专题 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)
专题 整式的乘除章末重难点题型
【北师大版】
【考点1 幂的基本运算】
【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n
m n
m
a
a a +=?（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 幂的乘方法则：mn
n
m a
a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：n
n
n
b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 同底数幂的除法法则：n
m n
m
a
a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【例1】（2019?黔东南州期中）下列运算正确的是（ ） A ．x 2+x 3＝x 5 B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6
C ．x 2?x 3＝x 6
D ．x 6÷x 2＝x 3
【变式1-1】（2019?蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）
A．3x3?2x2＝6x6B．（﹣x2y）2＝x4y
C．（2x2）3＝6x6D．x5÷x＝2x4
【变式1-2】（2019?淄博期中）下列运算正确的是（）
A．a2?a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【变式1-3】（2019春?成安县期中）下列运算正确的是（）
A．（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝﹣54a4b4
B．5x2?（3x3）2＝15x12
C．（﹣0.16）?（﹣10b2）3＝﹣b7
D．（2×10n）（×10n）＝102n
【考点2 因式分解的概念】
【方法点拨】因式分解：
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。
【例2】（2019春?莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
【变式2-1】（2019春?邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【变式2-2】（2019秋?西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣1＝x（x﹣）
【变式2-3】（2019春?瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1
【考点3 幂的混合运算】
【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.
【例3】（2019春?铜山区期中）计算：
（1）（y2）3÷y6?y
（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
【变式3-1】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
【变式3-2】（2019秋?资中县月考）计算：
（1）（m4）2+m5?m3+（﹣m）4?m4
（2）x6÷x3?x2+x3?（﹣x）2．
【变式3-3】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2
【考点4 幂的逆向运算】
【例4】（2019春?茂名期中）已知：x m＝4，x n＝8．
（1）求x2m的值；
（2）求x m+n的值；
（3）求x3m﹣2n的值．
【变式4-1】（2019春?天宁区校级期中）根据已知求值：
（1）已知a m＝2，a n＝5，求a m+n的值；
（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．
【变式4-2】（2019春?丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：
（1）50x的值；
（2）2x的值；
（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）
【变式4-3】（2019春?盐都区月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【考点5 整式化简求值】
【例5】（2018春?高新区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．
【变式5-1】（2018秋?南召县期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．
【变式5-2】（2019春?成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
【变式5-3】（2019春?青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；
（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．
【考点6 分解因式】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不
能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例6】（2019秋?惠民县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
（2）8ab﹣8b2﹣2a2．
【变式6-1】（2019春?娄底期中）因式分解：
（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
【变式6-2】（2018春?临清市期末）因式分解：
（1）3x2y﹣18xy2+27y3
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）
【变式6-3】（2019秋?和平区期末）分解因式：
（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【考点7 利用因式分解求值】
【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．
【变式7-1】（2019秋?崇明县期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．
【变式7-2】（2019秋?西城区校级期中）已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【变式7-3】利用分解因式求值．
（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．
（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．
【考点8 利用乘法公式求值】
【例8】（2019春?新津县校级月考）已知m﹣n＝3，mn＝2，求：
（1）（m+n）2的值；
（2）m2﹣5mn+n2的值．
【变式8-1】（2019春?杭州期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．
（1）求a2b﹣ab2的值；
（2）求a2+b2的值；
（3）求a+b的值．
【变式8-2】（2019春?邵东县期中）已知有理数m，n满足（m+n）2＝9，（m﹣n）2＝1，求下列各式的值．（1）mn；
（2）m2+n2﹣mn．
【变式8-3】（2019春?杭州期中）已知（a+b）2＝5，（a﹣b）2＝3，求下列式子的值：（1）a2+b2；
（2）6ab．
【考点9 因式分解探究题】
【例9】（2018秋?江汉区校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∵（m﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知：a﹣5b+2c＝20，4ab+8c2+20c+125＝0，直接写出a的值．
【变式9-1】（2017春?靖江市校级期中）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0．求m和n的值．
解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）＝（m+n）2+（n﹣3）2＝0
所以m+n＝0，n﹣3＝0即m＝﹣3．n＝3
问题：
（1）若x2+2xy+2y2﹣4y+4＝0，求xy的值．
（2）若a、b、c是△ABC的长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，c是△ABC中最长边的边长，且c为偶数，那么c可能是哪几个数？
【变式9-2】（2019春?上虞区期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：x3+3x2﹣4．
解答：把x＝1代入多项式x3+3x2﹣4，发现此多项式的值为0，由此确定多项式x3+3x2﹣4中有因式（x ﹣1），于是可设x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），分别求出m，n的值，再代入x3+3x2﹣4＝（x﹣1）（x2+mx+n），就容易分解多项式x3+3x2﹣4．这种分解因式的方法叫“试根法”．
（1）求上述式子中m，n的值；
（2）请你用“试根法”分解因式：x3+x2﹣16x﹣16．
【变式9-3】（2018秋?雨花区校级月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x
﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝．
（2）当a，b为何值时，多项式2a2+3b2﹣4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2﹣4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
【考点10 乘法公式探究题】
【例10】（2019春?东台市期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的面积为；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x?y＝，则x﹣y＝；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？．
【变式10-1】（2019春?牟定县校级期末）图（1）是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图（2）中阴影部分的正方形的边长等于多少？；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分面积．
方法一：；方法二：；
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，4mn．；
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．
【变式10-2】（2018春?怀远县期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图
2中阴影部分剪裁后拼成的一个长方形．
（1）设如图1中阴影部分面积为S1，如图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
【变式10-3】（2019春?槐荫区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形．用A种纸片﹣﹣张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填写到题中横线上）；
方法1；方法2．
（2）观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请你将该示意图画在答题卡上；
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝11，求ab的值；
②已知（x﹣2018）2+（x﹣2020）2＝34，求（x﹣2019）2的值．
【考点1 幂的基本运算】
【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n
m n
m
a
a a +=?（n m ,都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 幂的乘方法则：mn
n
m a
a =)(（n m ,都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：n
n
n
b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 同底数幂的除法法则：n
m n
m
a
a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【例1】（2019?黔东南州期中）下列运算正确的是（ ） A ．x 2+x 3＝x 5 B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6
C ．x 2?x 3＝x 6
D ．x 6÷x 2＝x 3
【分析】根据同类项的定义，幂的乘方以及积的乘方，同底数的幂的乘法与除法法则即可作出判断． 【答案】解：A 、不是同类项，不能合并，故选项错误； B 、正确；
C 、x 2?x 3＝x 5，故选项错误；
D 、x 6÷x 2＝x 4，故选项错误． 故选：B ．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
【变式1-1】（2019?蜀山区期中）下列运算中，正确的是（ ） A ．3x 3?2x 2＝6x 6 B ．（﹣x 2y ）2＝x 4y C ．（2x 2）3＝6x 6
D ．x 5÷x ＝2x 4
【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式的方法，逐项判定即可． 【答案】解：A 、3x 3?2x 2＝6x 5，故选项错误； B 、（﹣x 2y ）2＝x 4y 2，故选项错误； C 、（2x 2）3＝8x 6，故选项错误；
D、x5÷x＝2x4，故选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，解答此题的关键是熟练掌握整式的除法法则：（1）单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．（2）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
【变式1-2】（2019?淄博期中）下列运算正确的是（）
A．a2?a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
【答案】解：A、a2?a3＝a5，故A错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．【变式1-3】（2019春?成安县期中）下列运算正确的是（）
A．（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝﹣54a4b4
B．5x2?（3x3）2＝15x12
C．（﹣0.16）?（﹣10b2）3＝﹣b7
D．（2×10n）（×10n）＝102n
【分析】A、原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断．
【答案】解：A、（﹣2ab）?（﹣3ab）3＝（﹣2ab）?（﹣27a3b3）＝54a4b4，本选项错误；
B、5x2?（3x3）2＝5x2?（9x6）＝45x8，本选项错误；
C、（﹣0.16）?（﹣1000b6）＝160b6，本选项错误；
D、（2×10n）（×10n）＝102n，本选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了单项式乘单项式，以及积的乘方与幂的乘方，熟练掌握法则是解本题的关键．
【考点2 因式分解的概念】
【方法点拨】因式分解：
（4）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（5）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.
（6）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。
【例2】（2019春?莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2
B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）
C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z
D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
【分析】分别利用因式分解的定义分析得出答案．
【答案】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、（y+1）（y﹣3）≠（3﹣y）（y+1），不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+z，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式2-1】（2019春?邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【答案】解：因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
【变式2-2】（2019秋?西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2﹣1＝x（x﹣）
【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．
【答案】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），故B符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．
【变式2-3】（2019春?瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【答案】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【考点3 幂的混合运算】
【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.
【例3】（2019春?铜山区期中）计算：
（1）（y2）3÷y6?y
（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2
【分析】（1）先根据幂的乘方法则化简，再根据同底数幂的乘除法法则计算即可；
（2）先根据幂的乘方与积的乘方法则化简，再根据同底数幂的除法化简，然后合并同类项即可．【答案】解：（1）（y2）3÷y6?y＝y6÷y6?y＝y；
（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4．
【点睛】本题主要考查了幂的运算以及整式的加减，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．【变式3-1】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）x3?x5﹣（2x4）2+x10÷x2．
（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2?x2
【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．
【答案】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8
（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．
【变式3-2】（2019秋?资中县月考）计算：
（1）（m4）2+m5?m3+（﹣m）4?m4
（2）x6÷x3?x2+x3?（﹣x）2．
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝m8+m8+m8
＝3m8；
（2）原式＝x6﹣3+2+x3?x2
＝x5+x5
＝2x5．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．【变式3-3】（2019春?海陵区校级月考）计算
（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．
（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2
【分析】（1）直接利用负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【答案】解：（1）原式＝﹣1+1﹣3
＝﹣3；
（2）原式＝﹣8x6y3﹣4x6y2+6x6y3+2x6y2
＝﹣2x6y3﹣2x6y2．
【点睛】此题主要考查了实数运算以及积的乘方运算，正确化简各式是解题关键．【考点4 幂的逆向运算】
【例4】（2019春?茂名期中）已知：x m＝4，x n＝8．
（1）求x2m的值；
（2）求x m+n的值；
（3）求x3m﹣2n的值．
【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；
（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【答案】解：（1）∵x m＝4，x n＝8，
∴x2m＝（x m）2＝16；
（2）∵x m＝4，x n＝8，
∴x m+n＝x m?x n＝4×8＝32；
（3）∵x m＝4，x n＝8，
∴x3m﹣2n＝（x m）3÷（x n）2
＝43÷82
＝1．
【点睛】此题主要考查了整式的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式4-1】（2019春?天宁区校级期中）根据已知求值：
（1）已知a m＝2，a n＝5，求a m+n的值；
（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则解答即可；
（2）根据幂的乘方可得9m＝32m，27＝33，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．
【答案】解：（1）∵a m＝2，a n＝5，
∴a m+n＝a m?a n＝2×5＝10；
（2）∵32×9m×27＝321，
即32×2m×33＝321，
∴2+2m+3＝21，
解得m＝8．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
【变式4-2】（2019春?丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：
（1）50x的值；
（2）2x的值；
（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）
【分析】（1）根据积的乘方的法则计算；
（2）根据积的乘方（商的乘方）的法则计算；
（3）根据积的乘方的法则计算．
【答案】解：（1）50x＝10x×5x＝ab；
（2）2x＝＝＝；
（3）20x＝（＝＝．
【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是能够熟练的运用积的乘方的法则．
【变式4-3】（2019春?盐都区月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！
①如果2×8x×16x＝222，求x的值；
②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．
【分析】①根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则把原式变形为21+7x＝222，得出1+7x＝22，求解即可；
②把2x+2+2x+1变形为2x（22+2），得出2x＝4，求解即可．
【答案】解：①∵2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝21+7x＝222，
∴1+7x＝22，
∴x＝3；
②∵2x+2+2x+1＝24，
∴2x（22+2）＝24，
∴2x＝4，
∴x＝2．
【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【考点5 整式化简求值】
【例5】（2018春?高新区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式的法则把原式化简，代入计算即可．【答案】解：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y
＝（4x2+4xy+y2+y2﹣4x2﹣6y）÷2y
＝（4xy+2y2﹣6y）÷2y
＝2x+y﹣3，
把x＝﹣，y＝3代入得：原式＝2×（﹣）+3﹣3＝﹣1．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【变式5-1】（2018秋?南召县期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．
【分析】根据|x﹣2|+（y+1）2＝0可以起的x、y的值，然后将题目中所求式子化简，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【答案】解：∵|x﹣2|+（y+1）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
解得，x＝2，y＝﹣1，
∴[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x
＝（9x2﹣4y2+4y2﹣6xy+2xy﹣3x2）÷4x
＝（6x2﹣4xy）÷4x
＝1.5x﹣y
＝1.5×2﹣（﹣1）
＝3+1
＝4．
【点睛】本题考查整式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法，利用非负数的性质解答．
【变式5-2】（2019春?成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据乘开的结果不含x3和x2项，求出m与n 的值即可；
（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，把m与n的值代入计算即可求出值．
【答案】解：（1）原式＝x4﹣2x3﹣mx2+nx3﹣2nx2﹣mnx+3x2﹣6x﹣3m＝x4+（n﹣2）x3+（3﹣m﹣2n）x2+（mn+6）x﹣3m，
由乘开的结果不含x3和x2项，得到n﹣2＝0，3﹣m﹣2n＝0，
解得：m＝﹣1，n＝2；
（2）当m＝﹣1，n＝2时，原式＝m3+m2n+mn2﹣m2n﹣mn2﹣n3＝m3﹣n3＝﹣1﹣8＝﹣9．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-3】（2019春?青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；
（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含x和x3项，求出m与n的值；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【答案】解：（1）＝x4+（m﹣3）x3+（﹣3m+n﹣）x2+（mn+1）x﹣n，由积中不含x和x3项，得到m﹣3＝0，mn+1＝0，
解得：m＝3，n＝﹣，
（2）原式＝4m4n2++（mn）2017?n
＝36﹣+
＝36．
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点6 分解因式】
【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。而且一定要把各因式分解到不能再分为止！不能分解的不要死搬硬套.
【例6】（2019秋?惠民县期末）分解因式：
（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2
（2）8ab﹣8b2﹣2a2．
【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【答案】解：（1）原式＝[（3x﹣2）+（2x+7）][（3x﹣2）﹣（2x+7）]
＝（3x﹣2+2x+7）（3x﹣2﹣2x﹣7）
＝（5x+5）（x﹣9）
＝5（x+1）（x﹣9）；
（2）原式＝﹣2（a2﹣4ab+4b2）＝﹣2（a﹣2b）2．
【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【变式6-1】（2019春?娄底期中）因式分解：
（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）
（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）
【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；
（2）原式提取公因式即可得到结果．
【答案】解：（1）原式＝2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）＝（a﹣b）（2x﹣3y）；
（2）原式＝x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）＝x（x﹣y）（x﹣4）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
【变式6-2】（2018春?临清市期末）因式分解：
（1）3x2y﹣18xy2+27y3
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）
【分析】（1）直接提取公因式3y，进而运用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（x﹣2），进而运用平方差公式分解因式得出答案．
【答案】解：（1）3x2y﹣18xy2+27y3
＝3y（x2﹣6xy+9y2）
＝3y（x﹣3y）2；
（2）x2（x﹣2）+（2﹣x）
＝（x﹣2）（x2﹣1）
＝（x﹣2）（x+1）（x﹣1）．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
【变式6-3】（2019秋?和平区期末）分解因式：
（1）1﹣a2﹣b2﹣2ab；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）原式后三项提取﹣1，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【答案】解：（1）原式＝1﹣（a+b）2＝（1+a+b）（1﹣a﹣b）；
（2）原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）?（3a﹣2b）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣分组分解法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【考点7 利用因式分解求值】
【例7】已知4x2+y2﹣4x+10y+26＝0，求6x﹣y的值．
【分析】已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出值．
【答案】解：∵4x2+y2﹣4x+10y+26＝4（x﹣）2+（y+5）2＝0，
∴x＝，y＝﹣5，
则原式＝3+1＝4．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式7-1】（2019秋?崇明县期中）已知x+y＝4，x2+y2＝14，求x3y﹣2x2y2+xy3的值．【分析】首先由x+y＝4，得到（x+y）2＝16，然后利用完全平方公式得到x2+y2+2xy＝16，而x2+y2＝14，由此可以求出xy的值，再把x3y﹣2x2y2+xy3提取公因式xy，最后代入已知数据计算即可求解．
【答案】解：∵x+y＝4，
∴（x+y）2＝16，
∴x2+y2+2xy＝16，
而x2+y2＝14，
∴xy＝1，
∴x3y﹣2x2y2+xy3
＝xy（x2﹣2xy+y2）
＝14﹣2
＝12．
【点睛】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
【变式7-2】（2019秋?西城区校级期中）已知m2＝n+2 ①，n2＝m+2②，其中m≠n．求m3﹣2mn+n3的值．【分析】根据因式分解的方法即可求出答案．
【答案】解：①﹣②得：m2﹣n2＝n﹣m
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1
∴原式＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2m+2n
＝﹣2
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
【变式7-3】利用分解因式求值．
（1）已知：x+y＝1，，利用因式分解求：x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2的值．
（2）已知a+b＝2，ab＝2，求的值．
数学必修2 直线与方程典型 例题
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
整式的乘除典型例题
整式的乘除典型例题 一．幂的运算： 1.若16,8m n a a ==，则m n a +=_______。 2.已知2,5m n a a ==，求值：（1）m n a +；（2）2m n a +。 3.23,24,m n ==求322m n +的值。 4.如果254,x y +=求432x y ?的值。 5.若0a >，且2,3,x y a a ==则x y a -的值为（ ） A . 1- B. 1 C. 23 D. 32 6同306P T ：已知5,5,x y a b ==求25x y -的值 二．对应数相等： 1.若83,x x a a a ?=则x =__________ 2.若43282,n ?=则n =__________ 3.若2153,m m m a a a +-÷=则m =_________ 4.若122153()()m n n a b a b a b ++-?=，求m n +的值。 5.若235232(3)26,m n x y x y xy x y x y --+=-求m n +的值。 6.若312226834,m n ax y x y x y ÷=求2m n a +-的值。 7.若25,23,230,a b c ===试用,a b 表示出c 变式：25,23,245,a b c ===试用,a b 表示出c 8.若22(),x m x x a -=++则m =__________a = __________ 。 9.若a 的值使得22 4(2)1x x a x ++=+-成立，则a 的值为_________。 三．比较大小：（化同底或者同指数） 1.在554433222,3,4,5中，数值最大的一个是 2.比较505与25 24的大小
整式的加减知识点总结以及题型归纳
整式的加减 【本将教学内容】 整式的基本概念、加减运算、代数式求值等 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2+bx+c 和x 2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：???多项式单项式 整式 . 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所
整式的乘除题型及典型习题
整式乘除 一.典型例题分析: 一、同底数幂的乘法 1、下面各式的运算结果为14a 的就是( ) A 、 347a a a a ??? B 、 59()()a a -?- C 、 86 ()a a -?- D 、 77a a + 2、化简32()()x y y x --为 ( ) A.5()x y - B.6()x y - C.5()y x - D. 6 ()y x - 二、幂的乘方 1、计算 23 )x -（的结果就是( ) A.5x - B.5x C.6x - D.6x 2、下列各式计算正确的就是( ) A.34()n n n x x = B.23326()()2x x x += C.3131()n n a a ++= D.24816()a a a -?=- 三、积的乘方 1、 ()3423a b -等于( ) A.1269a b - B.7527a b - C.1269a b D.12627a b - 2、 下列等式,错误的就是( ) A 、64232)(y x y x = B 、3 3)(xy xy -=- C 、442229)3(n m n m = D 、64232)(b a b a =- 四、单项式与多项式的乘法 1、计算 (1)3(421)a a b -+ (2)2 (2).(3)x x xy x -++- (3)(3)(2)x y y x -+ (4)22()()a b a ab b +-+ 五、乘法公式(平方差公式) 1、下列式子可用平方差公式计算的式子就是( ) A.))((a b b a -- B.)1)(1(-+-x x C.))((b a b a +--- D.)1)(1(+--x x
直线与方程(经典例题)
直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 整式的加减 【本将教学容】 整式的基本概念、加减运算、代数式求值等 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a 、b 、c 、p 、q 是常数）ax 2 +bx+c 和x 2 +px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为：?? ?多项式 单项式整式 . 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了. 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所 整式的乘除 一．幂的运算： 1.若16,8m n a a ==，则m n a += 2.已知2,5m n a a ==，求值：（1）m n a +； （2）2m n a +。 3.23,24,m n ==求322m n +的值。 4.如果254,x y +=求432x y ?的值。 5.若0a >，且2,3,x y a a ==则x y a -的值为 6.已知5,5,x y a b ==求25x y -的值 二．对应数相等： 1.若83,x x a a a ?=则x =__________ 2.若432 82,n ?=则n =__________ 3.若2153,m m m a a a +-÷=则m =_________ 4.若122153()()m n n a b a b a b ++-?=，求m n +的值。 5.若235232(3)26,m n x y x y xy x y x y --+=-求m n +的值。 6.若 312226834,m n ax y x y x y ÷=求2m n a +-的值。 7.若 25,23,230,a b c ===试用,a b 表示出c 变式：25,23,245,a b c ===试用,a b 表示出c 8.若22(),x m x x a -=++则m =__________a = __________ 。 9.若a 的值使得 224(2)1x x a x ++=+-成立，则a 的值为_________。 三．比较大小：（化同底或者同指数） 1.在554433222,3,4,5中，数值最大的一个是 2.比较505与2524的大小 变式：比较58与142的大小 四．约分问题（注意符号）： 整式的乘除整章练习题(完整) - 1 - 第13章 整式的乘除 第1课时 幂的运算(一) 1．计算：（1）791010?=_________； (2)34111222??????= ? ? ??????? _____________． 2．计算：(1) 23x x = ___________； (2)74m m =______________． 3．计算：(1)() 43a a -=________； (2)()()42x x x ---= ____________． 4．计算：() ()()234m n n m n m ---=____________． 5．计算：(1)322d d d d +=__________； (2)5462m m m m m -=__________． 6．(1)若710m a a a =，则m=_________； (2)若8m m a a a =，则m=_________． 7．一长方体的长、宽、高分别是710cm 、610cm 、310cm ，则它的体积是_________3cm ． 8．下列运算正确的是 ( ) A ． 339x x x = B ． 336x x x = C ． 3332x x x = D ．3262x x x = 9．下列计算正确的是 ( ) A ．() ()235a a a --=- B ．()()()264a a a --=- C ．()()374a a a --=- D ．4312a a a -=- 10．下列各式计算结果为7x 的是 ( ) A ． ()()25x x -- B ． ()25x x -- C ． ()()43 x x -- D ． 34x x + 11．已知2,5a b x x ==，则a b x +等于 ( ) A ．7 B ．10 C ．20 D ．50 12．已知311a a a χχ+=，则χ的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 整式的加减知识点归纳 一 用字母表示数 1.字母和数一样可以参与运算 2.在含有字母相乘的代数式子中，乘号可以写作“·”或不写，并且数字写在字母前面。 3.数与字母或字母与字母相除时，应写为分数的形式。 4.如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。 5.实际问题中的和差形式且带单位时，应将和，差加括号。 二 单项式 1．单项式定义：数字和字母的积的式子叫做单项式。（单独的数字或字母也是单项式，π是数而不是字母） 注：分子中含有字母，分母是数字的代数式也是单项式。 分母中含有字母的代数式叫分式，不是单项式。 2．单项式的系数与次数：单项式中的数字因数叫单项式的系数；单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 三 多项式和整式 1．多项式：几个单项式的和叫多项式. 2．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：多项式的每一项包含它前面的符号。 3：常数项：多项式中不含字母的项 3．整式：???多项式单项式 整式 . 四 合并同类项与去括号 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 注：若合并同类项后的系数和为1或-1，可以省略“1”，若合并同类项后的系数和为0，则同类项九尾0. 3．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是正因数，括号里的各项都不变号；若括号前边是负因数，括号里的各项都要变号。（注：注意运用乘法分配律，不要漏乘项） 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10.整式的加减的步骤：（1）去括号 （2）合并同类项 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语进行列式。 12.代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数式的值. 整式的加减题型 一：用字母表示数 题型1： 题型2：某商店经销一批衬衣，每件进价为a 元，零售价比进价高m %，后因市场变化，该商店把零售价调整为原来零售价的n %出售，那么调整后每件衬衣的零售价是（ ） A. a （1＋m %）（1－n %）元 B. am %（1－n %）元 C. a （1＋m %）n %元 D. a （1＋m %·n ％）元 二：单项式 题型1. 找出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数. x －7，13x ，23a ，8a 3x ，－1，x ＋13 . 题型2下列代数式中：)(61b a +-，,21+m x ，2332c ab -，5，xy x 232-，12+a b ，y 1， 单项式有，多项式有， 整式有 题型3： 题型4： 三：多项式 题型1： 题型2：若多项式5)4(3-+--x x x a b 是关于x 、y 的二次三项式，则a=，b=； . 必修2直线与方程知识点总 结与题型 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第三章：直线与方程的知识点 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<. 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式21 21 y y k x x -= -. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 整式乘除 一.典型例题分析： 一、 同底数幕的乘法 1.下面各式的运算结果为 A. a 3 a 4 a 7 a B . (_a)5 a 14的是 (-a) 9 C. () -a 8 (-a)6D. a 7 -a 7 2?化简(x —y)3(y —x)2为() A. (x-y)5 B. (x-y)6 二、 幕的乘方 1. 计算(- x 2)3 的结果是() . 5 5 A. -X B . x C. 2. 下列各式计算正确的是() _x c . (y-x)5 , 、6 D . (y-x) D . x 6 n\3n 4n 2、3 3、2 A. (x ) =X B . (x ) (x ) / 2\4 8 (~a ) a 3\n 1 3n 1 C . (a ) a D. 三、积的乘方 3 1. -3a 4 b 2 等于() 12 6 A. -9a b B. 2. 下列等式，错误的是 A. 2 3、2 4 6 - = 2x 6 16 --a c 12 6 C . 9a b -27 a 7 b 5 () 232 4 6 3 (x y ) x y B. (-xy) xy 22、2 小 44 2, 3、2 4 6 C. (3m n ) 9m n D. (-a b ) a b 四、 单项式与多项式的乘法 1、计算 (1) 3a(4a-2b 1)(2) ( -x 2x 2 xy).( -3x) (3) (x-3y)(2y x) (4) (a b)(a 2-ab b 2) 五、 乘法公式(平方差公式) 1. 下列式子可用平方差公式计算的式子是() A. (a-b)Q-aB. (-x 1)(x-1) C. (~a-t)(-a b) D. (-1)(x 1) 2. 计算(a -b c)(a-b -c)等于() A.(a -b C )2B . (a 「b )2-c 2 C. a 2 - (b - c) $ D . a -( b ' c) 3. 化简(a ，1)2 - (a -1)2 的值为() A. 2 B. 4 C. 4a D. 乘法公式(完全平方公式) 1 1. 下列各式计算结果是 」 m 2n 2 4 1.2 . 1 八 2 A. (mn ) B. ( mn 1) 2 2 1 2 1 2 C. ( mn -1)2 D . ( mn -1)2 2 4 2. 加上下列单项式后，仍不能使 4 A. 4x B . 4xC. -4x D. 4 六、 同底数幕的除法 1.下列运算正确的是() 2a 2 2 -mn ? 1 的是() D . 12 6 —27 a b 2 4x ? 1成为一个整式的完全平方式的是( 整式乘除 一．典型例题分析： 一、同底数幂的乘法 1.下面各式的运算结果为14a 的是（ ） A. 347a a a a ??? B. 59()()a a -?- C. 86 ()a a -?- D. 77a a + 2.化简32()()x y y x --为 （ ） A ．5()x y - B ．6()x y - C ．5()y x - D ． 6 ()y x - 二、幂的乘方 1.计算 23 )x -（的结果是（ ） A ．5x - B ．5x C ．6x - D ．6x 2.下列各式计算正确的是（ ） A ．34() n n n x x = B ．23326()()2x x x += C ．3131()n n a a ++= D ．24816()a a a -?=- 三、积的乘方 1. ()3423a b -等于（ ） A ．1269a b - B ．7527a b - C ．1269a b D ．12627a b - 2. 下列等式，错误的是（ ） A.64232)(y x y x = B.3 3)(xy xy -=- C.442229)3(n m n m = D.64232)(b a b a =- 四、单项式与多项式的乘法 1、计算 （1）3(421)a a b -+ （2）2 (2).(3)x x xy x -++- （3）(3)(2)x y y x -+ （4）22()()a b a ab b +-+ 五、乘法公式（平方差公式） 1.下列式子可用平方差公式计算的式子是（ ） A ．))((a b b a -- B ．)1)(1(-+-x x C ．))((b a b a +--- D ．)1)(1(+--x x 2. 计算()()a b c a b c -+--等于（ ） A. 2()a b c -+ B ．22(a b c --） C ．22a b c --（） D ．22a b c -+（） 3. 化简22(1)(1)a a +--的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．4a D ．222a + 乘法公式（完全平方公式） 1. 下列各式计算结果是221 14m n mn -+的是（ ） A. 21()2mn - B. 2 1 (1)2mn + C. 21 (1)2mn - D. 21 (1)4mn - 2. 加上下列单项式后，仍不能使241x +成为一个整式的完全平方式的是（ ） A ．44x B ． 4x C ．4x - D ．4 六、同底数幂的除法 1.下列运算正确的是（ ） A ．842a a a ÷= B ．0 415?? = ??? C ．33x x x ÷= D ．422()()m m m -÷-- 2. 下列计算错误的有（ ）①623a a a ÷=； ②527y y y ÷=； ③32a a a ÷=； ④422()()x x x -÷-=-； ⑤852x x x x ÷?=． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 必修2 第3章 直线与方程 理论知识： 1直线的倾斜角和斜率 1、倾斜角： 2、 倾斜角α的取值范围： .. 3、直线的斜率: k = 记住特殊角的正切值 ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k = 2两条直线的平行与垂直 1，L1∥L2则 注意: 2、 则 注意： 3.直线方程 1、 直线的点斜式方程： 2、、直线的斜截式方程： 3 直线的一般式方程： 4.了解斜率和截距的性质 4.两条直线的交点坐标求法：联立方程组。 5.距离 1.两点间的距离公式： ． 2.点到直线距离公式： 3、两平行线间的距离公式： 6.对称问题 1.中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为 2.若点11(,)M x y 及(,)N x y 关于(,)P a b 对称；求解方法： 3.点关于直线的对称： 若111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线:0l Ax By C ++=对称，求解方法： 直线与方程测试题 题型一（倾斜角与斜率） 1.直线053=-+y x 的倾斜角是( ) A.120° B.150° C.60° D.30° 2．若直线x ＝1的倾斜角为 ，则( )． A ．等于0 B ．等于 C ．等于2π D ．不存在 3．图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )． A ．k1＜k2＜k3 B ．k3＜k1＜k2 C ．k3＜k2＜k1 D ．k1＜k3＜k2 4.求直线3x ＋ay ＝1的斜率为 题型二（直线位置关系） 1．已知直线l1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l1∥l2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 2．已知直线l 与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ．3π B ．32π C ．4π D ．43π 3.设直线 l1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) l1/ / l2 (2) l1⊥l1时分别求出m 的值 4.已知两直线l1： x+(1+m) y =2—m 和l2：2mx+4y+16=0，m 为何值时l1与l2①相交②平行 5.. 已知两直线l1：(3a+2) x+(1—4a) y +8=0和l2：(5a —2)x+(a+4)y —7=0垂直，求a 值。 题型三（直线方程） 1：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： (1)斜率是1 2-，经过点A(8，—2)； . (2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； . (3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3 ,32-； . 4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； . 整式的加减 整式知识点 1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一 类代数式叫单项式. 2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数 不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式. 4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多 项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数； 注意：（若a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和x2+px+q 是常见的两个二次三项式. 5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式. 整式分类为： 单项式 整式. 多项式 6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边 是“- ”号，括号里的各项都要变号. 9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并. 10. 多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）. 注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 11. 列代数式 列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平 方、倒数以及几分之几、几成、倍等等. 抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太 难了. 12. 代数式的值 根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果是代数 式的值. 13. 列代数式要注意 ①数字与字母、字母与字母相乘，要把乘号省略； ②数字与字母、字母与字母相除，要把它写成分数的形式； ③如果字母前面的数字是带分数，要把它写成假分数。 1 整式的乘除 例1：已知2017)2018()2016(=-?-a a ，求22)2018()2016(a a -+-的值。 解析：类比“2=?n m ，4=-n m ，求22n m +的值”这类题的解法。 练习：1、已知7)(2=+b a ，3)(2=-b a ，则=++ab b a 22 。 2、已知2522=+y x ，7=+y x 且y x >，则=-y x 。 3、已知32=-a a ，32=-b b 且b a ≠，则=-b a 。 例2：已知201738+=x a ，201838+=x b ，20193 8+=x c ，求bc ac ab c b a ---++222的值。 练习：1、若1232=++c b a ，且bc ac ab c b a ++=++222，则=++32c b a 。 2、已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则=--2018)(z y x 。 3、若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ， )1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小关系是 。 4、计算2222222210099654321-++-+-+-Λ= 。 例3：若多项式1634-++nx mx x 能被)2)(1(--x x 整除，求m 、n 的值。 练习：1、若3223+-kx x 被12+x 除后余2，则=k 。 2、若多项式b x ax x x +++-73224能被22-+x x 整除，则a= ，b= . 三、1、观察下列算式： ① 1432312-=-=-? ② 1983422-=-=-? ③ 116154532-=-=-? ④ …… （1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？并说明理由。 2、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如：22024-=，222412-=，224620-=，因此4、12、20都是“神秘数。 （1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为22+k 和k 2（其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ 3、如表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数。 （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数； （3）求第n 行各数之和。 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 第三讲 整式的加减 （一） 一、常考题型题型总结 【题型1】抄错题问题 【例1】小郑在一次测验中计算一个多项式A 减去xz yz xy 235+-时，不小心看成加上 xz yz xy 235+-，计算出错误结果为xz yz xy 462-+，试求出正确答案。 【例2】数学课上七年级一班的张老师给同学们写了这样一道题“当2,2-==b a 时,求多项式 ??? ??---+- 2233233414213b b a b a b b a b a ??? ? ? ++b a b a 23341 322+-b 的 值”,马小虎做题时把2=a 错抄成2-=a ,王小真没抄错题,但他们做出的结果却都一样,你知道这是怎么回事吗?说明理由. 【培优练习】 1、李明在计算一个多项式减去2245x x -+时，误认为加上此式，计算出错误结果为221x x -+-，试求出正确答案。 2、某同学做一道数学题,误将求“A-B ”看成求“A+B ”, 结果求出的答案是 3x 2-2x+5.已知A=4x 2-3x-6,请正确求出A-B. 3、一位同学做一道题：“已知两个多项式A ，B ，计算2A+B ”。他误将“2A+B ”看成“A+2B ”，求得的结果为。已知B=，求原题的正确答案。 4、计算下式的值： 甲同学把 错抄成 ，但他计算的结果也是正确的，你能说明其中的原因 7292 +-x x 232 -+x x 吗？ 【题型2】分类讨论型问题 【例1】如果关于x 的多项式2 1 424- +x ax 与x x b 53+是次数相同的多项式,求4322 123 -+-b b b 的值 【培优练习】 1、多项式12423232+++-+x x x ax x a 是关于x 的二次多项式，求a a a ++221 【题型3】绝对值双值性 【例1】已知3x 2y |m|-（m-1）y+5是关于x ，y 的三次三项式，求2m 2-3m+1的整式的加减知识点总结以与题型归纳
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