《18.2 菱形的性质、菱形的判定》课件(含习题)
4 SOAB
1 2
AC
BD 200
3 346.4
m2
.
总结归纳
菱形的面积计算公式：
D
C
(1)S = a·h.
A
(2)S = S△ABD+S△BCD
hO aB
= AO·DB + CO·DB = AC·DB.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
当堂练习
1.填一填：根据右图填空
（1）已知菱形的周长是12cm，那么它
4.归纳结论 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性
质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
平行四边形的性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
典例精析
例1 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE
D
的度数是（ B ）
E
F
A.75° B.60° C.45°
C
D.30°
3.已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
A
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1) ∵四边形ABCD是菱形,
BE
D
∴∠AED=90°,
C ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积
于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD；
B
O
A
C
（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD; ∴AB = BC = CD =AD.
A
B
O
C
A
解：∵花坛ABCD是菱形，
AC BD，ABO 1 ABC 1 60 30.B
2
2
O
D
在RtOAB中，AO 1 AB 1 20 10m，
2
2
C
BO AB2 AO2 202 102 10 3 m，
AC 2AO 20m，
BD 2BO 20 3 34.64m.
∴S菱形ABCD
合作探究
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个 小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做 成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形?
平行四边形， 为什么？
猜想：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ，AC⊥BD.
2.发现菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线 BD).
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD). 菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分
一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BAC，∠BDCA=∠BCA).
O
A
C
D
3.证明菱形性质: 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交
课堂小结
定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的判定
判定 定理
1.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 2.四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明.
求证：四边形ADCE是菱形
A
【分析】根据垂直平分线的性质可 得AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90° .再结合
CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，
从而根据由一组对边平行且相等知， 四边形ADCE是平行四边形. 再结合 ∠AOD=90°可证得四边形ADCE B 为菱形．
MD
平行四边形
邻边相等
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱 形 就 在 我 们 身 边
感受生活
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问题: 菱形与平行四边形有什么关系？
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形.
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形．
A
D
O
E
B
C
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交
AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
例3 已知：如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在
AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2, 又∵AE=AC, ∴ △ACD≌ △AED (SAS).
A
21
F
E
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
C
D
B
∴CD=ED, CF=EF.
(5)菱形的面积为64平方厘米，两条对角线的比为1∶2 ,那么 菱形的边长为__8_厘__米__.
2.选择
(1)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ C）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
(2)在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
A
E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF B
交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA.
A
D
分析：要证EB＝OA，只
需证它们所在的三角形全
O
等，即△AOD≌△BEA.
B
EC
证明：∵四边形ABCD为菱形， A
D
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
O
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， B
OE N
C
证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
解: ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ OA 1 AC 3,OD 1 BD 4.
2
2
又∵ AD=5，满足 AD2 OA2 OD2
∴ △DAO是直角三角形. ∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC. ∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）
∴ AB=AD=5 .
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD. B
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
A
C
∴AB=CD , BC=AD.
D
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
定理 四条边相等的四边形是菱形.
练一练
下列命题中正确的是（ C ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
课堂小结
菱形的性质
1.四边相等
2.对角线互相垂直平分，且 每条对角线平分一组对角.
菱形的性质
有关计算
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对 角线乘积的一半
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形 第2课时 菱形的判定
学习目标
情境引入
1.理解并掌握菱形的两个判定定理.（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
导入新课 复习引入
问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？ B
A
C 思考：通过菱形的
定义我们可以确定
D
四边形是否为菱形， 那么还有其他的判
菱形的定义：有一组邻边相等的平行定四方边法形吗.？
菱形的性质：1. 轴对称图形.
2. 四边相等.
3. 对角线互相垂直平分，且每
条对角线平分一组对角.
讲授新课
一 菱形的判定定理1
EC
∴∠ABC=∠DAE，
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB，
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
二 菱形的面积公式
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°， 沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路 的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形,
B
O
A
C
∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分） D
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
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18.2.2菱形 菱形的判定课件(共29张PPT) 人教版数学八年级下册
成的四边形的什冬天么，时干啥候还希变望成别的菱呢！形?
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
已知：如小图山，在冬在天特▱A别可B爱C，D好中像是，把对济南角放在线一A个小C摇,B篮里D，相交于点O, 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖
G
C
和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看
∴∠A=∠B=∠C那=些∠小D山，=心9中0°便觉, 得A有D了=着B落C，，有A了B依=靠C。D他.们由天上
看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了H吧？
F
∵E，F，G，H分这点样幻别的想温不是暖能A，一B今时，天实夜现B里，C山他，草们C也也D许并就不，绿着A起急来，D了因的吧为中？有”这点就样，是慈这善
这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
四点条幻边想不都能相一时等实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
的冬天，干啥还希望别的呢！
两条对角线互相垂 直，并且每一条对
？
角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
我们大家
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
一起来尝试的一冬天下，干吧啥还!希望别的呢！
类比导入
图形 性质定理
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
新知探究
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
已知：如小图山，在冬在天特▱A别可B爱C，D好中像是，把对济南角放在线一A个小C摇,B篮里D，相交于点O, 它们全安静不动地低声地说：“你们放心吧，这儿准保暖
G
C
和。”真的，济南的人们在冬天是面上含笑的。他们一看
∴∠A=∠B=∠C那=些∠小D山，=心9中0°便觉, 得A有D了=着B落C，，有A了B依=靠C。D他.们由天上
看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了H吧？
F
∵E，F，G，H分这点样幻别的想温不是暖能A，一B今时，天实夜现B里，C山他，草们C也也D许并就不，绿着A起急来，D了因的吧为中？有”这点就样，是慈这善
这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
四点条幻边想不都能相一时等实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
的冬天，干啥还希望别的呢！
两条对角线互相垂 直，并且每一条对
？
角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一
小山整把济南围了个圈儿，只有北边缺着点口儿。这一圈
也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢? 看到山上，便不知不觉地想起：“明天也许就是春天了吧？ 这样的温暖，今天夜里山草也许就绿起来了吧？”就是这
我们大家
点幻想不能一时实现，他们也并不着急，因为有这样慈善
一起来尝试的一冬天下，干吧啥还!希望别的呢！
类比导入
图形 性质定理
《18.2 菱形的性质、菱形的判定》课件(含习题)
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
A 1
E
D
∵EF垂直平分AC，∴AO = OC .
O
又∠AOE =∠COF，
B
F
2
C
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
例2 如图，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8， AD = 5. 求AB的长.
OE N
C
证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC， ∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
平行四边形集合
平行四边形
菱形
菱形集合
归纳 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有 性质，但平行四边形不一定是菱形.
活动探究
1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： 问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？
4.归纳结论 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性
质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角.
平行四边形的性质 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分.
典例精析
例1 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE
菱形性质与判定课件ppt
面积计算
菱形面积的计算公式为
面积 = (对角线1 × 对角线2) / 2。由于菱形的对角线互相垂直且平分，因此可以使用此公式来计算面积。
另一种计算菱形面积的方法是
面积 = 底 × 高。在这里，底是菱形的一条边，高是从这条边到对角顶点的垂直距离。
周长计算
01
菱形的周长计算公式为：周长 = 4 × 边长。由于菱形的四条边都相等， 因此可以使用此公式来计算周长。
建筑学中的应用
建筑设计
菱形结构在建筑设计中常被用作装饰元素，如菱形窗格、菱形图案的墙面等，增加建筑物的美感和独特性。
空间划分
菱形地砖、菱形玻璃等可以用于室内空间划分，创造出独特视觉效果，同时起到引导人流、划分功能区域的作用。
工程学中的应用
结构工程
菱形结构具有较好的稳定性和承重能力，在桥梁、道路、隧道等工程建设中，菱形结构 常被用于增强结构的稳定性和承载能力。
邻边互相垂直且相等判定
邻边互相垂直
菱形的任意一组邻边互相垂直，因此 可以通过测量任意一组邻边的夹角是 否为90度来判断一个四边形是否为菱 形。
邻边长度相等
除了互相垂直外，菱形的任意一组邻 边的长度还相等。这也是菱形的一个 基本性质。
03
菱形与其他四边形的比较
与矩形的关系
01
02
03
边的性质
菱形的对边相等，与矩形 相同；但菱形的邻边也相 等，这是矩形不具备的性 质。
角度关系
两组对角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D；邻角互补，即∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°。
对角线性质
对角线互相垂直： AC⊥BD。
对角线长度关系：对 角线长度不一定相等 ，但满足 AC²+BD²=4AB²。
18.2.2菱形(菱形的判定)优秀课件
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
四边形
四条边都相等
菱形
平行四边形
今
日 课本P58练习第3 作 题，P60习题18.2 业 第6题。
ABCD，
∴OA=OC=4，
D
OB=OD=3。
∵AB=5，
A
O
C
∴ AB2=OA2+OB2。
∴∠AOB= 900
B
∴AC⊥BD。
（2）∵
ABCD，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
1.菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
平行四边形 一组邻边菱
形
的 性
角
质
菱形的两组对边平行 菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角。
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形。 数学语言：
证明： ∵ ABCD ，
O
D
∴OA=OC。
C
∵ AC ⊥ BD， ∴BA=BC。
∴ ABCD是菱形。
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形常用的判定方法
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.有四条边相等的四边形是菱形。
重叠部分ABCD的形状吗？
A
D
F
∟
B
EC
四边形
四条边都相等
菱形
平行四边形
今
日 课本P58练习第3 作 题，P60习题18.2 业 第6题。
ABCD，
∴OA=OC=4，
D
OB=OD=3。
∵AB=5，
A
O
C
∴ AB2=OA2+OB2。
∴∠AOB= 900
B
∴AC⊥BD。
（2）∵
ABCD，
AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等 的四边形是菱形；
1.菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
平行四边形 一组邻边菱
形
的 性
角
质
菱形的两组对边平行 菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
对角线
菱形的两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角。
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形叫 做菱形。 数学语言：
证明： ∵ ABCD ，
O
D
∴OA=OC。
C
∵ AC ⊥ BD， ∴BA=BC。
∴ ABCD是菱形。
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形常用的判定方法
1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 3.有四条边相等的四边形是菱形。
北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。
2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。
3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。
人教版八年级下册18.2.2 菱形 课件(共30张PPT)
D
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形， A
O
C
即AC⊥BD，
B
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
证明：连接AC、BD.
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
H
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点， B
G
C
E F G H 1B D ， F G E H 1A C ,
2
2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各
边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
解：连接AC、BD.
E
B
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
F
E F G H 1 2 B D ， F G E H 1 2A C , D
小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
B
∴AB=CD , BC=AD.
A
∴四边形ABCD是平行四边形.
C D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结 菱形的判定定理：
解：四边形EFGH是菱形.
1.菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定PPT课件(北师大版)
第2课时 菱形的判定
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变式训练 1.如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD 交CE于点F，FG∥AC交CD于点G. 求证：四边形ACGF是菱形． 证明：∵AF∥CD，FG∥AC， ∴四边形ACGF是平行四边形，∠2＝∠3， ∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3，∴AC＝AF， ∴四边形ACGF是菱形．
，
∠EOD＝∠FOB
∴△DOE≌△BOF(ASA)；∴OE＝OF，又∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
第2课时 菱形的判定
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3.将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°，得到Rt△ACE
（如图所示），点D与点F分别是斜边AB，AE的中点，连接
第2课时 菱形的判定
轻松过招
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E. 点F在DE的延长线上，且AF＝CE. 求证：四边形ACEF是菱形． 证明：∵AC⊥BC，DE垂直平分BC， ∴DE∥AC∴点E是BA中点，∴在Rt△ACB中，CE＝AE 又∵∠BAC＝60°，∴△ACE是等边三角形 ∴AC＝CE＝AE，又∵AF＝CE，∴AF＝AE 又∵DF∥AC，∴∠FEA＝∠CAE＝60° ∴△AEF为等边三角形，∴EF＝AF. ∴CE＝AC＝AF＝EF，∴四边形ACEF是菱形
第2课时 菱形的判定
轻松件是（ B ）
A. AC＝AD B．BA＝BC C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
第2课时 菱形的判定
轻松过招
2．（202X·宁夏）如1题图，四边形ABCD的两条对
角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不
18.2.2 菱形(第2课时)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
18.2特殊的平行四边形
18.2.2菱形
（第2课时）
你知道如何判别菱形吗？
提示……
D
菱形
平行四边形
四边形
？
A B
O
C
？
菱形
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形. （2）四条边都相等的四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定
定理:四条边都相等的四边形是菱形 已知:如图,在四边形ABCD中, D AB=BC=CD=DA.. A C 求证:四边形ABCD是菱形. 分析:利用菱形定义和两组对边分别相 B 等的四边形是平行四边形,可使问题得证. 证明: ∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形.. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
第2课时 菱形的判定
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.理解并掌握菱形的两个判定定理及其证明方法..（重点）
2.会运用菱形的判定进行相关的证明和计算.（难点） 3.经历探索菱形判定的过程，发展主动探索、研究的习惯.
回顾反思
类比猜想
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ．你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
菱形的 定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
D
A
菱形的 性质 C O 菱形的 判定
对角线互相垂直且平分每一组对角 菱形的四条边都相等
B
？
你的想法正确吗？ 如何证明你的猜想？
猜想1：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形. 猜想2：四边相等的四边形是菱形.
B A D C
（ 平行四边形 +边的特性 ） 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是矩形. （定义法） （ 平行四边形 +对角线的特性 ） 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是矩形. （ 四边形 +边的特性 ） 判定3：四条边相等的四边形是矩形.
矩形的 定义
A
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
具有平行四边形的所有性质
D
O B
矩形的 性质
C
对角线相等 四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的 判定
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
回顾反思
类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
平分线MN交AB于点D，交AC
A MD
于点O，CE∥AB交MN于点E，
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
学习目标
1.理解并掌握菱形的两个判定定理及其证明方法..（重点）
2.会运用菱形的判定进行相关的证明和计算.（难点） 3.经历探索菱形判定的过程，发展主动探索、研究的习惯.
回顾反思
类比猜想
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ．你 能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
菱形的 定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
具有平行四边形的所有性质
D
A
菱形的 性质 C O 菱形的 判定
对角线互相垂直且平分每一组对角 菱形的四条边都相等
B
？
你的想法正确吗？ 如何证明你的猜想？
猜想1：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形. 猜想2：四边相等的四边形是菱形.
B A D C
（ 平行四边形 +边的特性 ） 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是矩形. （定义法） （ 平行四边形 +对角线的特性 ） 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是矩形. （ 四边形 +边的特性 ） 判定3：四条边相等的四边形是矩形.
矩形的 定义
A
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
具有平行四边形的所有性质
D
O B
矩形的 性质
C
对角线相等 四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的 判定
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
回顾反思
类比猜想
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度 思考菱形的判定条件？
平分线MN交AB于点D，交AC
A MD
于点O，CE∥AB交MN于点E，
菱形及其性质课件
导引：因为DE∥FC，DF∥EC，所 以四边形DECF为平行四边 形，再根据有一组邻边相等 的平行四边形是菱形求证即 可．
知1－讲
解：四边形DECF是菱形．理由如下： ∵DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形DECF为平行四边形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC， ∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)．
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
知2－练
3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于( ) A．20 B．15 C．10 D．5
知识点 3 菱形的对角线的性质
知3－导
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？
知2－练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
归纳
知3－导
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以 下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.
知3－导
问题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.
知1－讲
解：四边形DECF是菱形．理由如下： ∵DE∥FC，DF∥EC， ∴四边形DECF为平行四边形． 由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC， ∴平行四边形DECF为菱形(有一组邻边相等的平 行四边形是菱形)．
之差为12时，AE的长为( )
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
知2－练
3 如图所示，在菱形ABCD中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对角线AC等于( ) A．20 B．15 C．10 D．5
知识点 3 菱形的对角线的性质
知3－导
思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的
所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行 四边形不具有的一些特殊性质呢？
知2－练
1 边长为3 cm的菱形的周长是( )
A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．15 cm
2 (2015·台州)如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，
F分别在
交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与
FH交于点O，当四边形AEOF与四边形CGOH的周长
菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?
归纳
知3－导
对于菱形，我们仍然从它的对角线等方面进行研 究.可以发现并证明(请你自己完成证明)，菱形还有以 下性质：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角.
知3－导
问题
菱形的面积如何计算呢？
菱形的面积有两种计算方法： 一种是底乘以高的积； 另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积 时，要灵活运用使计算简单.