山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学(文)试题+Word版含答案

济南市2018届高三第一次模拟考试文科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-=，{1,1}B =-，则AB =（ ）A ．{1}B ．{1,1,3}-C ．{3,1,1}--D ．{3,1,1,3}-- 2.若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则（ ） A ．命题p 与命题q 都是真命题 B ．命题p 与命题q 都是假命题 C ．命题p 是真命题，命题q 是假命题 D ．命题p 是假命题，命题q 是真命题3.欧拉公式cos sin ixe x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x π=时，10i e π+=被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，4ie 表示的复数在复平面中位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.下列曲线中离心率为223的是（ ） A ．22198x y -= B ．2219x y -= C ．22198x y += D ．2219x y += 5.若72sin 4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ） A ．35 B ．45 C ．35或45 D ．346.已知变量x ，y 满足约束条件40221x y x y --≤⎧⎪-≤<⎨⎪≤⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[5,6)-B ．[5,6]-C ．(2,9)D ．[5,9]-7.将函数()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到函数()g x 的图象，则()g x （ ）A ．为奇函数，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．为偶函数，在3,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 C ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BD 的中点，则PAC ∆在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④ 9.函数1x x y e+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 10.执行如图所示的程序框图，当输入2018i =时，输出的结果为（ ）A ．-1008B ．1009C ．3025D ．302811.已知双曲线C ：22194x y -=的两条渐近线是1l ，2l ，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线1l 距离是3，则点M 到渐近线2l 距离是（ ） A ．1213 B ．1 C ．3613D ．3 12. 设1x ，2x 分别是函数()xf x x a -=-和()log 1a g x x x =-的零点（其中1a >），则124x x +的取值范围是（ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 满足5b =，253a b +=，52a b -=，则a = ． 14.如图，茎叶图记录了甲、乙两名射击运动员的5次训练成绩（单位：环），则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为 ．15.在平面四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=，30B ∠=，33AB =5BC =，则线段BD 的长度为 ．16.一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.每22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积.19. 2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.表1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标值 [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45]频数4369628324（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计 合格品 不合格品 合计（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损 100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？ 附：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(2,1)M 在抛物线C ：2x ay =上，直线l ：(0)y kx b b =+≠与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线OA ，OB 的斜率之和为-1.（1）求a 和k 的值；（2）若1b >，设直线l 与y 轴交于D 点，延长MD 与抛物线C 交于点N ，抛物线C 在点N 处的切线为n ，记直线n ，l 与x 轴围成的三角形面积为S ，求S 的最小值.21.设函数221()ln f x x a x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a <.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l的参数方程为11222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()222f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围.2018年济南市高三教学质量检测文科数学参考答案一、选择题1-5: CDCDB 6-10: ADBCB 11、12：AD 二、填空题14. 2 15. 16. 420(,)33三、解答题17.解：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=-2222(1)(1)n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=1(41)(43)n n =-+111()44143n n =--+，所以11111[()()437710n T =-+-11()]4143n n +⋅⋅⋅+--+ 111()4343129nn n =-=++. 18.（1）证明：连接BE 、BD ，BD 交CE 于点O ， ∵E 为线段AD 的中点，//AD BC ，12BC AD ED ==，∴BC ED ∨， ∴四边形BCDE 为平行四边形， ∴O 为BD 的中点，又F 是BP 的中点， ∴//OF PD ，又OF ⊂平面CEF ，PD ⊄平面CEF ， ∴//PD 平面CEF .（2）解法一：由（1）知，四边形BCDE 为平行四边形，∴BE CD ∨， ∵四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==， ∴AB AE BE ==，∴三角形ABE 是等边三角形，∴3DAB π∠=，做BH AD ⊥于H ，则BH =∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， 又平面PAD平面ABCD AD =，BH AD ⊥，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥平面PAD ，∴点B 到平面PAD 的距离为BH =又∵F 为线段PB 的中点，∴点F 到平面PAD 的距离等于点B 到平面PAD 的距离的一半，即h =122PDE S PE DE =⋅=，∴13PDEF PDE V S h =⋅12323=⋅⋅=. 解法二：//CD BE ，CD ⊄平面BEP ，BE ⊂平面BEP ，∴//CD 平面BEP ， ∴点D 到平面BEP 的距离等于点C 到平面BEP 的距离，做CT BE ⊥于点T ，由BC BE EC ==，知三角形BCE 是等边三角形，∴CT =， ∵PE ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面BEP ，∴平面BEP ⊥平面ABCD ， 又平面BEP平面ABCD BE =，CT BE ⊥，CT ⊂平面ABCD ，∴CT ⊥平面BEP ，∴点C 到平面BEP 的距离为CT ， 又F 为线段PB 的中点，∴12PEF PBE S S =114PE BE =⋅=，∴13PDEF PEF V S CT =⋅1133=⋅=. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PB 的中点.（1）证明：//PD 平面CEF ；（2）若PE ⊥平面ABCD ，2PE AB ==，求四面体P DEF -的体积. 19.解：（1）根据图1和表1得到22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2400(172828192)20020036436⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12.21≈.∵12.21 6.635>，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. （2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为19296200100=，设备改造前产品为合格品的概率约为17286200100=；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. （3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，18096010040168800⨯-⨯=，所以该企业大约获利168800元.20.解：（1）将点(2,1)M 代入抛物线C ：2x ay =，得4a =，24x y y kx b⎧=⎨=+⎩，得2440x kx b --=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，解法一：1212OA OBy y k k x x +=+2212121144x xx x +121()4x x =+， 由已知得121()14x x +=-，所以414k=-，1k =-. 解法二：1212OA OB kx b kx b k k x x +++=+1212()2b x x k x x +=+424kbk k b=+=-， 由已知得1k =-.（2）在直线l 的方程y x b =-+中，令0x =得(0,)D b ，12DM bk -=， 直线DM 的方程为：11(2)2b y x --=-，即(1)2b xy b -=+， 由2(1)24b x y b x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(1)40x b x b ---=， 解得：2x =，或2x b =-，所以()22,N b b -，由24x y =，得214y x =，1'2y x =，切线n 的斜率1(2)2k b b =-=-，切线n 的方程为：2(2)y b b x b -=-+，即2y bx b =--，由2y bx b y x b⎧=--⎨=-+⎩，得直线l 、n 交点Q ，纵坐标221Q b y b =-，在直线y x b =-+，2y bx b =--中分别令0y =，得到与x 轴的交点(,0)R b ，(,0)E b -，所以12Q S RE y =()23122211b b b b b b =+=--，22(23)'(1)b b S b 2-=-，(1,)b ∈+∞，当3(1,)2b ∈时，函数单调递减；当3(,)2b ∈+∞时，函数单调递增；∴当32b =时，S 最小值为272.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，23212'()1()f x a x x x=+-+222322x x a x x ++=-23(2)()x x a x +-=， 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，当(0,)x a ∈，'()0f x <，()f x 单调递减； 当(,)x a ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增； 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. （2）由（1）知，min ()()f x f a =221(ln )a a a a a =---1ln a a a a=--， 即1()ln g a a a a a=--.解法一：21'()1ln 1g a a a =--+21ln a a =-，321''()0g a a a=--<， ∴'()g a 单调递减， 又'(1)0g >，'(2)0g <，所以存在0(1,2)a ∈，使得0'()0g a =，∴当0(0,)a a ∈时，'()0g a >，()g a 单调递增；当0(,)a a ∈+∞时，'()0g a <，()g a 单调递减；∴max 0()()g a g a =00001ln a a a a =--，又0'()0g a =，即0201ln 0a a -=，0201ln a a =， ∴00020011()g a a a a a =--002a a =-，令00()()t a g a =，则0()t a 在(1,2)上单调递增， 又0(1,2)a ∈，所以0()(2)211t a t <=-=，∴()1g a <.解法二：要证()1g a <，即证1ln 1a a a a --<，即证：2111ln a a a--<， 令211()ln 1h a a a a =++-，则只需证211()ln 10h a a a a =++->， 23112'()h a a a a=--2332(2)(1)a a a a a a ---+==， 当(0,2)a ∈时，'()0h a <，()h a 单调递减；当(2,)a ∈+∞时，'()0h a >，()h a 单调递增；所以min ()(2)h a h =111ln 21ln 20244=++-=->， 所以()0h a >，即()1g a <.22.【解析】（1）由已知得：11222x t y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t得21)y x -=-，20y -+-=，即：l20y -+-=.曲线C ：4sin ρθ=得，24sin ρρθ=，即224x y y +=，整理得22(2)4x y +-=， 即：C ：22(2)4x y +-=. （2）把直线l的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中得：221(1))42t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩， ∴11PM PN +1212PM PN t t PM PN t t ++==⋅⋅1212t t t t -==⋅=. 23.【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-； 当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x φ∈； 当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥；综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞.（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，由图象知，当1x =时， 13a -+≤-，解得：2a ≤-， ∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-.【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤， 当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-， 综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-.。