习旧知，温故知新 复习旧
设计意图：建构主义主张教学应从学生已有的知识体系出发， 设计意图：建构主义主张教学应从学生已有的知识体系出发，同底 数幂除法是本节课深入研究单项式相除的认知基础， 数幂除法是本节课深入研究单项式相除的认知基础，这样设计有利 于引导学生顺利地进入学习情境。 于引导学生顺利地进入学习情境。
作业布置， 作业布置，凝固新知
教材34页 教材34页 34 习题（ 习题（a ）1,2 ห้องสมุดไป่ตู้做题（ 选做题（ b） 2
谢谢！ 谢谢！
单项式除以单项式
李爱华
1、教材的地位和作用 、
本节教材是初中数学八年级上册的内容，是初中数学的重要内容之一。 本节教材是初中数学八年级上册的内容，是初中数学的重要内容之一。一 方面这是在学习了单项式定义,整数相除的基础上，对单项式相除的进一步深 方面这是在学习了单项式定义 整数相除的基础上， 整数相除的基础上 入和拓展；另一方面同底数幂相除等为本节知识奠定了基础， 入和拓展；另一方面同底数幂相除等为本节知识奠定了基础，本节内容又是 进一步研究多项式除以多项式的工具性内容。 进一步研究多项式除以多项式的工具性内容。因此本节课在教材中具有承上 启下的作用
2、学情分析 、
学生在此之前已经学习了整数相除，对已经有了初步的认识， 学生在此之前已经学习了整数相除，对已经有了初步的认识，这为 顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于单项式相除的计算,学 顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于单项式相除的计算 学 生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白， 生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分 析。
3、教学重难点 、
二教学目标分析
根据新课标的教学理念， 根据新课标的教学理念，培养学生的数学素养和终身学习的能力 我确立了三维目标： ，我确立了三维目标： 1.知识与技能目标： 知识与技能目标： 知识与技能目标 ）、理解单项式相除的运算法则 （1）、理解单项式相除的运算法则 ）、会进行简单的单项式相除的运算 （2）、会进行简单的单项式相除的运算
强化训练， 强化训练，巩固双基
• 设计意图：几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重， 设计意图：几道例题及练习题由浅入深、由易到难、各有侧重， 新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。 新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。 这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。 这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
发现问题， 发现问题，探求新知
• 设计意图：现代数学教学论指出，教学必须在学生自主探 设计意图：现代数学教学论指出， 经验归纳的基础上获得， 索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程 在这里， 观察分析、独立思考、 性，在这里，通过 观察分析、独立思考、小组交流 等 活动，引导学生归纳。 活动，引导学生归纳。
三
教学方法分析
本节课我将采用启发式、讨论式结合的教学方法， 本节课我将采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出 问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动， 、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考 和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题， 和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导 分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去思考、终结， 分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去思考、终结， 从真正意义上完成对知识的自我建构。 从真正意义上完成对知识的自我建构。
根据以往学过的知识回答下列问题
8a3÷2a
5x3y÷3xy ÷ 12a3b2x3÷3ab2
• 同时回答同底数幂除法，单 同时回答同底数幂除法， 项式定义
• 比较左右两个式子探索右边的 式子该怎样解决
创设情境， 创设情境，提出问题
设计意图：以学生原有知识出发给出不同于以往的算式 激 设计意图：以学生原有知识出发给出不同于以往的算式,激 发学生强烈的求知欲望， 发学生强烈的求知欲望，产生强劲的学习动力
探索新知（学生自己归纳总结） 探索新知（学生自己归纳总结）
• 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式； 于只在被除式里含有的字母， 于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一 个因式． 个因式．
分析思考， 分析思考，加深理解
巩固新知（师生共同探讨） 巩固新知（师生共同探讨）
• (1)(－x2y3)÷(3x2y); ÷ － • (2)(10a4b3)÷(5a3b); ÷ • (3) (－7xy2)÷(14xy); － ÷
归纳：商式＝系数 • 同底数幂 • 被除式里单独有的幂 归纳：商式＝
小结归纳， 小结归纳，拓展深化