最短路径LINGO算法
LINGO软件求解最短路问题示例
西安邮电大学现代邮政学院Xi'an post and telecommunications university modern post CollegeLINGO软件求解最短路问题最短路问题最短路问题：给定赋权有向图D=(V,A)，最短路问题就是要在所有从v s到v t的路中，求一条权最小的路，最短路的权简称为从v s到v t的距离。
应用：可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等，还经常被作为一个基本工具，用于解决其它的优化问题。
例 题下图，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示两点间的距离，求一条从A到G的铺管线路，使总距离最短。
AB 1B 2C 1C 2C 3C 4D 1D 2D 3E 1E 2E 3F 1F 2G538761366835338422123335526643LINGO输入程序设：A为顶点城市1，B 1为2，B 2为3，C 1为4，C 2为5，C 3为6，C 4为7，D 1为8，D 2为9，D 3为10，E 1为11，E 2为12，E 3为13，F 1为14，F 2为15，G为16。
12345678910111213141516MODEL :[1]SETS :! We have a network of 16 cities. We want to find the length of the shortest route from city 1 to city 16. ;! Here is our primitive set of sixteen cities, where F(i) represents the shortest path distance from city i to the last city;[2]CITIES/1..16/:F;! The derived set ROADS lists the roads that exist between the cities (note: not all city pairs are directly linked by a road, and roads are assumed to be one way.);[3]ROADS(CITIES,CITIES) /[4]1,2 1,3 2,4 2,5 2,6 3,5 3,6 3,7 4,8 4,9 5,8 5,9 6,9 6,10 7,9 7,10[5]8,11 8,12 9,12 9,13 10,12 10,13 11,14 11,15 12,14 12,15 13,14 13,15[6]14,16 15,16 /:D;! D(i,j) is the distance from city i to j;[7]ENDSETS [8]DATA :! Here are the distance that correspond to the above links;[9]D=[10]5 3 1 3 6 8 7 6 6 8 3 5 3 3 8 4[11]2 2 1 2 3 3 3 5 5 2 6 6[12]4 3;[13]ENDDATA! If you are already in City 16,then the cost to travel to city 16 is 0;[14]F(@SIZE (CITIES))=0;!The shortest distance from City 1 to City 16 is the minimum over all cities j reachable from i of the sum of the distance from i to j plus the minimal distance from j to City 16;[15]@FOR (CITIES(i)|i#LT#@SIZE (CITIES):[16]F(i)=@MIN (ROADS(i,j):D(i,j)+F(j)));END集合段数据段运算式LINGO软件求解结果Variable ValueF( 1) 18.00000F( 2) 13.00000F( 3) 16.00000F( 4) 13.00000F( 5) 10.00000F( 6) 9.000000 F( 7) 12.00000F( 8) 7.000000 F( 9) 6.000000 F( 10) 8.000000 F( 11) 7.000000 F( 12) 5.000000 F( 13) 9.000000 F( 14) 4.000000 F( 15) 3.000000 F( 16) 0.000000Variable ValueD( 1, 2) 5.000000D( 1, 3) 3.000000D( 2, 4) 1.000000D( 2, 5) 3.000000D( 2, 6) 6.000000D( 3, 5) 8.000000D( 3, 6) 7.000000D( 3, 7) 6.000000D( 4, 8) 6.000000D( 4, 9) 8.000000D( 5, 8) 3.000000D( 5, 9) 5.000000D( 6, 9) 3.000000D( 6, 10) 3.000000D( 7, 9) 8.000000D( 7, 10) 4.000000D( 8, 11) 2.000000D( 8, 12) 2.000000D( 9, 12) 1.000000D( 9, 13) 2.000000D( 10, 12) 3.000000D( 10, 13) 3.000000D( 11, 14) 3.000000D( 11, 15) 5.000000D( 12, 14) 5.000000D( 12, 15) 2.000000D( 13, 14) 6.000000D( 13, 15) 6.000000D( 14, 16) 4.000000D( 15, 16) 3.000000点1到最后一个点（点16）的最短路的长度（距离）为18。
matlab、lingo程序代码1-最短距离
例9 某公司在六个城市c1, c2, …c6 中有分公司，从ici到cj的直接航程票价记在下述矩阵的(I,j)位置上。
（∞表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市c1到其它城市间的票价最便宜的路线图。
clc,cleara=zeros(6);a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;a(3,4)=10;a(3,5)=20;a(4,5)=10;a(4,6)=25;a(5,6)=55;a=a+a';a(find(a==0))=inf;pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a));d(1:length(a))=inf;d(1)=0;temp=1;while sum(pb)<length(a)tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));temp=tb(tmpb(1));pb(temp)=1;index1=[index1,temp];temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));index2(temp)=index1(temp2(1));endd, index1, index2编写LINGO 程序如下：model:sets:cities/A,B1,B2,C1,C2,C3,D/;roads(cities,cities)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 C3,B2 C1, B2 C2,B2 C3,C1 D,C2 D,C3 D/:w,x;endsetsdata:w=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;enddatan=@size(cities); !城市的个数;min=@sum(roads:w*x);@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:@sum(roads(i,j):x(i,j))=@sum(roads(j,i):x(j,i)));@sum(roads(i,j)|i #eq#1:x(i,j))=1;@sum(roads(i,j)|j #eq#n:x(i,j))=1;endmodel:sets:cities/1..11/;roads(cities,cities):w,x;endsetsdata:w=0;enddatacalc:w(1,2)=2;w(1,3)=8;w(1,4)=1;w(2,3)=6;w(2,5)=1;w(3,4)=7;w(3,5)=5;w(3,6)=1;w(3,7)=2;w(4,7)=9;w(5,6)=3;w(5,8)=2;w(5,9)=9;w(6,7)=4;w(6,9)=6;w(7,9)=3;w(7,10)=1;w(8,9)=7;w(8,11)=9;w(9,10)=1;w(9,11)=2;w(10,11)=4;@for(roads(i,j):w(i,j)=w(i,j)+w(j,i));@for(roads(i,j):w(i,j)=@if(w(i,j) #eq# 0, 1000,w(i,j))); endcalcn=@size(cities); !城市的个数;min=@sum(roads:w*x);@for(cities(i)|i #ne#1 #and# i #ne#n:@sum(cities(j):x(i,j))=@sum(cities(j):x(j,i)));@sum(cities(j):x(1,j))=1;@sum(cities(j):x(j,1))=0; !不能回到顶点1;@sum(cities(j):x(j,n))=1;@for(roads:@bin(x));end例12 用Floyd算法求解例9。
图论中的最短路径算法
最短路径算法是图论中的一个重要问题，它用于求取两个顶点之间连接的最短路径。
在现实世界中，我们经常需要找到最短路径，比如在地图导航中，我们希望找到两个地点之间最短的驾车路线，或者在网络通信中，我们需要找到两个节点之间最快的传输路径。
因此，研究图论中的最短路径算法对我们生活和工作都具有重要意义。
在图论中，最短路径算法主要有两种基本思想：Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra于1959年提出的一种贪心算法。
它主要用于解决单源最短路径问题，即给定一个起始顶点，求出该顶点到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断找到当前距离起始顶点最近的顶点来更新顶点之间的距离，直到所有顶点都被标记为已访问。
具体步骤如下：1.初始化距离数组，将起始顶点到其他顶点的距离都设置为无穷大，将起始顶点设为本身的距离为0。
2.选取一个未被访问的顶点，计算起始顶点到该顶点的距离。
如果此距离小于当前记录在距离数组中的距离，则更新距离数组。
3.标记该顶点为已访问。
4.重复2和3步骤，直到所有顶点都被标记为已访问。
Floyd-Warshall算法是由美国计算机科学家Robert Floyd和Stephen Warshall于1962年提出的一种动态规划算法。
它用于解决所有顶点间最短路径问题，即求出任意两个顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法的基本思想是通过递推关系，不断更新所有顶点对之间的最短路径。
具体步骤如下：1.初始化距离矩阵，将没有直接连接的顶点对的距离设为无穷大，将所有直接连接的顶点对的距离设为边的权值。
2.通过三重循环，尝试将每个顶点作为中转顶点，更新其他顶点对之间的最短路径。
如果通过中转顶点可以获得更短的路径，则更新路径。
3.重复2步骤，直到所有顶点对之间的最短路径都被找到。
Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法都是基于图的邻接矩阵或邻接表来进行计算的。
最短路径问题的0-1规划模型,lingo直接求解
解：对于无向图的最短路问题，可以这样理解，从点到点和点到点的边看成有向弧，其他各条边均看成有不同方向的双弧，因此，可以按照前面介绍有向图的最短路问题来编程序，但按照这种方法编写LINGO程序相当于边（弧）增加了一倍.这里选择邻接矩阵和赋权矩阵的方法编写LINGO程序.MODEL:1] sets:2] cities/1..11/;3] roads(cities, cities): p, w, x;4] endsets5] data:6] p = 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 07] 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 08] 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 09] 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 010] 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 011] 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 012] 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 013] 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 114] 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 115] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 116] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;17] w = 0 2 8 1 0 0 0 0 0 0 018] 2 0 6 0 1 0 0 0 0 0 019] 8 6 0 7 5 1 2 0 0 0 020] 1 0 7 0 0 0 9 0 0 0 021] 0 1 5 0 0 3 0 2 9 0 022] 0 0 1 0 3 0 4 0 6 0 023] 0 0 2 9 0 4 0 0 3 1 024] 0 0 0 0 2 0 0 0 7 0 925] 0 0 0 0 9 6 3 7 0 1 226] 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 427] 0 0 0 0 0 0 0 9 2 4 0;28] enddata29]n=@size(cities);30]min=@sum(roads:w*x);31]@for(cities(i) | i #ne# 1 #and# i #ne# n:32] @sum(cities(j): p(i,j)*x(i,j))33] =@sum(cities(j): p(j,i)*x(j,i)));34]@sum(cities(j): p(1,j)*x(1,j))=1;END在上述程序中，第6]行到第16]行给出了图的邻接矩阵，到和到的边按单向计算，其余边双向计算.第17]行到第27]行给出了图的赋权矩阵, 注意：由于有了邻接矩阵，两点无道路连接时，权值可以定义为0. 其它的处理方法基本上与有向图相同.用LINGO软件求解，得到（仅保留非零变量）Global optimal solution found at iteration: 2 0Objective value: 13.00000Variable Value Reduced CostX( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 2, 5) 1.000000 0.000000X( 3, 7) 1.000000 0.000000X( 5, 6) 1.000000 0.000000X( 6, 3) 1.000000 0.000000X( 7, 10) 1.000000 0.000000X( 9, 11) 1.000000 0.000000X( 10, 9) 1.000000 0.000000即最短路径为最短路长度为13.→→→→→→→1256371011。
最短路径算法
最短路径算法最短路径算法是一类用来求解最短距离、最低成本路线的算法，它是很重要的应用性算法之一。
本算法旨在在一些类图形（GG）网络中找到两个顶点之间的最短路径，这种网络必须适合某种最短路径算法，如果GG网络不能很容易地被求解，仍然可以以一定比例增大网络，从而使之满足最短路径的求解要求。
最短路径算法有许多种，其中最常用的有贝尔曼—福德算法（贝尔曼—福特算法）和迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）。
这两种算法都是由一个名叫“道·塞夫·贝尔曼”的德国数据处理专家在20世纪50年代初发明的。
贝尔曼—福德算法应用条件较广，可以求解任意类型网络的最短路径，并且可以在常数时间内完成。
而迪杰斯特拉算法只在GG网络上才能实施，且复杂度比贝尔曼—福德算法高。
贝尔曼—福德算法（也称福德算法）是求解最短路径问题的经典算法，它可以用来求解任意复杂网络两点间最短路径问题。
福德算法的思想是，对于图G=(V,E)中每个顶点，自底向上进行推导，将其分为两步：第一步，构造顶点的松弛树；第二步，搜索最短路径。
主要有以下几步：1、初始化：令v∈V，令d(v)=∞、v(v)=∅，令V0={v1}，有任一源点v；2、松弛：重复以下步骤至V0=V：a）对V0内任一顶点vt，改进d(vt)；b）对所有顶点vn∉V0，改进d(vn)；c）将使d变小的顶点vd加入V0；3、搜索最短路径：找出最短路径，如d(u)<∞，u就存在于最短路径树上，由它的v(u)到达；4、结束：当得到V0=V时，算法结束。
另外，迪杰斯特拉算法（Djkstra's Algorithm）也是一种常用的最短路径算法，为了求解图上任意两点之间的最短路径，提出了一个算法。
特别适用于GG网络。
具体的算法步骤如下：1、初始化：取一给定节点作为源节点，用一个标志数组S[v]（v为网络中节点）存放已求出最短路径的节点，用一个数组D[v]存放源节点到节点v的最短路径长度，D[v]初始化为有向边 <u,v>的权值；2、遍历：找到D[v]中的最小值min，找到此min值对应的节点v1，即可将v1加入到数组S中，表示此节点v1的最短路径已求出；3、更新：将以v1为中间点的<u,v>的有向边的权重值加上D[v1]作为新的最短路径长度乘于 D[v] 中取出；4、重复：重复步骤2、3，直至D[v]中所有值均被取出；5、结束：若所有节点都被取出，则表示最短路径求解完成，算法结束。
最短路径问题(经典)精编版
最短路径问题(经典)精编版
最短路径问题是图论研究中的经典算法问题之一，其目的是在图中寻找两个节点之间的最短路径。
该问题可以分为以下几种情况：已知起始节点，求最短路径；已知终止节点，求最短路径；已知起始和终止节点，求两个节点之间的最短路径；求图中所有节点之间的最短路径。
这些问题的原型包括将军饮马、造桥选址和费马点。
解决最短路径问题需要涉及到许多数学知识，包括线段最短距离、垂线段最短距离、三角形三边关系、轴对称和平移等。
这些知识可以在角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴和抛物线等几何形状中得到应用。
解决最短路径问题的思路是找到对称点，实现折转直的过程。
近年来，出现了一些变式问题，例如三折线转直等，需要考生掌握解决方法。
最短路径问题有许多基本问题，其中包括确定起始节点和终止节点的最短路径问题，求图中所有节点之间的最短路径问
题等等。
在解决这些问题时，需要运用前述的数学知识和解决思路。
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车辆派送问题最短行驶路线的建模分析
车辆派送问题最短行驶路线的建模分析摘要车辆派送选取最短的行驶路线是商业公司经常要考虑的问题，一个最优的派送方案可以使公司的费用降到最低，从而使公司的利益最大化。
通过建立最优化规划模型来解决最优的车辆行驶路径问题，采用0-1整数规划简化模型，通过Lingo软件进行求解，有效解决了问题2中的具体算例，同时也给出了较普遍的求解这一类车辆行驶路径即问题3当客户i的货物需求量q i为随机参数时的数学模型及处理方法。
对于问题1，我们建立的规划模型是在客户的需求量在车辆运送的承载范围之内，我们使用0-1整数规划来解决车辆是否从客户i行驶到客户j这个问题，有效的简化了模型。
然后在考虑中心仓库的车辆数约束、车辆的载物量约束、时间约束、客户需求量约束的约束情况下，设立了行驶路径最短的目标函数。
并在问题1的具体算例中，利用Lingo软件求得了最优的规划方案：车辆最少数位3辆，行驶路径最短为910公里，路线分别为：0-3-1-2-0，0-8-5-7-0，0-6-4-0。
考虑当客户i的货物需求量q i为随机参数的情况下，客户的需求量可能大于车辆的载物量，此时每个客户可能被服务不止一次，我们通过调整约束条件，建立了车辆行驶最短路径的目标函数，使这一类的问题求解有一个更适用的模型。
关键词：车辆行径问题；0-1整数规划；目标规划模型；LINGO软件一、问题重述随着社会经济的日益发达和商业活动的日益频繁，合理的货物派送路径成了商业公司密切关注的问题。
车辆路径问题（VRP ）是指给定一个或多个中心仓库、一个车辆集合和一个客户集合，每个客户有自己不同的货物需求，由车辆集合进行派送，要求在满足一定约束条件的情况下，组织合理的行车路线，达到路径最短、成本最少、或时间最短等目的。
一个商品基地，拥有一定数量容量为Q 的车辆，负责对N 个客户进行货物派送工作，客户i 的货物需求量为q i ，且i q Q <，车辆必须在一定的时间范围[],i i a b 内到达，早于i a 到达将产生等待损失，迟于i b 到达将处以一定的惩罚，给出使派送费用最小的车辆行驶路径问题的数学模型及其求解算法。
LINGO软件简介
LINGO 软件简介LINGO 软件是一个处理优化问题的专门软件,它尤其擅长求解线性规划、非线性规划、整数规划等问题.一个简单示例有如下一个混合非线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+++---+为整数2132121321322212121,;0,,210022..15023.027798max x x x x x x x x x x t s x x x x x x x .LINGO 程序模型：max =98x1+277x2-x1^2-0.3x1x2-2x2^2+150x3; x1+2x2+2x3<=100; x1<=2x2;gin x1;gin x2; Lingo 默认变量非负注意：binx 表示x 是0-1变量；ginx 表示x 是整数变量；bndL,x,U表示限制LxU ；freex 表示取消对x 的符号限制,即可正、可负.结果：Global optimal solution found.Objective value: 9561.200 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 45 Variable Value Reduced CostX1 6.000000 -76.70000X2 31.00000 -151.2000X3 16.00000 -150.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 9561.200 1.0000002 0.000000 0.0000003 56.00000 0.000000———————— 非常简单在LINGO 中使用集合为了方便地表示大规模的规划问题,减少模型、数据表示的复杂程度,LINGO 引进了“集合”的用法,实现了变量、系数的数组化下标表示.例如：对⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-==≤++∑=.,,;10)0(;4,3,2,1),()())()1()(;4,3,2,1,20)(..)}(20)(450)(400{min4,3,2,1均非负INV OP RP INV I I DEM I OP I RP I INV I INV I I RP t s I INV I OP I RP I求解程序：model :sets :mark/1,2,3,4/:dem,rp,op,inv;也可以vmark/1..4/:dem,rp,op,inv;endsetsmin=sum mark:400rp+450op+20inv;也可以markI:400rpI+450opI+20invI;for markI: rpI<40;for markI|Igt1: invI=invI-1+rpI+opI-demI;inv1=10+rp1+op1-dem1;data:dem=40,60,75,35;enddataend上面程序在model…end之间有1集合定义、2数据输入和3其他三部分内容.集合定义部分从sets：到endsets：定义了一个指标集合mark可以理解为数组下标及其范围和其4个属性dem、rp、op、inv用此向量的数组变量.数据输入部分从data：到enddata依次给出常量dem的值.其他部分：给出优化目标及约束.一般而言,LINGO中建立优化模型的程序可以由五部分组成,或称为五段section：1集合段SETS：这部分以“SETS：”开始,以“ENDSETS”结束,作用在于定义必要的集合变量SET及其元素member,含义类似于数组的下标和属性attribute,含义类似于数组.2目标与约束段：这部分实际上定义了目标函数、约束条件等,但这部分没有段的开始和结束标记；该段一般常用到LINGO内部函数,尤其是和集合相关的求和函数SUM和循环函数FOR等.3数据段DATA：这部分以“DATA：”开始,以“ENDDATA”结束,作用在于对集合的属性数组输入必要的常数数据.格式为：attribute属性=value_list常数列表;常数列表中的数据之间可以用逗号、空格或回车符分隔.如果想要在运行时才对参数赋值,可以在数据段使用输入语句,其格式为“变量名=；”,但仅限对单个变量赋值,而不能用于属性变量数组的单个元素.4初始段INIT：这部分以“INIT：”开始,以“ENDINIT”结束,作用在于对集合的属性数组定义初值因为求解算法一般是迭代算法,提供一个较好的初值,能提高计算效果.定义初值的语句格式为：attribute属性=value_list常数列表;这与数据段中的用法类似.5计算段CALC：这部分以“CALC：”开始,以“ENDCALC”结束,作用在于对一些原始数据进行预处理加工,使其成为模型直接需要的数据.该段中通常是计算赋值语句.基本集合与派生集合为了处理二维数组变量等有多个下标的问题,LINGO引入了“派生集”的概念.我们把直接列出元素的指标集合叫“基本集合”,而基于其他集合派生出来的二维或多维指标集合称为“派生集”.派生集的定义格式为：派生集名原始集合1,原始集合2,…,原始集合n：属性变量列表；实际上就是笛卡儿积的意思,即：派生集={i1,i2, (i)n| i1集合1, i2集合2,…, in集合n}.1一个应用例子布局问题：某些建筑工地的位置用平面坐标a,b表示及水泥日用量d已知.现有A、B两临时料场位于P5,1、Q2,7,日储量20.问A、B两料场分别向各工地运输多少吨水泥,使总吨公里数最小若重新安排两料场的位置,应怎样安排才能使总吨公里数最小这样安排可节省多少吨公里设工地位置ai ,bi,水泥日用量为dii=1,2,…,6；料场位置xi,yi,日储量ej,j=1,2；从料场j向工地i运送量为cij.该问题的数学模型为：LINGO求解程序为：MODEL:sets:Imark/1..6/:a,b,d;Jmark/1,2/:x,y,e;IJmarkImark,Jmark:c;endsetsdata:Location for demand需求点位置;a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25;b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75;Quantities of the demand and supply供需量;d=3,5,4,7,6,11;e=20,20;enddatainit:Initial location for the supply初始点;x,y=5,1,2,7;endinitObjective function目标;OBJ min=sum IJmarki,j: ci,jxj-ai^2+yj-bi^2^1/2; demand contraints需求约束;for Imarki:DEMAND_CON SUM Jmarkj:ci,j=di;; supply constrains供给约束;for Jmarkj:SUPPLY_CON SUM Imarki:ci,j<=ej;;for Jmark: free x;free y;;2一个动态规划的例子：最短路问题从S城市到T城市之间找一条最短路径,道路情况如下：数学模型为：LINGO求解程序：model:sets:cities/s,a1,a2,a3,b1,b2,c1,c2,t/:L; 属性Li表示城市S到城市i的最优行驶路线的里程;roadscities,cities/ 派生集合roads表示的是网络中的道路;s,a1 s,a2 s,a3 由于并非所有城市间都有道路直接连接,所以将路具体列出;a1,b1 a1,b2 a2,b1 a2,b2 a3,b1 a3,b2b1,c1 b1,c2 b2,c1 b2,c2 属性Di,j是城市i到城市j的直接距离已知;c1,t c2,t/:D;endsetsD= 6 3 36 5 8 67 46 7 8 95 6;L=0,,,,,,,,; 因为Ls=0;enddatafor citiesi|igt index s: 这行中"indexs"可以直接写成"1";Li=min roadsj,i:Lj+Dj,i;; 这就是最短路关系式;endVariable ValueL S0.000000L A16.000000L A23.000000L A33.000000L B110.00000L B27.000000L C115.00000L C216.00000L T20.00000最短路径为： S-〉A3-〉B2-〉C1-〉T3指派问题设有6个人做6件事.其中cij表示第i人做第j事的收益；设第i人做第j事时xij =1,否则xij=0.该问题的规划模型：说明：其中“-”表示某人无法做该事.可令其为-表示绝对不行或0领薪不用干活LINGO求解程序：MODEL:sets:Imark/1..6/:i;Jmark/1..6/:j;IJmarkImark,Jmark:c,x;endsetsdata:第i人做第j事的收益;c=20,15,16,5,4,717,15,33,12,8,69,12,18,16,30,1312,8,11,27,19,14-99,7,10,21,10,32-99,-99,-99,6,11,13;enddataOBJ max=sum IJmarki,j: cx;每人做一项工作;for Imarki: SUM Jmarkj:xi,j=1;;每事一人做;for Jmarkj: SUM Imarki:xi,j=1;;for IJmark: bin x;本约束可以不要,因为有解时必为0或1; END4生产与销售计划问题某公司用两种原油A 和B 混合加工成两种汽油甲和乙.甲、乙两种汽油含原油A 的最低比例分别为50%和60%,每吨售价分别是4800元和5600元.该公司现有原油A 和B 的库存量分别为500吨和1000吨,还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A.原油A 的市场价为：购买量不超500吨时单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超1000吨时,超过500吨部分单价为8000元/吨；购买量超过1000吨部分的单价是6000元/吨.该公司应如何安排原油的采购和加工以获得最大利润数学模型： 设原油A 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别是x11和x12,原油B 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别是x21和x22；购买原油A 的数量是x 吨,采购支出为cx 千元/吨.为了处理分段函数cx,将原油采购量x 分解为对应价格10千元/吨的采购量x1、对应对应价格8千元/吨的采购量x2和对应价格6千元/吨的采购量x3,它们应满足：0)500(21=-x x 表示要么x1=500要么x2=0,即x1的量不达到500时x2=00)500(32=-x x 表示要么x2=500要么x3=0,即x2的量不达到500时x3=0此时采购支出3216810)(x x x x c ++=模型改变为：LINGO 求解程序：model :init:x1=500;x2=500;x3=0;x12=1500;x22=1000;x11=0;x21=0;endinitmax=4.8x11+4.8x21+5.6x12+5.6x22-10x1-8x2-6x3; x11+x12<=x+500;x21+x22<=1000;0.5x11-0.5x21>=0;0.4x12-0.6x22>=0;x=x1+x2+x3;x1-500x2=0;x2-500x3=0;bnd0,x1,500;bnd0,x2,500;bnd0,x3,500;。
最短路径计算
最短路径计算
最短路径计算是指在一个有向图或无向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的路径中，经过的边的权重之和最小的路径。
常见的最短路径算法有迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）、弗洛伊德算法（Floyd-Warshall algorithm）、贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford algorithm）等。
迪杰斯特拉算法是一种单源最短路径算法，可以求解从指定起点到其他所有顶点的最短路径。
算法的基本思想是，先将所有顶点的距离初始化为无穷大，再将起点的距离设为0。
然后，依次从距离最小的顶点开始，更新其他相邻顶点的距离，直到所有顶点的最短路径长度确定。
弗洛伊德算法是一种多源最短路径算法，可以求解任意两个顶点之间的最短路径。
算法的基本思想是，不断迭代更新每对顶点之间的最短路径长度，最后得到所有顶点之间的最短路径。
贝尔曼-福特算法是一种适用于带有负权边的图的最短路径算法，可以求解从指定起点到其他所有顶点的最短路径。
算法的基本思想是，先将所有顶点的距离初始化为无穷大，再将起点的距离设为0。
然后，依次对所有边进行松弛操作，即通过更新边的终点的距离，逐步缩小最短路径的范围。
最短路径计算在实际应用中有广泛的用途，例如在网络路由、地图导航、货物配送等领域都有重要的应用。
最短路程问题(lingo)
例3.5（最短路问题）在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一城市的最短路。假设图3-1表示的是该公路网，节点表示货车可以停靠的城市，弧上的权表示两个城市之间的距离（百公里）。那么，货车从城市S出发到达城市T，如何选择行驶路线，使所经过的路程最短？
4,7 4,8
5,7 5,8 5,9
6,8 6,9
7,10
8,10
9,10
/: D, P;
endsets
data:
D=
6 5
3 6 9
7 5 11
9 1
8 7 5
4 10
5
7
9;
enddata
F(n)=0;
@for(cities(i) | i #lt# n:
F(i)=@min(roads(i,j): D(i,j)+F(j));
【分析】此例的本质是求从城市A到城市D的一条最短路。
最短路问题的数学表达式
假设图有n个顶点，现需要求从顶点1到顶点n的最短路，设决策变量为xij，当xij=1说明弧（i,j）位于顶点1至顶点n的路上；否则xij=0。其数学规划表达式为
；
S．t．
下面介绍的方法是按照规划问题设计的LINGO程序，程序名exam0708.lg4.
Variable Value
N 10.00000
F( 1) 17.00000
F( 2) 11.00000
F( 3) 15.00000
F( 4) 8.000000
F( 5) 13.00000
F( 6) 11.00000
F( 7) 5.000000
F( 8) 7.000000
F( 9) 9.000000
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例7.4 最短路问题 给定N 个点
),,2,1(N i p i 组成集合}{i p ，由集合中任一点i p 到另一点j
p 的距离用ij c 表示，如果i p 到j p 没有弧联结，则规定 ij c ，又规定
)1(0N i c ii ，指定一个终点N p ，要求从i p 点出发到N p 的最短路线。
这里我们用动
态规划方法来做。
用所在的点i p 表示状态，决策集合就是除i p 以外的点，选定一个点j p 以
后，得到效益ij c 并转入新状态j p ，当状态是N p 时，过程停止。
显然这是一个不定期多阶
段决策过程。
定义)(i f 是由i p 点出发至终点N p 的最短路程，由最优化原理可得
0)(1,,2,1)},({min )(N f N i j f c i f ij j
这是一个函数方程，用LINGO 可以方便的解决。
!最短路问题;
model :
data :
n=10;
enddata
sets :
cities/1..n/: F; !10个城市;
roads(cities,cities)/
1,2 1,3
2,4 2,5 2,6
3,4 3,5 3,6
4,7 4,8
5,7 5,8 5,9
6,8 6,9
7,10
8,10
9,10
/: D, P;
endsets
data :
D=
6 5
3 6 9
7 5 11
9 1
8 7 5
4 10
5
7
9;
enddata
F(n)=0;
@for (cities(i) | i #lt# n:
F(i)=@min (roads(i,j): D(i,j)+F(j));
);
!显然，如果P(i,j)=1,则点i 到点n 的最短路径的第一步是i --> j ，否则就不是。
由此，我们就可方便的确定出最短路径;
@for (roads(i,j):
P(i,j)=@if (F(i) #eq# D(i,j)+F(j),1,0)
); end。