专题14坐标系与参数方程-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典
2019年(理科数学)(新课标Ⅲ)试卷真题+参考答案+详细解析
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1,0,1,2}A =-，2{|1}B x x =，则(A B = )A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{0,1,2}2．（5分）若(1)2z i i +=，则(z = ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为( ) A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（5分）24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16B ．8C ．4D ．26．（5分）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则( ) A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-7．（5分）函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED的中点，则( )A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于( )A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-10．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为( )A 32B 32C ．22D ．3211．（5分）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->> B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>12．（5分）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点 ③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229[,)510其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
专题 坐标系与参数方程-2019年高考真题
专题14 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M上，且||OP =P 的极坐标．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．。
专题14 坐标系与参数方程-2019年新课标全国卷(1、2、3卷)理科数学备考宝典
2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典14．坐标系与参数方程一、考试大纲1．坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2．参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、新课标全国卷命题分析坐标系与参数方程的题目，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程和参数方程的简单应用，难度较小。
直线与圆的位置关系考查较多，注意直线参数方程中参数的几何意义的应用。
重点考查了数形结合的数学思想和转化与化归能力．解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解，解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．三、典型高考试题讲评题型1 参数方程与普通方程的转化（2018·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1cos2sinx l ay l a=+⎧⎨=+⎩（l为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为()12，，求l的斜率．【基本解法】解法一：因为 曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）所以曲线C 直角坐标方程为221416x y +=因为直线l 的参数方程为1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．所以 ① 当,2k k Z παπ≠+∈时，直线l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=+-② 当,2k k Z παπ=+∈时，直线l 的直角坐标方程为1x =（2）解法一：点差法：设直线与椭圆的交点为A 、B ，坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，中点P ． 则有2211222214161416x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可知：211AB OP k k e ⋅=-，12412116AB k ⋅==--，所以2AB k =-. 解法二：参数法：将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程()()2213cos 42cos sin 80t t ααα+++-=()12242cos sin 13cos t t ααα++=-+由题意可知：120t t += 2cos sin 0tan 2ααα+=⇒=-解法三：直角坐标法：()()()2222214tan 2tan 2tan 2tan 160416tan 2tan x y x x y x αααααα⎧+=⎪⇒++-+--=⎨⎪=+-⎩所以()()1222tan 2tan 24tan x x ααα-+=-=+解得：tan 2α=- 【解题技巧】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可。
专题 坐标系与参数方程(解析版)
专题 坐标系与参数方程1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．652．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15 （，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上． （1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+． （1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ．15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数标方程为e ee et tt txy--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t为参数），在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C的公共点P的极坐标．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值．答 案1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x +=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x ++=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l．【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭； （2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =． （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．6．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值． 【答案】（1）5cos 2ρθ=；（2） 【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=，曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=，由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交， 所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =． 所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=． （2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M ，直线l的参数方程为24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=．设,A B 两点的参数为1t ，2t ，所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号．所以1212MA MB t t t t +=+=+=【名师点睛】本题考查了极坐标，参数方程和普通方程的互化和用参数方程计算长度，是常见考题．7．【山东省郓城一中等学校2019届高三第三次模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）40x y --=，2213x y +=；（2．【解析】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 即ρsin θ－ρcos θ＋4＝0．由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=．（2）设N α，sin α），α∈[0，2π）．点M 的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l 的距离2d ==≤，所以当5π6α=时，点M 到直线l 的距离的最大值为2． 【名师点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．【河南省周口市2018–2019学年度高三年级（上）期末调研考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,32x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223sin 12ρθ+=（）． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且设定点21P （，），求PB PA PAPB+的值．【答案】（1）l 普通方程为10x y --=，C 直角坐标方程为22143x y +=；（2）867． 【解析】（1）由直线l 的参数方程消去t ，得普通方程为10x y --=．223sin 12ρθ+=（）等价于2223sin 12ρρθ+=，将222sin x y y ρρθ=+=，代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为222312x y y ++=（）， 即22143x y +=． （2）点21P （，）在直线10x y --=上，所以直线l的参数方程可以写为2 1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，（为参数）， 将上式代入22143x y +=，得2780t ++=． 设A B ，对应的参数分别为12t t ，，则1212877t t t t +=-=， 所以22||PA PB PB PAPA PB PA PB ++=22PA PB PA PB PA PB+-=（）21212122t t t t t t +-=（）2121212||2t t t t t t +-⋅==⋅2828677877--⨯=（． 【名师点睛】本题考查了直线的参数方程，考查了简单曲线的极坐标方程，解答此题的关键是熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义．9．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试数学】以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为15-（，），点M 的极坐标为π42（，）．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）试判定直线l 和圆C 的位置关系．【答案】（1）11252x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），8sin ρθ=；（2）直线l 与圆C 相离．【解析】（1）直线l的参数方程1π11cos 23 π5sin 53x t x t y t y ⎧⎧=+=+⋅⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+⋅=-⎪⎪⎩⎩（t 为参数）， M 点的直角坐标为（0，4），圆C 的半径为4，∴圆C 的方程为22416x y +-=（），将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入，得圆C 的极坐标方程为222cos (sin 4)16ρθρθ+-=，即8sin ρθ=； （2）直线l50y ---=，圆心M 到l的距离为942d ==>， ∴直线l 与圆C 相离．【名师点睛】主要是考查了极坐标与直角坐标的互化，以及运用，属于基础题．10．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2） 【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-，0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x t y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值 【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．11．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内， 将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+， 所以12211sin PA PB t t α⋅==+，因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 12．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+． （2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,22x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+== 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．13．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2． 【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=， 曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为135x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入221212435167054y x t t t t t =-=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．14．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 15．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et tt tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥． 将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=． 所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-． 因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．16．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==- 所以MN ===10==．【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．17．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32，31则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （2）将直线的参数方程化为标准形式为1223332x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）． 12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===． 【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。
(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题14坐标系与参数方程文(含解析)
专题14坐标系与参数方程历年考题细目表解答题2011综合测试题2011年新课标1文科23解答题2010综合测试题2010年新课标1文科23历年高考真题汇编1．【2019年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11＝0．（1）求C和l的直角坐标方程；(2）求C上的点到l距离的最小值．【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x≠﹣1），∴C的直角坐标方程为（x≠﹣1），由2ρcosθρsinθ+11＝0，得．即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2﹣12＝0．由△＝16m2﹣64（m2﹣12）＝0，得m＝±4．∴当m＝4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为．2．【2018年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y＝k|x｜+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．(1）求C2的直角坐标方程；（2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为:(x+1）2+y2＝4．(2）由于曲线C1的方程为y＝k｜x｜+2,则:该射线关于y轴对称，且恒过定点（0,2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切,一直线相交．则:圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故:，或解得：k或0，当k＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．3．【2017年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数)，直线l的参数方程为，（t为参数）．(1）若a＝﹣1,求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．【解答】解：(1）曲线C的参数方程为（θ为参数),化为标准方程是:y2＝1；a＝﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3＝0;联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和（，）．（2）l的参数方程(t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4＝0，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ）,θ∈［0，2π），所以点P到直线l的距离d为：d，φ满足tanφ，且的d的最大值为．①当﹣a﹣4≤0时,即a≥﹣4时，｜5sin（θ+φ）﹣a﹣4｜≤|﹣5﹣a﹣4｜＝|5+a+4|＝17解得a＝8和﹣26，a＝8符合题意．②当﹣a﹣4＞0时,即a＜﹣4时｜5sin（θ+φ）﹣a﹣4｜≤|5﹣a﹣4｜＝｜5﹣a﹣4|＝17，解得a＝﹣16和18，a＝﹣16符合题意．4．【2016年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．【解答】解：(Ⅰ）由，得,两式平方相加得，x2+（y ﹣1)2＝a2．∴C1为以(0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2＝0．①由x2+y2＝ρ2,y＝ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2＝0；（Ⅱ）C2：ρ＝4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2＝4ρcosθ，∴x2+y2＝4x，②即（x﹣2）2+y2＝4．由C3：θ＝α0,其中α0满足tanα0＝2，得y＝2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上,∴y＝2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2＝0，即为C3 ，∴1﹣a2＝0,∴a＝1（a＞0)．5．【2015年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝﹣2,圆C2：（x﹣1）2+(y﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ)求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N,求△C2MN的面积．【解答】解：（Ⅰ)由于x＝ρcosθ，y＝ρsinθ,∴C1:x＝﹣2 的极坐标方程为ρcosθ＝﹣2,故C2:(x﹣1）2+（y﹣2）2＝1的极坐标方程为:（ρcosθ﹣1）2+(ρsinθ﹣2)2＝1,化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ)+4＝0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1)2+（y﹣2）2＝1,可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ)+4＝0，求得ρ1＝2，ρ2，∴｜MN｜＝|ρ1﹣ρ2|，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N,△C2MN的面积为•C2M•C2N•1•1．6．【2014年新课标1文科23】已知曲线C:1,直线l：(t 为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．(Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A，求｜PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：1，可令x＝2cosθ、y＝3sinθ,故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t＝x﹣2,代入②并整理得：2x+y﹣6＝0；（Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）＝﹣1时,|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）＝1时，｜PA|取得最小值，最小值为．7．【2013年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;（2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程(x﹣4）2+（y﹣5）2＝25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16＝0,得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16＝0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0，联立，解得或,∴C1与C2交点的极坐标为（)和（2，）．8．【2012年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A,B，C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，)．（1)求点A，B,C，D的直角坐标；(2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+｜PC|2+|PD｜2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B,C，D的直角坐标为（2）设P(x0,y0）,则为参数）t＝|PA|2+｜PB｜2+|PC|2+｜PD|2＝4x2+4y2+16＝32+20sin2φ∵sin2φ∈［0，1]∴t∈[32，52]9．【2011年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数）M是C1上的动点,P点满足2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【解答】解：（I）设P（x,y)，则由条件知M（，）．由于M点在C1上,所以即从而C2的参数方程为(α为参数）（Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin,射线θ与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以｜AB|＝|ρ2﹣ρ1|．10．【2010年新课标1文科23】已知直线C1(t为参数)，C2（θ为参数),(Ⅰ）当α时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点,当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解答】解：（Ⅰ）当α时,C 1的普通方程为,C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为(1，0）．(Ⅱ)C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②,联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α,﹣cosαsinα），故当α变化时,P点轨迹的参数方程为：,P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为,半径为的圆．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：极坐标方程与直角坐标方程的转化，极坐标几何意义的应用，参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。
2019年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程)
2019年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程） 第 1 页 共 1 页2019年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程） 第 1 页 共 1 页 2019年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）1.（2019·北京卷·理科）已知直线l 的参数方程为1324x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是 A.15 B.25 C.45 D.652.（2019·天津卷·理科）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为 .3.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为：2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos ρθ+sin 110ρ+=（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求C 上的点到直线l 距离的最小值.4.（2019·全国卷Ⅱ·文理科）在极坐标系中，O 为极点，点00(,)M ρθ（00ρ>）在曲线C ：4sin ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （Ⅰ）当03πθ=时，求0ρ及直线l 的方程；（Ⅱ）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.5.（2019·全国卷Ⅲ·文理科）如图，在极坐标系ox 中，(2,0)A，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧（Ⅰ）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（Ⅱ）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.o。
专题14 坐标系与参数方程2019年新课标全国卷(123卷)理科数学备考宝典 (1)
2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典14．坐标系与参数方程一、2018年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011—2018年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——14．坐标系与参数方程一、考试大纲1．坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2．参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、新课标全国卷命题分析坐标系与参数方程的题目，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程和参数方程的简单应用，难度较小。
直线与圆的位置关系考查较多，注意直线参数方程中参数的几何意义的应用。
重点考查了数形结合的数学思想和转化与化归能力．解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解，解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．三、典型高考试题讲评题型1 参数方程与普通方程的转化（2018·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l的参数方程为1cos2sinx l ay l a=+⎧⎨=+⎩（l为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为()12，，求l的斜率．【基本解法】解法一：因为曲线C的参数方程为2cos4sinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）所以曲线C直角坐标方程为221 416x y+=因为直线l 的参数方程为1cos 2sin x l ay l a =+⎧⎨=+⎩（l 为参数）．所以 ① 当,2k k Z παπ≠+∈时，直线l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=+- ② 当,2k k Z παπ=+∈时，直线l 的直角坐标方程为1x =（2）解法一：点差法：设直线与椭圆的交点为A 、B ，坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，中点P ． 则有2211222214161416x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩作差可知：211AB OP k k e ⋅=-，12412116AB k ⋅==--，所以2AB k =-. 解法二：参数法：将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 由题意可知：120t t += 2cos sin 0tan 2ααα+=⇒=-解法三：直角坐标法：()()()2222214tan 2tan 2tan 2tan 160416tan 2tan x y x x y x αααααα⎧+=⎪⇒++-+--=⎨⎪=+-⎩所以()()1222tan 2tan 24tan x x ααα-+=-=+解得：tan 2α=- 【解题技巧】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可。
2015-2019高考数学理科(全国卷和自主命题)分类汇编 专题14 坐标系与参数方程
专题14 坐标系与参数方程2019年1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45 D ．65【答案】D【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：1234x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l的距离65d ==，故选D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；（2．【解析】（1）因为221111t t--<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-． l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ++=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ== 由已知得||||cos23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ． （1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭．（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．5．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．【答案】（1）2）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=．2018年1．【2018年理数天津卷】已知圆x 2+y 2−2x =0的圆心为C ，直线{x =−1+√22t,y =3−√22t(t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ΔABC 的面积为___________. 【答案】122．【2018年理北京卷】在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a(a >0)与圆ρ=2cosθ相切，则a =__________． 【答案】1+√2【解析】分析：根据ρ2=x 2+y 2,x =ρcosθ,y =ρsinθ将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a.详解：因为ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ，由ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)，得x+y=a(a>0)，由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，即(x−1)2+y2==1，∴a=1±√2，∵a>0，∴a=1+√2.1，因为直线与圆相切，所以√2−θ)=2，曲线C的方程为ρ= 3．【2018年江苏卷】在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π64cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为2√3=2√3．因此，直线l被曲线C截得的弦长为2√3．所以AB=4cosπ64．【2018年理新课标I卷】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−3=0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【答案】 (1）(x+1)2+y2=4．|x|+2．（2）综上，所求C1的方程为y=−43详解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4．（2）由（1）知C2是圆心为A(−1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以√k2+1=2，故k=−43或k=0．经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=−43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以√k2+1=2，故k=0或k=43．经检验，当k=0时，l1与C2没有公共点；当k=43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y=−43|x|+2．5．【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为{x=cosθ，y=sinθ（θ为参数），过点(0 ， −√2)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A ， B两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．【答案】（1）(π4,3π4)（2）{x=√22sin2α,y=−√22−√22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)详解：（1）⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1．当α=π2时，l与⊙O交于两点．当α≠π2时，记tanα=k，则l的方程为y=kx−√2．l与⊙O交于两点当且仅当√2√1+k2<1，解得k<−1或k>1，即α∈(π4,π2)或α∈(π2,3π4)．综上，α的取值范围是(π4,3π4)．（2）l的参数方程为{x=tcosα,y=−√2+tsinα(t为参数，π4<α<3π4)．设A，B，P对应的参数分别为t A，t B，t P，则t P=t A+t B2，且t A，t B满足t2−2√2tsinα+1=0．于是t A +t B =2√2sinα，t P =√2sinα．又点P 的坐标(x,y)满足{x =t P cosα,y =−√2+t P sinα. 所以点P 的轨迹的参数方程是{x =√22sin2α,y =−√22−√22cos2α(α为参数，π4<α<3π4)．6．【2018年理数全国卷II 】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ,y =4sinθ（θ为参数），直线l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =2+tsinα（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1, 2)，求l 的斜率．【答案】（1）当cosα≠0时，l 的直角坐标方程为y =tanα⋅x +2−tanα，当cosα=0时，l 的直角坐标方程为x =1．（2）−2详解：（1）曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1．当cosα≠0时，l 的直角坐标方程为y =tanα⋅x +2−tanα， 当cosα=0时，l 的直角坐标方程为x =1．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cosα+sinα)t −8=0．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1+t 2=0．又由①得t 1+t 2=−4(2cosα+sinα)1+3cos 2α，故2cosα+sinα=0，于是直线l 的斜率k =tanα=−2．过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是{x =x 0+tcosαy =y 0+tsinα.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1+t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝|t 1+t 22|.(4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.2017年1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为___________. 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点2.【2017北京，理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为（1,0），则|AP |的最小值为___________.【答案】1 【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为普通方程为222440x y x y +--+= ，整理为()()22121x y -+-= ，圆心()1,2C ，点P 是圆外一点，所以AP 的最小值就是211AC r -=-=.3.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =.当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d.=16a =-.综上，8a =或16a =-.4. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
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2019年新课标全国卷（1、2、3卷）理科数学备考宝典14．坐标系与参数方程．坐标系与参数方程一、考试大纲1．坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2．参数方程(1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、新课标全国卷命题分析坐标系与参数方程的题目，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程和参数方程的简单应用，难度较小。
直线与圆的位置关系考查较多，注意直线参数方程中参数的几何意义的应用。
重点考查了数形结合的数学思想和转化与化归能力．解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解，解题时要结合题目自身特点，确定选择何种方程．三、典型高考试题讲评题型1 参数方程与普通方程的转化（2018·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系错误！未找到引用源。
中，曲线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数），直线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
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为参数）．（1）求错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；（2）若曲线错误！未找到引用源。
截直线错误！未找到引用源。
所得线段的中点坐标为错误！未找到引用源。
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的斜率．【基本解法】解法一：因为曲线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
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直角坐标方程为错误！未找到引用源。
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时，直线错误！未找到引用源。
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时，直线错误！未找到引用源。
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（2）解法一：点差法：设直线与椭圆的交点为错误！未找到引用源。
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，中点错误！未找到引用源。
．则有错误！未找到引用源。
作差可知：错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
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.解法二：参数法：将直线错误！未找到引用源。
的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
由题意可知：错误！未找到引用源。
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解法三：直角坐标法：错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
解得：错误！未找到引用源。
【解题技巧】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可。
化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.题型2 极坐标方程与普通方程的转化（2018·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系xOy中，曲线错误！未找到引用源。
的方程为错误！未找到引用源。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
（I）求错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；（II）若错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
有且仅有三个公共点，求错误！未找到引用源。
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【解析】（1）由错误！未找到引用源。
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得错误！未找到引用源。
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．（2）由（1）知错误！未找到引用源。
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的圆．由题设知，错误！未找到引用源。
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轴对称的两条射线．记错误！未找到引用源。
轴右边的射线为错误！未找到引用源。
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轴左边的射线为错误！未找到引用源。
．由于错误！未找到引用源。
在圆错误！未找到引用源。
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有且仅有三个公共点等价于错误！未找到引用源。
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有两个公共点，或错误！未找到引用源。
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只有一个公共点且错误！未找到引用源。
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有两个公共点．当错误！未找到引用源。
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只有一个公共点时，错误！未找到引用源。
到错误！未找到引用源。
所在直线的距离为错误！未找到引用源。
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或错误！未找到引用源。
．经检验，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
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没有公共点；当错误！未找到引用源。
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只有一个公共点，错误！未找到引用源。
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有两个公共点．当错误！未找到引用源。
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只有一个公共点时，错误！未找到引用源。
到错误！未找到引用源。
所在直线的距离为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，故错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
．经检验，当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
没有公共点；当错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
没有公共点．综上，所求错误！未找到引用源。
的方程为错误！未找到引用源。
．【基本解法2】（代数法）错误！未找到引用源。
交点个数等于方程组解的个数和，显然每个方程组最多有两个解。
所以只能一个组一个解，一组两个解。
错误！未找到引用源。
经检验可知：当k=0时，曲线错误！未找到引用源。
的方程为错误！未找到引用源。
，与圆只有一个交点，故舍去。
当错误！未找到引用源。
时，曲线错误！未找到引用源。
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，与圆没有交点，当错误！未找到引用源。
时，曲线错误！未找到引用源。
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，与圆有且只有三个交点，所以曲线错误！未找到引用源。
的方程为错误！未找到引用源。
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编14．坐标系与参数方程（2018·新课标Ⅰ，理22）在直角坐标系xOy中，曲线错误！未找到引用源。
的方程为错误！未找到引用源。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
（I）求错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；（II）若错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
有且仅有三个公共点，求错误！未找到引用源。
的方程。
（2018·新课标Ⅱ，理22）在直角坐标系错误！未找到引用源。
中，曲线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数），直线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数）．（1）求错误！未找到引用源。
和错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；（2）若曲线错误！未找到引用源。
截直线错误！未找到引用源。
所得线段的中点坐标为错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
的斜率．（2018·新课标Ⅲ，理22）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系错误！未找到引用源。
中，错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
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为参数），过点错误！未找到引用源。
且倾斜角为错误！未找到引用源。
的直线错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
交于错误！未找到引用源。
两点．(1)错误！未找到引用源。
的取值范围；⑵求错误！未找到引用源。
中点错误！未找到引用源。
的轨迹的参数方程．（2017·新课标Ⅰ，22）在直角坐标系错误！未找到引用源。
中，曲线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数），直线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数）．（1）若错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的交点坐标；（2）若错误！未找到引用源。
上的点到错误！未找到引用源。
的距离的最大值为错误！未找到引用源。
，求错误！未找到引用源。
．（2017·新课标Ⅱ，22）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线错误！未找到引用源。
的极坐标方程为错误！未找到引用源。
．（1）M为曲线错误！未找到引用源。
上的动点，点P在线段OM上，且满足错误！未找到引用源。
,求点P的轨迹错误！未找到引用源。
的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为错误！未找到引用源。
，点B在曲线错误！未找到引用源。
上，求错误！未找到引用源。
面积的最大值．（2017·新课标Ⅲ，）在直角坐标系错误！未找到引用源。
中，直线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
（错误！未找到引用源。
为参数），直线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
．设错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的交点为错误！未找到引用源。
，当错误！未找到引用源。
变化时，错误！未找到引用源。
的轨迹为曲线错误！未找到引用源。
．（1）写出错误！未找到引用源。
的普通方程；（2）以坐标原点为极点，错误！未找到引用源。
轴正半轴为极轴建立极坐标系，设错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
为错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的交点，求错误！未找到引用源。
的极径．（2016·新课标Ⅰ，23）在直角坐标系错误！未找到引用源。
中，曲线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。
为参数，错误！未找到引用源。
．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线错误！未找到引用源。
． （Ⅰ）说明错误！未找到引用源。