新人教高中数学必修二圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课件

4 3
【思考】 如何理解、把握球的表面积、体积公式？
提示：把握住球的表面积公式S球=4πR2，球的体积公 式V球= πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径 与球心是4 确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面 积计算的3 相关题目也就迎刃而解了.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)球的体积之比等于半径比的平方. ( ) (2)长方体既有外接球又有内切球. ( ) (3)球面展开一定是平面的圆面. ( ) (4)圆台的高就是相应母线的长. ( )
为x，则a= x，由题意2R=
所以R=
a，2 所以S球=4πR2=
a2π.
3x＝ 3
2a ＝
6 a，
22
6
3
4
2
3.三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长分别为2a，a， a，求其外接球的表面积和体积.
【解析】以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发 的三条棱，将三棱锥补成长方体， 则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球，其球的直 径等于长方体的体对角线长，故2R= R= a，所以S球=4πR2=6a2π， V球=
a2＋a2＋（2a）2＝ 6a，
6
2
4 R3＝4 g( 6 a)3＝ 6a3.
3
32
【类题·通】 求几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接代入公式求解. (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面 ，只需选用底面积和高都易求的形式即可.
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补 成棱柱，棱台补成棱锥等. (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求 体积.
a2 b2
，CH2=AH·BH=
b2 ,
a2 b2
a2
a2b2
.
三个几a2何 b体2 分别是两个圆锥a和2 组b2合体(有公共底面的
圆锥组合体)，依题意，得V1= πS1h1= πa2b，
1
1
3
3
V2= 1 S2h2= 1 πb2a，V= 1 π·CH2·AB
3
3
3
所 13以gaa2
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
【思考】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？
提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
S圆柱侧=2πrl
S圆台侧=π(r′+r)l
S圆锥侧=πrl.
2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式
柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积，h为高)； 锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积，h为高)；
【解析】(1)×.球的体积之比等于半径比的立方. (2)×.长方体只有外接球，没有内切球. (3)×.球的表面不能展开成平面图形. (4)×.圆台的高是指两个底面之间的距离.
2.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积 之比为 ( ) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 【解析】选A.由表面积公式知，两球的表面积之比 为 =1∶9.
2

3.由题意，得该圆锥的母线长l=
=10，
所以该圆锥的侧面积为π×8×10=882＋0π62 ，底面积为
π×82=64π，所以该圆锥的表面积为
80π+64π=144π.
答案：144π
【内化·悟】 怎样求圆柱、圆锥、圆台的表面积？ 提示：求圆柱、圆锥、圆台的表面积，关键是求出底 面圆的半径，圆柱、圆锥、圆台的高及母线长.
【解析】1.选B.因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得 的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2 ，
底面圆的直径为2 ，所以该圆柱的表面积为
2×π×( )2+2π× ×2 =12π.
2
2
2
2
2
2.选C.由题意知大圆的半径即球的半径，设为R，
由2πR=C，得R= ，所以S球面=4πR2= .
C
C2
即l= r，由题意得，侧面积S侧=πr·l= 16 π，
πr2=
l 2＋l 2，
所以r=24.所以l=4 ，高h=
=4.
2
所以圆锥的体积V= Sh= π×42×4= π.
2
2
l 2 -r 2
1
1
64
3
3
3
2.选B.V= 1 (S+ +S′)h= 1 ×(2+
+4)×3
=6+2 . 3
SS
3
24
锥的体积V= π×132× = π.
3
4
3
1
3
3
33
2.已知Rt△ABC中，C=90°，分别以AC，BC，AB所在 直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1， V2，V. 求证：
1 V2

1 V12

1 V22
.
【证明】如图，设AC=b，BC=a，作CH⊥AB于H，
则AB= BH=
.由射影定理，得AH=
【习练·破】 1.若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的 截面)是面积为 的等边三角形，则该圆锥的体积 为( )
3
A.3B. 3 C. 3D. 3
3
2
【解析】选B.设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为
r.由题意，得 ×(2r)2= ，得r=1，所以该圆
S表 S侧
＝
2r（2 2＋1）＝1＋2
42 r 2
2
.
4.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积 为( ) A.15π B.30π C.12π D.36π
【解析】选C.设圆锥的高为h，如图，则h=
52 32＝4.
所以其体积V= Sh= ×π×32×4=12π.
1
1
3
3
类型一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积 【典例】1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2 ，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的 正方形，则该圆柱的表面积为 ( )
1
1
3
3
【习练·破】 1.棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此 球的体积.
【解析】正方体的外接球直径等于正方体的体对角线
长，即2R=
，所以R= ，
所以V球=
·π·( )3=4
22＋22＋22
π.
3
4
3
3
3
2.棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面 上，求其外接球的表面积.
【解析】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长
其中圆锥的高为16-4=12(cm)，圆柱的母线长为 AD=4 cm，故该几何体的表面积为2π×5×4+π× 52+π×5×13=130π(cm2).
类型二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积
【典例】1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
侧面积是16 π ，则圆锥的体积是 ( )
A.
B.
C.64π
D.128 π
=(4 )2，
解得R=8.故球的表面积S=4πR2=256π(cm2).
3
1 3
(1 R)2 2
3
答案：256π
2.如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC=90°， AB=5 cm，BC=16 cm，AD=4 cm.求以BC所在直线为轴旋 转一周所得几何体的表面积.
【解析】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆 柱和圆锥的组合体，如图所示：
【类题·通】 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤：解决圆柱、 圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及 侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素， 代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图. (2)依次求出各个平面图形的面积. (3)将各平面图形的面积相加. 2.球的表面积的求法 要求球的表面积，关键是知道半径R或者通过条件能求 出半径R，然后代入球的表面积公式求解.
(2)几个常用结论 ①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正 方体的棱长等于球的直径； ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方 体的体对角线长等于球的直径；
③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆 柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ④球与棱锥相切，则可利用V棱锥= S底h= S表R，求球 的半径R.
R1∶ 2 R
2 2
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆 柱的表面积与侧面积的比是 ( )
A.1＋2B.1＋4C.1＋2D.1＋4
2
4

2
【解析】选A.设圆柱底面半径、母线长分别为r，l， 由题意知l=2πr，S侧=l2=4π2r2. S表=S侧+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2(2π+1)，
【习练·破】 1.过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面 ，截面面积为48π cm2，则球的表面积为____cm2.
【解析】易知截面为一圆面，如图所示，圆O是球的过
已知半径的大圆，AB是截面圆的直径，作OC垂直AB于
点C，连接OA.由截面面积为48π cm2，可得AC=4 cm.
设OA=R cm，则OC= R cm，所以R2-
3
3
2
6
2.长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积为________. 世纪金榜导 学号
【思维·引】1.把正方体削成一个体积最大的球，该 球是正方体的内切球，球的直径就是正方体的棱长. 2.球是长方体的外接球，球的直径是长方体的体对角 线.
【解析】1.选A.球的直径是正方体的棱长，
3.选D.设截面圆的半径为r，则πr2=π，故r=1，由勾股2定理求得球的半径为
，所以球的
体积为
4 （ 2）3＝8 2 .