201709年高考数学平面向量.doc

高三第二轮专题训练—《平面向量》2009年5月5日星期二 一、本章知识结构：二、重点知识回顾:1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、x 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底. 任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =xi +yj ，(x ，y)叫做向量a 的(直角)坐标，记作a=(x ，y)，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，特别地，i =(1，0)，j=(0，1)，0 =(0，0).a = A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121AB =(x x y y )-- ，，|AB |=.3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0 ；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.(注：a|a |就是单位向量)4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a//b//c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量. 5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法： ①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则.②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差.即:a b a +(b)-=-；差向量的意义：OA a = , OB b =, 则BA a b =- ；③平面向量的坐标运算：若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a +b =(x 1+ x 2，y 1+y 2)，a b - =(x 1－ x 2，y 1－y 2)，λa =(λx λy)，； ④向量加法的交换律：a +b =b +a；向量加法的结合律：(a +b)+c =a +(b +c)；7.实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa(1)|λa |=|λ||a |；(2)λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =0 ；(3)运算定律λ(μa )=(λμ) a ，(λ+μ) a =λa +μa ，λ(a b +)=λa +λb8.向量共线定理 向量b 与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b a =λ.ba a b+ ba a b-9.平面向量基本定理：如果1e ，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . (1)不共线向量1e ，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e ，2e的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e唯一确定的数量. 10.向量a 和b的数量积：①a b |a ||b |cos ⋅=⋅θ，其中θ∈[0，π]为a 和b②|b |cos θ称为b 在a 的方向上的投影；③a b ⋅ 的几何意义是：b 的长度|b|在a 的方向上的投影的乘积，是一个实数(可正、可负、也可是零)，而不是向量；④若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)， 则1212a b =x x +y y ⋅；⑤运算律a b b a ⋅=⋅ ，(a)b a (b)(a b)λ⋅=⋅λ=λ⋅ ，(a b)c a c b c +⋅=⋅+⋅；⑥a 和b 的夹角公式：a b cos θ=a b⋅⨯ =；⑦22a a a |a |⋅== =x 2+y 2，或|a |=|a |==⑧|a b ||a ||b |⋅≤⋅ .11.两向量平行、垂直的充要条件: 设a=(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，①a b a b 0⊥⇔⋅= ，1212a b a b x x y y 0⊥⇔⋅=+=；②a//b (a 0)≠ 充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b a =λ.1221a//b x y x y =0⇔-.向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆.12.中点坐标公式：1212x x y y ()22++，， 三角形重心公式： 123123x +x +x y +y +y ()33，. 三、方法总结与考点剖析(一)方法总结1.以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便；2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解； (二)考点剖析考点一：向量的概念、向量的基本定理 【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型. 考点二：向量的运算【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合.考点三：向量与三角函数、向量与解析几何的综合问题 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形、向量与解析几何的的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题.向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求；向量与解析几何的综合问题也是高考经常出现的问题，一定注重向量坐标化．．．．．. 四、典型试题演练： 一、选择题：1.已知A (3，7)，B (5， 2)，向量AB 按a= (1，2)平移后的得向量是A. (2，5)B.(3，–3)C.(1， –7)D.以上都不是2.设a ，b为非零向量，下列命题中假．命题的是 A.|a ||b ||a b |+=+a 与b 同向共线B.|a ||b ||a b |+=-⇔a 与b 反向共线C.a 与b 不共线⇔若12λa λb 0+=，则λ1=λ2=0 D.pa pb =(P ∈R) ⇔a b =3.如图，M 是△ABC 的重心，则MA +MB MC -为 A.0B.4MFC.4MDD.4ME4.设|a |2= ，|b |1=，a 与b 夹角为60°，要使kb a - 与a 垂直，则k 的值为 A.1 B.2 C.3 D.45.已知A 、B 、C 三点共线，且A (3，–6)，B (–5，2)，若C 点横坐标为6， 则C 的纵坐标是 A.–13 B.9 C.–9 D. 136.已知平面上直线l 的方向向量43e ()55=- ，，点O(0，0) 和A(1， –2)在l 的射影分别是O 1， A 1，则11O A e =λ其中λ=A.–511 B.511 C.–2 D.27.(2007上海)直角坐标系xOy 中，i j，分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若AB =2i +j ，AC =3i +k j，则k 的可能值个数是Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.48.(2008湖北文、理)设a =(1，－2)，b =(－3，4)，c =(3，2)，则(a 2b)c +=A.(－15，12)B.0C.－3D.－119.(2008广东文)已知平面向量a (12)b (2m)==-，，，，且a //b ，则2a +3b =A.(－2，－4)B.(－3，－6)C.(－4，－8)D.(－5，－10)10.(2008海南、宁夏文)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），λa +b与a垂直，则λ是A. －1B. 1C. －2D. 211.(2008广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若AC =a , BD =b ，则AF =A. 11a +b 42B.21a +b 33C.21b +c 33D.12a +b 3312.(2007湖北)将x πy =2cos(+)36的图象按向量πa =(2)4-- ，平移，则平移后所得图象的解析式为 Ａ.x πy =2cos(+)234-Ｂ.x πy =2cos()+234-Ｃ.x πy =2cos()2312--Ｄ.x πy =2cos(+)+231213.在△ABO 中，OA =(2cos α 2sin α) ，， OB =(3cos β 3sin β)，，若OA OB =3⋅-，则S △ABO 等于A.3B.23C.233 D.33 14.如图，在平面斜坐标系xoy 中，∠xoy = 60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义的，若12OP xe ye =+ (其中1e ，2e分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量)，则P 点的斜坐标 为(x ， y)，则以O 为圆心，1为半径的圆A.x 2 + y 2 = 1B.x 2 + y 2 + xy = 1C.x 2 + y 2 – xy = 1D.x 2 + y 2 + 2xy = 115.设F (x) = f (x) + f (–x)，x ∈R ，π[π]2--，是函数F (x)的单调递增区间将 F(x)的图象按a =(π 1)，平移得到一个新的函数G (x)的图象，则G (x)的单调 递减区间必定是A.π[10]2-，B.π[π]2， C.3[ππ]2， D.3[π2π]2，二、填空题：16.直线l 的方向向量为(–1，2)，直线的倾斜角为α，则tan2α=______.17.在△ABC 中，设AB a = ，AC b = ，点D 在线段BC 上，且BC 3DC =，则AD 用a b ，表示为_______.18.已知向量a 1)= ，向量b (sin m cos )=α-α ，，α∈R 且a //b ，则m 的最小值为 ____. 19.在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (–3， 4)，若点C 在∠AOB的平分线上，且|OC |=2，则OC =_______.20.在△ABC中，ΔABC πA =b =1S =3，，，则a+b+c __sinA +sinB +sinC=. 21（2007陕西）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中与OA与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且||OA |=|OB|=1，|OC|= 若OC OA OB =λ+μ(λ，μ∈R )，则λ+μ的值为 .22.(2008江苏)已知向量a 和b 的夹角为1200，|a |=1|b |=3 ，，|5a b |=- ． 三、解答题：1. (2008深圳福田)已知向量a =cosx)，,b =(cosx cosx) ，，函数f(x)=2a b 1⋅-.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当ππx []62∈，时, 若f(x)=1求x 的值．ABCO2.(2007山东文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tanC=(1)求cosC ；（2）若5CB CA =2⋅ ，且a+b=9，求c ．3.(2008广东六校联考)已知向量33a =(cosx sin x)22，， 11b =(cos x sin x)22- ，，且πx [0]2∈，． (1)求|a b |+ ；(2)设函数f (x)a b a b =++⋅，求函数f(x)的最值及相应的x 的值.4.如图在Rt ∆ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ与BC 的夹角θ取何值时， BP CQ ⋅的值最大？并求出这个最大值.高三第二轮专题训练—《平面向量》答案3.解：∵MA +MB MC 0+= ，∴MA +MB MC =-， ∴MA +MB MC 2MC 2CM 4MF -=-== .4.解：∵2(kb a)a kb a |a |k 40-⋅=⋅-=-= ，∴k = 4.5.解：A 分BC 的比为83，代入公式即得C (6, –9)，故选C.6.解：λ=|λ=|OA|cos OA e <> ，=|OA |(OA e)OA e==2|OA ||e||e |⋅⋅⋅-⨯. 7.解：如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2，1)C 点坐标为(3，k)，所以C 点在直线x=3上，由图知， 只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B点评巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想，8.解:a 2b +=(1，－2)+2(－3，4)=(－5，6)，(a 2b)c +=(－5，6)(3，2)=－3，选C点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字.9.解：由a //b，得m ＝－4，所以，2a +3b＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)，故选（C ）。