2.3平方根(1)
苏科版-数学-八年级上册-2.3平方根 开方应用在实际生活
初中-数学-打印版初中-数学-打印版 开方应用在实际生活在实际应用中，许多问题涉及到开平方或开立方运算，解决这些问题的关键是理解平方根和立方根的意义，掌握开方的灵活应用．现举例说明．一、开平方的实际应用例1 小禹家最近购买了一套新房，其客厅有20平方米，经过全家的商议，打算用地板砖铺设地面，小禹计算一下，可以用80块正方形的地板砖铺设面积是20平方米的客厅，你能知道小禹家购买的正方形地板砖的边长吗？分析：本题是一道与实际生活密切相关的实际问题，根据题意可知，80块地板砖的面积和为20平方米，只要计算出一块地板砖的面积，然后再开方即可求到正方形地板砖的边长.解：设一块正方形的地板砖的边长为x 米，则80x 2=20，所以x 2=0.25,所以x =±0.5，因为地板砖的边长不能为负数，所以x =0.5.所以小禹家应购买边长为0.5米的地板砖.例2 学校准备在旗杆附近修建一个面积为81m 2的花坛，现有两种设计方案：方案一：建成正方形.芳案二：建成圆形.如果请你决策，从节省材料的角度考虑，你选择哪一种方案？请说明理由（π取3.14）.分析：从节省材料的角度考虑，就是用料少，即花坛周长小，因此只需要由已知条件计算出两种方案中各图形的周长，然后比较大小即可.解：设正方形的边长为am ，由题意，得a 2=81，则a =±81，即a =±9，又因为a ＞0，所以a =9，4a =36.所以方案一建成正方形的花坛需要用料36米.设圆的半径为rm ，由题意，得πr 2=81，则r =π81±，即r ≈±5.08，又因为r ＞0，所以r ≈5.08，2πr ≈31.90.所以方案二建成圆形的花坛需要用料约31.90米.由于31.90＜36，显然第二种方案用料少一些，所以选用第二种方案.二、开立方的实际应用例3 张师傅打算用铁皮焊制一个密封的正方体水箱，使其容积为1.331立方米，求需要多大的面积的铁皮．分析：求所需铁皮的面积，即求正方体的表面积，需知正方体的边长，根据正方体的容积为 1.331立方米，开立方即可求出边长。
初中数学八年级2.2平方根(1)
2.2平方根（1）教师寄语：踏破铁鞋无觅处，得来全不费功夫学习目标：1、了解算术平方根的概念。
2、会用根号表示一个数的算术平方根。
3、培养学生自主学习、合作交流、探索发现的学习方式学习过程：（一）前置准备小明家购置一套住房，其卧室地面是一个正方形，正好铺上长30cm，宽25cm的地砖160块，请求出他卧室的边长是多少？讨论问题：1）小明卧室的面积是多少平方米？2）设小明卧室的边长为x米，则x满足什么条件？3）小明卧室的边长为多少米？（二）自主学习1、引例中的式子x2= ，已知幂和指数，求其底数x，你能求出x吗？2、独立完成课本P32的练习。
感受无理数与有理数的区别，并尝试如何表示无理数？3、解读探究：（算术平方根的概念）（三）自我训练1、课本P32例12、回扣引例，你会表示出引例中的x了吗？（四）合作交流1、解读课本P33例2，并与同学们进行交流。
2、当堂训练：课本P33，随堂练习第1、2题。
（五）归纳总结结合刚才的例题与练习，在遇到类似题目时，你应该注意什么？（六）当堂训练1、课本P34第1题2、课本P34第2题3、课本P34第3题学习笔记：通过本节课的学习，你的收获是什么？课下训练：1、a读作，它表示2、求下列各类的算术平方根：144，4/25，13，（2/3）0，（2/3）-2，.0 = 。
3、若3 =1.732，30 =5.477，则0034、16的算术平方根为。
中考真题：（2004海淀）1/4的算术平方根是（）A、1/2B、-1/2C、1/16 D±1/22.2平方根（2）教师寄语：纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行学习目标：1、了解平方根的概念和表示方法2、一个正数有两个平方根；0只有一个平方根是它本身；负数没有平方根。
3、理解算术平方根与平方根的区别。
学习过程：（一）前置准备1、求下列各数的算术平方根：144，4/25，0，1，13，（2/3）-2，2、热身训练：（）2=144，（）2=4/25，（）2=0.64（二）自主学习1、独立研究课本P34，了解平方根的概念2、一般地，（三）合作交流1、分别求出16，0，-9的平方根2、讨论：①一个正数有几个平方根？它们又有何关系？②0有几个平方根？③负数有几个平方根？两者的区别与联系是（四）自主训练1、课本P35例32、课本P36，随堂练习第1、2题（五）想一想课本P36（六）当堂训练：（稳中求胜，初试牛刀）1、课本P36，第1、2题2、课本P36，第3、4题学习笔记：通过本节课的学习，你有何收获？课下训练：a一定等于a吗？1、对于任意数a，22、49的平方根是，算术平方根是。
2.3 平方根(第2课时)
练
=0，则
a b
的平方根
• 6、 64 36 的平方根是 ，算术平方 根是 。 • 7、已知△ABC的三边分别是a、b、c， • 且 a 1 b² -4b+4=0，求c的取值范围。
提
高
• 8、已知y= x 2 + 2 x +3，求xy的算 术平方根。 • 9、在△ABC中，∠C=90°. • (1)如果AC=5,BC=12,求AB; • (2)如果AC=2,BC=1,求AB; • (3)如果AB=25,BC=24,求AC; • (4)如果AC=5,AB=12,求BC;
交
流
1．16的算术平方根的平方根是什么？ 5的算术平方根是什么？ 2、0的算术平方根是什么？ 0的算术平方根有几个？ 3、-2、-5、-6有算术平方根吗？为什么？
例
• • • •
题
例1：求下列各数的算术平方根： （1）625； （2）0.81； （3）6； （4）（-2）² (5) 256 (6) ( 0 . 25 ) 2
初中数学八年级上册 （苏科版）
2.3平方根
导
入
正数a有2个平方根，其 中正数a的正的平方根，也叫 做a的算术平方根。 例如，4的平方根是±2， 2叫做4的算术平方根。
举
例
• 4的平方根是±2，2叫做4的算术 平方根，记作 4 =2， • 2的平方根是“± 2 ”， 2 叫做 2的算术平方根， • 0只有一个平方根，0的平方根也叫 做0的算术平方根，即 0 =0
h
d
应
用
• 例2：“欲穷千里目，更上一层楼”。说的是登 的高看得远。若观测点的高度为h，观测者视线 能达到的最远距离为d≈2 hR ，其中R是地球半 径（通常取6400km），小丽站在海边一块岩石 上，眼睛离地面的高度为20M，她观测到远处一 艘船刚露出海平面，此时该小船离小丽有多远？
§2.3平方根1研究课
平方根（1）—— 研究课班级________姓名____________学习目标：1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方根的概念求某些非负数的平方根.学习重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根. 学习难点：平方根的意义 自主学习(一)回顾旧知：1．填空：5的平方是 ；34的平方是 ；0的平方是 ；(－3)2= ；(－35)2= ．总结：观察上述结果，发现：任意有理数．．．．．的平方是 数． 2.我们知道：4的平方是16， 的平方也是16，所以 的平方是16．类似的： 的平方是25； 的平方是121； 的平方是2549；的平方是179； 的平方是0； 的平方是－4．3.一个正方形的边长为3 cm ，则它的面积为 cm 2，计算面积的过程是 运算．4. “如图①，已知这个正方形的面积为225，你能求出这个正方形的边长吗？”小明拿到这个问题后感觉很新鲜．．，思考之后， （1）提出了一个问题：知道正方形面积求正方形边长的过程与上面第3题的过程有何关系？你能回答吗？（2）提供了一种思路：（3）小明解决上面问题之后，提出了一个新问题，“如图②，已知这个正方形的面积为2，你能求出这个正方形的边长吗？”，你能解决吗？初步感悟：225（图①） 2（图②）① 因为25= , 2)5(-= ,所以 ±5是 的平方根 . ② 平方得81的数是 ，因此81的平方根是 . ③ 9的平方根是 ；49的正的平方根是 ；1.44的负的平方根是 ．讨论提高：① 3有 个平方根，它们互为 数，记作 . ② 0有 个平方根，0的平方根是 ． ③ -4、-8、-36有平方根吗？为什么？ 总结：一个数的平方根有几个？应用：1.如果 a 的一个平方根是 4,则它的另一个平方根是 .2.若 1+a 平方根是 ±5 ，则 a = ； 若 1+a 平方根是 0 ，则 a = ； 若1+a 没有平方根，那么 a ．3.明辨是非：下列叙述正确的打“√” ，错误的打“×”：①4是16的平方根； （ ） ② 16的平方根是4； ( ) ③ 0的平方根是0； ( ) ④1的平方根是1； ( ) ⑤9的平方根是3； ( ) ⑥ 只有一个平方根的数是0；( ) ⑦2)3(-的平方根是3. ( ) （二）例题研讨例1.求下列各数的平方根： （1）0.25； （2）8116； （3）15； （4）()22- （5）210-．例2.求下列各式中的x 的值⑴1962=x ； ⑵01052=-x ； ⑶()2336-x －25=0．例3.下列各数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由. （1）64- ； （2） 2)4(-； （3）25-- ； （4）81.四.课堂反馈1.121的平方根是11±的数学表达式是………………………………………………（ ） A.11121= B.11121±= C. 11121=± D.11121±=±2.下列说法中正确的是…………………………………………………………………（ ） A.24-的平方根是 4± B.把一个数先平方再开平方得原数 C.a -没有平方根 D.正数a 的平方根是a ±3.能使5-x 有平方根的是………………………………………………………………（ ） A.0≥x B.0>x C. 5>x D. 5≥x4.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根之和是………………………………（ ） A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.大于或等于0 5．749±=±的意义是 ．6.正数a 的两个平方根的商为 ；若正数a 的两个平方根的积为－259，则a = ．7.下列各数：－8，()23-，25-，4.0-，52，0，()2--中有平方根的数有 个．8.平方为16的数是 ，将16开平方得 ，因此平方与 互为逆运算. 9.289的平方根是 ，2)4(-的平方根是 ，7的平方根是 .10.若223=y ，则=y ；若22)7(-=x ，则=x .五、课后练习1. 下列各数：－8，()23-，25-，4.0-，52，0，()2--中有平方根的数有 个2.如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是 .3.－9是数a 的一个平方根，那么数a 的另一个平方根是 ，数a 是 . 4．如果一个数的平方根是1+a 与132-a ，那么这个数是 ． 5. 225±= ，2516±= ，=-972，=---)3)(27( .6.若－b 是a 的平方根，则下列各式中正确的是………………………………………（ ）A. 2a b = B. 2b a = C.2a b -= D.2b a -= 7.已知 5x －1的平方根是 ±3 ，4x ＋2y ＋1的平方根是 ±1，求4x －2y 的平方根8.求下列各式中的x .（1）492=x ； ⑵25)1(42=-x ； （3）09)12(42=-+x17.教室的地面面积为722m ，地面恰由800块相同的正方形地转铺成，每块地转的边长是多少？18.已知：()()7233=-+++y x y x ，求y x +的值．。
2.3 平方根(第1课时)
你真棒！
交
流
1．9的平方根是什么？25的平方
根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的平方 根有几个？ 3、-4、-8、-36有平方根吗？为 什么？
结论
一个正数有两个平方根，它 们互为相反数； 0只有一个平方根，它是0本 身； 负数没有平方根。 求一个数a的平方根的运算, 叫做开平方.
熟记
一个正数的平方根有2个，它们互为相反
数。一个正数a的正的平方根， 记作“ ”一个正数a的负的平方根 a 记作“- a ”，这两个平方根合起来 记作“± a ”，读作“正负根号a”。 例如，2的平方根记作“± 2 ”，读作 “正负根号2”。81的平方根记作 “± 81 ”，读作“正负根号81”
例
求下列各数的平方根： （1）25； （3）15；
题
（2）0.81; （4）（-2）² （6）0 (8) 10² ² (10)
16 (5) 81
1 (7) 2 4
(9)
9
(4)
2
格
(1)∵ (±5)² =25; 即± (2)
式
= ±5;
∴25的平方根等于±5;
猜
猜
如果一个数的平方等于9，这 个数是几？
一个数的平方等于2呢？ 想知道这个数的结果吗? 我们来学习——平方根
新 知
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个
数叫做a的平方根，也称为二次方根。 也就是说，如果x² =a，那么x叫做a的平方根。
例如，2² =4，（-2）² =4，±2叫做4的平方根。 =100，（-10）² =100，±10叫做100的平方根 10² 13² =169，（--13）² =169，±13叫做169的平方根。
八年级数学上册 2.3 平方根教学案(1) 苏科版
2.3 平方根教学目标1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根.2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方根的概念求某些非负数的平方根.教学重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根. 教学难点：平方根的意义教学过程自主学习一、课前预习：1．填空：5的平方是 ；34的平方是 ；0的平方是 ； (－3)2= ；(－35)2= ． 总结：观察上述结果，发现：任意有理数．．．．．的平方是 数． 2.我们知道：4的平方是16， 的平方也是16，所以 的平方是16．类似的： 的平方是25； 的平方是121； 的平方是2549； 的平方是179； 的平方是0； 的平方是－4． 二、新知讲解：一般在，如果一个数X 的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也称为二次方根.也就是说，如果 ，那么x 就叫做a 的 .记作 . 初步感悟：① 因为= , = ,所以 ±5是 的平方根 .② 平方得81的数是 ，因此81的平方根是 .③ 9的平方根是 ；的正的平方根是 ；1.44的负的平方根是 ．讨论提高：① 4有 个平方根，它们互为 数，记作 .② 0有 个平方根，0的平方根是 ．③ -4、-8、-36有平方根吗？为什么？总结：一个数的平方根有几个？三、例题研讨例1.求下列各数的平方根：（1）0.25； （2）； （3）15； （4） （5）．例2.求下列各式中的x 的值⑴； ⑵； ⑶－25=0．例3.下列各数有平方根吗？若有，求出它们的平方根；若没有，请说明理由.（1）； （2）； （3）； （4）.四、课堂反馈1.121的平方根是的数学表达式是……………………………………………（）A. B. C. D.2.下列说法中正确的是………………………………………………………………（）A.的平方根是B.把一个数先平方再开平方得原数C.没有平方根D.正数的平方根是3.能使有平方根的是…………………………………………………………（）A. B. C. D.4.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根之和是……………………………（）A.大于0B.等于0C.小于0D.大于或等于05．的意义是．6.正数a的两个平方根的商为；若正数a的两个平方根的积为－，则a= ．五、课堂小结：本节课你有哪些收获？六、教后反思：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
教学重点平方根和立方根的概念
教学重点平方根和立方根的概念教学重点：平方根和立方根的概念平方根（Square Root）和立方根（Cube Root）是数学中常见的概念，它们在解决实际问题和简化数学运算中起着重要的作用。
本文将对平方根和立方根的概念进行详细的介绍，并讨论其应用。
一、平方根的概念及运算1.1 平方根的定义平方根指的是一个数的平方等于给定的数，即√a^2 = a。
其中，a为非负实数。
例如，√16 = 4，因为4的平方等于16。
1.2 平方根的运算使用符号√来表示平方根。
计算平方根的方法主要有两种：估算和开方运算。
估算法：通过将给定数与一系列近似值相比较，逐步逼近精确值。
开方运算：使用开方运算符号√，通过数学计算得出精确的平方根值。
1.3 平方根的性质- 平方根是非负实数，即不包括负数。
- 平方根的平方等于原数。
- 平方根的值可以是有理数或无理数。
二、立方根的概念及运算2.1 立方根的定义立方根指的是一个数的立方等于给定的数，即³√a^3 = a。
其中，a 可以是任意实数。
例如，³√8 = 2，因为2的立方等于8。
2.2 立方根的运算使用符号³√来表示立方根。
计算立方根的方法与计算平方根类似，可以通过估算和开立方运算来获取精确值。
2.3 立方根的性质- 立方根可以是正数、负数或零。
- 立方根的立方等于原数。
三、平方根和立方根的应用平方根和立方根在日常生活和数学领域广泛应用，以下为两个常见的应用场景。
3.1 几何应用在几何学中，平方根和立方根用于计算图形的边长、面积和体积等特征。
例如，计算正方形的边长，我们可以使用平方根的知识；计算立方体的边长，可以利用立方根来求解。
3.2 数学运算平方根和立方根在数学运算中也起到重要的作用，特别是在方程求解和函数图像绘制中。
例如，使用平方根可以求解二次方程的解；借助立方根，我们可以解决一些立方方程的问题。
结语通过本文的介绍，我们对平方根和立方根的概念、运算及应用有了全面的了解。
2.3平方根(1)
7、某纸箱加工厂，有一批边长为 40 ㎝的正方形硬纸板，现准备将此 纸板折成没盖的纸盒。首先在四个角上截去四个相同的小正方形，然 ２ 后做成底面积为 625 ㎝ 的纸盒子，想一想，你怎样求出截去的小正 方形的边长？
学习反思：
（主编人：孟南兰）
3
参考答案
2.3（1）当堂达标：1、B. 2、C. 3、_3__ ， __--2_ . 7、7.5。 4、_81__,__--9_.
1 2 4
2
2、做一做
预 习 导 航
①一个直角三角形，它的两条直角边分别为 5 和 12，求它的斜边长。 ②一个直角三角形， 它的两条直角边分别为 15 和 20， 求它的斜边长。 3、猜一猜 如果一个数的平方等于 2，这个数是几？ 一个数的平方等于 5 呢？想知道这个数的结果吗? 一、概念探究 如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做的 a 平方根(square root),也称为二次方根。 如果 x a ，那么 x 就叫做 a 的平方根。
2
例如:2 =4,(-2) =4,±2 叫做 4 的平方根 3 =9,(-3) =9,±3 叫做 9 的平方根 1、问题一:观察下面的式子: ① 1 =1, (-1) =1 ② 0.5 =0.25, (-0.5) =0.25
2 2 2 2 2 2
2
2
合 作 探 究
③ (
(1)请你写出一个与上面式子类同的式子; (2)你发现了什么结论? 2、小结：一个正数的平方根有___个，它们互为______. 一个正数 a 的正的平方根，记作“ a ” ，正数 a 的负的平方根记作 “ ， “ ， “正、 负根号 a ” 。 a ” 这两个平方根合起来记作 a ” 读作 例如：2 的平方根记作 2 3、问题二： （1）9 的平方根是什么？5 的平方根是什么？ （2）0 的平方根是什么？0 的平方根有几个？ （3）－4，－8，－36 有平方根吗？为什么？ （4）由此，你得到了什么结论 4、平方根的性质：
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± 0.04 = ±0.2 B
16 = ±4
C − 121 = −11
D (−9) 2 = 9
2.若 a2 = b2 ,则下列等式成立的是 ) 若 则下列等式成立的是( 则下列等式成立的是 A
a=b
B
a =b
3
3
C a=b
D
a= b
3.对于数 对于数2x+6，当x为何值时 对于数 ， 为何值时 （1）有两个平方根； ）有两个平方根； （2）只有一个平方根； ）只有一个平方根； （3）没有平方根； ）没有平方根； （4）正的平方根等于它本身 ）
25
3.填空： 3.填空： 填空 ①（ ±4）2 = 16 ③ ( 0 )
2
2 (± ) 5
②
= 0
④ （±0.7 ）2 = 0.49
1 （± 2
1 ）2 = 4
平方根的定义
如果一个数的平方等于 a ， 这个数就叫做a的平方根。 这个数就叫做a的平方根。 a,则 若 x2 = a,则 x 叫做 a 的 平方根。 平方根。
16 81
(3) 15 (4) (−2)
2
例二. 下列各数有平方根吗?若有, 例二. 下列各数有平方根吗?若有,求 出它的平方根;若没有,说明理由： 出它的平方根;若没有,说明理由：
① -64 ③ (﹣4)2 ﹣
②0 ④ 10 ﹣2
求下列各数的平方根： 求下列各数的平方根： (1) 81 (2) 289 (5) 25 64 (8) 10﹣2 (3) 0 (4) 2 1
平方根
初二数学备课组
1.我们现已学过哪些运算？ 1.我们现已学过哪些运算？ 我们现已学过哪些运算 （加、减、乘、除、乘方五种） 乘方五种） 2.加法与减法、乘法与除法这两种运算之间 2.加法与减法、 加法与减法 有什么关系？ 有什么关系？ （互为逆运算） 互为逆运算） 3.乘方有没有逆运算？ 3.乘方有没有逆运算？ 乘方有没有逆运算
如图, 如图,是一 个地面面 积为25 25m 积为25m2 的正方形 展厅,它的 展厅, 边长为多 少? 若面积为 50m 50m2呢?
2.3 平方根
思考与探索
1.一个数的平方是9 这个数是什么数？ 1.一个数的平方是9，这个数是什么数？(±3) 一个数的平方是 2.一个数的平方是 这个数是什么数？ 2.一个数的平方是 4 ，这个数是什么数？
记作 ± a
a的平方根的表示 练习： 练习： 1. 7、 7 ± 7 各表示什么意义？ 各表示什么意义？ − 、
2．用正确的符号表示下列各数的平方根： 用正确的符号表示下列各数的平方根：
① 2 ② 66 ③
7 83
④ a
中的被开方数a 中的被开方数a要大于或 a 等于0,当a<0时 等于0,当a<0时, 0, 无意义. a 无意义.
1、说出“？” 表示的数： 2、说出下列各数的平方根： 25 16/81 0.49 0 -36
3、一个正数的两个平方根为 2m+1和3-m，求这个数。
根指数 可以省略
2
a a
根号 被开方数
读作“根号” 读作“根号”；
读作“根号a ； a 读作“根号a”；
a 表示正数a的正的平方根 表示正数a 表示正数a − a 表示正数a的负的平方根
判断下面的说法是否正确，如不正确， 判断下面的说法是否正确，如不正确，说 明理由，并加以改正。 明理由，并加以改正。 1) 0的平方根是 0 . 2) 1的平方根是1. 3) ﹣1的平方根是-1. 4) (﹣3)2的平方根是-3. 5) ﹣5是25的平方根 . 6) 25的平方根是 ±5 7) 如果x2 =a,则a一定是正数。 (√ ) ( ×) ( ×) (× ) (√ ) (√ ) (× )
练一练
练一练
1、16的平方根是± 4，表示为 A 16 = 4 B ± 16 = 4C ± 16 = ±4D 16=±4 2、说出下列各式的含义：
2
9
( − 2 )2
± 7 − 1600
3、求使下列式子有意义的a的 取值范围：
−a
a
2
− (a + 1)
2
求一个数的平方根的运算， 叫做开平方。
例一、求下列各数的平方根： 例一、求下列各数的平方根： (1) 25 (2)
4
(6) 2.56
(7) 0.0081
例3、求下列各式中的x： X2=49 (x-1)2= 25
4
3x2-81=0 例4、求 81 的平方根。 已知 (3x − 27) + 5 y − 125 = 0
2 2 2
求x、y的值
比比看,谁反应快、 比比看 谁反应快、正确率高 谁反应快 1.下列各式中，运算错误的是（ ） 下列各式中，运算错误的是（ 下列各式中 A
1 4 说出 9， ，16 ， ，0.49 4 25 的平方根。
0的平方根是什么？有几个？ ﹣4有没有平方根？为什么？
平方根的性质：
一个正数有两个平方根， ① 一个正数有两个平方根， 它们互为相反数； 它们互为相反数； 有一个平方根， ② 0有一个平方根，它是 0本身； 本身； ③ 负数没有平方根。 负数没有平方根。