混沌理论浅说
浅谈混沌理论及其在生活中的应用
浅谈混沌理论及其在生活中的应用摘要：随着科学技术的不断发展以及科学研究的不断加深，最近几十年混沌学开始兴起。
在非线性科学上，混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。
它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。
但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。
或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。
本文将简单讨论一下混沌理论及其在生活中的应用。
关键词：混沌理论生活中的应用1、混沌理论的提出美国麻省理工学院气象学家爱德华·罗伦兹（Edward N.Lorentz）为了预报天气，他用计算机求解仿真地球大气的13个方程式，意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性。
1963年的一次试验中，为了更细致地考察结果，在科学计算时，洛伦兹对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入。
他把一个中间解0.506取出，提高精度到0.506127再送回。
而当他喝了杯咖啡以后，回来再看时大吃一惊：本来很小的差异，前后计算结果却偏离了十万八千里!前后结果的两条曲线相似性完全消失了。
再次验算发现计算机并没有毛病，洛伦兹发现，由于误差会以指数形式增长，在这种情况下，一个微小的误差随着不断推移造成了巨大的后果。
后来，洛伦兹在一次演讲中提出了这一问题。
他认为，在大气运动过程中，即使各种误差和不确定性很小，也有可能在过程中将结果积累起来，经过逐级放大，形成巨大的大气运动。
于是，洛伦兹认定，他发现了新的现象：事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性。
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。
他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。
时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。
浅谈混沌理论
浅谈混沌与世间种种巨大的力量相比，扇动着翅膀的蝴蝶似乎没多大力量。
然而有一句谚语却说：“中国上空的一只蝴蝶振动双翅，美国某处便下起了大雨。
”混沌理论可以证明这一谚语。
对蝴蝶力量的科学洞察始于洛伦兹的工作。
洛伦兹是一位气象学家，也被尊称为混沌理论的缔造者之一。
当时，洛伦兹正在检验一个简单的气象预测模型。
洛伦兹完成了冗长的计算后，需要对结果进行复核，他将 0. 506而不是初始的精确值 0.506127作为初值输入计算机。
他知道这样做将产生千分之一的误差，并预计在其气象预测中和原来的计算将有同等大小的差异。
然而，令他大为吃惊的是，新的天气预报和原先的结果几乎没有什么相似之处，他立即意识到了问题的症结所在：当计算机反馈出每一步的结果并作为原数据重新输入时，两组数据开始时的细微差别被迅速放大为巨大的差异。
这万分之一的误差——这种误差大约相当于多了一阵轻柔的微风——很快就使天气预报变成了一片混乱。
他用图像来模拟气候的变化 ，最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅。
这就是我们今天所熟知的 “蝴蝶效应“， 从科学的角度来看，蝴蝶效应反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
混沌理论认为：在混沌系统中，初始条件十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。
正所谓失之毫厘，谬以千里。
对气象工作者来说，那一天是黑暗的日子。
洛伦兹意识到：“如果大气层真是这样活动的话， 那么要想做出长期气象预报几乎是不可能了。
”但这一天的经历并非只对气象工作者有意义。
他冲破了束缚人们思想的堤坝，并为新的研究领域的开辟奠定了基石，由此引入了混沌这一理论。
我们再来看看一个简单的物理系统-单摆。
在一根不能伸缩的长度为 Z 的细线下端悬挂一个小球，微微移动后，就可以在一竖直面内来回摆动，这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道，在一定的条件下(忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力，且摆角) ，回复力 F=一k x ，单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反，单摆做简谐振动。
令人惊叹的混沌理论——背后的数学原理和哲学思考
令⼈惊叹的混沌理论——背后的数学原理和哲学思考在20世纪60年代早期，⽓象学家爱德华·洛伦兹发现某些系统从根本上是不可预测的。
他的理论引发了⼀场名为“混沌理论”的科学⾰命。
有⼈说，简单的基本规则有时会产⽣奇异的复杂性。
那些复杂的结构通常有⾮常基源。
这种现象和理论在实践中经常被提及，但也出现在《怪奇物语》等电⼦游戏和《侏罗纪公园》等电影中。
那么，混沌理论的实际定义是什么呢？它与数学有什么联系？它与可预测性和决定论有什么关系？如何将这些发现应⽤于⼀般情况？定义为了理解混沌理论，有必要讨论⼀下字典是如何描述它的：描述动态系统模式的数学，如天⽓、⽓体和液体的⾏为、演化等等。
因此，混沌理论是研究和描述动态系统的数学，它解释了随时间变化的过程。
科学家和数学家对混沌有不同的看法。
对他们来说，⼀个混沌的世界或混沌的问题是不可预测的，⼀个微⼩的偏差可能导致不可想象的后果引⼊科学爱德华·诺顿·洛伦茨，美国数学家、⽓象学家、⿇省理⼯学院⽓象学教授。
他在达特茅斯学院和哈佛⼤学学习数学。
他的职业⽣涯始于第⼆次世界⼤战期间，当时他是美国陆军航空队的⼀名⽓象预报员。
在⼀次天⽓预中，他在他的计算机模型上得到了⼀个⾮常不同的结果，因为只有⼀个微⼩的偏差。
爱德华证明了可预测性的局限性，这让许多科学家和⽓象学家感到震惊。
他们认为最终有可能预测更长⼀段时间的天⽓。
混沌理论阐述了变化过程的进展和演变，⽤微分⽅程来描述。
以前是⽆法计算出精确的解的，但现在它们可以⽤计算机进⾏数值计算。
由于变量初始值变化的敏感性，这些系统将表现出复杂且快速的偏差⾏为。
混沌系初始状态下不可避免的⼩误差⾮常敏感。
这决定了可预测性是有限度的。
吸引⼦和迭代吸引⼦是迭代附近点的x坐标的集合。
设函数y_1=x^2-1；y_2=x。
在抛物线y_1=x^2-1上取⼀个值，然后从这个初始值画⼀条⽔平线与y = x相交，交点的横坐标为新的x的值，记为x_1；然后把x_1代⼊抛物线。
混沌理论 综述 很全知识分享
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
混沌的概念
❖ 混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
❖ Li-Yorke定理：
❖ 设连续自映射 f : I I R ，I 是 R 的一个闭区间，如果：
❖ ① 存在一切周期的周期点； ❖ ②存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118
lim sup f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y
3. 任一敏感性
❖ 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
❖ 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz) 在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的 著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运 动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
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一则西方寓言：
丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小 的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。 这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。
3、什么是混沌呢？
它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。
这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己
Байду номын сангаас
的规律。
混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。
60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生
物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，
2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑 的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导 致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整 性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多 样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。
理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素 的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模 型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非 线性效应。
经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方 法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理 实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实 质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在 自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
混沌的道理
混沌的道理
混沌的道理是指一种没有明确秩序或规则的状态或状态，是不确定和不可预测的。
混沌理论认为，通过非线性动力学系统的研究，可以揭示在看似不规则的混乱中存在着一定的隐含规律。
混沌理论认为，即使在一个连续演变的系统中，微小的变动也可能产生巨大的影响，从而导致系统的不可预测性。
这表明一些本质上复杂的系统，如天气模式、金融市场、心脏跳动等都可以归类为混沌系统。
混沌的道理也可以理解为一种对于事物和世界的一种思考方式。
混沌的道理认为，世界并不总是按照人们的期待和规则进行。
事物或现象是否按照规定进行，常常取决于诸多因素的复杂相互作用，而不是简单的线性或可预测的关系。
因此，我们应当接受和应对事物的不确定性和变化，而不是一味追求完美的秩序或规则。
混沌的道理也提醒我们要关注于变化、不确定性和复杂性，从中寻找新的可能性和机会。
通过适应和把握事物的不确定性，我们可以更好地应对变化和创新，提高个人和组织的适应性和竞争力。
混沌理论
混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。
这意味着，系统具有放大作用。
一个微小的运动经过系统的放大，最终影响会远远超过该运动的本身。
所以，当有人说，因为英国的一只蝴蝶扇了一下翅膀，中国可能会遭受一场台风时，他的观点里就包含着混沌理论的思想。
混沌理论的发展背景[1]混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。
一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。
像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。
在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。
科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。
因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。
曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。
如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。
这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。
在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。
人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家Henry Poincare那里得到的启示。
Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。
然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想oPoincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。
然而，在20世纪60—70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。
一个名叫Stephen Smale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。
气象学家Edward Lorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。
混沌理论概述
混沌理论概述1混沌理论的发展 (1)2混沌的主要特征 (2)(1)有界性 (2)遍历性 (2)内随机性 (2)分维性 (3)标度性 (3)普适性 (3)统计特征、正Lyapunov指数及连续功率谱等。
(3)3 混沌理论在保密通信中的应用 (3)1混沌理论的发展所谓混沌，粗略的说是一种在确定系统中所表现出来的类似随机而无规则运动的动力学行为。
由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此，至今混沌还没有一个统一的定义。
混沌是非线性确定性系统的一种内在的随机现象，对混沌现象的研究有助于人们对客观世界的正确认识和把握。
它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，反映了世界上无序和有序之间、确定性与随机性之间的辩证统一关系。
在混沌动力学的研究中，主要有三个方面的内容，一是研究系统从有序到混沌态的过渡，即探讨系统进入混沌状态的机制与途径;二是研究混沌中的有序行为，即探讨混沌中的普适性和标度不变性;三是研究如何有效地控制混沌或主动地利用混沌。
最先对混沌的研究可以追溯到19世纪，公认为真正发现混沌的第一位学者是法国数学、物理学家H. Poincare，他是在研究太阳系的三体运动时发现混沌的。
20世纪70年代，特别是1975年以后，是混沌科学发展史上光辉灿烂的年代。
在这一时期，混沌学作为一门新兴的学科正式诞生了。
1971年，法国的数学物理学家D. Ruelle和荷兰的F. Takens发表了著名论文《论湍流的本质》，在学术界首次提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，并为耗散系统引入了“奇怪吸引子”这一概念。
进入20世纪80年代，混沌研究己发展成为一个具有明确研究对象和基本课题、具有独特的概念体系和方法论框架的新学科。
从80年代中后期开始，混沌学更是与其它学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、生理学、心理学、数学、物理学、电子学、信息科学，还是在天文学、气象学、经济学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了广泛的应用。
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3、线性科学和非线性科学的差异
线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。 1、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之 和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用 效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加 起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问 题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动 形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函 数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则 运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。 2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑 的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导 致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整 性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多 样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。
从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重 要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。
横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始！
经典动力学的传统观点认为：系统的长期 行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的 微小变化对未来状态所造成的差别也是很微 小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。 混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十 分微小的变化经过不断放大，对其未来状态 会造成极其巨大的差别。
3、什么是混沌呢？
它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。 这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己 的规律。 混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生 物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域， 成为一门新兴学科。 科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的 貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为 却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。 进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线 性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为 线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此， 在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的！
图2 保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌
相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭 圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构， 层层嵌套。左上图为参数取0.8时, 右上图为 参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。 随着参数的增加（相当对非 线性增强） ， 混沌区越来越大。在这里，混沌区与规则区 交织在一起，相互渗透，本图为PC机绘制。
混沌理论浅说
--非线性科学
泉州一中物理组李春阳
一、混沌理论的提出
--由线性科学到非线性科学
线性科学：
线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里， 这是用一根直线表征的关系。 例如：
s
s=v0+at
v0 0 t
1、线性科学的成就
由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先 从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自 然的 。 例如：经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想 流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。 理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素 的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模 型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非 线性效应。 经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方 法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理 实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实 质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在 自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。
4、混沌的特征
1、对初始条件的敏感依赖性。 2、极为有限的可预测性。
3、混沌的内部存在着超载的有序。
1）、对初始条件的敏感依赖性
这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条件的微小差别在最后的现 象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在 他的玩具天气模型中发现了这一特性。 在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会 放大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车 祸，又导致交通中断几小时，又导致一连串的误事……。然而混沌意味着 这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中， 对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的 后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺 度，把初始的随机性放大。在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万 个业主一夜之间改变策略，从而导致经济形势的巨变，我们至少从1997年 东南亚金融危机中感到了这一点。
身边的混沌现象（3）
6. 人口动力学中指出：在动物种群，如果数量上不 存在混沌或者变异，那么，这个种群必将灭亡。 7. 冥王星的运行轨道不规则，因为太阳系中存在着 的混沌。 8. 一大群人的行为是可以预测的，因为最前面的领 路人影响极为重要。这就象群 飞的大雁。
身边的混沌现象（4）
9. 学习音乐演奏是一件非常艰辛的事情，需要反复 地练习。开始演奏一首曲子时可能一塌糊涂，但是， 不断练习就能产生美好的结果，这是一个较好的反馈 循环，最终，有序从混沌中产生，优美的音乐从您的 手指间流出。 10. 流行是观察自相似特性的一个很好的例子，身 边的朋友们穿着相同的衣服，留着相同的发型，甚至 使用相同颜色的指甲油。如果流行是一种分形的话， 那么，是什么样的混沌过程产生了这样的分形呢？
图1 耗散系统（能量不守恒的有摩擦的系统）中的混沌
1963年美国气象学家洛仑兹在《大气科学杂志》上发表"确定性非周期流“ 一文，给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平 面上的投 影，右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数 值解，只要不人为干预，轨道会永远运 动下去。
3）、混沌的内部存在着超载的有序
混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具 有相似性，即所谓的自相似性。 混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普 适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和 Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出， 再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向 一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。值得注意的是前一个函 数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表示非线性程度加大，当 非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。
2、蝴蝶效应与混沌学
1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期天气预报” 问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。他原本 的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报的准确性。 但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极微小差异，均 会导致计算结果的很大不同。 由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输入的初 始条件不可能包含所有的影响因素（通常的简化方法是忽略次 要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素却可能对 预报结果产生重大影响，导致错误的结论。由此，洛伦兹认定， 尽管拥有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压 等），也难以获得准确的长期天气预报。
身边的混沌现象（2）
3. 当您去海边游玩的时候，您可曾想到过您是否能 测出海岸线的长度？其实，您永远也测不出它的长度， 因为它是分形的。您使用的度量尺寸却精确，那么得 出的结果就越长。 4. 一个正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的话，您 的心脏越健康。 5. 混沌理论已经被用来决定为孩子种植麻疹疫苗的 最佳时间。
2）、极为有限的可预测性
当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现 为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌 现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升 降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。 信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除 不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的 预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息 的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。那么信 息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理学家认为，来自微观尺度的热 库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再以城市经济运动为例， 信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自千百万个消费 者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。
5、混沌学的意义
混沌的发现和混沌学的建立，同相对 论和量子论一样，是对牛顿确定性经典 理论的重大突破，为人类观察物质世界 打开了一个新的窗口。 所以，许多科学家认为，20世纪物理 学永放光芒的三件事是：相对论、量子 论和混沌学的创立。
6、身边的混沌现象（1）
1. 当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混 沌（混乱）！”她的话可能正确，但是她一定不会知 道：混沌里蕴含着秩序。那些乱七八糟的书籍、五颜 六色的果皮糖纸、臭气熏天的袜子里都隐藏着一种秩 序，只是等待您的发现。 2. 美国有句言语“一根稻草能压死一头骆驼”，这 是蝴蝶效应的最好体现。小的事情往往能产生让人难 以预料的结果。但是，永远是这样的吗？不是！如果 放 在骆驼脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不会压死 骆驼的脊背，可能还会为骆驼送上一份美餐。同样的 道理，并不是只要北京蝴蝶拍动一下翅膀，就真的 能够引起纽约的一场风暴。