2013广州二模理科数学试卷(word含答案精美版)

试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2013.4 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a 2．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是xy Oy x OxO x O xO y yy5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年 8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A ．34 B ．1 C ．3 D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）． 12．已知函数()22fx x x =-，点集()()(){}M x y f x f y =+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为．13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．46 图2（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．（1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足||2PH <的概率；（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图 3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围． BCE D1A 图4图3ABC DE20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ．（1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB 的距离等于22AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<；（2）证明：1nn <+1232n a a a +++< ．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 23 4 56 7 8答案 D A C A B C B D二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 10．21011．216 12．2π 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222co s 2A B A C BCBAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =．所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===，所以22270353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分3533=．所以点O到直线BC的距离为3533m ．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3BAC π∠=，所以3BOC 2π∠=．所以3BOD π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， ABCODABCOD所以35taBDOD BOD===∠．…………………………………………………………11分所以点O到直线BC的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．………………………………………………1分满足||2PH <的点P 构成的平面区域是以H 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H 为圆心、2为半径、圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成． ……………………………………………………………2分其面积是()21122111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||2PH <的概率为112484π+π=+．………………………………………………………4分（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分 A BCD E FGH其中长度为1的线段有8条，长度为2的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为5的线段有8条，长度为22的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为122522，，，，．……………………………………………………7分且()821287P ξ===，()412287P ξ===，()6322814P ξ===， ()825287P ξ===，()21222814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：ξ 12 25 22 P271731427114随机变量ξ的数学期望为213211225227714714E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯522257++=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB =12CE EA =，所以1AD =，2AE =．在△ADE 中，60DAE ∠=，由余弦定理得2212212cos603DE =+-⨯⨯⨯= ．因为222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥．折叠后有1A D D E ⊥．……………………………………………………………………………………2分AB CDE……10分因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面B C E D ． …………………………3分又平面1A DE 平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥，所以1A D ⊥平面B． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥PH ．…………………………………………………6分又1A D BD D = ，所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分所以1PA H∠是直线1PA 与平面1A B D所成的角． ……………………………………………………8分设PB x=()03x ≤≤，则2xBH =，32PH x =．…………………………………………………9分在Rt△1PA H中，160PA H ∠=，所以112A H x =．………………………………………………10分在Rt△1A DH中，11A D =，122DH x =-．………………………………………………………11分由22211A D DH A H +=，数学资源网得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．…………………………………………13分 BCED1A HP所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图． ……………………………………………………5分设2PB a =()023a ≤≤，则BH a =，3PH a =，2DH a =-． ……………………6分所以()10,0,1A ，()2,3,0P a a -，()0,3,0E ．…………7分所以()12,3,1PA a a =--．…………………………………………………8分因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一个法向量为()0,3,0DE =．………………………………9分因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，所以11sin 60PA DE PA DE=………………………………………………………10分23324453a a a ==-+⨯，………………………………………11分解得54a =． ………………………………………………………………………12分即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． …………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分数学资源网 19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，B CE D1A HxyzP必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………4分解得1212a -<≤．数学资源网所以当1212a -<≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1：因为()()()1,,1,.a xa x ag x a x ax a--⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………8分 ③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．…………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．…………………………7分要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ………………………10分若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……11分所以1021,,20 1.a a a ⎧<->⎪⎨⎪<⎩≤≤或 …………………………………………………12分解得021a <-≤或112a <≤． ……………………………………………13分故实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦．……………………………………14分 20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．……………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．……4分A B CDOxylE因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．…………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．……………8分不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………10分所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．……………11分所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =，直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．……………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………14分方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．…………8分由（2）知CAD BAD ∠=∠45= ，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=．所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………11分以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．…………………………………………………1分因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．……………………………………………………2分所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内．而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<．…………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=，由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．…………………………………………………………………………4分即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．………………………………………………………………………5分所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．……………………………6分以下证明222111112111n n n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，……………………7分所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++．……………………………………………9分方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立． 2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ．那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++．以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ② 即证()()()21111111k kk k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立．即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立．所以121n na a a n +++>+ ．………………………………………………………9分再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．…………………………………………………………………10分由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a n n-=<． …………11分因为当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，……………………………………12分所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n =+-<．所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++<．综上所述，1nn <+1232n a a a +++< ．…………………………………………14分。

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2013年高考真题理科数学(广东卷)及答案(word精校版)

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式121()3V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =A ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A ．(2,4)B ．(2,4)-C ．(4,2)-D ．(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望A ．32B ．2C ．52D ．3图1 正视图俯视图侧视图2 图3DABCO EA ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 A ．2214x = B ．22145x y -= C ．22125x y -= D ．2212x =8. 设整数4n ≥，集合{1,2,3,,}X n = . 令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是 A ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∉S B ．(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈S C ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∈S D ．(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. 不等式220x x +-<的解集为 .10. 若曲线ln y kx x =+在点(1,)k处的切线平行于x 轴，则k = . 11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 .12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13. 给定区域D ：4440x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥. 令点集0000{(,)|,T x y D x y =∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定条不同的直线.（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若6AB =， 2ED =，则BC = .图41 7 92 0 1 53 0图6A 'BC 图5OCDEB三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值；（2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？其中A O '=（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< .20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.（1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值.21.（本小题满分14分）设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R .（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .图41 7 92 0 1 53 02013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9. (2,1)- 10. 1-11. 7 12. 20 13.5 （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14.cos sin 20ρθρθ+-=（填sin()4πρθ+=cos(4πρθ-=15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-，x ∈R .（1）求()6f π-的值；（2）若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(23f πθ+. 16. 解：（1）())1661242f ππππ-=--=-==（2）因为3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈ 所以4sin 5θ==-所以4324sin 22sin cos 2()5525θθθ==⨯-⨯=-2222347cos 2cos sin ()()5525θθθ=-=--=-所以(2)))cos 2sin 233124f ππππθθθθθ+=+-=+=-72417(252525=---=17.（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.（1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？图6A 'A B C 图5OC D EBA 'OC DEBFC其中A O '=（1）证明：A O '⊥平面BCDE ；（2）求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.18. 解：（1）连结OD ，OE因为在等腰直角三角形ABC 中，45B C ∠=∠=，CD BE ==3CO BO ==所以在△COD 中，OD ==OE = 因为AD A D A E AE ''====A O '= 所以222A OOD A D ''+=，222A O OE A E ''+=所以90A OD A OE ''∠=∠=所以A O OD '⊥，A O OE '⊥，OD OE O = 所以A O '⊥平面BCDE（2）方法一：过点O 作OF CD ⊥的延长线于F ，连接A F ' 因为A O '⊥平面BCDE根据三垂线定理，有A F CD '⊥所以A FO '∠为二面角A CD B '--的平面角在Rt △COF 中，cos 45OF CO ==在Rt △A OF '中，A F '== 所以cos OF A FO A F '∠==' 所以二面角A CD B '--方法二：取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,3,0),(1,2,0)O A C D '--(0,3)OA '=是平面BCDE 的一个法向量设平面A CD '的法向量为(,,)x y z =nCA '= ，(1,1,0)CD =所以30CA y CD x y ⎧'⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令1x =，则1y =-，z =所以(1,1=-n 是平面A CD '的一个法向量设二面角A CD B '--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cos 5OA OA θ'⋅==='⋅ n n所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为519.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . （1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++< .19. 解：（1）当1n =时，11221221133S a a ==---，解得24a =（2）32112233n n S na n n n +=--- ①当2n ≥时，321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=------- ②①-②得212(1)n n n a na n a n n +=----整理得1(1)(1)n n na n a n n +=+++，即111n n a a n n +=++，111n n a an n+-=+ 当1n =时，2121121a a -=-= 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列所以na n n=，即2n a n = 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，*n ∈N （3）因为211111(1)1n a n n n n n=<=---（2n ≥）所以222212111111111111111()()()123423341n a a a n n n+++=++++<++-+-++-- 11171714244n n =++-=-<20.（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. （1）求抛物线C 的方程；（2）当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；（3）当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值. 20. 解：（1）焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离2d ===，解得1c = 所以抛物线C 的方程为24x y =（2）设2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x 由（1）得抛物线C 的方程为214y x =，12y x '=，所以切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x所以PA :211111()42y x x x x -=- ①PB :222211()42y x x x x -=- ②联立①②可得点P 的坐标为1212(,)24x x x x +，即1202x x x +=，1204x xy = 又因为切线PA 的斜率为2011011142y x x x x -=-，整理得201011124y x x x =- 直线AB 的斜率221201212114442x x x x x k x x -+===- 所以直线AB 的方程为210111()42y x x x x -=-整理得20101111224y x x x x x =-+，即0012y x x y =-因为点00(,)P x y 为直线:20l x y --=上的点，所以0020x y --=，即002y x =-所以直线AB 的方程为00122y x x x =-+（3）根据抛物线的定义，有21114AF x =+，22114BF x =+所以2222221212121111||||(1)(1)()144164AF BF x x x x x x ⋅=++=+++ 22212121211[()2]1164x x x x x x =++-+ 由（2）得1202x x x +=，1204x x y =，002x y =+所以2222220000000001||||(48)121(2)214AF BF y x y x y y y y y ⋅=+-+=+-+=++-+22000192252()22y y y =++=++所以当012y =-时，||||AF BF ⋅的最小值为9221.（本小题满分14分）设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R . （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M . 21. 解：（1）当1k =时，2()(1)x f x x e x =--()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=-令()0f x '=，解得10x =，2ln 20x => 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(ln 2,)+∞，单调减区间为(0,ln 2)（2）2()(1)x f x x e kx =--，[0,]x k ∈，1(,1]2k ∈()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-()0f x '=，解得10x =，2ln(2)x k =令()ln(2)k k k ϕ=-，1(,1]2k ∈11()10k k k k ϕ-'=-=≤ 所以()k ϕ在1(,1]2上是增函数所以11()()022k ϕϕ>=>，即0ln(2)k k <<所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：(0)1f =-，3()(1)k f k k e k =--()(0)f k f -=332(1)1(1)(1)(1)(1)(1)k k k k e k k e k k e k k k --+=---=---++2(1)[(1)]k k e k k =--++因为1(,1]2k ∈，所以10k -≤对任意的1(,1]2k ∈，x y e =的图象恒在21y k k =++下方，所以2(1)0k e k k -++≤ 所以()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥所以函数()f x 在[0,]k 上的最大值3()(1)k M f k k e k ==--。

2013年广州二模理科数学试卷及答案(纯word版)

广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）
18.(本小题满分14分）
等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足==EA CE DB AD 图3).将ΔADE 沿DE 折起到ΔA 1DE 的位置，使二面角A 1-DE-B 成直二面角，连结A 1B 、A 1C (如图4).
(1) 求证：A 1D 丄平面BCED;
(2) 在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为600
？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由
19.(本小题满分W 分）
巳知a>0,设命题p:函数f(x)=x 2
-2ax+ 1-2a 在区间[0,1]上与x 轴有两个不同的交点；命题q: g(x) =|x-a|-ax 在区间（0, + ∞ )上有最小值.若q p ∧⌝)(是真命题，求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分14分）
经过点F (0，1)且与直线y= -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.
(1) 求轨迹M 的方程；
(2) 证明：CAD BAD ∠=∠；
(3) 若点D 到直线AB 的距离等于
||22AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程. 21.(本小题满分14分）
设a n 是函数*)(1)(23N n x n x x f ∈-+=的零点.
(1)证明：0<a n <1；(2)2
3...21<+++<n a a a。

广东省广州市2013年普通高中毕业班综合测试(二)理科数学考试试卷(word版)

试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B = ．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-= ．两数立方差公式：3322() ()a b a b a ab b -=-++．一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的 l ．已知i 为虚数单位，若复数(1)(1)a a -++i 为实数，则实数a 的值为A ．-1B ．0C ． 1D ．不确定2．已知全集U A B = 中有m 个元素，()()U UA A痧中有n 个元索，若A B 非空，则A B 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ．n m -3．已知向量()sin ,cos a x x =，向量(b =，则a b +的最大值为A ．1BC ．3D ．94．若m ，n 是互不相同的空间直线，α是平面，则下列命题中正确的是A ．若//m n ，n α⊂，则//m αB ．若//m n ，//n α，则//m αC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n α⊥，则m α⊥5．在如图1所示的算法流程图中，若()2x f x =，()3g x x =，则()2h 的值为(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“=”) A ．9 B ．8 C ．6 D ．46．已知点(),p x y 的坐标满足10,30,2x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点，则PO 的最小值为A．2B．2CD7．已知函数()sin f x x =，若12,[,]22x x ππ∈-且()()12f x f x <，则下列不等式中正确的是A ．12x x >B ．12x x <C ．120x x +<D ．2212x x < 8．一个人以6米／秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t 的速度为()v t t =米／秒．那么．此人A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一) 必做题 (9~13题)9．若函数()cos() cos() (>0)2f x x x πωωω=-的最小正周期为π，则m 的值为．10．已知椭圆C的离心率2e =，且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重台，则椭圆C 的方程为．11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是． 12．图2是一个有n 层(2)n ≥的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层．第2层每边有2个点．第3层每边有3个点，…，第n 层每边有n 个点，则这个点阵的点数共有个．13．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中2x 的系数为． (二) 选做题 (14~15题．考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为142x ty t =+⎧⎨=-⎩(参数t R ∈)，圆C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (参数[0,2]θπ∈)，则直线l 被圆C 所截得的弦长为．15．(几何证明选讲选做题) 如图3，半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P ，OD BC ⊥，P 为AD 的中点，6BC =，则弦AD 的长度为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，1tan 2β=．(1) 求tan α值；(2) 求sin()2sin cos 2sin sin cos()αβαβαβαβ+-++的值．17．(本小题满分12分)如图4，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=°．30CAB ∠=°，1BC =，AD CD =，把DAC ∆沿对角线AC 折起后如图5所示 (点D 记为点P )．点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上，连接PB ． (1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小；(2) 求二面角P AC B --的大小的余弦值．18．(本小题满分14分)一射击运动员进行飞碟射击训练，每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比．每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足15(1) (04)s t t =+≤≤，每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中，则不再进行第二次射击)．该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击．命中的概率为45，当第一次射击没有命中飞碟，则在第一次射击后0.5秒进行第二次射击，子弹的飞行时间忽略不计．(1) 在第一个飞碟的射击训练时，若该运动员第一次射击没有命中，求他第二次射击命中飞碟的概率；(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率；(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练 (每个飞碟是否被命中互不影响)，求他至少命中两个飞碟的概率19．(本小题满分14分)已知抛物线C ：22 (0)x py p => 的焦点为F ，A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D ．(1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数()32(,)f x x x ax b a b R =-++∈的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为α，()βαβ<，函数()f x 在区间[,]αβ上是单调的(1) 求a 的值和b 的取值范围；(2) 若1x ，2[,]x αβ∈证明：()()121f x f x -≤．21．(本小题满分14分)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =，且对任意n N ∈*都有1n n a b +=，211n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式； (2) 证明：31324122341123...1 (1) ...n n n na a aa a a a a n nb b b b b b b b ++++++<+<++++．。

广州二模纯word试题及答案

2013年广州二模化学试题7．下列实验能达到实验目的的是A．用乙醇萃取碘水中的碘B．用饱和NaHCO3溶液除去CO2中的HClC．用Ba(NO3)2溶液鉴别SO32-和SO42－D．用淀粉KI溶液鉴别FeCl3溶液和溴水8．下列说法正确的是A．溴乙烷和甲醇都能发生消去反应B．乙烯和苯都能与酸性KMnO4溶液发生反应C．糖类和蛋白质都是人体需要的营养物质D．纤维素和油脂的水解产物都是葡萄糖9．设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A．常温下，18gH2O中含有2n A个氢原子B．标准状况下，22.4L苯含有n A个苯分子C．1mol Na与足量水反应转移2n A个电子D．0.1 mol·L-1CH3COOH溶液中含有0.1n A个CH3COO－10．下列物质的制取，实验操作正确的是A．将CuCl2溶液置于蒸发皿中加热蒸干，可制取无水CuCl2固体B．将NH4HCO3饱和溶液置于蒸发皿中加热蒸干，可制取NH4HCO3固体C．向FeCl3饱和溶液缓慢滴入过量氨水加热，可制取Fe(OH)3胶体D．向电石中缓慢滴入饱和食盐水，可制取C2H211．下列离子方程式正确的是A．铝溶于NaOH溶液：Al +2OH－=AlO2－+H2↑B．铜溶于稀硝酸：3Cu+ 8H+ +2NO3－=3Cu2++2NO↑ + 4H2OC．碳酸镁中滴加稀盐酸：CO32－+2H+ =CO2↑ + H2OD．稀硫酸中滴加氢氧化钡溶液：H+ + OH=H2O12．短周期元素甲、乙、丙、丁、戊的原子序数依次增大，甲是周期表中原子半径最小的元素，乙形成的气态氢化物的水溶液呈碱性，乙与丁同族，丙、丁、戊同周期，丙单质可制成半导体材料，戊的最高化合价为+7,则A．原子半径：乙>丁>丙B．非金属性：丙>丁>戊C．甲与戊形成的化合物是共价化合物D．乙、丙、丁最高价氧化物对应的水化物均是强酸22．HA为酸性略强于醋酸的一元弱酸，则下列叙述正确的是A．0.1 mol·L－1 HA 中c(H+) = c(OH－) + c(A－)B．0.1 mol·L－1 HA 与0.1 mol·L－1NaOH 混合至溶液呈中性：C．0.1 mol·L－1 NaA 中c(Na+) > c(OH－)>c(A－)> c(H+)D．0.1 mol·L－1 HA中加入少量NaA固体，HA的电离常数减小23．下列实验现象预测正确的是A．实验I：电流表A指针偏转，碳棒上有红色固体析出B．实验II：电流表A指针偏转，铁极上有无色气体产生C．实验III：碳棒上有无色气体产生，铁极上有黄绿色气体产生D．实验IV：粗铜溶解，精铜上有红色固体析出30．(16分）钯（Pd)催化偶联反应是近年有机合成的研究热点之一。

2013年高考真题理科数学(广东卷)及答案(word精校版)

绝密★启用前试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型【A 】填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式121()3V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高、一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、 1. 设集合2{|20,}M x x x x =+=∈R ，2{|20,}N x x x x =-=∈R ，则M N =A 、{0}B 、{0,2}C 、{2,0}-D 、{2,0,2}-2. 定义域为R 的四个函数3y x =，2x y =，21y x =+，2sin y x =中，奇函数的个数是A 、4B 、3C 、2D 、13. 若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是A 、(2,4)B 、(2,4)-C 、(4,2)-D 、(4,2)4. 已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望A 、32B 、2C 、52D 、3图1 正视图俯视图侧视图21图3DABCO E5. 某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是 A 、4 B 、143 C 、163D 、6 6. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A 、若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB 、若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC 、若m⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD 、若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是 A 、2214x = B 、22145x y -= C 、22125x y -= D 、2212x =8. 设整数n ≥，集合{1,2,3,,}X n =. 令集合{(,,)|,,,S x y z x y z X =∈且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}. 若(,,)x y z 和(,,)z w x 都在S 中，则下列选项正确的是 A 、(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∉S B 、(,,)y z w ∈S ，(,,)x y w ∈S C 、(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∈S D 、(,,)y z w ∉S ，(,,)x y w ∉S二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分、【一】必做题【9 ~ 13题】9. 不等式220x x +-<的解集为 .10. 若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴，则k = . 11. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为 .12. 在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a += .13. 给定区域D ：4440x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥. 令点集0000{(,)|,T xy D x y=∈∈Z ，00(,)x y 是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定条不同的直线.【二】选做题【14 ~ 15题，考生只能从中选做一题】14.【坐标系与参数方程选做题】已知曲线C 的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩【t 为参数】，C 在点【1,1】处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为 .15.【几何证明选讲选做题】如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC CD =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若6AB =， 2ED =，则BC = .图41 7 92 0 1 53 0图6A 'BC 图5OCD EB三、解答题：本大题共6小题，满分80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16.【本小题满分12分】已知函数())12f x x π=-，x ∈R .【1】求()6f π-的值；【2】若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(2)3f πθ+.17.【本小题满分12分】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.【1】根据茎叶图计算样本均值；【2】日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？90，BC =DE 折起，得到如图其中A O '=【1】证明：A O '⊥平面BCDE ；【2】求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19.【本小题满分14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . 【1】求2a 的值；【2】求数列{}n a 的通项公式；【3】证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.20.【本小题满分14分】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点.【1】求抛物线C 的方程；【2】当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；【3】当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值.21.【本小题满分14分】设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R . 【1】当1k =时，求函数()f x 的单调区间；【2】当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M .图41 7 92 0 1 53 02013年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】数学【理科】参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分、【一】必做题【9 ~ 13题】9. (2,1)- 10. 1-11. 7 12. 20 13.5 【二】选做题【14 ~ 15题，考生只能从中选做一题】 14.cos sin 20ρθρθ+-=【填sin()4πρθ+=cos(4πρθ-=15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16.【本小题满分12分】已知函数())12f x x π=-，x ∈R .【1】求()6f π-的值；【2】若3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈，求(23f πθ+. 16. 解：【1】())1661242f ππππ-=--=-==【2】因为3cos 5θ=，3(,2)2πθπ∈ 所以4sin 5θ==-所以4324sin 22sin cos 2()5525θθθ==⨯-⨯=-2222347cos 2cos sin ()()5525θθθ=-=--=-所以(2)))cos 2sin 233124f ππππθθθθθ+=+-=+=-72417(252525=---=17.【本小题满分12分】某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数.【1】根据茎叶图计算样本均值；【2】日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？图6A 'A B C 图5OC D EBA 'OC DEBFC90，BC =DE 折起，得到如图其中A O '=【1】证明：A O '⊥平面BCDE ；【2】求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.18. 解：【1】连结OD ，OE因为在等腰直角三角形ABC 中，45B C ∠=∠=，CD BE ==3CO BO ==所以在△COD 中，5OD ==，同理得OE =因为AD A D A EAE ''====A O '= 所以222A O OD A D ''+=，222A O OE A E ''+=所以90A OD A OE ''∠=∠=所以A O OD '⊥，A O OE '⊥，OD OE O = 所以AO '⊥平面BCDE【2】方法一：过点O 作OF CD ⊥的延长线于F ，连接A F ' 因为A O '⊥平面BCDE根据三垂线定理，有A F CD '⊥所以A FO '∠为二面角A CD B '--的平面角在Rt △COF 中，32cos 452OF CO == 在Rt △A OF '中，A F '== 所以cos 5OF A FO A F '∠==' 所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为5方法二：取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，OH 、OB 、OA '分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(0,3,0),(1,2,0)O A C D '--(0,3)OA '=是平面BCDE 的一个法向量设平面A CD '的法向量为(,,)x y z =n(0,3,3)CA '=，(1,1,0)CD =所以30CA y CD x y⎧'⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，令1x =，则1y =-，z = 所以(1,1=-n 是平面A CD '的一个法向量设二面角A CD B '--的平面角为θ，且(0,)2πθ∈所以cos OA OA θ'⋅==='⋅n n所以二面角A CD B '-- 19.【本小题满分14分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . 【1】求2a 的值；【2】求数列{}n a 的通项公式；【3】证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a +++<.19. 解：【1】当1n =时，11221221133S a a ==---，解得24a =【2】32112233n n S na n n n +=--- ①当2n ≥时，321122(1)(1)(1)(1)33n n S n a n n n -=------- ②①-②得212(1)n n n a na n a n n +=----整理得1(1)(1)n n na n a n n +=+++，即111n n a a n n +=++，111n n a an n+-=+ 当1n =时，2121121a a -=-= 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列所以na n n=，即2n a n = 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =，*n ∈N 【3】因为211111(1)1n a n n n n n=<=---【2n ≥】所以222212111111111111111()()()123423341n a a a n n n+++=++++<++-+-++-- 11171714244n n =++-=-<20.【本小题满分14分】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离为2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点. 【1】求抛物线C 的方程；【2】当点00(,)P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；【3】当点P 在直线l 上移动时，求||||AF BF ⋅的最小值. 20. 解：【1】焦点(0,)F c (0)c >到直线:20l x y --=的距离d ===，解得1c = 所以抛物线C 的方程为24x y =【2】设2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x 由【1】得抛物线C 的方程为214y x =，12y x '=，所以切线PA ，PB 的斜率分别为112x ，212x所以PA :211111()42y x x x x -=- ①PB :222211()42y x x x x -=- ②联立①②可得点P 的坐标为1212(,)24x x x x +，即1202x x x +=，1204x xy = 又因为切线PA 的斜率为2011011142y x x x x -=-，整理得201011124y x x x =- 直线AB 的斜率221201212114442x x x x x k x x -+===- 所以直线AB 的方程为210111()42y x x x x -=-整理得20101111224y x x x x x =-+，即0012y x x y =-因为点00(,)P x y 为直线:20l x y --=上的点，所以0020x y --=，即002y x =-所以直线AB 的方程为00122y x x x =-+【3】根据抛物线的定义，有21114AF x =+，22114BF x =+所以2222221212121111||||(1)(1)()144164AF BF x x x x x x ⋅=++=+++ 22212121211[()2]1164x x x x x x =++-+ 由【2】得1202x x x +=，1204x x y =，002x y =+所以2222220000000001||||(48)121(2)214AF BF y x y x y y y y y ⋅=+-+=+-+=++-+22000192252()22y y y =++=++所以当012y =-时，||||AF BF ⋅的最小值为9221.【本小题满分14分】设函数2()(1)x f x x e kx =--()k ∈R . 【1】当1k =时，求函数()f x 的单调区间；【2】当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M . 21. 解：【1】当1k =时，2()(1)x f x x e x =--()(1)2(2)x x x f x e x e x x e '=+--=-令()0f x '=，解得10x =，2ln 20x => 所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调增区间为(,0)-∞和(ln 2,)+∞，单调减区间为(0,ln 2) 【2】2()(1)x f x x e kx =--，[0,]x k ∈，1(,1]2k ∈()2(2)x x f x xe kx x e k '=-=-()0f x '=，解得10x =，2ln(2)x k =令()ln(2)k k k ϕ=-，1(,1]2k ∈11()10k k k k ϕ-'=-=≤ 所以()k ϕ在1(,1]2上是增函数所以11()()022k ϕϕ>=>，即0ln(2)k k <<所以(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：(0)1f =-，3()(1)k f k k e k =--()(0)f k f -=332(1)1(1)(1)(1)(1)(1)k k k k e k k e k k e k k k --+=---=---++2(1)[(1)]k k e k k =--++因为1(,1]2k ∈，所以10k -≤对任意的1(,1]2k ∈，x y e =的图象恒在21y k k =++下方，所以2(1)0k e k k -++≤ 所以()(0)0f k f -≥，即()(0)f k f ≥所以函数()f x 在[0,]k 上的最大值3()(1)k M f k k e k ==--。

2013广东高考卷(理科数学)试题及详解

2013广东高考卷(理科数学)模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=x²2ax+a²+2在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥03. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a3+a5=14，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 若向量a=(2，1)，b=(1，2)，则2a+3b的模长为（）A. 5B. √5C. 10D. 2√55. 设函数f(x)=|x1|，则f(x)的图像在x=1处（）A. 连续B. 断开C. 可导D. 不可导二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a，b为实数，且a≠b，则a²≠b²。

（）2. 两个平行线的斜率相等。

（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。

（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(1，2)，b=(2，1)，则a·b=______。

3. 在等比数列{an}中，已知a1=2，公比q=3，则a4=______。

4. 二项式展开式(1+x)⁶的常数项为______。

5. 设平面直角坐标系中，点A(2，3)，则点A关于原点的对称点坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 请写出等差数列的通项公式。

3. 矩阵乘法的运算规律有哪些？4. 求解一元二次方程x²5x+6=0。

5. 简述平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=2x²4x+3，求f(x)的最小值。

2013年广州二模理科数学试题附详细解答(纯WORD版)

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是 A. |a.b | = |a | |b | B. |a +b |=|a |+|b | C. (a .b )c =a (b -c )D. a .a =|a |22．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是图1A ．B ．C ．D ．5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则ω的最小值为A ．1B ．2C ．4D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为 A ．14π B ．π C ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2m ax m in 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ．11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数()22f x x x =-，点集()()(){}M x y f x fy =+，≤2，()()(){}N x y fx f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为．图213．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段B D 上，且满足13BE BD =，延长A E 交BC 于点F ，则BF FC的值为．15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．（1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离．17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足||P H <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边A B 、AC 上的点，且满足AD DB=12CE EA=（如图3）．将△A D E 沿D E 折起到△1A D E 的位置，使二面角1A D E B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ．（1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线A BD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<；（2）证明：1n n <+1232n a a a +++<．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．1、分析：|||||||cos ,|a b a b a b =<> ；由向量加法的几何意义||||||a b a b ++ …；()a b c是与c 平行的向量，()a b c是与a 平行的向量；D 正确，即22||a a a a ==2、分析：圆2220x y y +-=即22(1)1x y +-=，圆心为(0,1)，半径1r =，圆心到直线1y kx =+即10kx y -+=得距离0d ==，即直线经过圆心，故直线与圆相交3、分析：因为1i -是方程220x px q ++=的一个解，所以2(1i)2(1i)0p q -+-+=，整理得(2)(22)i 0p q p ++--=，解得1p =-，2q =，所以1p q +=4、分析：用排除法，当0x >时，()f x 单调递减，故此时()0f x '<，即()f x '的图象在x 轴下方，排除B 、D ；当0x <时，()f x 先增后减再增，故此时()0()0()0f x f x f x '''>→<→>，排除C ；A 正确5、分析：由题意cos()066ππω⨯+=，代入检验2ω=适合6、分析：圆锥直观图如图，设截面圆半径为r ，所截小圆锥的高为h ，由题意2221131173433r hr hπππ=⨯⨯-，化简2836r h =，又由三角形相似得34r h =，即34h r =，联立解得294r =，故截面圆面积为294r ππ=7、分析：设使用了n 年，则年平均费用为15(1.50.3)(1.520.3)(1.530.3)(1.50.3)n n++++⨯++⨯+++⨯15 1.50.3(123)n n n++++++=(1)15 1.50.32n n n n+++⨯=150.31.65 1.652n n=+++…当且仅当150.32n n=时，即2100n =，10n =取到最小值8、分析：2m in{1,1,6}x x x x +-+-+的图象如下图中的红色部分，其最大值2m ax{m in{1,1,6}}x x x x +-+-+在两直线16y x y x =+⎧⎨=-+⎩的交点处取到，解得交点坐标为57(,)22，即最大值为72二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 1010 11．216 12．2π 13．36；3981 14．14159、分析：设乙型号x 支，丙型号y 支，则12234x y ==，得18x =，24y =，则样本容量12182454n =++=10、分析：因为02πα<<，所以3444πππα<+<，又3cos()45πα+=，所以4sin()45πα+==，故sin sin[()]44ππαα=+-sin()coscos()sin4444ππππαα=+-+43525210=⨯-⨯=11、分析：因为该五位数能被5整除，所以其末位是0或5，若末位是0，则从1，2，3，4，5中任取4个数字填前4位，有45A 5432120=⨯⨯⨯=种；若末位是5，因为0不能在首位，先从1，2，3，4中任取1个数字填首位，有14C 种，再将余下的3个数字连同0共4个数字排在中间三个数位，有34A 种，故末位是5的有1344C A 443296=⨯⨯⨯=种；综上，满足条件的五位数共有12096216+=种 12、分析：2222{(,)|()()2}{(,)|222}{(,)|(1)(1)4}M x y f x f y x y x x y y x y x y =+=-+-=-+-剟 M 表示以(1,1)为圆心，半径2r =的圆及其内部；2222{(,)|()()0}{(,)|220}{(,)|(1)(1)}{(,)|1||1|}N x y f x f y x y x x y y x y x y x y x y =-=--+=--=--厖 …N 表示两条相交直线构成的两个部分；在同一坐标系中画出上述两个图形，其公共部分如图中阴影部分所示，其面积21222S ππ=⨯=13、分析：2036S =；截至第21k -个 2 时，共有2(121)[135(21)]2k k k k k k k +-+++++-=+=+ 项，估计2k k +的值，当44k =时，共21980k k +=项，要达到2013项，只需从其后续的取1个1，32个 2，故201344(187)451(13587)23224526439812S +=⨯+++++⨯+⨯=+⨯+=14、分析：如图，作//D H BC ，交A F 于G ，交A B 于H ，设H G x =，因为D 是A C 中点，所以G 、H 分别是A F 、A B 中点，所以2B F x =，又BEF ∆∽D E G ∆，又13B E B D =，所以24G D B F x ==，5H D H G G D x =+=，由中位线知10B C x =，1028F C B C B F x x x =-=-=，所以2184B F x F Cx==15、分析：点(1,)2A π的平面直角坐标为(0,1)A ，由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即其平面直角坐标方程为24y x =（抛物线），由cos 10ρθ+=得10x +=，（恰是抛物线的准线），作图如下：由抛物线定义知||||||PA d PA PF +=+，（F 为抛物线的焦点(1,0)）由两点之间线段最短知，当P 移动到直线A F 与抛物线的交点'P 时||||PA PF +最小，此时|||||||'||'|||PA d PA PF P A P F AF +=+=+==三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△A B C 中，因为80A B =m ，70B C =m ，50C A =m ，由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⨯⨯ ……………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………3分因为B A C ∠为△A B C 的内角，所以3B AC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△A B C 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分因为70B C =，由（1）知3A π=，所以sin 2A =．所以70232R ==，即3R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△O B D中，3O B R ==，703522BC BD ===，所以O D ==……………………………………11分3=所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△A B C 外接圆的圆心．……………………5分连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3B AC π∠=，所以3BO C 2π∠=．所以3BO D π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 603BD O D BO D===∠11分所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．……………………………1分满足||P H <P 构成的平面区域是以HABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成． ……………………………………………………………2分其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||P H <112484π+π=+．………………………………………………………4分（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．……………………………………5分其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为8条，长度为2条．所以ξ所有可能的取值为12，7分且()821287P ξ===，(41287P ξ===，()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为21321127714714E ξ=⨯++⨯++7=．………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB=12CE EA=，所以1AD =，2A E =．在△A D E 中，60DAE ∠=，由余弦定理得DE ==因为222AD DE AE +=，所以A D D E ⊥．折叠后有1A D D E ⊥．……………………………………………………………………………………2分因为二面角1A D E B --是直二面角，所以平面1A D E ⊥平面BCED ． …………………………3分又平面1A D E 平面BCED D E =，1A D ⊂平面1A D E ，1A D D E ⊥，……10分所以1A D ⊥平面BCED ． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60 ．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而P H ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥P H ．…………………………………………………6分又1A D BD D = ，所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分所以1P A H ∠是直线1PA 与平面1A B D 所成的角． ……………………………………………………8分设P B x =()03x ≤≤，则2x BH =，2PH x =．…………………………………………………9分在Rt △1P A H 中，160P A H ∠=，所以112A H x =．………………………………………………10分在Rt △1A D H 中，11A D =，122D H x =-．………………………………………………………11分由22211A D D HA H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．……………………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1P A 与平面1A B D 所成的角为60，此时52PB=．………14分解法2：由（1）的证明，可知E D D B⊥，1A D⊥平面BCED．以D为坐标原点，以射线D B、D E、1D A分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz-如图．设2P B a=()023a≤≤，则BH a=，PH=，2D H a=-．……………………6分所以()10,0,1A，()2,0P a-，()0E．…………7分所以()12,,1PA a=-．……………………………………………………………………8分因为E D⊥平面1A B D，所以平面1A B D的一个法向量为()0D E=．……………………………………………………9分因为直线1PA与平面1A B D所成的角为60 ，所以11sin60PA D EPA D E=……………………………………………………………10分2==，…………………………………………11分解得54a=．……………………………………………………………………12分即522PB a==，满足023a≤≤，符合题意．……………………………………………………13分所以在线段BC上存在点P，使直线1P A与平面1A B D所成的角为60 ，此时52PB=．………14分19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………4分112a <≤．所以当112a <≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增， ()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．……………………………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．………………………………………………7分要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ……………………………………………10分若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……………11分所以102201a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ………………………………………………………………………13分故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦．…………………………………………………………14分20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．4分因为2210101011444A Cx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到A BD ，可知B A D ∠45=．………………………………8分不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，直线A B 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩A B CDO xylE解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以)()00042AB x x =---=-．由（2）知C A D B A D ∠=∠45= ，同理可得02AC =+．………………………………11分所以△ABC 的面积200012244202S x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………12分当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32B C k =，直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到A B D ，可知B A D ∠45=．…………………………………8分由（2）知C A D B A D ∠=∠45= ，所以C A B ∠90=，即A C A B ⊥．由（2）知104A C x x k -=，204A B x x k -=．所以1020144A C AB x x x x k k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在A D 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ……………………………………………………11分以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．………………………………………………………………………1分因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．………………………………………………………………………2分所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内．而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<．…………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=，由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．………………………………………………………………4分即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．…………………………………………………………5分所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．…………………6分以下证明222111112111n n n +++≥++++ ． ①方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n nn >≥=-+++，…………………………………………7分所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++．…………………………………9分方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立．2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ．那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111kk k ≥++++．以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ②即证()()()21111111k k k k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立．即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立．所以121n n a a a n +++>+ ．…………………………………………………9分再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．………………………………………………………………10分由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a nn-=<． ……………………………11分因为当2n ≥时，()2111111nn nn n<=---，…………………………………………………………12分所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 113122n=+-<．所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++< ．综上所述，1n n <+1232n a a a +++<．……………………………………………………………14分。

平面向量 Word版(含答案)

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编4：平面向量一、选择题1 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题）已知,,O A B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足20AC CB += ,则OC =（）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+【答案】A2 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知向量a =(x ,1),b=(3,6),a ⊥b ,则实数x 的值为（）A ．12B ．2-C ．2D ．21-【答案】B3 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点(3,4)A ,将向量OA 绕点O 按逆时针方向旋转23π后得向量OB ,则点B 的坐标是3.(22A -+--3.(22B ---+3.(22C -+-+ .(4,3)D -【答案】B4 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）OAB ∆,点P 在边AB 上,3AB AP = ,设,OA a OB b ==,则OP =12.33A a b + 21.33B a b + .C 1233a b - .D 2133a b -PBA【答案】B5 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）定义空间两个向量的一种运算sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中,①⊗=⊗a b b a ,②()()λλ⊗=⊗a b a b ,③()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c , ④若1122(,),(,)x y x y ==a b ,则1221x y x y ⊗=-a b . 恒成立的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 解析: ①恒成立; ② ()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,()λ⊗=a b sin ,λ⋅<>a b a b ,当0<λ时,()()λλ⊗=⊗a b a b 不成立;③当,,a b c 不共面时,()()()+⊗=⊗+⊗a b c a c b c 不成立,例如取,,a b c 为两两垂直的单位向量,易得()+⊗=a b c ()()2⊗+⊗=a c b c ;④由sin ,⊗=⋅<>a b a b a b ,cos ,=⋅<>a b a b a b ,可知2222()()⊗+=⋅ a b a b a b,2()⊗=a b 222222222112212121221()()()()()x y x y x x y y x y x y ⋅-=++-+=- a b a b ,故1221x y x y ⊗=-a b 恒成立.6 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ,则cos 2θ等于（）A ．1-B ．0C ．12D ．2【答案】B 解析:212cos 0cos 20θθ⊥⇔-+=⇔=a b .7 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））在平行四边形ABCD 中,AE →=13AB →,AF →=14AD →,CE 与BF 相交于G 点.若AB →=a ,AD →=b ,则 AG →=（）A ．27a +17bB ．27a +37bC ．37a +17bD ．47a +27b【答案】C8 ．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知平面向量a ,b 的夹角为60°,=a ,||1=b ,则|2|+=a b（）A ．2B C ．D ．【答案】C9 ．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）若向量)1,1(),0,2(==b a ,则下列结论正确的是（）A ．1=⋅B ．||||b a =C ．⊥-)(D ．//【答案】C10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）如图2,一条河的两岸平行,河的宽度600d =m,一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB =1km,水流速度为2km/h, 若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟,则客船在静水中的速度大小为（）A ．8 km/hB ．C ．km/hD．10km/h二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. 【答案】B11．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）平面四边形ABCD 中0AB CD += ,()0AB AD AC -=⋅,则四边形ABCD 是（）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形【答案】B 由0AB CD += ,得AB CD DC =-=,故平面四边形ABCD 是平行四边形,又()0AB AD AC -=⋅ ,故0DB AC =⋅,所以DB AC ⊥,即对角线互相垂直.12．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知(1,2)=a ,(0,1)=b ,(,2)k =-c ,若(2)+⊥a b c ,则k =（）A ．2B ．8C ．2-D ．8-【答案】B13．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（）A ．2B ．2-C ．D ．-【答案】B 解析:1cos 22232AB BC AB BC ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））向量(2,0),(,)a b x y == ,若b 与b a - 的夹角等于6π,则|b |的最大值为（）A ．4B ．C ．2 D【答案】A15．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）已知点A (1,5)-和向量a =(2,3),若3AB a =,则点B 的坐标为（）A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14) 【答案】设(,)B x y ,由3AB a = 得1659x y +=⎧⎨-=⎩,所以选D ．16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,//()a a b +,则m =（）A ．2B ．2-C ．3-D ．3【答案】【解析】向量(1,1)a =- ,(3,)b m = ,()(2,1)a b m +=+,因为//()a a b +∴(1)2m -+=,3m =-故选C .17．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））对于任意向量a 、b 、c ,下列命题中正确的是（）A ．=a b a b B ．+=+a b a b C．()()= a b c a b cD ．2= a a a【答案】D18．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设向量12(,)a a a = ,12(,)b b b = ,定义一运算:12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗=,已知1(,2)2m = ,11(,sin )n x x = .点Q 在()y f x =的图像上运动,且满足OQ m n =⊗(其中O 为坐标原点),则()y f x =的最大值及最小正周期分别是（）A ．1,2π B ．1,42π C ．2,π D ．2,4π(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 【答案】C二、填空题19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题）已知向量,的夹角为60,12==,_________=+;向量与向量2+的夹角的大小为_________.【答案】632π20．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）如图,在边长为2的菱形ABCD 中,60BAD ∠=,E 为CD 的中点,则___________.AE BD ⋅=BAEDC【答案】121．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）在ABC ∆中90C ∠=o ,BC =2 则=⋅BC AB ________ .【答案】-422．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）若向量a 、b 满足2||||==,与b 的夹角为︒60,则=+||_______【答案】32;23．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知在三角形ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ,若D 为BC 的三等分点〔靠近点B 一侧).则的取值范围为____.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-37,3524．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知e 1、e 2、e 3为不共面向量,若a =e 1+e 2+e 3,b =e 1-e 2+e 3,c =e 1+e 2-e 3,d =e 1+2e 2+3e 3,且d =xa +yb +zc ,则x 、y 、z 分别为_*****_.【答案】答案:52 ,-12,-1解:由d =xa +yb +zc 得e 1+2e 2+3e 3=(x +y +z )e 1+(x -y +z )e 2+ (x +y -z )e 3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1，x －y ＋z ＝2，x ＋y －z ＝3，解得:⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，z ＝－1.故x 、y 、z 分别为52,-12,-1.25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知平面向量a2,)(b a a -⊥;则><b a ,cos 的值是_______.【答案】21; 26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的点,则DE CB ⋅的值为____________.【答案】127．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知向量,a b, ()-⊥a b a , 向量a 与b 的夹角为________.【答案】4π三、解答题28．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知(s i n ,c o sa θθ= 、b =(1)若//a b,求tan θ的值;(2)若()f a b θ=+, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅.【答案】解:(1)//,sin 0a b θθ∴=sin tan θθθ∴⇒(2)(sin 1)a b θθ+=+a b ∴+===(0)a f ∴===()6b f π∴=-==()33c f π∴===由余弦定理可知:222cos 230b c a A bc +-==7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅=== (其它方法酌情给分)。

2013年广州二模数学理科试题

2013年广州二模数学理科试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷有三个大题，26个小题．满分为130分，考试时间为120分钟．2．请用蓝、黑圆珠笔或水笔答题，并按要求将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．3．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．4．抛物线的顶点坐标为．试题卷Ⅰ一．选择题（每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 的值等于（▲）A．4 B． C． D．22．据媒体报道，我国因环境问题造成的经济损失每年高达680 000 000元，这个数用科学记数法可表示为( ▲).A. B. C. D.3．计算的结果是（▲）A．B．C．D．4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB的值是………………………（▲）A． B． C． D．5．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米, CA=1米, 则树的高度为（▲）A. 4.5米B. 6米C. 3米D. 4米6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（▲）A．r B．22 r C．10 r D．3r7．小兰画了一个函数的图象如图，那么关于x的分式方程的解是（▲）A．x=1B．x=2 C．x=3 D．x=48．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（▲）A．B．C．D．9．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（▲）．A．B．若MN与⊙O相切，则C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切10. 如图，已知A点坐标为（5，0），直线与y轴交于点B，连接AB，若∠a=75°，则b 的值为( ▲)A．3 B．C．D．11．如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线（a ＜0）的图象上，则a的值为（▲）A．B．C．D．12. 如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经过2012次后它停在哪个数对应的点上（）A．1 B．2 C．3 D．5试题卷Ⅱ二、填空题（每小题3分，共18分）13．在函数y= 1 x－2 中，自变量x的取值范围是▲.14．已知关于x的方程的一个根是1，则k= ▲．15. 如图，在长为8 ，宽为4 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是▲.16．抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是▲17．如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是▲18. 如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是▲；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是▲.三．解答题（第19题6分，第20-22题各8分，第23-24题10分，第25题12分，第26题14分，共76分）19. （本题6分）计算:20.先化简再求值：，其中．21．（本题8分）某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图.根据图示，解答下列问题：（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；（3）2012年宁波市区初二学生约为2万人，按此调查，可以估计2012年宁波市区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？（4）请根据以上结论谈谈你的看法.22. （本题8分）如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．23．宁波滨海水产城一养殖专业户陈某承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼．有关成本、销售额见下表：(1) 2011年，陈某养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩．求陈某这一年共收益多少万元？（收益＝销售额－成本）(2) 2011年，陈某继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg．根据(2)中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次．求陈某原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg?24. (1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为。

导数与积分(2) Word版(含答案)

广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编17：导数与积分（2）一、选择题1 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是（）A ．1B ．4πC ．3D ．2【答案】D2 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图所示,图中曲线方程为21y x =-,用定积分表达围成封闭图形(阴影部分)的面积是【答案】C3 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为（）A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=x-1C ．y=x+1【答案】C4 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动,某时刻P 与坐标原点重合(如图),设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =,关于函数()y f x =的有下列说法:①()f x 的值域为[0,2];②()f x 是周期函数;③( 1.9)()(2013)f f f π-<<;④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为: （）A ．0B ．C ．2D ．3【答案】C5 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））已知函数()yf x =的图象如图1所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是【答案】A二、填空题6 ．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）计算________.【答案】2e ;7 ．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题）在平面直角坐标系Oxy中,直线a y =(0>a )与抛物线2x y =所围成的封闭图形的面积为328,则=a _______. 【答案】28 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）不等式211x -<的解集为(),a b ,计算定积分)2b ax dx -=⎰_______.【答案】139．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）若直线2y x m =+是曲线ln y x x=图1A ．B ．C ．D ．O x P A 第8题图的切线,则实数m 的值为_________.【答案】e -分析:设切点为000(,ln )x x x ,由1(ln )ln ln 1y x x x x x x''==+=+ 得0ln 1k x =+, 故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-,整理得00(ln 1)y x x x =+-, 与2y x m =+比较得00ln 12x x m+=⎧⎨-=⎩,解得0e x =,故e m =-10．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）10x cos ⎰d x =______________.【答案】1sin11．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）20(3sin )x x dx π+=⎰________________.【答案】2318π+解析:22220033(3sin )(cos )|128x x dx x x πππ+=-=+⎰.12．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））曲线y= x 3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_______【答案】21x y -+13．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））若直线y kx =与曲线ln y x =相切,则k =__________________.【答案】1e14．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）计算= ________.【答案】2e .三、解答题15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知函数()ln f x x =,2()()g x f x ax bx =++,函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系;(2)试讨论函数()g x 的单调性; (3)证明:对任意*n N ∈,都有()211ln 1ni i n i=-+>∑成立.【答案】解:(1)依题意得2()ln g x x axbx =++,则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得:'(1)120g a b =++= ∴21b a =--(2)由(1)得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)ax x x--=∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时,210ax -<在(0,)+∞上恒成立, 由'()0g x >得01x <<,由'()0g x <得1x >, 即函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当0a >时,令'()0g x =得1x =或12x a=, 若112a <,即12a >时,由'()0g x >得1x >或102x a <<,由'()0g x <得112x a<<,即函数()g x 在1(0,)2a ,(1,)+∞上单调递增,在1(,1)2a单调递减;若112a >,即102a <<时,由'()0g x >得12x a>或01x <<,由'()0g x <得112x a<<, 即函数()g x 在(0,1),1(,)2a +∞上单调递增,在1(1,)2a单调递减;若112a =,即12a =时,在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥, 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增,综上得:当0a ≤时,函数()g x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞单调递减; 当102a <<时,函数()g x 在(0,1)单调递增,在1(1,)2a 单调递减;在1(,)2a+∞上单调递增;当12a =时,函数()g x 在(0,)+∞上单调递增, 当12a >时,函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增,在1(,1)2a单调递减;在(1,)+∞上单调递增.(3)证法一:由(2)知当1a =时,函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增,2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-,即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---,令*11,x n N n =+∈,则2111ln(1)n n n+>-, 2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i=-+>∑ 【证法二:构造数列{}n a ,使其前n 项和ln(1)n T n =+, 则当2n ≥时,111ln()ln(1)n n n n a T T n n-+=-==+, 显然1ln 2a =也满足该式, 故只需证221111ln(1)n n n n n-+>=- 令1x n=,即证2ln(1)0x x x +-+>,记2()ln(1)h x x x x =+-+,0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x +=-+=-+=>+++,()h x 在(0,)+∞上单调递增,故()(0)0h x h >=,∴221111ln(1)n n n n n -+>=-成立,2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++-即()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】【证法三:令211()ln(1)i ni i n n i ϕ==-=+-∑,则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++ 令11,1x n =++则(1,2]x ∈,*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增, 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->, ∴数列()n ϕ单调递增,又(1)ln 20ϕ=>,∴()211ln 1ni i n i =-+>∑ 】 16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题）已知x a a x a x x f ln )()12(21)(22+++-=(0>x ,a 是常数),若对曲线)(x f y =上任意一点) , (00y x P 处的切线)(x g y =,)()(x g x f ≥恒成立,求a 的取值范围.江门市2013年高考模拟考【答案】解:依题意,xaa a x x f +++-=2/)12()()(00x f y =,曲线)(x f y =在点) , (00y x P 处的切线为))((00/0x x x f y y -=- ,即))((00/0x x x f y y -+=,所以))(()(00/0x x x f y x g -+= 直接计算得)1)(ln ()12(21)(002200-++++--=x x x a a x a x x x x g , 直接计算得)()(x g x f ≥等价于0)1)(ln ()(2100220≥+-++-x xx x a a x x 记)1)(ln ()(21)(00220+-++-=x xx x a a x x x h ,则 )1)(()11)(()()(020020/xx aa x x x x a a x x x h +--=-++-=若02≤+a a ,则由0)(/=x h ,得0x x = ,且当00x x <<时,0)(/<x h ,当0x x >时,0)(/>x h ,所以)(x h 在0x x =处取得极小值,从而也是最小值,即0)()(0=≥x h x h ,从而)()(x g x f ≥恒成立 .若02>+a a ,取a a x +=20,则0)1)(()(020/≥+--=xx aa x x x h 且当01x x ≠时0)(/>x h ,)(x h 单调递增 ,所以当00x x <<时,0)()(0=<x h x h ,与)()(x g x f ≥恒成立矛盾,所以02≤+a a ,从而a 的取值范围为01≤≤-a17．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值;(2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围;(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+ 都成立. 【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力) 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x = 时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意 (2)由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+--由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0fx =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减.()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值. ()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n=> 得,2111ln 1,n n n⎛⎫+<+⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln 2ln ln ln ln 14923n n n n n++++++>++++=+ . 18．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知二次函数()21fx x a x m =+++,关于x的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+,其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.(1)求a 的值;(2)k k (∈R )如何取值时,函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点,并求出极值点;(3)若1m =,且x 0>,求证:()()1122nn ng x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *). 【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+,即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+,∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+. ∴2a =-(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 方程()2210x k x k m -++-+=(*)的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+①当0m >时,0Δ>,方程(*)的两个实根为11x ,=<21x ,=>则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②当0m <时,由0Δ>,得k <-k >若k <-,则11x ,=<21x ,=<故x ∈()1,+∞时,()0x ϕ'>∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点若k >时,1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()xg x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=- 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点,且至少有一个零点在()1,+∞上令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m k m =+--+=+>,(**)方程(*)的两个实根为1x =2x =设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >则()11x x ,∈时,()0x ϕ'>;()12x x x ,∈时,()0x ϕ'<;()2x x ,∈+∞时,()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增,在()12x x ,上单调递减,在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x综上所述, 当0m >时,k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ; 当0m <时,k >函数()x ϕ有极小值点2x ,有极大值点1x (其中122k x +-=, 222k x ++=(2)证法1:∵1m =, ∴()g x=()111x x -+-.∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++令T 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++ , 则T 122412n nn n n n n n C xC x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x 0>, ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++≥121n nn n C C C -⋅+⋅++⋅ ()1212n n n n C C C -=+++()012102n n n n n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n =-∴22n T ≥-,即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦证法2:下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时,左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,右边1220=-=,不等式成立;② 假设当n k =k (∈N *)时,不等式成立,即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-,则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22k ≥⋅-+122k +=-也就是说,当1n k =+时,不等式也成立.由①②可得,对∀n ∈N *,()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立19．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==,且最小值是14-.(1)求()f x 的解析式; (2)设常数1(0,)2t ∈,求直线l :2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ;(3)已知0m ≥,0n ≥,求证:211()()24m n m n +++≥【答案】解:(1)由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==.设()(1)(0)f x ax x a =-≠,则221()()24af x ax ax a x =-=--又()f x 的最小值是14-,故144a -=-.解得1a =.∴2()f x x x =-;(2)依题意,由22x x t t -=-,得x t =,或1x t =-.(1t - ｔ) 由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232ttx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰(3)∵()f x 的最小值为14-,故14m -,14n -∴12m n +-≥-,故12m n ++≥∵1()02m n +,102m n ++, ∴11()()22m n m n +++=∴211()()24m n m n +++≥20．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）设()x g x e =,()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ,其中,a λ是常数,且01λ<<.(1)求函数()f x 的极值;(2)证明:对任意正数a ,存在正数x ,使不等式11x e a x--<成立; (3)设12,λλ∈+R ,且121λλ+=,证明:对任意正数21,a a 都有:12121122a a a a λλ≤λ+λ.【答案】解析:(1)∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--,由()0f x '>得,[(1)]()g x a g x λλ''+->,∴(1)x a x λλ+->,即(1)()0x a λ--<,解得x a <, 故当x a <时,()0f x '>;当x a >时,()0f x '<; ∴当x a =时,()f x 取极大值,但()f x 没有极小值(2)∵111x x e e x x x----=, 又当0x >时,令()1xh x e x =--,则()10xh x e '=->, 故()(0)0h x h >=,因此原不等式化为1x e x a x--<,即(1)10x e a x -+-<, 令()(1)1x g x e a x =-+-,则()(1)xg x e a '=-+, 由()0g x '=得:1xe a =+,解得ln(1)x a =+,当0ln(1)x a <<+时,()0g x '<;当ln(1)x a >+时,()0g x '>. 故当ln(1)x a =+时,()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++,令()ln(1),01a s a a a a =-+>+,则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++. 故()(0)0s a s <=,即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<.因此,存在正数ln(1)x a =+,使原不等式成立(3)对任意正数12,a a ,存在实数12,x x 使11x a e =,22x a e =, 则121122112212xx x x a a e ee λλλλλλ+=⋅=,12112212x x a a e e λλλλ+=+,原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+,11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+由(1)()(1)()f x g a λ≤-恒成立,故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-, 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=, 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+, 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+,故所证不等式成立21．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数321,(1)()(1),(1)x x ax bx x f x c e x -⎧-++<⎪=⎨-≥⎪⎩在32,0==x x 处存在极值. (1)求实数b a ,的值;(2)函数)(x f y =的图像上存在两点B A ,使得AOB ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,求实数c 的取值范围; (3)当e c =时,讨论关于x 的方程()f x kx =()k R ∈的实根的个数.【答案】解(1)当1x <时,2()32f x x ax b '=-++.因为函数f(x)在20,3x x ==处存在极值,所以(0)0,2()0,3f f '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得1,0a b ==. (2) 由(1)得321,(1),()(1),(1),x x x x f x c e x -⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩根据条件知A,B 的横坐标互为相反数,不妨设32(,),(,()),(0)A t t t B t f t t -+>.若1t <,则32()f t t t =-+,由AOB ∠是直角得,0OA OB ⋅= ,即23232()()0t t t t t -++-+=,即4210t t -+=.此时无解;若1t ≥,则1()(1)t f t c e -=-. 由于AB 的中点在y 轴上,且AOB ∠是直角,所以B 点不可能在x 轴上,即1t ≠. 由0OA OB ⋅= ,即2321()(1)t t t t c e --++⋅-=0,即()11(1)1t c t e -=+-..因为函数()1(1)1t y t e -=+-在1t >上的值域是(0,)+∞,所以实数c 的取值范围是(0,)+∞.(3)由方程()f x kx =,知32,(1),(1)x x x x kx e e x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩,可知0一定是方程的根,所以仅就0x ≠时进行研究:方程等价于2,(10),,(1).x x x x x k e e x x ⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且构造函数2,(10),(),(1),x x x x x g x e e x x⎧-+<≠⎪=⎨-≥⎪⎩且对于10x x <≠且部分,函数2()g x x x =-+的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当12x =时取得最大值14,其值域是1(,0)(0,]4-∞ ; 对于1x ≥部分,函数()x e e g x x -=,由2(1)()0x e x e g x x-+'=>,知函数()g x 在()1,+∞上单调递增.所以,①当14k >或0k ≤时,方程()f x kx =有两个实根; ②当14k =时,方程()f x kx =有三个实根; ③当104k <<时,方程()f x kx =有四个实根.22．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知a <2,(1) 求f(x)的单调区间; (2)若存在x 1∈[e,e2],使得对任意的x 2∈[—2,0],f (x 1)<g(x 2)恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】23．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））定义(,)|||ln |x x y e y y x y ρ=---,其中,x R y R +∈∈.(1)设0a >,函数()(,)f x x a ρ=,试判断()f x 的定义域内零点的个数; (2)设0a b <<,函数()(,)(,)F x x a x b ρρ=-,求()F x 的最小值; (3)记(2)中最小值为(,)T a b ,若{}n a 是各项均为正数的单调递增数列,证明:1111(,)()ln 2nii n i T a aa a ++=<-∑.【答案】24．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间;(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M .【答案】设函数32()()f x ax a b x bx c =-+++其中0,,a b c R ≥∈(1)若1()3f '=0,求()f x 的单调区间(2)设M 表示'(0)f 与'(1)f 两个数中的最大值,求证:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M . 解:(1)由1()3f '=0,得a =b .当0a =时,则0b =,()f x c =不具备单调性故f (x )= ax 3-2ax 2+ax +c .由()f x '=a (3x 2-4x +1)=0,得x 1=13,x 2=1列表:由表可得,函数f (x )的单调增区间是(-∞,13)及(1,+∞) .单调减区间是1[,1]3(2)当0a =时,()f x '=2bx b -+ 若0b = ()0f x '=,若0b >,或0b <,()f x '在[0,1]是单调函数,'(0)(1)f f '-=≤()f x '≤(0)f ',或'(1)f -=(0)f '≤()f x '≤(1)f '所以,()f x '≤M当0a >时,()f x '=3ax 2-2(a +b )x +b =3222()33a b a b aba x a a++---. ①当1,033a b a b a a++≥或≤时,则()f x '在[0,1]上是单调函数,所以(1)f '≤()f x '≤(0)f ',或(0)f '≤()f x '≤(1)f ',且(0)f '+(1)f '=a >0.所以M -()f x '<≤M②当013a ba +＜＜,即-a <b <2a ,则223a b ab a +--≤()f x '≤M . (i) 当-a <b ≤2a 时,则0<a +b ≤32a. 所以 (1)f '223a b ab a +--=22223a b ab a --=223()3a a b a -+≥214a >0.所以 M -()f x '<≤M (ii) 当2a <b <2a 时,则()(2)2a b b a --<0,即a 2+b 2-52ab <0. 所以223a b ab b a +--=2243ab a b a -->22523ab a b a-->0,即(0)f '>223a b ab a +-.所以 M -()f x '<≤M综上所述:当0≤x ≤1时,|()f x '|≤M25．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知函数2(),()ln f x x ax g x x =-=.(1)若()()f x g x ≥对于定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围; (2)设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ,且11(0,)2x ∈,证明:123()()ln 24h x h x ->-; (3)设1()()()2ax r x f x g +=+对于任意的(1,2)a ∈,总存在01[,1]2x ∈,使不等式2()(1)r x k a >- 成立,求实数k 的取值范围.【答案】解析:(Ⅰ)由题意:)()(x g x f ≥⇔≥-ax x 2x ln ,)0(>x分离参数a 可得:)0(ln >-≤x xx x a设x x x x ln )(-=φ,则22/1ln )(x x x x -+=φ由于函数2x y =,x y ln =在区间),0(+∞上都是增函数,所以函数1ln 2-+=x x y 在区间),0(+∞上也是增函数,显然1=x 时,该函数值为0 所以当)1,0(∈x 时,0)(/<x ϕ,当),1(+∞∈x 时,0)(/>x ϕ所以函数)(x φ在)1,0(∈x 上是减函数,在),1(+∞∈x 上是增函数所以1)1()(min ==φφx ,所以1)(min =≤x a φ即]1,(-∞∈a(Ⅱ)由题意知道:x ax x x h ln )(2+-=,且)0(,12)(2|>+-=x x ax x x h所以方程)0(0122>=+-x ax x 有两个不相等的实数根21,x x ,且)21,0(1∈x , 又因为,2121=x x 所以),1(2112+∞∈=x x ,且)2,1(,122=+=i x ax i i而)ln ()()(112121x ax x x h x h +-=-)ln (2222x ax x +--]ln )12([12121x x x ++-=]ln )12([22222x x x ++--212122lnx x x x +-=22222221ln )21(x x x x +-=2222222ln 41x x x --=,)1(2>x设)1(,2ln 41)(222≥--=x x x x x u ,则02)12()(322/≥-=x x x u所以2ln 43)1()(-=>u x u ,即2ln 43)()(21->-x h x h(Ⅲ))21()()(ax g x f x r ++=21ln2++-=ax ax x 所以12)(|++-=ax a a x x r 12222++-=ax x x a ax 1)22(22+--=ax a a x ax 因为(1,2)a ∈,所以21212212222=-≤-=-a a a a 所以当),21(+∞∈x 时,)(x r 是增函数,所以当01[,1]2x ∈时, 21ln1)1()(max 0++-==a a r x r ,(1,2)a ∈所以,要满足题意就需要满足下面的条件:)1(21ln12a k a a ->++-,令)1(21ln 1)(2a k a a a --++-=ϕ,(1,2)a ∈即对任意(1,2)a ∈,)1(21ln1)(2a k a a a --++-=ϕ0>恒成立因为)122(11222111)(2/-++=+-+=+++-=k ka a aa a ka ka ka a a ϕ分类讨论如下:(1)若0=k ,则1)(/+-=a aa ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意(2)若0<k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,所以)(a ϕ在)2,1(∈a 递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.(3)若0>k ,则)121(12)(/+-+=k a a ka a ϕ,那么当1121>-k 时,假设t 为2与121-k中较小的一个数,即}121,2min{-=k t ,则)(a ϕ在区间})121,2min{,1(-k 上递减,此时0)1()(=<ϕϕa 不符合题意.综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤->11210k k 解得41≥k ,即实数k 的取值范围为),41[+∞26．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知函数32(),()ln ,(0)f x x x bx g x a x a =-++=>.(1)若()f x 存在极值点,求实数b 的取值范围;(3)当b=0时,令(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩.P(11,()x F x ),Q(22,()x F x )为曲线y=()F x 上的两动点,O 为坐标原点,请完成下面两个问题:①能否使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y 轴上?请说明理由. ②当1<12x x <时,若存在012(,)x x x ∈,使得曲线y=F(x)在x=x 0处的切线l ∥PQ, 求证:1202x x x +<【答案】27．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设函数2()(1)n n f x x x =-在1[,1]2上的最大值为n a (1,2,n = ).(1)求12,a a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立.【答案】解:(1)解法1:∵121'()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---当1n =时,1'()(1)(13)f x x x =--当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴1111()28a f ==, 当2n =时,2'()f x 2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减, ∴2211()216a f ==【解法2:当1n =时,21()(1)f x x x =-,则21'()(1)2(1)(1)(13)f x x x x x x =---=-- 当1[,1]2x ∈时,1'()0f x ≤,即函数1()f x 在1[,1]2上单调递减,∴1111()28a f ==, 当2n =时,222()(1)f x x x =-,则222'()2(1)2(1)f x x x x x =---2(1)(12)x x x =--当1[,1]2x ∈时,2'()0f x ≤,即函数2()f x 在1[,1]2上单调递减,∴2211()216a f ==】 (2)令'()0n f x =得1x =或2n x n =+,∵当3n ≥时,1[,1]22n n ∈+且当1[,)22nx n ∈+时'()0n f x >,当(,1]2nx n ∈+时'()0n f x <, 故()n f x 在2nx n =+处取得最大值,即当3n ≥时,22()()()222n n n n n a f n n n ==+++24(2)nn n n +=+,------(*) 当2n =时(*)仍然成立,综上得21,184.2(2)n nn n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩(3)当2n ≥时,要证2241(2)(2)n n n n n +≤++,只需证明2(1)4n n +≥∵01222(1)()()n nnn n n C C C nnn+=+++ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=∴对任意*n N ∈(2n ≥),都有21(2)n a n ≤+成立 28．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式;(2)若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,求实数k 的值; (3)数列{}n a 满足12(2)a f =,1(),n n a f a n N *+=∈, 求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考【答案】解: (1) f'(x)=2ax+b ,依题设,有`(3)5(3)7f f =⎧⎨=⎩,即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩2()=1f x x x ∴-+(2)方程()=k x f x e ∴,即21k xx x e -+=,得2k (1)xx x e -=-+, 记2F(x)(1)xx x e -=-+,则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x x x e x x e x x e x x e -------+=--+=---令F'(x)=0,得121,2x x ==当x 变化时,F'(x)、F(x)的变化情况如下表:∴当1x =时,F(x)取极小值1e ;当2x =时,F(x)取极大值23e作出直线y x =和函数2F(x)(1)xx x e -=-+的大致图象,可知当1k e =或23k e =时,它们有两个不同的交点,因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根,(3) 12(2)3a f ==,得1312a >>,又21()1n n n n a f a a a +==-+.22121(1)0n n n n n a a a a a +∴-=-+=->,11n n a a +∴>>由211n n n a a a +=-+,得11=(1)n n n a a a +--,111111(1)1n nnnnaa a a a+∴==----,即111111nnn aa a+=---122013122320132014111111111()()()111111S a aaa aaaaa∴=+++=-+-++-------12014201411111122a aa=-=-<---又1211242637211S a a>++==>即12S <<,故S 的整数部分为. l4分。

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