2013广州二模理科数学试卷(word含答案精美版)

试卷类型：B2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2013.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是A ．= a b a bB ．+=+a b a bC ．()()= a b c a b cD ．2= a a a 2．直线1y kx =+与圆2220x y y +-=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．取决于k 的值文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是xy Oy x OxO x O xO y yy5．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为A ．14π B ．π C ．94π D ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年 8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A ．34 B ．1 C ．3 D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3c o s 45απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）． 12．已知函数()22fx x x =-，点集()()(){}M x y f x f y =+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为 ．13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．46 图2（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC的值为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内． （1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足||2PH <的概率；（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB =12CE EA =（如图 3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ； （2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60 ？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围． BCE D1A 图4图3ABC DE20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB 的距离等于22AD ，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<； （2）证明：1nn <+1232n a a a +++< ．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 23 4 56 7 8答案 D A C A B C B D二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 10．21011．216 12．2π 13．36；3981 14．1415．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，由余弦定理得222co s 2A B A C BCBAC AB AC+-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分 （2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCR A=， ……………………………………………………………7分 因为70BC =，由（1）知3A π=，所以3sin 2A =． 所以7014032332R ==，即7033R =．…………………8分 过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD 中，7033OB R ==，703522BC BD ===， 所以22270353OD OB BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………………………………………………11分3533=． 所以点O到直线BC的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等， 所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分 连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分 由（1）知3BAC π∠=， 所以3BOC 2π∠=． 所以3BOD π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===， ABCODABCOD所以35taBDOD BOD===∠．…………………………………………………………11分所以点O到直线BC的距离为3533m ．……………………………………………………………12分 17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．………………………………………………1分 满足||2PH <的点P 构成的平面区域是以H 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H 为圆心、2为半径、 圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个 直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部 构成． ……………………………………………………………2分其面积是()21122111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||2PH <的概率为112484π+π=+．………………………………………………………4分 （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分 A BCD E FGH其中长度为1的线段有8条，长度为2的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为5的线段有8条，长度为22的线段有2条． 所以ξ所有可能的取值为122522，，，，．……………………………………………………7分且()821287P ξ===，()412287P ξ===，()6322814P ξ===， ()825287P ξ===，()21222814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：ξ 12 25 22 P271731427114随机变量ξ的数学期望为213211225227714714E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯522257++=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分） 证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB =12CE EA =， 所以1AD =，2AE =． 在△ADE 中，60DAE ∠=，由余弦定理得2212212cos603DE =+-⨯⨯⨯= ． 因为222AD DE AE +=， 所以AD DE ⊥．折叠后有1A D D E ⊥．……………………………………………………………………………………2分AB CDE……10分因为二面角1A DE B --是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面B C E D ． …………………………3分又平面1A DE 平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥， 所以1A D ⊥平面B． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ．………………5分 由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥PH ．…………………………………………………6分 又1A D BD D = ， 所以PH ⊥平面1A B D ．…………………………………………………………………………………7分 所以1PA H∠是直线1PA 与平面1A B D所成的角． ……………………………………………………8分设PB x=()03x ≤≤，则2xBH =，32PH x =．…………………………………………………9分 在Rt△1PA H中，160PA H ∠=，所以112A H x =．………………………………………………10分 在Rt△1A DH中，11A D =，122DH x =-．………………………………………………………11分 由22211A D DH A H +=，数学资源网得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………12分解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．…………………………………………13分 BCED1A HP所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图． ……………………………………………………5分设2PB a =()023a ≤≤，则BH a =，3PH a =，2DH a =-． ……………………6分 所以()10,0,1A ，()2,3,0P a a -，()0,3,0E ．…………7分所以()12,3,1PA a a =--．…………………………………………………8分因为ED ⊥平面1A BD ，所以平面1A BD 的一个法向量为()0,3,0DE =．………………………………9分因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，所以11sin 60PA DE PA DE=………………………………………………………10分23324453a a a ==-+⨯，………………………………………11分 解得54a =． ………………………………………………………………………12分 即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． …………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分数学资源网 19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分） 解：要使函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，B CE D1A HxyzP必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………4分解得1212a -<≤．数学资源网 所以当1212a -<≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax =--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围： 方法1：因为()()()1,,1,.a xa x ag x a x ax a--⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21,1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………8分 ③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．…………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………6分因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．…………………………7分 要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ………………………10分 若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……11分所以1021,,20 1.a a a ⎧<->⎪⎨⎪<⎩≤≤或 …………………………………………………12分解得021a <-≤或112a <≤． ……………………………………………13分 故实数a 的取值范围为(10,21,12⎛⎤⎤- ⎥⎦⎝⎦．……………………………………14分 20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y ，依题意得，()2211x y y +-=+．………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．……………………………2分 方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………2分 （2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=． 设点2001,4D x x ⎛⎫⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．………3分由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．……4分A B CDOxylE因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444AB x x x x k x x --==+．…………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．……6分 所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………7分 （3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．……………8分 不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+． 由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………10分 所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．……………11分 所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=， 解得03x =±．……………………………………………………………………12分 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =， 直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．……………………13分 当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-， 直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………14分 方法2：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45= ．…………8分 由（2）知CAD BAD ∠=∠45= ，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x x k -=． 所以1020144AC ABx x x xk k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ① 由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩………10分因为()2222202001122244AB x x x x x ⎛⎫=++-=- ⎪⎝⎭，同理0222AC x =+． ………………………………………………………11分 以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．…………………………………………………1分 因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．……………………………………………………2分 所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内． 而n a 是函数()f x 的零点， 所以01n a <<．…………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=， 由（1）知01n a <<，所以3n n a a <．…………………………………………………………………………4分 即231n n n n a a a -=<．所以211n a n >+．………………………………………………………………………5分 所以1222211111211n a a a n +++>++++++ ．……………………………6分 以下证明222111112111n n n +++≥++++ ． ① 方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，……………………7分 所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++．……………………………………………9分 方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立． 2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即222111112111k k k +++≥++++ ． 那么()222211111121111k k +++++++++ ()21111k k k ≥++++． 以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ② 即证()()()21111111k kk k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立． 即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立． 所以121n na a a n +++>+ ．………………………………………………………9分 再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．…………………………………………………………………10分 由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a n n-=<． …………11分 因为当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，……………………………………12分 所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n =+-<． 所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++<． 综上所述，1nn <+1232n a a a +++< ．…………………………………………14分。