四年级奥数05三角形
四年级奥数：几何问题
四年级奥数：几何问题几何是一个重要的数学分支，涉及到图形的形状、大小和位置。
作为四年级的学生，掌握几何知识对于解决几何问题非常重要。
本文将介绍一些四年级奥数中常见的几何问题。
直线和曲线四年级学生需要了解直线和曲线的基本概念和性质。
直线是由无数个点组成的，无论如何延伸，都不会弯曲。
曲线是由无数个点组成的，会在某些地方弯曲或弯曲。
理解直线和曲线的特点对于解决几何问题非常重要。
图形的属性四年级学生需要熟悉各种常见图形的属性。
以下是一些常见的图形和它们的属性：1. 三角形：三个边和三个角。
2. 矩形：四个边和四个直角。
3. 正方形：四个边和四个相等的直角。
4. 长方形：四个边和四个直角，但对边不一定相等。
5. 圆形：一个圆周和一个圆心。
理解图形的属性可以帮助学生识别和分辨不同的图形，并解决与这些图形相关的问题。
图形的测量四年级学生也需要学会测量图形的属性。
以下是一些常见的图形测量方法：1. 长度：使用尺子或直尺来测量图形的边长。
2. 面积：使用单位面积单位（如平方厘米）来测量图形的表面积。
3. 周长：使用单位长度单位（如厘米）来测量图形的周长。
学生可以通过测量图形的属性来解决问题，例如计算图形的面积或周长。
图形的变换除了了解图形的属性和测量，四年级学生还需要学会图形的变换。
以下是一些常见的图形变换：1. 平移：将一个图形沿着一条直线移动，保持其形状和大小不变。
2. 旋转：将一个图形绕一个点旋转，保持其形状和大小不变。
3. 翻转：将一个图形沿着一条直线翻转，保持其形状和大小不变。
理解图形的变换可以帮助学生解决一些与图形位置和方向相关的问题。
总结几何是四年级奥数中一个重要的领域，涉及到图形的形状、大小和位置。
通过了解直线和曲线、图形的属性、图形的测量以及图形的变换，学生可以更好地解决几何问题。
希望本文对四年级奥数中的几何问题有所帮助。
_以上为800字的文档内容，希望对您有所帮助。
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人教版四年级下册第五章三角形的知识点总结和例题讲解
一知识点梳理1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
（例1）3、三角形的特性:1、物理特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、边的特性：任意两边之和大于第三边.（例2）5、为了表达方便,用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC.6、三角形的分类：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
（例3,4）8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
(其他两个角必定是锐角）9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
（其他两个角比定是锐角）10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
（等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等）12、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形）（等边△的三边相等,每个角是60度)13、等边三角形是特殊的等腰三角形14、三角形的内角和等于180°；(例4）15、图形的拼组：用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形.16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形.17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形.18、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
19 三个完全相同的三角形能拼成一个梯形20角度不能用放大镜放大。
二、例题解析例1 画出下面三角形的高。
底底底例2 在能拼成三角形的小棒下面画“☆"。
（单位：厘米）（）（ ) （）例3 在一个三角形中，已知它的两个内角是50度和75度，这个三角形是（）三角形例4 等边三角形是（）三角形例5 已知一个等腰三角形的一个底角是35。
四年级奥数讲义：三角形的等积变形
四年级奥数讲义:三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式:三角形面积=底×高÷2这个公式告诉我们:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究,我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高（或底）相等,其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．,它们所对的顶点同为A点,（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．例如在右图中,△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC）,它所对的两个顶点A、D 在与底BC平行的直线上,（也就是它们的高相等）,那么这两个三角形的面积相等．例如右图中,△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC）,△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点,AB=2BD,有AH=2DE）,则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．上述结论,是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1 用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2:如右图,先将BC二等分,分点D、连结AD,得到两个等积三角形,即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F,并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形,即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的面积比为及1∶3∶4．方法1:如下左图,将BC边八等分,取1∶3∶4的分点D、E,连结AD、AE,从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．DE,从而得到三个三角形:△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法,同学们可以自己寻找解决．例3 如右图,在梯形ABCD中,AC与BD是对角线,其交点O,求证:△AOB与△COD面积相等．证明:∵△ABC与△DBC等底等高,∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．例4 如右图,把四边形ABCD改成一个等积的三角形．分析本题有两点要求,一是把四边形改成一个三角形,二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法,如右图,把顶点A移到CB的延长线上的A′处,△A′BD与△ABD面积相等,从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．解:①连结BD；②过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A′．③连结A′D,则△A′CD与四边形ABCD等积．例5 如右图,已知在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．解法1:连结BD,在△ABD中∵BE=3AE,∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．在△ABC中,∵CD=2AD,∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．解法2:连结CE,如右图所示,在△ACE中,∵CD=2AD,∴S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．在△ABC中,∵BE=3AE∴S△ABC=4S△ACE=4×3=12（平方厘米）．例6 如下页图,在△ABC中,BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC=解:连结BG,在△ABG中,∴S△ADG+S△BDE+S△CFG例7如右图,ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．解:连结AF、CE,∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行,∴S△ACE=S △ACF；∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．例8 如右图,四边形ABCD面积为1,且AB=AE,BC=BF,DC=CG,AD=DH．求四边形EFGH的面积．解:连结BD,将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD,有S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理S△AEH=2S2,因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．同理,连结AC之后,可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．例9 如右图,在平行四边形ABCD中,直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若S△ADE=1,求△BEF的面积．解:连结AC,∵AB//CD,∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC,∴S△ACF=S△ABF而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．习题十三一、选择题（有且只有一个正确答案）:1．如下左图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE,那么与△ABE 等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个2．如上右图,在平行四边形ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3．如下左图,在梯形ABCD中,共有八个三角形,其中面积相等的三角形共有______对．（A）0对（B）1对（C）2对（D）3对4．如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是______．（A）1∶1 （B）1∶1.1（C）1∶1.2 （D）1∶1.45．如右图,长方形AEGK四周上共有12个点,相邻两点的距离都是1厘米,以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．（A）24个（B）25个（C）26个（D）27个二、填空题:1．如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的______．2．如上右图,平行四边形ABCD的面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是______．3．如下左图,正方形ABCD的面积为1平方厘米,S△BEG∶S△CEG=2∶1,S△CFG∶S△DFG=1∶1,那么这四个小三角形面积之和______．4．如上右图,在△ABC中,EF平行BC,AB=3AE,那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．三、解答题:1．如下左图,D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点,已知S△ABC=27平方厘米,求S△DEF．2．如下左图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AC、BC的三等分点,且SABCD=54平方厘米,求S△BEF．3．如上页右图,将四边形ABCD各边都延长一倍至A'、B'、C'、D'．连接这些点得到一个新的四边形A' B' C' D'．如果四边形ABCD的面积是1,求四边形A'B'C'D'的面积．4．如右图,在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于E,且AF=CE,BG=DE,如果四边形ABCD的面积是1,求△EFG的面积？。
四年级奥数-三角形
【三角形基础知识】
三角形的分类： 按边分类： 等腰三角形 等边三角形 等腰直角三角形
【三角形基础知识】
1
三角形的分类： 按边分类：
两边之和大于第三边 两边之差小于第三边
【三角形基础知识】
Байду номын сангаас
【例1】(★★) 计算下面各题。 ⑴已知∠1＝30°，∠3＝40°，那么∠2＝_____。
⑵从长度分别为10cm，20cm，30cm，40cm的四根木条 中，任取三根可组成三角形的个数是____。
【例2】(★★) 9个同样的直角三角形卡片拼成了如图所示的平面图形，则这种三角 形卡片的3个角中最小的角是多少度？
【例3】(★★) 如图所示，求∠A＋ ∠B＋ ∠C＋ ∠D＋ ∠E＋ ∠F＝______。
2
【例4】(★★) 如图所示，八边形的8个内角都是135°，已知AB＝EF，BC＝20，DE ＝10，FG＝30，求AH的长度。
3
三角形面积 面积＝底×高÷2
【三角形基础知识】
【例5】(★★) 下面两幅图都是由边长为8和6的两个正方形拼成，请根据图中所示的 线段长度，求出阴影三角形的面积。
【例6】(★★★★) 如图，ABCD是一个长方形，E点在CD延长线上。已知AB＝5，BC＝ 12，且三角形AFE的面积等于20，那么三角形CFE的面积等于多少？
三角形
什么是三角形？ 由不在同一直线上的 三条线段首尾顺次连 接所组成的封 闭图形叫做三角形。
【三角形基础知识】
三角形的分类： 按角分类： 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
【三角形基础知识】
三角形的分类： 按角分类：
三角形内角和：180° 三角形外角和：360° N边形内角和：180°×(n－2) N边形外角和：360°
人教版四年级下册数学第五单元《三角形》核心知识
人教版四年级数学下册第五单元《三角形》核心知识
1、由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫三角形。
一个角的顶点向对边作的垂线段就是高。
高对应的这条边叫底。
2、根据一个三角形拥有锐角、钝角、直角的情况，可以把三角形分成三类：
有一个钝角的三角形叫钝角三角形。
有一个直角的三角形叫直角三角形。
（都有两个锐角）
没有钝角也没有直角的三角形叫锐角三角形。
就是三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形。
3、根据一个三角形的边是不是相等，可以把三角形分成三类：
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
三条边都相等的，那么肯定有两条边相等。
所以等边三角形一定是等腰三角形。
4、三角形的特点：三角形具有稳定性。
三角形的三个内角之和肯定是180度。
三角形的任意两边之和一定大于第三边。
根据这个特点，判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条，加起来是不是大于第三条。
5、会画出任意一种三角形的高和底。
每个三角形都有三条高，三条底。
画的时候要看清楚，题目中有没有指定底，一定要画出那一条底上的高。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
小学四年级下册数学讲义第五章 三角形 人教新课标版(含解析)
人教版小学四年级数学下册同步复习与测试讲义第五章三角形【知识点归纳总结】1. 三角形的特性三角形具有稳定性．三内角之和等于180度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于90°），直角三角形（有一个角等于90°），钝角三角形（有一个角大于90°）．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【经典例题】例1：可以围成一个三角形的三条线段是．（）A、 B、C、分析：紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．解：A：5厘米+4厘米＜10厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，B：5厘米+5厘米=10厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，C：5厘米+6厘米＞10厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，故选：C．点评：此题是考查了三角形三边关系的应用．例2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A、 B、 C、分析：不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性；故选：C．点评：此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．2.三角形的分类1．按角分判定法一：锐角三角形：三个角都小于90°．直角三角形：可记作Rt△．其中一个角必须等于90°．钝角三角形：有一个角大于90°．判定法二：锐角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．钝角三角形：最大角大于90°．其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．2．按边分不等边三角形；等腰三角形；等边三角形．【经典例题】例：一个三角形，三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形为（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、不能确定因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；故选：A．点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．3. 三角形的内角和三角形内角和为180°．直角三角形的两个锐角互余．【经典例题】例1：把一个大三角形分成两个小三角形，每个小三角形的内角和是（）A、90°B、180°C、60°分析：根据三角形的内角和是180°，三角形的内角和永远是180度，你把一个三角形分成两个小三角形，每个的内角和还是180度，据此解答．解：因为三角形的内角和等于180°，所以每个小三角形的内角和也是180°．故选：B．点评：本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．例2：在三角形三个内角中，∠1=∠2+∠3，那么这个三角形一定是（）三角形．A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定分析：根据三角形的内角和为180°结合已知，可求∠1=90°，即可判断三角形的形状．解：因为∠1=∠2+∠3，所以∠1=180°÷2=90°，所以这个三角形是直角三角形．故选：B．点评：此题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，三角形按角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．【同步测试】单元同步测试题一．选择题（共10小题）1．下列几组长度能拼成三角形的是（）A．4cm、5cm、9cm B．3cm、6cm、10cmC．4cm、6cm、5cm2．一个三角形的两条边分别是6厘米和8厘米，那么第三条边的长度可能是（）A．1厘米B．2厘米C．3厘米D．14厘米3．有2根木条的长度分别是6分米和12分米，取第三根木条是（）分米可钉成一个三角形．A．6B．1C．12D．184．在一个三角形中，∠1＝70°，∠2＝50°，这个三角形是（）三角形．A．直角B．锐角C．钝角5．一个三角形的三个内角中，最小的一个角是50°，这个三角形是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角D．以上三种都有可能6．三角形按角可分为______三角形、______三角形和______三角形．（）A．直角锐角钝角B．等边等腰正C．锐角等边直角D．等边直角等腰7．在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°（）A．大B．小C．相等8．一个三角形的两个内角分别是23°，66°，这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形9．一个直角三角形的内角和是180°，如图，将两个直角三角形拼成一个更大的三角形，这个拼成的三角形的内角和是（）A．90°B．180°C．360°D．无法确定10．下面三角形中未知角的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°二．填空题（共8小题）11．三角形按边分类可分为三角形、三角形、三角形．12．用三根长6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形的每个角都是．这个三角形按边分是三角形，按角分是三角形．13．如图中，有个钝角三角形．14．两根小棒长分别是4厘米、8厘米，要围成一个三角形，第三根小棒应该比厘米长，比厘米短．15．电线杆上的三角形支架运用的是三角形的．16．用三根长度分别是10cm、5.7cm和3.2cm小棒围三角形，围成．（填“能”与“不能”）17．在一个三角形中，∠1＝65°，∠2＝40°∠3＝，这是三角形．在一个直角三角形中，其中一个锐角是35°，另一个锐角是．18．一个直角三角形中的一个锐角是40度，另一个锐角是度．等腰直角三角形的一个底角是度．三．判断题（共5小题）19．用4cm、7cm、10m长的三根绳子不能围成三角形，（判断对错）20．把一个锐角三角形顺时针旋转90°，它就变成了直角三角形．（判断对错）21．一个等腰三角形的顶角是78度，则这个三角形一定锐角三角形．（判断对错）22．直角三角形全都是直角．（判断对错）23．有一个角是95°的三角形一定是钝角三角形．（判断对错）四．操作题（共1小题）24．在方格纸上分别画一个直角三角形、一个钝角三角形和一个等腰三角形．五．应用题（共5小题）25．妈妈有一条等腰三角形的围巾，其中一个角是120°，其余两个角各是多少度？26．一个等腰三角形中一个内角是80°，另外两个角各是多少度？（先判断已知内角，再进行计算）27．一个等腰三角形的底角等于55°，它的顶角等于多少度？28．在一个三角形中，∠1＝60°，∠2比∠1小15°，那么∠3是多少度？29．求如图三角形中未知角的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：A、4+5＝9，所以不能围成三角形；B、3+6＝9＜10，所以不能围成三角形；C、4+5＝9＞6，所以能围成三角形；故选：C．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．2．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边”，求得第三边的取值范围，即可得出结果．【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边应大于8﹣6＝2，而小于8+6＝14，2＜第三边＜14，结合选项可知：可以是3厘米；故选：C．【点评】考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式，确定取值范围即可．3．【分析】依据三角形的特性，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，从而可以确定出第三条边的取值范围，问题得解．【解答】解：据分析可知：12﹣6＜第三条边＜12+6，即6＜第三条边＜18，所以可以说12分米；故选：C．【点评】此题主要考查三角形的特性，注意基础知识的积累．4．【分析】根据三角形内角和是180°，用180度减去∠1和∠2的度数，即可求出第三个角的度数，进而判断出三角形的类型．【解答】解：180°﹣70°﹣50°＝60°因为该三角形的三个内角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理以及三角形按角分类的方法的灵活应用．5．【分析】因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，于是就可以判定这个三角形的类别．【解答】解：因为在一个三角形中，至少有2个锐角，再据“一个三角形中最小的一个内角是50°”可知，另一个锐角的度数一定大于50°，则这两个锐角的和一定大于90°，又因三角形的内角和是180°，从而可以得出第三个内角必定小于90°，所以这个三角形是锐角三角形．故选：A．【点评】此题主要考查依据角的度数判定三角形的类别方法．6．【分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分为两类：不等腰三角形和等腰三角形；等边三角形是等腰三角形的特殊形式，进而解答即可．【解答】解：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．故选：A．【点评】此题考查了三角形按角分类的方法．7．【分析】依据三角形的内角和是180°，假设三角形一个钝角的度数为91度，那么两个锐角的和等于89度，所以在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°小；即可解决问题．【解答】解：假设三角形一个钝角的度数为91度，那么两个锐角的和等于89度，所以在在一个钝角三角形中，有一个钝角和两个锐角，其中两个锐角的和比90°小．故选：B．【点评】此题考查了三角形内角和在三角形分类中的应用．8．【分析】根据三角形的内角和定理，三角形三个内角之和是180°，已知这个三角形的两个内角度数，据此即可求出第三个角的度数，如果第三个角是锐角，这个三角形就是锐角三角形；如果第三个角是直角，这个三角形就是直角三角形；如果第三个角是钝角，这个三角形就是钝角三角形．【解答】解：180°﹣23°﹣66°＝91°这个三角形最大的一个角是91°，是钝角答：这个三角形是钝角三角形．故选：B．【点评】此题主要考查了两个方面的内容：三角形内角定理；三角形按角分类．9．【分析】只要是三角形，它的内角和就是180度，不管三角形是大还是小，它的内角和都是180度，据此解答．【解答】解：把两个直角三角形拼成一个大三角形，这个三角形的内角和是180°．故选：B．【点评】解答此题的主要依据是：三角形的内角和是180度．10．【分析】根据三角形的内角和是180度可知，用180度减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数．【解答】解：180﹣（100+25）＝180﹣125＝55（度）答：三角形中未知角的度数是55度．故选：C．【点评】本题考查了三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握三角形内角和为180度．二．填空题（共8小题）11．【分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分为：不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，进而解答即可．【解答】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形．故答案为：不等边，等腰，等边．【点评】此题考查了三角形的分类；要看清分类要求．12．【分析】因为三角形三个边相等都是3厘米，根据等边三角形的定义，可得这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是60°，所以这个三角形按角分是锐角三角形．据此解答即可．【解答】解：因为三角形三个边相等都是3厘米，所以这个三角形是等边三角形；根据等边三角形性质，三个角相等都是60°，所以这个三角形按角分是锐角三角形．故答案为：60°、等边、锐角．【点评】本题考查等边三角形的定义，以及等边三角形性质．13．【分析】在三角形中，其中有一个角为钝角的三角形为钝角三角形；三个角都为锐角的三角形为锐角三角形；其中有一个角为直角的为直角三角形．据此意义据所给图形观察填空即可．【解答】姐：如图中，有1个钝角三角形；故答案为：1．【点评】本题通过图形考查了学生对于三角形分类及各类三角形意义的理解．14．【分析】根据三角形三边关系即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行计算即可．【解答】解：8+4＝12cm8﹣4＝4cm所以第三根小木棒的长度应该介于4cm和12cm之间．故答案为：4，12．【点评】本题考查三角形三边关系，要牢记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．15．【分析】根据三角形的特性：具有稳定性；进行解答即可．【解答】解：电线杆上的三角形支架运用的是三角形的稳定性；故答案为：稳定性．【点评】此题考查了三角形的特性，注意三角形的稳定性在实际生活中的应用．16．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，对选项进行分析即可．【解答】解：5.7+3.2＜10，所以不能围成三角形；故答案为：不能．【点评】此题考查了三角形的三边关系．关键是掌握判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．17．【分析】根据三角形内角和定理知：三角形内角和是180°，根据所给角的度数，计算即可．【解答】解：180°﹣65°﹣40°＝75°因为三个角的度数都是锐角，所以这是个锐角三角形．180°﹣90°﹣35°＝55°答：在一个三角形中，∠1＝65°，∠2＝40°∠3＝75°，这是锐角三角形．在一个直角三角形中，其中一个锐角是35°，另一个锐角是55°．故答案为：75°；锐角；55°．【点评】本题主要考查三角形的内角和，关键利用三角形内角和是180°计算．18．【分析】（1）因为三角形的内角和是180°，根据“180°﹣90°﹣已知角的度数＝另一个角的度数”求出另一个角的度数即可；（2）直角三角形一个角是直角；等腰三角形的两个角相等；先用180度减去90度，求出两个角的度数和，再除以2即可求解．【解答】解：（1）180﹣90﹣40＝90﹣40＝50（度）（2）（180﹣90）÷2＝90÷2＝45（度）答：另一个锐角是50度．等腰直角三角形的一个底角是45度．故答案为：50，45．【点评】解答此题的主要依据是：等腰三角形的特点依据三角形的内角和定理．三．判断题（共5小题）19．【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【解答】解：因为：4+7＞10，所以能围成一个三角形；原题说法错误．故答案为：×．【点评】解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答即可．20．【分析】根据旋转的特征，一个图形绕某点顺时针旋转90°，某点的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形，即旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．【解答】解：一个图形绕某一点顺时针旋转90°，其大小、形状不变，位置发生变化，原题的说法是错误的．故答案为：×．【点评】此题是考查旋转的特征．图形平移、旋转后形状、大小不变，只是位置发生变化．21．【分析】因为三角形的内角度数和是180°，根据等腰三角形两底角相等，先用“180°﹣78°”求出两个底角度数的和，然后除以2求出等腰三角形的底角度数，进而判断即可．【解答】解：（180°﹣78°）÷2＝102°÷2＝51°这个三角形的三个角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】解答此题的关键是先求出底角，进而根据角的大小，进行判断即可．22．【分析】根据三角形的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此解答即可．【解答】解：直角三角形全都是直角，说法错误，因为有一个角是直角的三角形是直角三角形，三角形中最多有1个直角；故答案为：×．【点评】此题考查了直角三角形的概念，注意平时基础知识的积累．23．【分析】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；进行解答即可．【解答】解：95°的角是钝角，有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形，故原题说法正确；故答案为：√．【点评】考查了三角形的分类，此题应根据钝角三角形的含义进行解答．四．操作题（共1小题）24．【分析】根据含义：有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形；两个腰相等的三角形，叫等腰三角形；画出即可．【解答】解：画图如下：【点评】此题主要考查的是对各个三角形意义和特点的理解，应灵活运用．五．应用题（共5小题）25．【分析】因为三角形的内角和是180度，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“180°﹣120°＝60°”求出两个底角的度数，再用“60°÷2＝30°”求出一个底角的度数．【解答】解：（180°﹣120°）÷2＝60°÷2＝30°答：其余两个角都是30度．【点评】本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角即可．26．【分析】已知等腰三角形的一个角是80°，要分两种情况考虑：80°的角可能是顶角，也可能是底角，据此根据三角形内角和是180°和等腰三角形的两个底角相等的性质进行计算即可解答问题．【解答】解：①当80°的角是顶角，（180°﹣80°）÷2＝50°，则两个底角是50°、50°；②当80°的角是底角，180°﹣80°﹣80°＝20°，则顶角是20°．答：一个等腰三角形的一个内角是80°，那么另外两个角是50°、50°或者20°、80°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是注意分情况进行讨论．27．【分析】根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是180°，顶角的度数＝180°﹣两底角的度数，据此解答．【解答】解：180°﹣55°×2＝180°﹣110°＝70°答：它的顶角是70度．【点评】此题考查的目的是理解掌握等腰三角形的特征、三角形内角和及应用．28．【分析】∠1是60°，∠2比∠1小15°，那么∠2＝60°﹣15°＝45°，再根据三角形的内角和等于180度，用180°﹣∠1﹣∠2即可求出∠3的度数．【解答】解：∠2＝60°﹣15°＝45°∠3＝180°﹣60°﹣45°＝120°﹣45°＝75°答：∠3等于75°．【点评】掌握三角形的内角和是180度是解题的关键．29．【分析】先根据平角的定义求出∠3的度数，再根据三角形内角和定理求出∠4的度数即可解答问题．【解答】解：∠3＝180°﹣70°＝110°∠4＝180°﹣30°﹣70°＝80°【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及平角的定义的计算应用．。
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第五讲三角形
四年级
知识小屋：
1、三角形
由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
三角形有三个顶点，三个角和三条边。
从三角形的一条顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
2、画三角形
步骤：○1先画一条线段，即一条边；再让量角器的中心和线段的端点重合，0刻度线和射线重合。
②在所需的刻度线的地方点一个点（内外刻度要分清），画出一个已知角。
及另一条边
③根据要求确定其它边的长度和角的大小。
3、按角分，三角形可分为( )、( )、( )三类。
按边分，三角形可分为( )、( )、( )三类。
4、锐角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
直角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
钝角三角形有（）个锐角、（）个直角、（）个钝角。
5、任何三角形的内角和都是（）。
任何三角形至少有（）个锐角，最多有（）个钝角。
6、任何三角形的两边之和都（）第三边。
（用﹥、﹤、﹦填空）
7、等腰三角形不一定是等边三角形，但是等边三角形一定是等腰三角形。
问题探索：
例1、已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2＝90°∠1=60°，求∠3是多少度？这个三角形是什么三角形？∠2是∠3的几倍？
例2、已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2+∠1=∠3，求∠3是多少度？如果∠3是∠1的2倍，则∠1，∠2分别是多少度？这个三角形是什么三角形？
例3、已知等腰三角形(如果是直角三角形呢？)的一个顶角是38°，它的一个底角是多少度?
例4、已知等腰三角形的一个角是38°，它的另一个底角是多少度?
例5、已知一个等腰三角形的底长是10米，另一腰长8米，求三角形周长是多少米?
例6、如右图，已知∠1＝60°，∠4＝25°，求∠3的度数
例7、如图，∠1=70°，∠2=45°，∠3=28°，则∠4=（）∠5=（）
探索练习：
1、在一个直角三角形中，已知一个锐角为35°，求另一个锐角。
然后按要求画出角。
2、在一个等腰三角形中，已知一个底角为65°，求顶角？然后画出这个角。
3、在一个等腰三角形中，已知一个角为68°，求另两个角？如果是在直角三角形中呢？
4、在下图中,已知∠1＝130°，∠4＝110°，求∠2的度数?
5、已知：如图∠2＝58°，∠3＝37°，∠4＝55°，求∠1的度数?
6、在三角形ABC中，已知∠A＝2∠C，∠B＝2∠C，求∠A、∠B、∠C？。