山东省高三数学一轮复习 专题突破训练 定积分与正态分布 理
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲定积分与微积分基本定理理课件
_____f_(x_)_d_x_______叫做被积式．
(2)其定义体现求定积分的四个步骤：
①__分__割____；②__近__似__代__替____；③__取__和____；④__取__极__限____.
(3)定积分的几何意义：
f(x) f(x)≥0
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a____，___x_＝__b____，y＝0 及曲 线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
S△BOC－S1＝2－2(x－1x)dx＝2－(x22－ln x)21 1
＝12＋ln 2，故选 D．
角度2 已知曲线围成的图形的面积求参数
例 3 (2019·广州模拟)曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积 为43，则 k＝___2___.
[解析] 由yy＝ ＝xkx2， 得xy＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围 成的曲边梯形的面积为k(kx－x2)dx＝(2kx2－13x3)k0 ＝k23－13k3＝43，即 k3＝8，所以 k＝2.
考点一 定积分的运算——自主练透
例 1 (1)计算：
①3
(3x2－2x＋1)dx＝___2_4____；
－1
②0
(cosx＋ex)dx＝___1_－__e1_π ___；
－π
③若 f(x)＝ 3＋2x－x2，则3f(x)dx 为___π___. 1
x2，x∈[0，1]，
4
(2)设 f(x)＝1x，x∈1，e]
分的概率等于__1_2___.
[解析] 依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S ＝1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－2x2dx＝4－13x312 ＝4－73＝53，根
2025年高考数学一轮复习-9.7-二项分布与正态分布-专项训练【含解析】
(A)
A.
B.
C.
D.
[解析]选 A.该同学随机掷一枚骰子，得到 1 点或 5 点的概率为 ，则该同学掷一枚骰
子 4 次，得到 1 点或 5 点的次数超过 2 次的概率 = C × × − + C × =
.故选 A.
2. [2023·浙江杭州重点中学联考]设随机变量 ∼
=(A)
A.
B.
C.
, ，若 D.
≤ = ，即 ≤ > ≤ ，所以 D 错误.故选 C.
4. 已知随机变量 , 满足 ∼ , , + = ，且 ≤ = ,则
的值
为( C )
A.
B.
[解析]选 C.因为随机变量 满足 ∼
C. ,,
D. ≤ = ,所以有
≤ =C −
+ C − = − = ，解得 = .则 = × × − = , = −
, − ≤ ≤ + ≈徠
）
12. [2023·浙江宁波模拟]现有 ， 两队参加关于“二十大”的知识问答竞赛，每
队 3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢 1 分，答错得 0 分. 队中每人答对的概
率均为 ， 队中每人答对的概率分别为 ， ， ，且各答题人答题正确与否之间
互无影响.若事件 表示“ 队得 2 分”，事件 表示“ 队得 1 分”，则
,=
= .故选 C.
5. [2023·江苏南京模拟]（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进
制数 =
（例如 10 100），其中 = , , , 出现 0 的概率为 ，出
现 1 的概率为 ，记 = + + + ，则当程序运行一次时( ABC )
高三数学一轮复习提分训练题：正态分布 Word版含解析
正态分布一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.6826，则P (X >4)＝ ( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585解析 通过正态分布对称性及已知条件得P(X ＞4)＝1－2＝1－0.68262＝0.1587，故选B .答案 B2. 设随机变量ξ服从正态分布 ),1(2σN ，则函数2()2f x x x ξ=++不存在零点的概率为( ) A.41 B. 31 C.21 D.32 解析 函数2()2f x x x ξ=++不存在零点,则440,1,ξξ∆=-<> 因为2~(1,)N ξσ，所以1,μ=()11.2P ξ>=答案 C3．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|＜σ)等于( )．A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎪⎫1－μσ D ．2Φ(μ＋σ)解析 由题意得，P (|ξ－μ|＜σ)＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|ξ－μσ|＜1＝Φ(1)－Φ(－1)．答案 B4．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 解析 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝σ2＝4， ∴D (η)＝1. 答案 B5．标准正态总体在区间(－3,3)内取值的概率为 ( )．A ．0.998 7B ．0.997 4C ．0.944D ．0.841 3 解析 标准正态分布N (0,1)，σ＝1，区间(－3,3)，即(－3σ，3σ)，概率P ＝0.997 4.答案 B6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －x －μi 22σ2i(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D7．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )． A ．0.097 B ．0.046 C ．0.03 D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D 二、填空题8. 随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，已知P (ξ＜0)＝0.3，则P (ξ＜2)＝________.答案 0.79．某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析 由题意知，P (ξ＞110)＝1－2Pξ2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10. 答案 1010．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析∵X服从正态分布(1，σ2)，∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴X在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8答案0.811．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③12．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题13．某人乘车从A地到B地，所需时间(分钟)服从正态分布N(30,100)，求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率．解析由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6知，此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.682 6，又由于P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分钟至20分钟和40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.954 4－0.682 6＝0. 271 8，由正态曲线关于直线x＝30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.135 9.14．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其概率密度函数是φμ，σ(x)＝162πe－x－272，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内的灯泡的个数．(1)209－6～209＋6；(2)209－18～209＋18.解析由于X的概率密度函数为φμ，σ(x)＝162πe－x－272，x∈(－∞，＋∞)，∴μ＝209，σ＝6.∴μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18.因此光通量X 的取值在区间(209－6,209＋6)， (209－18,209＋18)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.(1)于是光通量X 在209－6 ～209＋6范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.682 6＝6 826.(2)光通量在209－18～209＋18范围内的灯泡个数大约是 10 000×0.997 4＝9 974.15．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解析 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80＜ξ≤120)＝P (100－20＜ξ≤100＋20)＝0.954 4， 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4. (2)P (90＜ξ≤110)＝P (100－10＜ξ≤100＋10) ＝0.682 6，∴P (ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为2 000×0.841 3≈1 683(人)．16．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解析 设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30＜X ≤90)＝P (60－3×10＜X ≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P (X ＞90)＝12[1－P (30＜X ≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x .则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(理)【统考版】第七节 二项分布正态分布及其应用(课件)
(1)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上 (含60分)的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利 用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4 人参加座谈会．记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布
列和数学期望；
(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布N(μ，σ2)， 其中μ可用样本平均数近似代替，σ2可用样本方差近似代替(用一组数 据的中点值作代表)，若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次 数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．(结果 根据四舍五入保留到整数位)
(2)记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数 比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多3天”为事件M，求事件M发 生的概率．
考点四 正态分布及其应用 [应用性、创新性]
[例3] 某高中招聘教师，首先要对应聘者的工作经历进行评分，评分达 标者进入面试，面试环节应聘者要回答3道题，第一题为教育心理学知识， 答对得2分，答错得0分，后两题为学科专业知识，每道题答对得4分，答错 得0分．
解题中可参考使用下列数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ ＜X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.9973.
答案：B
关键能力—考点突破
答案：A
2．[2023·湖南长沙检测]已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为
0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，
则这个元件使用寿命超过2年的概率为( )
A．0.75
B．0.6
A
答案：C
答案：B
反思感悟 条件概率的三种求法
2．利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态 变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
(山东专用)高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理(含解析)
（山东专用）高考数学一轮复习专题16定积分与微积分基本定理（含解析）一、【知识精讲】1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i＝1，2，…，n )，作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1b －a n f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式.(2)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积2.(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数).(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x .(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b ).3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a ).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把F (b )－F (a )记为F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba)＝F (b )－F (a ). [微点提醒]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、【典例精练】 考点一 定积分的计算【例1】 (1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.(2) （2012【答案】 (1)π 【解析】(1)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )⎪⎪⎪π0＝π.(2) 【解法小结】 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分. 考点二 定积分的几何意义角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例2－1】 (1)计算：⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝________.(2) （2013请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：．【答案】 (1)π4＋1 【解析】 (1)由定积分的几何意义知，⎠⎛011－x 2d x 表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的14，所以⎠⎛11－x 2d x ＝π4，又⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，所以⎠⎛01(2x ＋1－x 2)d x ＝π4＋1.(2)从而得到如下等式：答案角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例2－2】 （2014 ）A ．2 D ．4 【答案】D【解法小结】 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分. 2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系). 考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( ) A.3B.4C.5D.6(2)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________ J(x 的单位：m ，力的单位：N).【答案】 (1)C (2)342【解析】(1)因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t .所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t －5t 2＝5.整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.(2)变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J).【解法小结】 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的位移s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【思维升华】1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关.2.⎠⎛a b f (x )d x 、⎠⎛a b |f (x )|d x 与|⎠⎛ab f (x )d x |在几何意义上有不同的含义，由于被积函数f (x )在闭区间[a ，b ]上可正可负，也就是它的图象可以在x 轴上方、也可以在x 轴下方、还可以在x 轴的上下两侧，所以⎠⎛ab f (x )d x表示由x 轴、函数f (x )的曲线及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和；而|f (x )|是非负的，所以⎠⎛a b |f (x )|d x 表示在区间[a ，b ]上所有以|f (x )|为曲边的正曲边梯形的面积；而|⎠⎛a b f (x )d x |则是⎠⎛ab f (x )d x的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的. 【易错注意点】1.若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负. 三、【名校新题】1.(2019·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A.e ＋2B.e ＋1C.eD.e －1【答案】C【解析】 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.2.(2019·郑州模拟)汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速运动时，在第1 s 至第2 s 之间的1 s 内经过的路程是( ) A.132m B.6 mC.152m D.7 m【答案】A【解析】 s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t ⎪⎪⎪21＝32×4＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋2＝10－72＝132(m). 3.(2018·青岛月考)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积S ，正确的是( ) A.S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d xB.S ＝⎠⎛02(x 3－4x )d xC.S ＝⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫3y －y 4d yD.S ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫y 4－3y d y【答案】A【解析】 两函数图象的交点坐标是(0，0)，(2，8)，故对x 积分时，积分上限是2、下限是0，由于在[0，2]上，4x ≥x 3，故直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3所围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ⎝⎛⎭⎪⎫同理对y 积分时S ＝⎠⎛08⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －y 4d y .4.(2019·安阳模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【解析】 由微积分基本定理a ＝⎠⎛02x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3⎪⎪⎪20＝83，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4⎪⎪⎪20＝4，c ＝⎠⎛02sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪20＝1－cos 2<2，则c <a <b .5.(2019届江西九江高三第一次十校联考)M=dx,T=sin 2xdx,则T 的值为( )A. B.- C.-1 D.1【答案】 A【解析】先求出M=6.(2019届山东日照一中第二次质量达标检测)在函数y=cos x,x∈的图象上有一点P(t,cos t),若该函数的图象与x轴、直线x=t,围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图象大致是( )【答案】 B【解析】因为g（t）==，所以图像是B.7.(2019届吉林长春实验中学上学期期中,6)设f(x)=则f(x)dx等于( )A. B. C. D.0【答案】 A【解析】原式=8.(2018山东菏泽第一次模拟)若(n∈N*)的展开式中含有常数项,且n的最小值为a,则dx=( )A.36πB.C.D.25π【答案】 C【解析】可求出a=5,由定积分的几何意义知：所求定积分为半径为5的半圆的面积，为.9.（荆州市2019届高三联考）已知函数234567()1234567x x x x x xf x x=+-+-+-+，若函数()(3)h x f x=-的零点都在区间(,)(,,)a b a b a b Z <∈内，当b a -取最小值时，(21)bax dx -⎰等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】：B 【解析】234562326326()1(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=-+--++=--++，可知当1x ≤时，()0f x '>成立，又2345624232()11(1)(1)1(1)(1)f x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=--++-+=+--+，可知当1x >时，()0f x '>成立，所以对任意R x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以函数()f x 只有一个零点，(0)10f =>，111111(1)0234567f -=------<，所以()f x 的零点位于区间(1,0)-，所以函数 ()(3)h x f x =-的零点位于区间(2,3)，即2,3a b ==，所以32(21)(21)bax dx x dx -=-⎰⎰322()624x x =-=-=10.(2019·昆明诊断)若⎠⎛a0x 2d x ＝9，则常数a 的值为________.【答案】-3【解析】 ⎠⎛a0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪0a ＝－13a 3＝9，∴a 3＝－27，a ＝－3.11.(2019·济南模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 【答案】49【解析】封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.12.(2019·广州调研)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1），x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为________.【答案】π2＋43。
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编30：《定积分》.pdf
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编30：定积分 一、选择题 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若,则的大小关系为B．C．D． 【答案】B ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若实数则函数的图象的一条对称轴方程为B．C．D． 【答案】B ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知,若,则=（ ） A．1B．-2C．-2或4D．4 【答案】D ．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）若,,则的大小关系为 . . . . 【答案】B ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）曲线与围成的封闭区域的面积是1B．C．D． 【答案】C ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为B．C．D．【答案】D二、填空题 ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）若在R上可导,,则____________. 【答案】-18 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）=_________________. ( ) 【答案】 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）_________.【答案】7 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题） ____________. 【答案】 ．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设(其中e为自然对数的底数),则的值为_________. 【答案】 ．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）设 ,若,则_______. 【答案】1因为,=,所以,. ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）__________. 【答案】1 ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）若函数f(a)=(2+sin x)dx,则f等于_________ 【答案】(+1 ．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若,则的值是___★___. 【答案】2 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________; 【答案】1/3 ．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）曲线所围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）由直线所围成的封闭图形的面积为__________. 【答案】 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线与直线围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数与的图像所围成的阴影部分的面积为,则__________. 【答案】3 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）由曲线、直线以及所围成的图形面积是________. 【答案】。
高三数学(理)人教版一轮训练：第十篇第7节二项分布与正态分布.doc
第7节二项分布与正态分布【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( B )(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.45%)(A)4.56% (B)13.59%(C)27.18% (D)31.74%解析:P(-3<ξ<3)=68.27%,P(-6<ξ<6)=95.45%,则P(3<ξ<6)=×(95.45%-68.27%)=13.59%.2.一台机床有的时间加工零件A,其余时间加工零件B,加工零件A时,停机的概率为,加工零件B时,停机的概率是,则这台机床停机的概率为( A )(A) (B) (C) (D)解析:加工零件A 停机的概率是×=,加工零件B 停机的概率是(1-)×=,所以这台机床停机的概率是+=.故选A.3.(2017·梅州市一模)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( B ) (A) (B) (C)(D)解析:从6个球中摸出2个,共有=15种结果,两个球的号码之积是4的倍数,有(1,4),(2,4),(3,4),(2,6)(4,5),(4,6),共6种结果, 所以摸一次中奖的概率是=,所以有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是×()3×=.故选B.4.(2017·岳阳市质检)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前2局中乙队以2∶0领先,则最后乙队获胜的概率是( C ) (A) (B) (C) (D)解析:因为排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),甲队在每局比赛获胜的概率都相等为,前2局中乙队以2∶0领先,则只有甲后三局均胜乙才输,所以最后乙队获胜的概率P=1-()3=.故选C.5.若某人每次射击击中目标的概率均为,此人连续射击三次,至少有两次击中目标的概率为( A )(A)(B)(C)(D)解析:至少有两次击中目标包含仅有两次击中,其概率为()2(1-);或三次都击中,其概率为()3,根据互斥事件的概率公式可得,所求概率为P=()2(1-)+()3=.故选A.6.(2017·合肥市质检)某校组织由5名学生参加演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为( A )(A) (B) (C) (D)解析:记“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”为事件M,记“学生C第一个出场”为事件N.则P(M)=,P(MN)=.那么“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为P(N|M)===.故选A.7.设随机变量X～B(2,p),随机变量Y～B(3,p),若P(X≥1)=,则P(Y ≥1)= .解析:因为X～B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=.又Y～B(3,p),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.答案:8.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是.解析:设“甲、乙二人相邻”为事件A,“甲、丙二人相邻”为事件B,则所求概率为P(B|A),由于P(B|A)=,而P(A)==,AB是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,故P(AB)==,于是P(B|A)==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2017·湛江市二模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a的值为( A )(A) (B) (C)5 (D)3解析:因为随机变量ξ服从正态分布N(3,4),且P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3与a+2关于x=3对称,所以2a-3+a+2=6,所以3a=7,所以a=.故选A.10.1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球.则从2号箱取出红球的概率是( A )(A) (B) (C) (D)解析:法一记事件A:最后从2号箱中取出的是红球;事件B:从1号箱中取出的是红球,则根据古典概型和对立事件的概率和为1,可知:P(B)==,P()=1-=;由条件概率公式知P(A|B)==,P(A|)= =.从而P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)·P(B)+P(A|)·P()=.故选A.法二根据题意,分两种情况讨论:①从1号箱中取出白球,其概率为=,此时2号箱中有6个白球和3个红球,从2号箱中取出红球的概率为,则此种情况下的概率为×=.②从1号箱中取出红球,其概率为=.此时2号箱中有5个白球和4个红球,从2号箱取出红球的概率为,则这种情况下的概率为×=.则从2号箱取出红球的概率是+=.故选A.11.(2017·黔东南州一模)黔东南州雷山西江千户苗寨,是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨,每年来自世界各地的游客络绎不绝.假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是服从正态分布N(2 000,10 000)的随机变量.则每天到西江苗寨的游客人数超过 2 100的概率为.解析:因为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量ξ在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率为0.682 7,所以每天到西江苗寨的游客人数超过2 100的概率为×(1-0.682 7)=0.158 65.答案:0.158 6512.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是,则小球落入A袋中的概率为.解析:记“小球落入A袋中”为事件A,“小球落入B袋中”为事件B,则事件A的对立事件为B,若小球落入B袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,故P(B)=()3+()3=,从而P(A)=1-P(B)=1-=.答案:13.(2017·泸州市二诊)从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分布直方图.(1)求这100份数学试卷的样本平均分和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这批学生的数学总分Z服从正态分布N(μ, σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(81<Z<119);②记X表示2 400名学生的数学总分位于区间(81,119)的人数,利用①的结果,求E(X)(用样本的分布估计总体的分布).附:≈19,≈18,若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)= 0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5.解:(1)由题意, =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100,样本方差s2=(60-100)2×0.02+(70-100)2×0.08+(80-100)2×0.14+(90-100)2×0.15+(100-100)2×0.24+(110-100)2×0.15+(120-100)2×0.1+ (130-100)2×0.08+(140-100)2×0.04=366.(2)①Z～N(100,192),P(81<Z<119)=P(100-19<Z<100+19)=0.682 7;②数学总分位于区间(81,119)的概率为0.682 7,X～B(2 400,0.682 7),E(X)=2 400×0.682 7=1 638.24.14.(2016·广东深圳二调)某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级,其中不小于80分为“优秀”,小于60分为“不合格”,其他为“合格”.(1)某校高一年级有男生500人,女生400人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响,采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了45名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数统计如下表:根据表中统计的数据填写下面2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”?(2)以(1)中抽取的45名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取3人.①求所选3人中恰有2人综合素质评价为“优秀”的概率;②记X表示这3人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求X的数学期望.参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.临界值表:解:(1)设从高一年级男生中抽出m人,则=,m=25.所以x=25-20=5,y=20-18=2,而K2===1.125<2.706,所以没有90%的把握认为“测评结果为优秀与性别有关”.(2)①由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为=,所以从该市高一学生中随机抽取1名学生,该生为“优秀”的概率为.记“所选3名学生中恰有2人综合素质评价′优秀′学生”为事件A,则事件A发生的概率为P(A)=×()2×(1-)=;②由题意知,随机变量X～B(3,),所以随机变量X的数学期望E(X)=3×=2.15.(2017·重庆市适应性测试)某火锅店为了解气温对营业额的影响,随机记录了该店1月份中5天的日营业额y(单位:千元)与该地当日最低气温x(单位:℃)的数据,如下表:(1)求y关于x的回归方程=x+;(2)判定y与x之间是正相关还是负相关;若该地1月份某天的最低气温为6 ℃,用所求回归方程预测该店当日的营业额;(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2,求P(3.8<X<13.4).附:①回归方程=x+中, =,=-.②≈3.2,≈1.8.若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 5.解:(1)列表计算如下:这里n=5, =x i==7, =y i==9,又l xx=-n=295-5×72=50,l xy=x i y i-n=287-5×7×9=-28,从而, ==-=-0.56,=-=9-(-0.56)×7=12.92,故所求回归方程为=-0.56x+12.92.(2)由=-0.56<0知y与x之间是负相关,将x=6代入回归方程可预测该店当日的营业额为=-0.56×6+12.92=9.56(千元).(3)由(1)知μ==7,又由σ2=s2= [(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2]=10知σ=3.2,从而P(3.8<X<13.4)=P(μ-σ<X<μ+2σ)=P(μ-σ<X<μ)+P(μ<X<μ+2σ)= P(μ-σ<X<μ+σ)+ P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.818 6.。
高考数学一轮复习 10.10二项分布、超几何分布、正态分布练习 理
第十节 二项分布、超几何分布、正态分布题号 1 2 3 4 5 6 答案1．(2013·大庆模拟)设ξ是服从二项分布B(n ，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝454，则n 与p 的值为 ( ) A ．60，34 B ．60，14 C ．50，34 D ．50，14解析：由ξ～B(n ，p)，有E(ξ)＝np ＝15，D (ξ)＝np(1－p)＝454，所以p ＝14，n ＝60.答案：B2．(2013·许昌模拟)设随机变量X ～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a 的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a －2＝2，所以a ＝4，选A. 答案：A3．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235 B.1235 C.335 D.235解析：设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0，1，2，相应的概率为P(X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.故选B.答案：B4. 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位长度，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫125 B ．C 52⎝ ⎛⎭⎪⎫125C ．C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 52C 53⎝ ⎛⎭⎪⎫125解析：质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点(2，3)的概率为P ＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123.故选B 答案：B5．一个袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于（n －m ）A m2A n3的是( ) A ．P(ξ＝3) B ．P(ξ≥2) C．P(ξ≤3) D．P(ξ＝2) 解析：P(ξ＝2)＝A 2m C 1n －m A 3n ＝（n －m ）A 2mA 3n . 故选D. 答案：D6．正态总体的概率密度函数为f ()x ＝18πe －x28()x∈R ，则总体的平均数和标准差分别是( )A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和 2 答案：C7．将1枚硬币连续抛掷5次，如果出现k 次正面的概率与出现k ＋1次正面的概率相同，则k 的值是________．解析：由C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫125－k ＝ C k ＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫124－k ，得k ＝2. 答案：28．已知ξ～N(4，σ2)，且P(2＜ξ≤6)＝0.682 6，则P(ξ≤10)＝________． 解析：∵P(4－2＜ξ≤4＋2)＝0.682 6， ∴σ＝2，P(－2＜ξ≤10)＝P(4－2×3＜ξ≤4＋2×3)＝0.997 4， P (ξ≤10)＝P(－2＜ξ≤10)＋12[1－P(－2＜ξ≤10)]＝0.997 4＋12(1－0.997 4)＝0.998 7.答案：0.998 79．(2013·揭阳二模)某个部件由两个电子元件按右图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_____________．解析：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，得：两个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为p ＝12，则该部件使用寿命超过1 000小时的概率为：p 1＝1－(1－p)2＝34.答案：3410．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93× 0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号)．解析：“射手射击1次，击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9，由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响，因此他在连续射击4次时，第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9，①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生，其概率是C 34×0.93×0.1，②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”，而“1次也没有击中”的概率是0.14，故至少击中目标1次的概率是1－0.14，③正确．故选①③.答案：①③11．甲、乙两人参加知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲先抽一题，乙再抽一题．(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是多少？ (3)甲抽到选择题的条件下，乙抽到选择题的概率是多少？解析：(1)记A ＝“甲抽到选择题，乙抽到判断题”，则P(A)＝6×410×9＝415；∴所求的概率是415.(2)记B ＝“甲、乙没有谁抽到选择题”，则B 为所求事件， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－4×310×9＝1315；∴甲、乙两人中至少有一个抽到选择题的概率是1315.(3)记C ＝“甲抽到选择题”，D ＝“乙抽到选择题”， 则P(C)＝610＝35，P(CD)＝6×510×9＝13，∴P(D|C)＝P （CD ）P （C ）＝59.因此，所求的概率是59.12．设在一次数学考试中，某班学生的分数服从ξ～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共有54人，求这个班的这次数学考试中及格(不小于90分)的人和130分以上的人数．解析：∵ξ～N(110，202)， ∴μ＝110，σ＝20，∴P(90＜ξ≤130)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ＝0.682 6)， P (ξ＞130)＝12[1－P(90＜ξ≤130)]＝0.158 7，∴P (ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3， 因此，及格的人数为54×0.841 3≈45(人)， 130分以上的人数54×0.158 7≈9(人)．13．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．解析：(1)设“甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C ，则P(A)＝23×23×23＝827，P(B)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P(C)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. (2)X 的可能的取值为0，1，2，3， 则P(X ＝0)＝P(A)＋P(B)＝1627，P(X ＝1)＝P(C)＝427，P(X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23×13＝19，所以X 的分布列为P1627 427 427 19所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.14.近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨．现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．(1)求至少有1天需要人工降雨的概率； (2)求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望． 解析：(1)5天全不需要人工降雨的概率是P 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝225， 故至少有1天需要人工降雨的概率是1－P 1＝2325.(2)X 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5. P(X ＝5)＝225，P(X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝725， P(X ＝3)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝73200， P(X ＝2)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×15×45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝43200， P(X ＝1)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 12×45×15＝11200， P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝1200. 所以不需要人工降雨的天数X 的分布列是X 0 1 2 3 4 5 P1200112004320073200725225E(X)＝0×1200＋1×11200＋2×43200＋3×73200＋4×725＋5×225＝3.1.15．某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力．某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人.视觉听觉 视觉记忆能力 偏低 中等 偏高 超常听觉记忆能力偏低 0 7 5 1中等 1 8 3 B偏高 2 a 0 1超常 0 2 1 1且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.(1)试确定a ，b 的值；(2)从40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率；(3)从40人中任意抽取3人，设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．解析：(1)由表格数据可知，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有()10＋a 人．记“视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ，则P(A)＝10＋a 40＝25，解得a ＝6.所以b ＝40－(32＋a)＝40－38＝2.(2)由表格数据可知，具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有8人． 方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，则“没有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ，所以P(B)＝1－P(B)＝1－C 332C 340＝1－124247＝123247.方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件B ， 所以P ()B ＝C 18C 232＋C 28C 132＋C 38C 340＝123247. (3)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为C 340，其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人，从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为C k24C 3－k16， 所以从40位学生中任意抽取3位，其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为P （ξ＝k ）＝C k24C 3－k16C 340，k ＝0，1，2，3.ξ的可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 024C 316C 340＝14247，P (ξ＝1)＝C 124C 216C 340＝72247，P (ξ＝2)＝C 224C 116C 340＝5521 235，P (ξ＝3)＝C 324C 016C 340＝2531 235.所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P14247722475521 2352531 235所以E(ξ)＝0×14247＋1×72247＋2×5521 235＋3×2531 235＝2 2231 235＝95. 16．(2013·揭阳二模)某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次(每次一件)，求恰有两次抽到二等品的概率；(2)在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次(每次一件)，恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，故P(A)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125.(2)ξ可能的取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝C 24C 23C 25C 25＝18100＝950，P (ξ＝1)＝C 14C 23C 25C 25＋C 24C 13C 12C 25C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 13·C 12C 25C 25＋C 24C 22C 25C 25＝1550＝310，P (ξ＝3)＝C 14C 22C 25C 25＝125.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P95012251550125数学期望为E(ξ)＝1×1225＋2×1550＋3×125＝1.2.17．为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ， 则P(A)＝P(A 2)＋P(A 3)＝C 24C 112C 316＋C 34C 316＝19140.(3)X 的可能取值为0，1，2，3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布为X 0 1 2 3 P27642764964164故X 的数学期望E(X)＝3×4＝4.。
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山东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练
定积分与正态分布
一、定积分 1、（2015年山东高考）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
2、（2014年山东高考）直线x y 4=与曲线2
x y =在第一象
限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22 （B ）24 （C ）2 （D ）4
3、（德州市2015届高三二模）6
22a x x ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
展开式的常数项
是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x +=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为
A.
1
46
π
- B.
1
4
6
π
+
C. 4
π D. 16
4、（淄博市2015届高三三模）1a >，函数()()2
221f x x x a g x x x a =++=-++与有相同的
最小值，则
()1
a
f x dx =⎰___________．
5、（德州市2015届高三上期末）如图所示，由函数 ()sin f x x =与函数 ()cos g x x =在区间
30,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图象所围成的封闭图形的面积为 A ．
1- B ．
2 C ．
D ．
6、（济宁市2015届高三上期末）已知函数π
ϕϕπ⎰
230
f(x)=sin(x-)(其中0<<),且f(x)dx =0，则
函数f （x ）图象的一条对称轴是 A 、π5x=
6 B 、7πx=12 C 、πx=3 D 、πx=6
7、（莱州市2015届高三上期末）抛物线22y x x ==在处的切线与抛物线以及x 轴所围成的曲边图形的面积为
8、（青岛市2015届高三上期末）两曲线20,2x y y x x -==-所围成的图形的面积是________ 9、（泰安市2015届高三上期末）若()()1
2
3
f x x f x dx =+⎰
，则()1
f x dx ⎰= ▲
10、（淄博市六中2015届高三上期末）若函数f(a)＝
⎰+a
dx x 0
)sin 2(，则=)2
(π
f _______ 11、（桓台第二中学2015届高三）抛物线y ＝－x 2
＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为______
12、（滕州市第二中学2015届高三）由曲线y =直线2y x =-及y 轴所围成的封闭图形的面积为
A ．
10
3
B ．4
C ．
16
3
D ．6
13、（滕州市第三中学2015届高三）如图，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是
A ．118
B ．1
12
C ．
16 D ．1
3
二、正态分布
1、（2015年山东高考）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为
（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=,
(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）
(A)4.56% (B) 13.59% (C) 27.18% (D) 31.74%
2、（德州市2015届高三二模）某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩
()2~100,X N a （0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的
人数约为总人数的
3
5
，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人. 3、（青岛市2015届高三二模）某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N （110，102
），已知P （100≤X≤110）=0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有 8 人． 4、（淄博市六中2015届高三）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布
()
(σσ2,1N ＞)0，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.7，则ξ在()1,0内取值的概率为_______
5、设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为
6、已知随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=， ()0.6826P X μσμσ-<≤+=，若4μ=，1σ=, 则(56)P X <<=
A ．0.1358
B ．0.1359
C ．0.2716
D ．0.2718
7.假设某市今年高考考生成绩X 服从正态分布)100,500(2
N ，现有2500名考生，据往年录取率可推测今年约有1000名高考考生考上一类大学，估计今年一类大学的录取分数线为
分．（其中5987.0)25.0(,6026
.0)26.0(≈≈φφ） 8、设两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>曲线如图所示,则有 （ ） A ．1212,μμσσ<> B ．1212,μμσσ<< C ．1212,μμσσ>>
D ．1212,μμσσ><
9、随机变量ξ服从正态分布)16,50(N ，若3.0)40(=<ξP ，则=<<)6040(ξP
.
10、某中学组织了一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为
f (x )=
200
80)-(2e
10
21x -
⋅π(x ∈R )，则下列命题不正确．．．
的是 （ ） A.这次考试的数学平均成绩为80分 B.这次考试的数学成绩标准差为10
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
参考答案 一、定积分 1、解析：1
1
20
111111236
T xdx x dx =++=+
+=⎰
⎰. 2、答案：D 解析：
34x x =Q ，()()()324422x x x x x x x -=-=+-Q
第一象限
()2
3
2
4
1428404
x x x
x -=-
=-=⎰ 3、A 4、
283
5、D
6、A
7、
23 8、92 9、－16
10、1+π 11、2
3 12、C 13、B
二、正态分布
1、解析：1
(36)(95.44%68.26%)13.59%2
P ξ<<=
-=，答案选(B) 2、1
3、【解析】： 解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N （110，102
）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称， ∵P （100≤ξ≤110）=0.34，
∴P （ξ≥120）=P （ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16， ∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8． 故答案为：8． 4、0.35 5、3
7=
a
6、B
7、525
8、A 【解析】显然12μμ<，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小。
9、0.4 10、D。