不等式(学生版)
第九章不等式知识点总结(学生版)
第九章不等式知识点一、不等式的概念：像156>155，155<156，x>50，这样，我们把用符号“>”或“<”连接而成的式子叫做不等式.像a ≠2这样的式子也叫做不等式. 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0 （2）4x+3y<0 （3）x=3 （4） x2+xy+y2 （5）x ≠5 （6）x+2>y+5 属于不等式的有： 不属于不等式的有：例1 用不等式表示数量关系：（1）x 的5倍大于-7 解： （2）a 与b 的和的一半小于-1 解：（3）长、宽分别为xcm ，ycm 的长方形的面积小于边长为acm 的正方形的面积.解：例2 已知一支圆珠笔x 元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y 元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x ，y 的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？ 请列出方程式： 二、不等式的解的概念：我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”，与方程类似 , 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解. 例如：100是x>50的解.代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.1、判断下列数中哪些是不等式50x 32＞的解，对的打√，错的打×.x x60 73 74.9 75.1 76 79 80 90 50x 32＞那么50x 32＞不等式有多少个解？ 答：三、不等式的解集及解不等式的概念：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 求不等式的解集的过程叫解不等式. 注：（不等式的解和不等式的解集不一样）（不等式的解与解不等式不一样） 1、下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集四、解集的表示方法：第一种:用式子,即用最简形式的不等式(如x>a 或x<a)来表示.第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 1、画数轴; 2、定界点; 3、定方向. 利用数轴来表示下列不等式的解集：(1)x ＞-1 (2) x ＜211、用不等式表示下列数量关系：（1）a 是正数 解：（2）x 比-3小 解： （3）两数m 与n 的差大于5 解：2、下列不是不等式5x －3<6的一个解的是( ) A.1 B.2 C.－1 D.－23.在数轴上表示不等式3x ＞5的解集，正确的是( )A BC D9.1.2 不等式的性质不等式基本性质1: 不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或（式），不等号的方向不变.即，如果a>b ，那么 a + c > b + c ，且 a-c>b-c.不等式基本性质2： 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即，如果a > b ，c > 0，那么 ac > bc ，c a >c b. 不等式基本性质3： 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即，如果a > b ，c < 0，那么 ac < bc ，c a <cb . 例1（1）已知 a>b ，则3a 3b （运用了不等式基本性质 ） （2）已知 a>b ，则-a -b （运用了不等式基本性质 ）（3）已知 a<b ，则23a +- 23b+-（运用了不等式基本性质 和 ）例2 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示不等式的解集： (1) x-7＞26 (2) 3x<2x+1(3)x 32＞50 (4) -4x ＞39.1.2 不等式的性质（含“≤”“≥”的不等式）我们把用不等号（>,<,≥,≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.其中“≥”读作大于等于，“≤”读作小于等于.常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号：例1、某长方体形状的容器长5cm,宽10cm,容器内原有水的高度为3cm,现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V 的取值范围并在数轴上表示.（注：新注入水的体积V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积）利用不等式的性质解不等式的注意事项：1、在运用性质3时,要特别注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.2、要注意区分“大于” “不大于”“小于”“不小于”等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言用数学符号准确地表达出来.3.在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心或实心.例2、小希就读的学校上午第一节课上课时间是8点开始.小希家距学校有2千米,而她的步行速度为每小时10千米.那么,小希上午几点从家里出发才能保证不迟到？关键 词 语 第一类：明确表明数量的不等关系第二类：明确表明数量的范围特征 ①大于 ②比…大 ③超过①小于 ②比…小 ③低于①不小于 ②不低于 ③至少①不大于 ②不超过 ③至多正 数负 数非 负 数非 正 数不 等 号＞﹤≥≤＞0﹤0≥0≤0。
高1数学第2讲：基本不等式(学生版)
第2讲基本不等式(Inequation)一分钟破案1、一个公安局长在茶馆与一位老头下棋。
正下到难分难解时，跑来一个小孩，小孩着急的对公安局长说：“你爸爸和我爸爸在外面吵起来了。
”“这孩子是你什么人？”老头问。
公安局长答道：“是我的儿子。
”请问：两个吵架的人与这位公安局长什么关系？2、篮子里有四个苹果，由四个小孩平均分完，到最后，篮子里还有一个苹果。
请问：他们是怎办到的？3、夏天的中午，虽然天气很热，但广场上还是人来人往，十分热闹。
突然，人群中传来女人的尖叫，原来有人抢走了她的挎包，并飞快的逃走了。
附近的巡警闻讯赶来，可是广场上的人实在太多了，那个窃匪早已消失在人群中。
福尔摩斯正巧从广场经过，听到动静也赶了过来。
他观察了一下周围的环境，指着正在花坛里浇花的花匠对警察说：“抓住他，他就是嫌疑犯。
”你知道福尔摩斯是怎么认出那个窃匪的吗？一．基本不等式①22b a +≥ab 2 （b a 、∈R ）②b a +≥ ab 2 （b a 、∈+R ） ③2)2(b a +≥ab （b a 、∈+R ） ④a b b a +≥2 （b a 、同号）二．平方平均数、算数平均数、几何平均数、加权平均数之间的关系222b a +≥2b a +≥ab ≥ba 112+ （b a 、∈+R ） 拓展：n a a a n22221...+++≥n a a a n+++...21≥n n a a a ...21⋅≥n a a a 1 (112)21+++（n a a a ...21、∈+R ）三．绝对值不等式①b a -≤b a ±≤b a +柯西不等式（2221a a +）（2221b b +）≥22211)(b a b a +拓展：（22221...n a a a +++）（22221...n b b b +++）≥22211)...(n n b a b a b a +++1．取等号的条件2．在绝对值不等式中，去绝对值的条件1． 已知0＞t ，则函数tt t y 142+-=的最小值是_______________。
高考数学复习讲义 不等式(学生版)
高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。
第1讲 不等式的性质(学生版)
不等式的性质★考试大纲解读★考点知识梳理（I ）不等式的性质1. 对称性：a b b a >⇔<；2. 传递性：a b >，b c >a c ⇒>；3. 加法法则：（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）a b >，c d >a c b d ⇒+>+；4. 乘法法则：（1）a b >，0c >ac bc ⇒>；（2）a b >，0c <ac bc ⇒< （3）0a b >>，0c d >>ac bd ⇒>； 5. 倒数法则：a b >，0ab >11a b⇒<； 6. 乘方法则：0a b >>n n a b ⇒>（n N *∈且1n >）；7. 开方法则：0a b >>>n N *∈且1n >）.注意：⑴同向可加性及同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等式；⑵不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.只有a b b a >⇒<，a b a c >⇒+> b c +是可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充分条件还是必要条件.★题型分类精讲题型一 实数大小的比较作差比较两数（式）大小的依据是：0a b a b >⇔->；0a b ab <⇔-<；a b =⇔ 0a b -=.作商比较两数（式）大小的依据是：a 、0b > ，1a a b b >⇒>；a 、0b < ，1a a b b>⇒<.【例1】比较下列各组中两个数或代数式的大小：（1 （2）()()4422a b a b ++与()233a b+【例2】设0a >，0b >且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.【例3】（1）已知a ，b ，m ，n 均为正数，且1a m b n <<，比较am bn 与a mb n++的大小. （2）已知0a >，0b >且a b ≠，比较a ba b 与()2a b ab +的大小.【例4】已知0a b +>，则22a b b a +与11a b+的大小关系是__________________. 在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.1. 作差法证明不等式：【例5】已知a 、b R +∈ ，n N +∈，m N +∈，且1m n ≤≤.求证：n n n m m m n m a b a b a b --+≥+.1. 作商法证明不等式：【例6】已知a ，b ，c 为互不相等的正数，求证：222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.2. 用不等式性质证明不等式【例7】若0a b >>，0c d <<，0e <，求证：e e a c b d>--.在使用不等式的性质时，一定要高清它们成立的前提条件. 例如：①在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a b ≤，b c <a c ⇒<.②在乘法法则中，要特别注意“乘数c ”的符号，例如当0c ≠时，有22a b ac bc >⇒>；若无0c ≠这个条件，则22a b ac bc >⇒>就是错误结论.③“0a b >>()0,1nna b n N n ⇒>>∈>”成立的条件是“n 为大于1的自然数，0a b >>”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取1n =-，3a =，2b =，那么就会出现“1132-->，即1132>”的错误结论；假如去掉“0b >”这个条件，取3a =，4b =-，2n =，那么就会出现“()2234>- ” 的错误结论.注意：⑴使用不等式性质判断一些不等式是否成立是高考考查的重点内容，在正确使用不等式性质的同时，还要注意不等式与指数、对数函数性质的综合应用；⑵此类题目常用的解法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是利用赋值法排除错误答案. 【例8】适当增加不等式条件使下列命题成立. （1）若a b >，则ac bc ≤； （2）若22ac bc >，则22a b >； （3）若a b >，则()()lg 1lg 1a b +>+； （4）若a b >，c d >，则a b d c>.【例9】设11a b >>>-，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b < B. 11a b> C. 221a b > D. 2a b >【例10】设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则34x y的最大值是_________.处理此类问题严格根据不等式的基本性质和运算法则，是解答此类题目的关键. 【例10】设()2f x ax bx =+，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则()2f -的取值范围为____________________.错解：（很多学生容易犯这种错误）若由1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩ ，得332302a b ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩，得()324212f a b ≤-=-≤，错因在于多次运用同向不等式相加这一性质（单向性），不是等价变形，导致()2f -取值范围扩大，而正确的取值范围应为它的子集.另外，题中a ，b 不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来.先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的一条途径.（此外，本题可利用线性规划求解）解法一：设()()()211f mf nf -=-+ （m 、n 为待定系数）则， ()()42a b m a b n a b -=-++ 即， ()()42a b m n a n m b -=++-于是，得 42m n n m +=⎧⎨-=-⎩ ，解得31m n =⎧⎨=⎩∴ ()()()2311f f f -=-+又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤，故 ()5210f ≤-≤解法二：此题也可以这样处理：由()()11f a b f a b -=-⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，得()()()()11121112a f f b f f ⎧=-+⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩ ∴ ()()()242311f a b f f -=-=-+ 又 ()112f≤-≤，()214f ≤≤ ∴ ()()531110f f ≤-+≤ ， ∴ ()5210f ≤-≤【例10】已知13a b -<+<且24a b <-<，求23a b +的取值范围.分析：将23a b +用a b +和a b -表示出来，再利用不等式的性质求解23a b +的取值范围.警示：此类题常见的错误解法是由a b +，a b -的范围得出a 、b 的范围，又进一步得ma nb ±的范围，容易扩大范围，本题还可以利用线性规划的方法求解.同 步 习 题（一）一、基本训练 1.下列结论对否：(1),,n n a b c d ac bd n N >=⇒>∈（ ）()222a b a b c c >⇒>（ ） ()1130a b ab a b><⇒<且 （ ）()40,0a b c d ac bd <<<<⇒> （ ）()N n b a b a n n ∈〉⇒〉,5 （ ）()b a b b a 〈〈-⇒〈6 （ ） 2. 11a b a b>⇔<成立的充要条件为 3. 已知A n (n,a n )为函数y=12+x 上的点,B n (n,b n )为函数y=x 上的点,其中n ∈N *,设c n =a n -b n ,则c n 与c 1+n 的大小关系为___________二、能力提高4. 比较下面各小题中a 与b 的大小：(1)a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3 (2)a =3x 2－x ＋1与b =2x 2＋x －1 (3)10231=-=b a 与 .5. a ＞0，a ≠1，t ＞0，比较m =t a log 21与n =21log +t a 的大小.6. 6. 设()2f x px qx =+，且()214f ≤-≤，()416f ≤≤，求()2f -的取值范围.同 步 习 题（二）一、基础练习1、下列命题中正确的是…………………………………………………… ( ) (A )22,a b a b >>若则 (B ) 22,a b a b >>若则 (C ) 22,a b a b >>若则(D ) 22,a b a b >>若则2、设110a b<< ，则 ……………………………………………………… （ ）(A ) 22a b > (B ) a b +> (C ) 2ab b < (D ) 22a b a b +>+ 3、若,0a b c a b c >>++=,则有…………………………………………… ( ) (A ) ac ab 〉 (B ) bc ac 〉 (C ) bc ab 〉 (D )以上皆错 4、若,0ac bd a b >>>, …………………………………………………………( ) (A ) 0c d >> (B ) c d > (C ) c d < (D )c 、d 大小不确定 5、以下命题：⑴a >b ⇒|a |>b ；⑵a >b ⇒a 2>b 2 ；⑶|a |>b ⇒ a >b ；⑷a >|b | ⇒ a >b 正确的个数有………………………………………………………………（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个6、如果二次函数)(x f y =的图象过原点，并且1≤)1(-f ≤2,3≤)1(f ≤4,则)2(-f 的取值范围__________________.7、已知2,2>>b a ，试比较ab b a 与+的大小______________. 8、比较下列各数的大小： (1))11(log ),1(log an a m a a +=+=，则m _______ n 。
基本不等式经典例题(学生用)
基本不等式知识点：1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,Rb a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若0>ab ，则2≥+a bb a(当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222ba b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注意：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值例：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
例：求函数2y =的值域。
2.不等式(学生)
第三章 不等式31、0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．32、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+； ④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>>∈N >．33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++=()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a-=()12x x <有两个相等实数根122b x x a==-没有实数根一元二次不等式的解集20ax bx c ++>()0a >{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >{}12x xx x <<∅ ∅35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．38、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．39、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=．①若0B >，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=下方的区域．②若0B <，则0x y C A +B +>表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表示直线0x y C A +B +=上方的区域．40、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．41、设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数．42、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥2a b+≥． 43、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．44、极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值数学5（必修）第三章：不等式 [基础训练A 组] 一、选择题1．若02522>-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ）A ．54-xB ．3-C ．3D ．x 45- 2．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 3．若122+x ≤()142x -，则函数2x y =的值域是（ ）A ．1[,2)8B ．1[,2]8C ．1(,]8-∞ D ．[2,)+∞4．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b >5．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1 B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值6．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小, 则a 的取值范围是 ( )A ．31a -<<B ．20a -<<C ．10a -<<D ．02a <<二、填空题1．若方程2222(1)34420x m x m mn n ++++++=有实根，则实数m =_______；且实数n =_______。
第01讲 等式性质与不等式性质(学生版)
第1讲 等式性质与不等式性质知识点01 等式的性质等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c .【微点拨】利用等式的相关性质来处理与相等关系有关的问题，比如说：等式的变形（化简）、解方程与方程组等.【即学即练1】方程2312360x x --+= 的解为 .知识点02 不等关系及不等式【微点拨】用数学式子表达不等关系时，一定要在读懂题的要求下用准确的不等关系表达变量间的关系，特别要注意的是等号的包含与不包含.【即学即练2】一般认为，民用住宅窗户面积a 与地板面积b 的比应不小于10%，即1110a b≤<，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m ，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示__________【即学即练3】为了庆祝我们伟大祖国70周年华诞，某市世纪公园推出优惠活动.票价降低到每人5元；且一次购票满30张，每张再少收1元.某班有27人去世纪公园游玩，当班长王小华准备好了零钱到售票处买票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的浪费？谈谈你们的看法.知识点03 不等式的相关性质不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b ，ab>0⇒1a <1b . ②a<0<b ⇒1a <1b . ③a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d .④0<a<x<b 或a<x<b<0⇒1b <1x <1a . (2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m>0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m>0)． 3.不等式的基本性质【微点拨】运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.【即学即练4】对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是A. 若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B. a ＞b ＞0，则C. a ＜b ＜0，则D. a ＞b ，,则a ＞0，b ＜0【即学即练5】下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.甲：因为-6<a <8，-4<b <2，所以-2<a -b <6.乙：因为2<b <3，所以13<1b <12， 又因为-6<a <8，所以-2<a b <4. 丙：因为2<a -b <4，所以-4<b -a <-2.又因为-2<a +b <2，所以0<a <3，-3<b <0，所以-3<a +b <3.考法01不等关系的表示：【典例1】a 克糖水中含有b 克塘(0)a b >>，若在糖水中加入x 克糖，则糖水变甜了．试根据这个事实提炼出一个不等式： ．【典例2】【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．比较大小：两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b>0⇔a > b a －b ＝0⇔a ＝ ba －b<0⇔a <b (a ，b ∈R )；一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a > b a b ＝1⇔a ＝ ba b <1⇔a < b(a ∈R ，b>0)． 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．【典例3】1）已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定2）设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( )A ．A≤B B ．A≥BC ．A<BD ．A>B3）若0a b >>， 0c d <<，则一定有（ ） A. a b d c > B. a b c d < C. a b c d > D. a b d c< 4）若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．5）已知a b c >>且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（ ）A. 222a b c >>B. a b c b >C. ac bc >D. ab ac >考法03不等式的性质的运用：【典例4】已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0.其中正确的命题是________．考法04。
不等式及其解集(学生)
不等式复习一一、双基回忆1、不等式：用等号〔＜、≤、＞、≥〕连接起来的式子，叫做不等式。
〔1〕用不等式表示：①x与1的差是负数：；②a的1/2与b的3倍大于2 ；③x、y的平方和是非负数。
2、不等式的解和解集使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。
〔2〕判断以下说法是否正确：①4是不等式x＋3＞6的解；②不等式x＋2＞1的解是x＞－1；③3是不等式x＋2＞5的一个解；④不等式x＋1＜4的解集是x＜2.3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
〔3〕以下不等式是一元一次不等式的是.①3x+5=1；②2y-1≤5；③2/x+1＞3；④5+2＜8;⑤3+x2≥x.4、不等式的性质：〔1〕不等式两边加〔或减〕同一个数〔或式子〕，不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.〔2〕不等式两边乘〔或除以〕同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac ＞bc(或a/c＞b/c).〔3〕不等式两边乘〔或除以〕同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac ＜bc(或a/c＜b/c).注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依据。
〔4〕a＞b，填空：①a+3 b+3,②2a 2b,③- a/3 －b/3，④a－b 0.5、解一元一次不等式〔5〕解一元一次不等式: 2x≥5x+6，并在数轴上表示解集。
二例题导引例1 判断正误：①假设a＞b,那么 ac2＞bc2；②假设ac2＞bc2,那么a＞b；③假设2 a+1＞2b+1,那么a＞b；④假设a＞b,那么1－2 a＞1－2b.例2 解以下不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
〔1〕3〔1－x〕＜2(x+9); (2)112132x x ---≤.例3 a取什么自然数时，关于x的方程2－3x= a解是非负数？例4 小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？三、练习提高夯实根底1、x的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为。
不等式典型例题学生版
典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++245)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．典型例题二例2 解下列分式不等式：（1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x典型例题三例3 解不等式242+<-x x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔240424042222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨⎧<<--≤≥1222222x x x x x x x 或或或∴32<≤x 或21<<x故原不等式的解集为{}31<<x x ．解法二：原不等式等价于 24)2(2+<-<+-x x x即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)2(42422x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．典型例题四例4 解不等式04125622<-++-x x x x ．． 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．典型例题五例5 解不等式x xx x x <-+-+222322．分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ．由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于0)1)(3()2(>+--x x x ．解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．在解出03222=-+mx x m 的两根为mx 31-=，m x 12=后，认为mm13<-，这也是易出现的错误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，mm13<-；当0<m 时，mm 13>-．典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解． 解：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,02)1(222x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x由0>a ，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(22a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,2)2(x a x 由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是a a x a a 2121++<<-+．当20≤<a 时，1212≤-+≤a a a ，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2a x ≥．综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式的解集是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a ．说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2a x >，1≤x ’，(2)中‘2ax ≥，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：{}2a x a x x ><或；(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：{}a x a x x><或2；(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：{}a x R x x≠∈且．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，2a a >，2a a =三种情况．典型例题十例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程02=++a bx cx 的两根即可解之．解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴ab -=β+α，ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ， ∴0022<++⇔>++c a x c b x a bx cx ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααββααββαβαβαa c c b a c ab∴02<++ca x cb x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ， 即0)1)(1(<β-α-x x ． 又β<α<0，∴β>α11，∴0)1)(1(<β-α-x x 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，∴ac =β⋅α．又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒>αβ⇒c ac ．对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得 0)1()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．令xt 1=，该方程即为02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，∴α=11x ，β=21x ．∴α=11x ，β=12x ，∴方程02=++a bx cx 的两根为α1，β1．∵β<α<0，∴β>α11．∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x． 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．典型例题十二例13 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．典型例题十三例14 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．典型例题十四例15 解不等式x x x ->--81032．说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032， 则所求不等式的解集为A 的补集A ，由2)8(10301030881032222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或13745≤≤x ．即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=1374x x A ．。
2025届高考一轮复习资料：第4讲基本不等式(学生版)
第4讲基本不等式1.基本不等式：√ab≤a＋b2（1）基本不等式成立的条件：①a＞0，b＞0.（2）等号成立的条件：当且仅当②a＝b时取等号.（3）其中，③a＋b2叫做a，b的算术平均数，④√ab叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.注意若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.2.几个重要不等式（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.（2）a＋b≥2√ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.（3）2aba＋b ≤√ab≤a＋b2≤√a2＋b22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.3.利用基本不等式求最值已知x＞0，y＞0.（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤2√P（简记：积定和最小）；（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥S 24（简记：和定积最大）.注意应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.1.下列说法正确的是（）A.函数y＝x＋1x的最小值是2B.函数f（x）＝cos x＋4cosx ，x∈（0，π2）的最小值为4C.“x＞0且y＞0”是“xy ＋yx≥2”的充分不必要条件D.不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥√ab有相同的成立条件2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（）A.4B.92C.3√22D.23.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（）A.ab≤a2＋b22B.ab≤（a＋b2）2 C.√a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥√ab4.[教材改编]已知x＞2，则4x－2＋x的最小值是.命题点1利用基本不等式求最值角度1配凑法例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋9a＋b ＋4a－b的最小值为（）A.4B.6C.3D.10（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则√x（4－x）的最大值为.角度2常数代换法例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（）A.54B.56C.72D.81（2）[山东高考]若直线xa ＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为.角度3消元法例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋y2的最小值是（）A.2 B.2√2 C.4 D.4√2（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是.训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足1x ＋4y＝1，若关于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（）A.（－1，4）B.（－4，1）C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则1a ＋ab2＋b的最小值为.（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为.命题点2基本不等式的综合问题角度1基本不等式的综合应用例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sinγcos α三个值中，大于12的个数的最大值是（）A.0B.1C.2D.3（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（）A.x＋y≤1B.x＋y≥－2C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1角度2利用基本不等式解决实际问题例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝{x2+120x，0<x≤50，201x＋4 900x－2 100，50<x≤100，每台该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（1）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）.（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？训练2 （1）[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC 中，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 是线段AD 上的动点（与端点不重合），设CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则8x+3y 3xy的最小值是（ ） A.6B.7C.8D.9（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD ，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是（ ） A.1 208平方米 B.1 448平方米 C.1 568平方米D.1 698平方米基本不等式链与柯西不等式的应用角度1 求最值例7 已知x ，y 均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，则x ＋y 的最小值为 .角度2 判断关于不等式的命题的真假例8 [2024四川成都联考]已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，则下列不等式中错误的是（ ） A.mn ≤14B.2m 2＋2n 2≥1C.m （n ＋1）＜1D.√m ＋√n ≤1方法技巧1.柯西不等式：（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥（ac ＋bd ）2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立.2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要注意验证等号成立的条件.训练3 （1）已知正实数x ，y 满足1x+3y ＋12x ＋y＝1，则x ＋y 的最小值是 .（2）[多选/2024云南省大理模拟]若12a ＝3，12b ＝4，则下列结论正确的是（ ）A.ba＞1B.ab ＞14C.a 2＋b 2＞12D.2a －b ＞121.[2024河北保定模拟]设x ，y 均为正数，且x ＋y ＝4，则xy 的最大值为（ ） A.1B.2C.4D.162.[2024江苏常州模拟]已知a ＞1，b ＞12，且2a ＋b ＝4，则1a －1＋12b －1的最小值是（ ） A.1B.43C.2D.33.当x ＞0时，函数y ＝3+x ＋x 21+x 的最小值为（ ）A.2√3B.2√3－1C.2√3＋1D.44.[2023山西忻州第二次联考]已知0＜a ＜2，则1a ＋92－a的最小值是（ ） A.4B.6C.8D.165.[多选]小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b （a ＜b ），其全程的平均速度为v ，则下列选项中正确的是（ ） A.a ＜v ＜√ab B.v ＝√abC.√ab ＜v ＜a ＋b 2D.v ＝2ab a ＋b6.[多选/2023重庆市三检]已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy －3＝0，则下列结论正确的是（ ）A.xy 的取值范围是（0，9]B.x ＋y 的取值范围是[2，3）C.x ＋2y 的最小值是4√2－3D.x ＋4y 的最小值是37.[2024广西河池联考]若x ＞0，y ＞0，且1x ＋2y ＝4，则yx 的最大值为 . 8.[2023济南市模拟]已知正数x ，y 满足4x ＋2y ＝xy ，则x ＋2y 的最小值为 .9.某电商自营店，其主打商品每年需要6 000件，每年进n 次货，每次购买x 件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为年平均库存量为x2件，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用（手续费＋库存费）最低，则每年进货次数为 .10.[2024山东烟台模拟]如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为 （单位：cm 2）.11.[2021全国卷乙]下列函数中最小值为4的是 （ ）A.y ＝x 2＋2x ＋4B.y ＝｜sin x ｜＋4｜sinx ｜C.y ＝2x ＋22－xD.y ＝ln x ＋4lnx12.[2024江西南昌模拟]正数m ，n 满足m ＋n ＝5，则√m +1＋√n +3的最大值为（ ） A.2√5B.3√2C.6D.313.[多选/新高考卷Ⅰ]已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A.a 2＋b 2≥12B.2a －b ＞12C.log 2a ＋log 2b ≥－2D.√a ＋√b ≤√214.[天津高考]若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .15.[角度创新/2024河北石家庄模拟]李老师在黑板上写下一个等式1（ ）＋4（ ）＝1，请同学们在两个括号内各填写一个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”.小郭同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字 .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用途：a 、比较两个实数的大小
b 、证明不等式的性质
c 、证明不等式和解不等式实数的运算性质与大小顺序之间的关系
不等式
一、 知识点
1．不等式性质
比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法
不等式的基本性质
①对称性：a > b ⇔b <a
②传递性: a > b, b > c ⇔a > c ③可加性: a > b ⇒a + c > b + c ④可积性: a > b, c > 0⇒ac > bc ；
a > b, c < 0⇒ac < bc ；
⑤加法法则: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d ⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd ⑦乘方法则：a > b > 0, ⇒ a n > b n (n ∈N) ⑧开方法则：a > b > 0, )(N n b a n n ∈>⇒
2．算术平均数与几何平均数定理：
（1）如果a 、b ∈R,那么a 2 + b 2 ≥2ab （当且仅当a=b 时等号）
（2）如果a 、b ∈R ＋,那么ab b
a ≥+2
（当且仅当a=b 时等号） 推广：
如果,a b 为实数，则2
22
22a b a b
ab ++⎛⎫≤≤
⎪⎝⎭
•条件为“一正二定三相等”
•一正：各项都是正数
•二定：求和积定，求积和定
•三相等：等号能成立
•当等号不成立时，利用下列函数求最值。
上递减。
上递增，在在函数),a []
a (0,0)(a x
a
x f(x)∝+>+=重要结论
1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； （2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，和xy 有最大值S 2/4。
3．证明不等式的常用方法：
比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
综合法的放缩经常用到均值不等式。
分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。
4．不等式的解法
（1）绝对值不等式解法
解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：
（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；
（2）公式法：| f(x) | > a ⇔f(x) > a 或f(x) < －a ；| f(x) | < a ⇔ －a<f(x) < a ；
（3）平方法：| f(x) | > a(a>0) ⇔f 2(x) > a 2；| f(x) | < a(a>0) ⇔ f 2(x) < a
2
b a m b m a b a m b a >
++<，则：都是正数，且、、结论：已知
(2)分式不等式的解法
0g(x)0)()(0)
()
(0)()(0)
()
(,0)()(0)()(≠≥⇔≥<⇔<>⇔>且x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f
(3)一元高次不等式的解法 (数轴标根法)
把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。
（4）含有绝对值的不等式解法
定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|
• |a| － |b|≤|a+b|
中当b=0或|a|>|b|且ab<0等号成立
• |a+b|≤|a| + |b| 中当且仅当ab ≥0等号成立
推论1：｜a 1 + a 2 + a 3| ≤｜a 1 | +| a 2 | + | a 3|
推广：｜a 1 + a 2 +…＋ a n | ≤｜a 1 | +| a 2 | +…+ | a n | 推论2：|a| － |b|≤|a －b|≤|a| + |b|
二、常见题型专题总结：
题型一：求下列函数的值域
解题技巧 技巧一：凑项 1. 已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数 2、设2
3
0<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离常数法 3.
技巧四：换元
4、求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。
技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x
=+的单调性。
5、求函数2
y =
的值域。
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
6、已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。
技巧七：
7. 已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2
的最大值.
技巧八：
8. 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
技巧九、取平方
9. 求函数15
()2
2
y x =<<的最大值。
题型二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。
求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
题型三：均值不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且19
1x y
+=，
求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
题型四：均值定理在比较大小中的应用
例：若)2
lg(
),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=⋅=>>， 则R Q P ,,的大小关系是.
三．练习题
1. 不等式
的解集为 2.设
的最小值为 3.已知，则
的最小值是 4. 已知不等式(x+y)(1x + a
y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a
的最小值为
5. 设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4
y
)的最小值为
02
1
≥+-x x 0,0.a b >>11
33a
b
a b
+与的等比中项，则
0,0a b >>11
a b
++
6. 已知，，则的最小值．
7. 已知，且，则的最大值为
8. 已知正数满足，则的最小值为
9.函数y =log a (x +3)-1(a >0,a 1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny +1=0上，其中mn >0,则
的最小值为 10. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-2,则2a +b +c 的最小值为
,,x y z R +
∈230x y z -+=2
y xz
,x y R +
∈41x y +=x y ⋅_____
,a b a b ab +=a b +≠n
m 2
1+3。