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完整版)高中数学公式大全完整版高中数学常用公式及常用结论1.包含关系若集合A包含于集合B，则AB=B；若AB=B，则A为B 的子集；若C为A和B的并集，则B包含于C；若A和B的交集为∅，则AB=∅；若AB=R，则A和B互为补集。
2.集合的子集集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个。
3.充要条件1）充分条件：若p→q，则p是q的充分条件。
2）必要条件：若q→p，则p是q的必要条件。
3）充要条件：若p→q，且q→p，则p是q的充要条件。
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。
4.函数的单调性1)设x1≠x2，且x1,x2∈[a,b]，则有：f(x1)−f(x2)>0 ⇔ f(x)在[a,b]上是增函数；f(x1)−f(x2)<0 ⇔ f(x)在[a,b]上是减函数。
2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。
5.函数的性质如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数。
6.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
7.函数的对称轴对于函数y=f(x)(x∈R)，若f(x+a)=f(b−x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b/2；函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线x=a+b/2对称。
8.几个函数方程的周期(约定a>0)1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；2）f(x+a)=−f(x)，或f(x+a)=f(−x)（f(x)≠0），则f(x)的周期T=2a。
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高等数学复习公式
a 0` 30` 45` 60` 90` sina 0 1/2 √2/2 √3/2 1 cosa 1 √3/2 √2/2 1/2 0 tana 0 √3/3 1 √3 None cota No= sec 2 x (ctgx)′ = − csc x (sec x)′ = sec x ⋅ tgx (csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx (a x )′ = a x ln a (log a x )′ =
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)] 泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1 ！＋z^2/2！＋ z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n ！＋… 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 ·三角函数作为微分方程的解： 对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解 Q,可证明 Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。 补充： 由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数—— 双曲函数， 其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映 成趣。 特殊三角函数值
·和差化积公式：
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cosα sin β cos(α ± β ) = cosα cos β m sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 m tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ m 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα
双曲正弦 : shx =
lim
sin x =1 x→0 x 1 lim (1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x
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高中数学常用公式及结论元素与集合的关系 : x Ax C U A , xC U A x A .1 ? A A2n2n2n1个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个；真子集有1 2n n22 个.3 二次函数的解析式的三种形式：ax2(1) 一般式 f (x) bx c(a0) ;h)2(2) 顶点式 f (x) a(x k(a0) ; （当已知抛物线的顶点坐标(h, k ) 时，设为此式）(3) 0) ；（当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x)a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时，设为此式）2a(x x 0 )（ 4）切线式： f ( x) (kx d ), (a 0) 。
（当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横坐标为 x 0 时，设为此式）4 5 真值表：同真且真，同假或假;常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于反设词 不 是 不都是不大于不小于存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n nqq1）个1）个至多有（ 至少有（ p 且 p 或 x ，成立 x ，不成立x ，不成立 x ，成立对所有 对任何 6 ( 下图 ): （ 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. ）四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ互逆逆命题 若ｑ则ｐ互互互 否为为互 否逆 逆否否否命题 若非ｐ则非ｑ 逆否命题 若非ｑ则非ｐ互逆pp q ，则 q ，且 充要条件： (1) P 是 q 的充分条件，反之， q 是 p 的必要条件；、 （ 2）、 q ≠> p ，则 P 是 q 的充分不必要条件； (3) 、p ≠ > p ，且 q p ，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p ≠ > p ，且 q ≠ > p ，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。
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高中数学常用公式和常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b yc ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B yC ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r （其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB = =. 135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d =.d =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，...，m n 件，且1n ，2n ，...，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、...个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广。
高中数学常用公式大全
高中数学常用公式大全一、集合。
1. 集合的基本运算。
- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}- 补集：∁_UA = {xx∈ U且x∉ A}（U为全集）2. 集合元素个数关系。
- n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)（n(A)表示集合A的元素个数）二、函数。
1. 函数的定义域。
- 分式函数y = (f(x))/(g(x))，g(x)≠0。
- 偶次根式函数y=sqrt[n]{f(x)}（n为偶数），f(x)≥slant0。
2. 函数的单调性。
- 设x_1,x_2∈[a,b],x_1 < x_2- 对于函数y = f(x)，若f(x_1)，则y = f(x)在[a,b]上单调递增；若f(x_1)>f(x_2)，则y = f(x)在[a,b]上单调递减。
3. 函数的奇偶性。
- 对于函数y = f(x)，定义域关于原点对称。
- 若f(-x)=f(x)，则y = f(x)是偶函数；若f(-x)= - f(x)，则y = f(x)是奇函数。
4. 一次函数y=kx + b（k≠0）- 斜率k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)。
5. 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）- 对称轴x =-(b)/(2a)，顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 当a>0时，函数开口向上，在x =-(b)/(2a)处取得最小值frac{4ac -b^2}{4a}；当a < 0时，函数开口向下，在x=-(b)/(2a)处取得最大值frac{4ac -b^2}{4a}。
6. 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)- 性质：当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。
7. 对数函数y=log_ax(a>0,a≠1)- 性质：当a > 1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0 < a < 1时，函数在(0,+∞)上单调递减。
高中数学必备的289个公式
(2)f(x+a)=-f(x)⇒T=2a;
(3)f(x+a)=±f(x)⇒T=2a
43.对称轴标志:f(x+a)=-f(b-x)⇒对称中心为(a+b,0);
如常见的对称中心有:f(x+a)=-f(a-x)⇒对称中心为(a,0);f(x+1)=-f(1-x)⇒对称 中心为(1,0).
16.不等式相同性:任意x∈D,证明:
f(x)>g(x)⇔h(x)=f(x)-g(x)>0⇔h(x)min>0;
存在x∈D,证明:f(x)≤g(x)⇔h(x)=f(x)-g(x)≤0⇔h(x)min≤0.
17.不等式相异性:任意x1、x2∈D,证明:f(x1)<g(x2)⇔x∈D,f(x)max<g(x)min;存在x1、x2∈D,证明:f(x1)>g(x2)⇔x∈D,f(x)max>g(x)min.
第2章函数
31.几个近似值:2≈1.414,3≈1.732,5≈2.236,
π≈3.142,e≈2.718,e2≈7.389,
ln3≈1.0986,ln2≈0.693.32.指数公式:(1)am=man;(2)nan={|a|,n为偶数.
33.对数公式:
(1)ax=N⇔x=logaN;(2)alogaN=N;
x1+y1x2+y2≥x1x2+y1y2.
(1+x)n≥xn+nx;n≥1(1+x)n≤1+nx;0≤n≤1
86.洛必达法则:limf(x)=limf'(x)(当f(x)→0或∞时使用).
87.恒成立问题:(1)a≥f(x)⇔a≥f(x)max;(2)a<f(x)⇔a<f(x)min.
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高中数学公式大全完整版1.代数公式：a)二次方程求根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0，其解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)b)平方差公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²c)三次方差公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³d)和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A±B) = (tanA± tanB)/(1 ∓ tanAtanB) e)二项式定理：(a+b)ⁿ=nC₀aⁿb⁰+nC₁aⁿ⁻¹b¹+nC₂aⁿ⁻²b²+...+nCₙa⁰bⁿ2.几何公式：a)三角形：面积公式：S=1/2*底边*高正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosCb)圆：周长公式：C=2πr面积公式：A=πr²弧长公式：L=2πr(θ/360)c)立体图形：容积公式：立方体：V=a³正方体：V=a³圆柱体：V=πr²h圆锥体：V=1/3πr²h球体：V=4/3πr³d)平移、旋转、缩放公式：平移：(x,y)→(x+a,y+b)旋转：逆时针旋转θ度：(x,y) → (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)缩放：横向缩放k倍，纵向缩放k倍：(x,y) → (kx, ky)3.概率公式：a)排列组合公式：排列：A(n,m)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)b)期望公式：对于离散型随机变量X，期望值E(X)=Σ(x*p(x))，其中x为X的可能取值，p(x)为对应x的概率对于连续型随机变量X，期望值E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中f(x)表示X的概率密度函数c)标准差公式：方差σ²=Σ(x-μ)²*p(x)，其中μ为随机变量X的期望值标准差σ=√σ²d)独立事件公式：P(A∩B)=P(A)P(B)4.数列与级数公式：a)等差数列通项公式：aₙ=a₁+(n-1)db)等比数列通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)c)等差数列求和公式：Sn=(n/2)(a₁+aₙ)d)等比数列求和公式：Sn=a₁*(rⁿ-1)/(r-1)以上是高中数学公式的一个完整版，涵盖了代数、几何、概率、数列与级数等多个方面的公式。
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高中数学常用公式及常用结论1. 包含关系1A. B B A B C U B C U A2 个. B A AA C UBC U A B R．集合{a 1, a 2, ,a n } 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1个；非空子集有 2n –1个；非空的真子集有 2n –23.充要条件 1)充分条件：若 p( 2)必要条件：若 q (3)充要条件：若q ，则 p 是 q 充分条件 . p ，则 p 是 q 必要条件 .q ，且 q p ，则 p 是 q 充要条件 .注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然4. 函数的单调性 (1) 设 x 1x 2 a,b ,x 1 x 2那么数. (x 1 x 2 ) (x 1 x 2 ) (2) 设函数 f (x 1) f (x 2) f (x 1) f (x 2) f (x 1) f (x 2) x 1 x 2f (x 1) f (x 2) x 1 x 2 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) f (x)在 a,b 上是增函数； f (x)在 a,b 上是减函数 . 0，则 f (x) 为增函数；如果 f (x) 0，则 f(x) 为减函 5.如果函数 f(x)和 g(x)都是减函数 ,则在公共定义域内 ,和函数 f(x) g( x)也是减函数 ; 如果函数 f (u)和 u g(x)在其对应的定义域上都是减函数 ,则复合函数 y f[g(x)] 是增函数 . 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么 这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f (x) 的对称轴是函数 x ab ; 两个函2数 y f (x a)与 y f (b x) 的图象关于直线 xa b 对称 .2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) ( 1) f (x)f (x 2)， f(x a) a)，则 f(x) 的周期 T=a ； 1 1 (f (x) 0)，或 f(x f (x) a) 1 f(x)(f(x) 0),则 f(x) 的周期 T=2a ； 9. 分数指数幂 1 nma 10．根式的性质m(1) a na 0,m,n N ，且 n 1 ) .(2) m a n 1 m ( a n a 0,m,n N ，且 n 1) . 1)(n a)na .(2)当 n 为奇数时， n a na ；当 n 为偶数时， n a n|a|a,a 0a,a 011．有理指数幂的运算性质(1) a ra sa r s(a 0,r,s Q) .(2) (a r )s12.指数式与对数式的互化式 log a N ba brsa rs(a 0,r,s Q) .(3) N (a 0,a 1,N 0) 0，③ .底的(ab)rrra b (a 0,b0,r Q) .幂的对数：log a M n nlog a M；log a m bnlog a bm13. 对数的换底公式log a NNlog m alog m0, 且a 1, m 0,且m 1, N 0).推论log a m ba 15. a nlog a b(a mn10, 且a 1, m,n 0,且m 1, n 1, N 0).s n s n 1,n 2(数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).16. 等差数列的通项公式a n a1 (n 1)d dn a1 d(n )；其前n 项和公式为s n n(a1 a n )2 na1n(n 1)d(a1 12d)n.17. 等比数列的通项公式na n a1qa1 nq (n a1(1其前n 项的和公式为s nq)1qqn,q 1或s n)；na1,q18. 同角三角函数的基本关系式2 2 sin sin cos 1 ，tan = a1 a n q,q ,q 1q na1,q 1cos 19 正弦、余弦的诱导公式n sin(n2n1)2 sinn1(n 为偶数) 1) 2 cos (n 为奇数)20 和角与差角公式sin( cos(sin cos cos sincos cos sin sin tan(tanasin bcos = a2b2sin(21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴ sin22sin cos ．⑵ cos2 cos2sin22cos2⑶ tan22tan 1 tan222. 三角函数的周期公式函数y sin( x )，tan1 tan tan)( 辅助角1 2sin2x∈R 及函数y cos( x所在象限由点(a,b) 的象限决定cos21 cos2 2 ，sin2, tanb).acos2)．22) ，x∈R(A, ω, 为常数，且A≠0，ω>0)的周期T ；0.sin A sin B sinC24. 余弦定理a 2b 2c 22bc cos A ; b 2c 2 a 2 2ca cos B ; c 2 a 2 b 2 2abcosC .1 1 125. 面积定理Sab sin C bcsin A casin B (2)22 226. 三角形内角和定理在△ ABC 中，有 A B CC(A B)C A B2C 2 2(A B).22227. 实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ ( μ a)=( λ μ) a;(2) 第一分配律： (λ +μ)a=λa+μa; (3) 第二分配律：λ (a+b)= λa+λ b28. 向量的数量积的运算（1） a ·b= b ·a （交换律） ;（2） （ a ）·b= （a ·b ）= a ·b= a ·（ b ）;（3） （a +b ）· c= a ·c +b ·c. 30．向量平行的坐标表示设 a=（x 1, y 1）,b=（x 2,y 2），且 b 0，则 a b （b 0） x 1y 2 x 2y 1 0.31. a 与 b 的数量积 （或内积 ）a ·b=| a || b|cos θ．32. 数量积 a · b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos θ的乘积． 33. 平面向量的坐标运算(1)设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2)，则 a+b= (x 1 x 2,y 1 y 2).(4) 设a=(x, y), R ，则 a=( x, y). (5) 设a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2)，则 a ·b=(x 1x 2 y 1y 2).(x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2(A (x 1 ,y 1) ， B (x 2,y 2))36 向量的平行与垂直设a=(x 1, y 1), b=(x 2,y 2)， 且b 0，则A|| b b=λ a x 1 y 2x 2 y 1 0.a b(a 0)a · b=0 x 1x 2 y 1y 20.37. 三角形的重心坐标公式△ ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 A （x 1,y 1） 、 B （x 2,y 2 ） 、 C （x 3,y 3 ） , 则 △ ABC 的 重 心 的 坐 标 是38. 常用不等式：（1） a,b R a 2 b 2 2ab （当且仅当 a ＝b 时取“ =”号）． （2） a,b R a b ab （当且仅当 a ＝b 时取“ =”号）．2（ 3） a b a b a b .39已知 x, y 都是正数，则有（ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 x y 时和 x y 有最小值 2 p ；2R .y 1).G(x 1x 2 3x 3y 1 y 2 y 3)3)设O 为 1） O 为 3）O 为ABC 所在平面上一点，角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c ，则O2C ）OOA 为ABC 的重心(2) 设 a=(x 1,y 1),b=(x 2, y 2)， (3) 设 A (x 1, y 1)，B (x 2,y 2), 则y 1 y 2) .(x 2 x 1,y 234. 两向量的夹角 公式 cos 35. 平面两点间的距离公式a=(x 1,y 1) ,b=(x 2,y 2)).ABC 的外心 ABC 的垂心x x2）若和 x y 是定值 s ，则当 x y 时积 xy 有最大值40. 含有绝对值的不等式当 a> 0 时， 2ax 12s .4 2 aaxa .2axa 或xa .41.斜率公式 k y 2 x 2y1( x 1P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2) ).42.直线的五种方程（1） 点斜式y y 1k(x x 1) (直线 l 过点 P 1(x 1,y 1)， 且斜率为 k )． （2）斜截式 ykxb （b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ）.（3） 两点式y y 1x x 11 ( y 1 y 2)( P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2,y 2) ( x 1y 2y 1x 2 x 1（4） 截距式 x y1( a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b 0)a b（5） 一般式 Ax By C 0（其中 A 、B 不同时为0）.x 2 )).43.两条直线的平行和垂直 (1)若l 1: y k 1x b 1，l 2: y (2)若l 1: A 1x B 1y C 1 0,l 2 :A 2x B 2 y C 2 A 1 k 2x b 2 ①l 1 ||l 2 k 1 k 2,b 1 b 2 ;② l 0,且 A 1、A 2、 1 l 2 k 1k 2 1.B 1、B 2 都不为零 , ①l 1 ||l 2 B 1C 1 A 2 (l 1 : A 1x B 1y C 1 ；② l 1 l 2 A 1A 2 B 2 C 20,l 2: A 2x B 2y C 2 0,A 1A 2 B 1B 2 0 ；B 1B 2 0). 直线 l 1 l 2 时， 45.点到直线的距离 直线 l 1 与 l 2的夹角是 . 2 C| (点 P(x 0,y 0) ,直线 l ： Ax | Ax 0 By 0 A 2 B 2 ByC 0). 46. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 （2）圆的一般方程 47. 直线与圆的位置关系 直线 Ax By C d r相离 (x 2 x a)2 2 y (y Dx b)2 Ey r 2 F 0( D 2 E 2 4F >0). d r 相交 0 与圆 (x 0;d a)2 r 0.其中 d 48. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O 1， 外离 r 1 r 1 r 2 d r 1 r 2r1r 2Aa (y 相切 Bb b)2 A 2 B 2O 2，半径分别为 r 1，r 2， 4条公切线 ; d r 1 相交2条公切线 内含 无公切线 .49. 圆的切线方程 （1） 已知圆 x 2 y 2①过圆上的 P 0（x 0,y 0） 点的切线方程为 x 0x22Dx Ey F 0 ．(2)2 r 2 的位置关系有三种 :0;O 1O 2 d 外切 r 2 r 2 ;dr 13条公切线 ; 内切 1条公切线 ;已知圆y 0y2x2 r ;50. 椭圆 x 2 y 2 1（a b 0）的参数方程是 a b yacos bsin2251. 椭圆 x2 y2 1(a a 2 b252．椭圆的的内外部b 0) 焦半径公式 PF 1 e(xa 2)， PF 22e(ax) .c1)点 P(x 0,y 0)在椭圆 2)点 P(x 0,y 0)在椭圆 2 x 2a 2 x 2a 2y 2 1(a b b 2 2 y 2 1(a b b 0) 的内部 0) 的外部 2253. 双曲线 x 2 y 2 1(a a 2 b 2 54. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 2 x 2a 0,b 0) 的焦半径公式 (1 )若双曲线方程为 2 y b 2 2 x 渐近线方程： 2 a (2) 若渐近线方程为 0 双曲线可设为2x 02y 02ab 22 2x 0 y 022ab 2 2 a 2)c |e(xy22xy2 2 ab 2 c1.1. PF 1|，b x . a2 yb 2 PF 22|e(ax)|. c(3) 2 若双曲线与 x 2a 2 2 y 2 55. 抛物线 2 yb 2 2px 的焦半径公式 1有公共渐近线， 可设为 2 x 2 a 2 y b 2 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上). 抛物线 y 22px(p 0) 焦半径 p2 x 2 56. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 过焦点弦长 CD x 1 22 k 2)(x 2 x 1)2|x 1CF x 0 x 1 ABx 2 p . (x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2 或 |y 1 y 2| 1 cot 2(弦端点 A (x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，由方 | 1 tan 2 AB (1 y kx b 消去 y 得到 ax 2 bx F(x,y) 0 57(1) 加法交换律： a ＋b=b ＋ a ．(2) 59 共线向量定理 对空间任意两个向量 a 、b(b ≠0 )， P 、A 、B 三点共线AP || AB60. 向量的直角坐标运算 设 a ＝(a 1,a 2,a 3)，b ＝ (b 1,b 2,b 3)则 (1) a ＋b ＝(a 1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3) ；(2) a － b ＝ (a 1 b 1,a 2(4) a · b ＝a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 ； 61.设 A (x 1,y 1,z 1)，B (x 2,y 2,z 2)，则 ABx 2 加法结合律：0, 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率) (a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)．(3) 数乘分配律： λ ( a ＋ b)= λ a ＋λ b ．a=λ(1b 2,a 3 b 3) ； (3) λa ＝ ( a 1, a 2, a 3) ( λ∈R)；(x 2x 1,y 2 y 1,z 2 z 1) .62．空间的线线平行或垂直设a (x 1,y 1,z 1)，b (x 2,y 2,z 2)，则 a b63. 夹角公式zzy设 a ＝(a 1,a 2,a 3)，b ＝ (b 1,b 2,b 3)，则 cos 〈a ， b 〉a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3a 22 a 32b 12 b 22 b 32|a b|64．异面直线所成角 cos |cos a,b |= |a b||a||b ||x 1x 2 y 1y 2 z 1z 2 |22 y 2 z22 2 2 2 x 1 y 1 z 1 x 2若66.67. 球的半径是 R ，则43其体积 VR 3, 其表面积 S 4 3（3） 球与正四面体的组合体 :R 2．棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为126 a ,外接球的半径为 168V 柱体Sh （ S 是柱体的底面积、69. 分类计数原理（ 加法原理） h 是柱体的高） .V 锥体6a .411Sh （ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高） 3m 1m 270. 排列数公式 A n m =n(n 1) (n1)= n ！m n .71. 组合数公式 C n m72. 组合数的两个性质= A n m n(n =A m m (1)1)1mnC n =C n(n m)！ m 1) m ！(n m)！ 1 =C n m 1 .注:规定 C n 0m ∈ N *，且 m n ) ． 注:规定 0! 1.155. 组合恒等式 （1）C n mnmmmA n mm ！(nm;(2) C n m +C n m C n m 1;(2)C n mC n m. n 个元素中取 n ！( n ∈ N ， m N ，且m n ).1.nC n m 1;(3)C n mnmn m 1C n 1mn4) C n r =2n ;r073. 排列数与组合数的关系74．单条件排列以下各条的大前提是从 （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有A n 1 种；②某（特）元不在某位有 A n A A n m 1 A 1m 1A n m 11 （着眼元素）种 . （ 2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴： k （k m n ）个元在固定位的排列有 A k k A n m k k 种. m 个元素的排列 .m m 1 n A n 1 补集思想） A n 1 1A n m 11（着眼位置） ②浮动紧贴： n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 A n n k k 11A k k 种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有 k 、 h 个（ k h 1 ），把它们合在一起来作全排列， k 个的一组互不能挨近的所有排 列数有 A h h A h k 1种. （3）两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ A n当 n m 1 时，无解；当 n m 1时，有 m n 1A n n（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 75．分配问题 （1） C m n 1种排法 .n 个，各组元素分别相同的排列数为 C n . mnN C m n n (2) （平 均分组有 归属问 题）将相异 的 m 、 n n （mn ）! C 2n C n m . 2n n （n!）m （平均分组无归属问题 ）将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m n 个物 件等 分给 m 个人 ，各得 n 件 ，其 分配方法 数共有 C n C n C mn n C mn 2n 其分配方法数共(3)(非平均分组有归属问题 )将相异的 P(P=n 1+n 2+ +n m )个物体分给 m 个人，物件必须被分完，分别得到 n 1，n 2 ，⋯，n m 件，且n 1，n 2，⋯，n m 这m 个数彼此不相等， 则其分配方法数共有 N C p n 1C pn 2 n 1...C n n m mm! p!m! .1 mn 1!n 2!...n m !n 0 n 1 n1 2 n 2 2 r n r r n n76. 二项式定理 (a b)n Cn 0a n C 1na n 1b Cn 2a n 2b 2 Cn r a n r b r Cn n b n ;二项展开式的通项公式 T r 1 C n r a n r b r (r 0，1，2 ，n).77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P n (k) C n k P k (1 P)n k . 78.离散型随机变量的分布列的两个性质( 1) P i0(i 1,2, ); (2) P 1 P 21. 79. 数学期望 Ex 1P 1 x 2P 2x n P n80.. 数学期望的性质( 1) E(a b) aE( )b . (2)若 ～B(n, p),则E np .81. 方差 Dx 1 Ep 12 x 2Ep 2x n Ep n 标准差 = D82. 方差的性质 (1) D aba 2D ；(2 )若B(n,p)，则 D np(1 p).83.. f (x) 在 (a, b)的导数 f (x)dy df y lim y lim f (x x) f(x).dx dxx 0 x x 0 x84.. 函数 y f (x) 在点 x 0处的导数的几何意义函数 y f(x)在点 x 0处的导数是曲线 y f (x)在P(x 0, f (x 0))处的切线的斜率 f (x 0) ，相应的切线方程是 y y 0 f (x 0)(x x 0) . 85.. 几种常见函数的导数(1) C 0 (C 为常数) .(2) (x n )' nx n 1(n Q) .(3) (sin x) cosx .1 x 1x x x x(4) (cos x ) sinx (5) (lnx) ； (log a ) (6) (e ) e ; (a ) a lna .x xln a86.. 导数的运算法则' ' ' ' ' 'u ' u 'v uv '(1)(u v) u v .(2)(uv) uv uv .(3)( ) 2 (v 0).vv87.. 复合函数的求导法则设函数 u (x)在点x 处有导数 u x ' '(x)，函数 y f(u)在点 x 处的对应点 U 处有导数 y u ' f '(u) ，则复合函数 y f( (x))在点 x 处有导数，且 y 'x y u ' u 'x ，或写作 f x '( (x)) f '(u) '(x).89. 复数的相等 a bi c di a c,b d . ( a,b,c,d R )90.复数 z a bi 的模(或绝对值) | z|=|a bi |= a 2 b 2 .91.复数的四则运算法 (1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i (2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;ac bd bc ad 222215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：。
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高中数学公式大全（最整理新版）一、代数1. 一元一次方程：ax + b = 0，其中a ≠ 0。
解为 x = b/a。
2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。
解为 x =[b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。
3. 一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。
解为x = [b ± sqrt(b^2 3ac)] / 3a。
4. 一元四次方程：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中 a≠ 0。
解为x = [b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。
5. 分式方程：分子和分母均为多项式。
解法为将方程两边乘以分母的乘积，得到一个等价的整式方程，然后求解。
6. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
7. 二元二次方程组：由两个一元二次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
8. 三元一次方程组：由三个一元一次方程组成的方程组。
解法为消元法或代入法。
9. 等差数列：首项为 a1，公差为 d。
第 n 项为 an = a1 + (n 1)d。
前 n 项和为 Sn = n/2(a1 + an)。
10. 等比数列：首项为 a1，公比为 q。
第 n 项为 an = a1q^(n 1)。
前 n 项和为 Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中q ≠ 1。
二、几何1. 平面几何（1）直线：两点确定一条直线，直线方程为 y = mx + b，其中m 是斜率，b 是截距。
（2）圆：圆心为 (a, b)，半径为 r。
圆的方程为 (x a)^2 +(y b)^2 = r^2。
（3）椭圆：中心为 (a, b)，长轴为 2a，短轴为 2b。
椭圆的方程为 (x a)^2 / a^2 + (y b)^2 / b^2 = 1。
（4）双曲线：中心为 (a, b)，实轴为 2a，虚轴为 2b。
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6、直线与圆的位置关系：直线 Ax By C 0 与圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种(
Aa Bb C
d
):
A2 B2
d r 交交 0 ; d r 交交
0 ; d r 交交
0.
7、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r，R， O1O2 d ，则：（1）内
[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2 ]
3、回归线方程：
2
y bx a
n
xi yi nxy
b
i1 n
xi2
nx2
,a y bx
i1
六、平面向量 1、 a 与 b 的数量积(或内积)：
a
·
b
=|
a|| b
| cos
。
2、平面向量的坐标运算：设 a
(1)a
3、二次函数： y ax2 bx c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
顶点坐标 ( b , 4ac b2 ) ，对称轴为 x b ， 最值为 y 4ac b2
2a 4a
2a
4a
4、指数函数、对函数：
(1) a m a n a mn (2) a m a n a mn (3) a m n a mn (4) ab n a nbn 5 a 0 1 a 0
+
b=(x1x2 ,
y1
y2
)
= (x1
.(2)
,y1 a-
) ,b b =(
= (x2 , y2 ) x1 x2 , y1
y2 )
.
(3)
(A4)Baa||OabB=b ((Oxab,A=yλ)0(a(x)52)ax·1x,ab1y·y2=2b(xy1=1xx0)22.y1
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若点 P1、P2、P 是直线 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则： ；
当点 P 分有向线段 时， ；当点 P 是线段 P1P2 的中点时， 。
3、圆心在点 ，半径为 的圆的参数方程是： 。
3、 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极
坐标为 直角坐标为 ，则 ， ， 。
sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα
sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα
对任意的 ，有：
当。 3、最简三角方程的解集：
四、 不等式
1、若 n 为正奇数，由 可推出 吗？ （ 能 ）
若 n 为正偶数呢？ （ 均为非负数时才能）
2、同向不等式能相减，相除吗
（不能）
能相加吗？
（能）
能相乘吗？
（能，但有条件）
3、两个正数的均值不等式是：
三个正数的均值不等式是：
n 个正数的均值不等式是：
18、正弦定理是（其中 R 表示三角形的外接圆半径）： 19、由余弦定理第一形式， =
由余弦定理第二形式，cosB= 20、△ABC 的面积用 S 表示，外接圆半径用 R 表示，内切圆半径用 r 表示，半周 长用 p 表示则： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ 21、三角学中的射影定理：在△ABC 中， ，… 22、在△ABC 中， ，… 23、在△ABC 中：
3、 函数 的大致图象是
由图象知，函数的值域是 ，单调递增区间是 ，单调递减区间是 。 二、 三角函数 1、 以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边 上任取一个异于原点的点 ，点 P 到原点的距离记为 ，则 sin = ，cos = ，tg = ， ctg = ，sec = ，csc = 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是： ， ， ； 倒数关系是： ， ， ； 相除关系是： ， 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： ， = ， 。 4、 函数 的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其 图象的对称轴是直线 ，凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间：
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
1．集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2．集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3．集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB Cu(A∪B)=CuA∩CuB
3、 复数集内的三角形不等式是： ，其中左边在复数 z1、z2 对应的向量共线且 反向（同向）时取等号，右边在复数 z1、z2 对应的向量共线且同向（反向）时取 等号。 4、 棣莫佛定理是： 5、 若非零复数 ，则 z 的 n 次方根有 n 个，即：
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？ 都位于圆心在原点，半径为 的圆上，并且把这个圆 n 等分。 6、 若 ，复数 z1、z2 对应的点分别是 A、B，则△AOB（O 为坐标原点）的面积是 。 7、 = 。
高中数学公式定理汇总
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系： 平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间 1”；记忆方法“对 角线上两个函数的积为 1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶 点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数 值的乘积。”）
程是 。其中 。
22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程
是。
23、若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为 ；
若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为
。
24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都
射线；c) 当 时，轨迹不存在。
七、 排列组合、二项式定理
1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？
加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。
2、排列数公式是： = = ；
排列数与组合数的关系是：
组合数公式是： = = ；
组合数性质： = + =
=
=
3、 二项式定理： 二项展开式的通项公式： 八、 解析几何 1、 沙尔公式： 2、 数轴上两点间距离公式： 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式： 4、 若点 P 分有向线段 成定比 λ，则 λ= 5、 若点 ，点 P 分有向线段 成定比 λ，则：λ= = ；
4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
6、 双向不等式是： 左边在 时取得等号，右边在 时取得等号。 五、 数列 1、等差数列的通项公式是 ，前 n 项和公式是： = 。 2、等比数列的通项公式是 ， 前 n 项和公式是： 3、当等比数列 的公比 q 满足 <1 时， =S= 。一般地，如果无穷数列 的前 n 项 和的极限 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用 S 表示，即 S= 。 4、若 m、n、p、q∈N，且 ，那么：当数列 是等差数列时，有 ；当数列 是等比 数列时，有 。 5、 等差数列 中，若 Sn=10，S2n=30，则 S3n=60； 6、等比数列 中，若 Sn=10，S2n=30，则 S3n=70； 六、 复数 1、 怎样计算？（先求 n 被 4 除所得的余数， ） 2、 是 1 的两个虚立方根，并且：
8、 复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹：
① 轨迹为一条射线。
② 轨迹为一条射线。
③ 轨迹是一个圆。
④ 轨迹是一条直线。
⑤ 轨迹有三种可能情形：a)当 时，轨迹为椭圆；b)当 时，轨迹为一条线段；
c)当 时，轨迹不存在。
⑥ 轨迹有三种可能情形：a)当 时，轨迹为双曲线；b) 当 时，轨迹为两条
有： 。
25、平移坐标轴，使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是（h，k），若点 P
在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ，则 = ， = 。
九、 极坐标、参数方程
1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是： 。
2、 若直线 经过点 ，则直线参数方程的标准形式是： 。其中点 P 对应的参数 t
的几何意义是：有向线段 的数量。
4、 经过极点，倾斜角为 的直线的极坐标方程是： ，
经过点 ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是： ，
经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是： ，
经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是： 。
。
12、万能公式：sin = cos = tg =
13、sin( )sin( )= ，
cos( )cos( )= = 。
14、 = ；
=； =。 15、 = 。 16、sin180= 。 17、特殊角的三角函数值：
0
sin 0
10
cos 1
00
tg 0 1 不存在 0 不存在
ctg 不存在 1 0 不存在 0
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ tan（α＋β）＝——————
24、积化和差公式： ①， ②， ③， ④。 25、和差化积公式： ①， ②， ③， ④。 三、 反三角函数 1、 的定义域是[-1，1]，值域是 ，奇函数，增函数；
的定义域是[-1，1]，值域是 ，非奇非偶，减函数； 的定义域是 R，值域是 ，奇函数，增函数； 的定义域是 R，值域是 ，非奇非偶，减函数。 2、当 ；
= =
若 ，则△ABC 的重心 G 的坐标是 。 6、求直线斜率的定义式为 k= ，两点式为 k= 。 7、直线方程的几种形式： 点斜式： ， 斜截式：
两点式： ， 截距式： 一般式：
经过两条直线 的交点的直线系方程是： 8、 直线 ，则从直线 到直线 的角 θ 满足： 直线 与 的夹角 θ 满足： 直线 ，则从直线 到直线 的角 θ 满足： 直线 与 的夹角 θ 满足： 9、 点 到直线 的距离：
10、两条平行直线 距离是
11、圆的标准方程是： 圆Fra bibliotek一般方程是：其中，半径是 ，圆心坐标是 思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形？ 12、若 ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是
经过两个圆 ， 的交点的圆系方程是：
经过直线 与圆 的交点的圆系方程是： 13、圆 为切点的切线方程是