四川省乐山十校2020学年高二数学下学期半期联考试题 理(含解析)
四川省乐山四校2020-2021学年高二第二学期半期联考数学理试题
A．9B．18C．20D．35
5．设不等式组 ,所表示的可行域为 ,现在区域 中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线 左上方的概率为( )
A． B． C． D．
6．若函数 在上可导，且满足 ，则一定有( )
A．函数 在 上为增函数
B．函数 在 上为减函数
C．函数 在 上为增函数
D．函数 在 上为减函数
7．设曲线 在点 处的切线方程垂直于直线为 ，则 ( )
A．0B．1C．2D．3
8．按如下程序框图，若输出结果为 ，则判断框内应补充的条件为( )
A． B． C． D．
9．将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（ ）
A．0B．1C．2D．0或2
12．若对于任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值是( )
A． B．1C．2D．
二、填空题
13．某中学采用系统抽样方法，从该校高二年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从 这16个数中取的数是35，则在第1小组 中随机抽到的数是________．
16．设函数f（x）＝（2x﹣1）ex﹣ax+a，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则实数a的取值范围是_____．
四川省乐山市2020年高二第二学期数学期末监测试题含解析
四川省乐山市2020年高二第二学期数学期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ) A ．64 B ．72 C ．60 D ．56【答案】A 【解析】分析：先确定小组赛的场数，再确定淘汰赛的场数，最后求和.详解：因为8个小组进行单循环赛，所以小组赛的场数为24848C =因为16个队按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为842216+++= 因此比赛进行的总场数为48+16=64， 选A.点睛：本题考查分类计数原理，考查基本求解能力.2．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32,则展开式中4x 的系数( ) A ．5 B ．40C ．20D ．10【答案】D 【解析】试题分析：先对二项式中的x 赋值1求出展开式的系数和，列出方程求出n 的值，代入二项式；再利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x 的指数为4，求出r ，将r 的值代入通项求出二项展开式中x 4的系数．在21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，令x=1得到二项展开式的各项系数和为2n ，∴2n =32，∴n=5，得到521031511034,2r r r x T C x r r x -+⎛⎫+∴=∴-== ⎪⎝⎭∴二项展开式中x 4的系数2510C =，故选D. 考点：二项展开式的系数点评：求二项展开式的系数和常用的方法是给二项式中的x 赋值；解决二项展开式的特定项问题常用的方法是利用二项展开式的通项公式．3．若命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝是（ ） A ．x R ∀∈，ln 10x x -+≥ B ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥ C ．x R ∀∈，ln 10x x -+= D ．0x R ∃∈，00ln 10x x -+<【答案】B【解析】 【分析】利用全称命题的否定是特称命题来判断. 【详解】解：命题p ：x R ∀∈，ln 10x x -+<，则p ⌝：0x R ∃∈，00ln 10x x -+≥. 故选：B . 【点睛】本题考查特称命题的否定，注意特称命题的否定要变全称命题，并且要否定结论，是基础题. 4．在同一直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后所得到的曲线A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 由，得代入函数，化简可得出伸缩变换后所得曲线的解析式。
四川省乐山市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析
四川省乐山市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则B．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D．若，则复数.类比推理：“若，则”【答案】D【解析】【分析】对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【详解】对于，空间中，三条直线，若，则与不一定平行，故错误对于，若，则若，则不正确，故错误对于，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为，则它们的体积比为，故错误对于，在有理数中，由可得，，解得，故正确综上所述，故选【点睛】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．2．下列说法错误的是()A ．回归直线过样本点的中心(),x yB ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．在回归直线方程$0.2 0.8y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量$y 平均增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小【答案】D【解析】【分析】【详解】分析：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心(),x yB. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D.正确.详解：A. 两个变量是线性相关的，则回归直线过样本点的中心(),x y ；B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；C.在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位 D.错误，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大故选：D.点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．3．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，若1n n a a +>对任意*N n ∈成立，则111n n a q a q ->对任意*N n ∈成立，若10a >，则1q >；若10a <，则01q <<；所以由“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”不能推出“1q >”；若1q >，10a <，则111n n a q a q -<，即1n n a a +<；所以由“1q >”不能推出“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”； 因此，“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5+a 7+a 9＝21，则S 13＝（ ）A ．36B ．72C ．91D ．182 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质求出77a =,根据等差数列的前n 项和公式13713S a =可得.【详解】因为{a n }为等差数列,所以5797321a a a a ++==,所以77a =, 所以1131313()2a a S +=71322a ⨯=71313791a ==⨯=. 故选C .【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差数列的前n 项和.属于基础题.5．对任意的实数x 都有f(x ＋2)－f(x)＝2f(1)，若y ＝f(x －1)的图象关于x ＝1对称，且f(0)＝2，则f(2 015)＋f(2 016)＝( )A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】根据条件判断函数f （x ）是偶函数，结合条件关系求出函数的周期，进行转化计算即可．【详解】y=f （x ﹣1）的图象关于x=1对称，则函数y=f （x ）的图象关于x=0对称，即函数f （x ）是偶函数， 令x=﹣1，则f （﹣1+2）﹣f （﹣1）=2f （1），即f （1）﹣f （1）=2f （1）=0，即f （1）=0，则f （x +2）﹣f （x ）=2f （1）=0，即f （x +2）=f （x ），则函数的周期是2，又f （0）=2，则f （2015）+f （2016）=f （1）+f （0）=0+2=2，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据抽象函数关系判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键． 6．已知ABC ∆的边AB ，AC 的长分别为20,18，120BAC ∠=︒，则ABC ∆的角平分线AD 的长为（ ） A ．180319 B ．9019 C ．18019 D ．90319【答案】C【解析】【分析】利用角平分线定理以及平面向量的线性运算法则可得9101919AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，两边平方，利用平面向量数量积的运算法则，化简即可得结果.【详解】如图，因为AD 是ABC ∆的角平分线，所以2010189BD AB DC AC ===， 所以1019AD AB BD AB BC =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()10910191919AB AC AB AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+-=+， 即9101919AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v . 两边平方得2AD =u u u v 222211180 8120100182109182019219⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以18019AD AD ==u u u v ，故选C . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算法则，以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=v v v v ；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =v v .7．已知函数2()21x f x a =++为奇函数,则()f a =（ ） A ．13 B ．23 C ．1- D ．12- 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质,利用(0)0f =计算得到a ,再代入函数计算()f a【详解】由函数表达式可知，函数在0x =处有定义，则(0)0f =，1a =-，则2()121x f x =-++，1(1)3f -=.故选A.【点睛】解决本题的关键是利用奇函数性质(0)0f =,简化了计算,快速得到答案.8．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．516B ．38C ．716D ．12【答案】B【解析】【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．【详解】设“东方魔板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是12则满足条件的概率113248P +== 故选：B【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．9．刍薨（chuhong），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B．325C．64 D．326【答案】B【解析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为224225+=；等腰三角形的底边长为4，高为224225+=．故侧面积为4812252(425)32522S+=⨯⨯+⨯⨯⨯=．即需要的茅草面积至少为325．选B．10．运行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．0B．12C．-1D．32-【答案】B 【解析】由题设中提供的算法流程图可知22017 cos cos cos333 Sπππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos3f x xπ=的周期是263Tππ==，而201763361=⨯+，所以220171cos cos cos cos33332Sππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B．11．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．恰有一个红球与恰有二个红球D．至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.12．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．28π+B．88π+C．48π+D．68π+【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为4,2,1的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为24211282Vππ=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数32,0,(),2,0x x f x t x x t x ⎧=∈⎨-++<⎩R …，若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为_______ .【答案】[16,0)-【解析】【分析】若函数()(()2)g x f f x =-恰有4个不同的零点，令()m f x =，即(2)0f m -=，讨论2m =或(02)s s ≤<，由0s =求得t ，结合图象进而得到答案.【详解】函数32,0()2,0x x f x x x t x ≥⎧=⎨-++<⎩，当0x <时，3()2f x x x t =-++的导数为22'()323()3f x x x x x =-+=--， 所以'()0f x <在0x <时恒成立，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，可令()(()2)0g x f f x =-=，再令()m f x =，即有(2)0f m -=，当0t ≥时，(2)0f m -=，只有2m =，()0g x =只有两解；当0t <时，(2)0f m -=有两解，可得2m =或(02)s s ≤<，由()2f x =和()f x s =各有两解，共4解，有(2)0f -≥，解得16t ≥-，可得t 的范围是：[16,0)-，故答案是：[16,0)-.【点睛】该题考查的是有关根据函数零点个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有画函数的图象，研究函数的单调性，分类讨论的思想，属于较难题目.14．已知点A 在函数3x y =的图象上，点B ，C 在函数93x y =⨯的图象上，若ABC ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，且点A ，C 的纵坐标相同，则点B 的横坐标的值为______. 【答案】31log 4 【解析】【分析】根据题意，设B 的坐标为(),93m m ⨯，结合题意分析可得A 、C 的坐标，进而可得ABC V 的直角边长为2，据此可得9332m m ⨯-=，即134m =，计算可得m 的值，即可得答案． 【详解】根据题意，设B 的坐标为(),93m m ⨯，如图：又由ABC V 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形且点A ，C 的纵坐标相同，则A 、B 的横坐标相同，故A 的坐标为(),3m m ，C 的坐标为()2,3m m -， 等腰直角三角形ABC V 的直角边长为2，则有9332m m ⨯-=，即134m =， 解可得31log 4m =， 故答案为：31log 4【点睛】 本题主要考查指数函数性质以及函数值的计算，属于中档题．15．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；【答案】1；【解析】【分析】分别计算侧面积和底面积后再比较．【详解】由题意3l r =，23S rl r ππ==侧，2S r π=底，∴3S S 侧底＝． 故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．16．若复数()2223232z m m m m i =--+-+是纯虚数，则实数m 的值为____． 【答案】－12【解析】【分析】由纯虚数的定义，可以得到一个关于m 的等式和不等式，最后求出m 的值.【详解】 因为复数()2223232z m m m m i =--+-+是纯虚数，所以有222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，12m ⇒=-.故答案为12-. 【点睛】本题考查了纯虚数的定义，解不等式和方程是解题的关键.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()f x =|x a |-.（I ）当1a =时，求不等式()2f x ≥的解集；（II ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值. 【答案】（I ）{|1x x ≤-或3}x ≥；（II ）2. 【解析】 【分析】（I ）代入a 的值，求出不等式的解集即可；（II ）解不等式，根据对应关系得到关于a 的方程组，解出即可． 【详解】（I ）当1a =时，由|12x |-≥，得12x -≥或12x -≤-， 解得：3x ≥或1x ≤-，故不等式()2f x ≥的解集是{|1x x ≤-或3}x ≥. （II ）|3x a|-≤Q ，33x a ∴-≤-≤，33a x a ∴-≤≤+又不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，3135a a -=-⎧∴⎨+=⎩，解得2a =.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，方程思想，是一道基础题．18．为了解人们对“2019年3月在北京召开的第十三届全国人民代表大会第二次会议和政协第十三届全国委员会第二次会议”的关注度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，并得到如图所示的年龄频率分布直方图，在这100人中关注度非常髙的人数与年龄的统计结果如右表所示：年龄 关注度非常高的人数（Ⅰ）由频率分布直方图，估计这100人年龄的中位数和平均数；（Ⅱ）根据以上统计数据填写下面的22⨯列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异？（Ⅲ）按照分层抽样的方法从年龄在35岁以下的人中任选六人，再从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下的概率是多少．参考数据：【答案】 (1)45;42(2) 不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异.(3)815P=.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，可直接得到中位数；由每组的中间值乘以该组的频率再求和，可求出平均数；（2）先由题意完善列联表；根据22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，结合数据求出2K，再由临界值表，即可得出结果；（3）先由分层抽样，得到任选的6人中，年龄在25岁以下的有4人，设为A、B、C、D；年龄在25岁到35岁之间的有2人，设为M、N，用列举法分别列举出总的基本事件以及满足条件的基本事件，基本事件个数比，即为所求概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，45两侧的频率之和均为0.5， 所以估计这100人年龄的中位数为45（岁）；平均数为x 200.2300.1400.2500.3600.242=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）； （2）由频率分布直方图可知，45岁以下共有50人，45岁以上共有50人. 列联表如下：∴22100(35104015) 1.333 3.84175255050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“两会”的关注度存在差异.（3）年龄在25岁以下的人数为0.021010020⨯⨯=人， 年龄在25岁到35岁之间的人数为0.011010010⨯⨯=人按分层抽样的方法在这30人中任选六人，其中年龄在25岁以下的有4人，设为A 、B 、C 、D ；年龄在25岁到35岁之间的有2人，设为M 、N ，从这六人中随机选两人，有AB 、AC 、AD 、AM 、AN 、BC 、BD 、BM 、BN 、CD 、CM 、CN 、DM 、DN 、MN 共15种选法，而恰有一人年龄在25岁以下的选法有AM 、AN 、BM 、BN 、CM 、CN 、DM 、DN 共8种，∴“从六人中随机选两人，求两人中恰有一人年龄在25岁以下”的概率是815P = 【点睛】本题主要考查由频率分布直方图求中位数与平均数、独立性检验，以及古典概型等，熟记中位数与平均数的计算方法，独立性检验的基本思想，以及古典概型的概率计算公式即可，属于常考题型.19．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点.（Ⅰ）证明：//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）求二面角M AN B --的余弦值. 【答案】 (1)见解析;(2)2121. 【解析】分析：解法一：依题意可知1,,AB AC AA 两两垂直，以A 点为原点建立空间直角坐标系A xyz -， （1）利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，即可证得线面平面；（2）求出两个平面的法向量，利用两个向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值. 解法二：利用空间几何体的点线面位置关系的判定定理和二面角的定义求解：（1）设AC 的中点为D ，连接1,DN A D ，证明四边形1A DNM 为平行四边形，得出线线平行，利用线面平行的判定定理即可证得线面平面；（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值. 详解：解法一：依条件可知AB 、AC 、1AA 两两垂直， 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -.根据条件容易求出如下各点坐标：()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()11,0,2C -，()0,1,2M ，1,1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）证明：∵1,0,22MN u u u u v ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =u u u v ，是平面11ACC A 的一个法向量，且10022002MN AB ⋅=-⨯+⨯-⨯=u u u u v u u u v ，所以MN AB ⊥u u u u v u u u v .又∵MN ⊄平面11ACC A ，∴//MN 平面11ACC A ； （Ⅱ）设(),,n x y z =v是平面AMN 的法向量，因为()0,1,2AM u u u u v =，1,1,02AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，由00AM n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v ，得020102y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 解得平面AMN 的一个法向量()4,2,1n =-v， 由已知，平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n v=，cos ,21m n m n n m ⋅===-v vv v ，∴二面角M AN B --. 解法二：（Ⅰ）证明：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ， ∵D ，N 分别是AC ，BC 的中点，∴1//2DN AB ， 又∵11112A M AB =，11//A B AB ， ∴1//A M DN ，∴四边形1A DNM 是平行四边形，∴1//A D MN ，∵1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， ∴//MN 平面11ACC A ；（Ⅱ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ，∴1//MH BB ，∵1BB ⊥底面ABC ，∵1BB AC ⊥，1BB AB ⊥，∴MH AC ⊥，AH AB ⊥， ∴AB AC A ⋂=，∴MH ⊥底面ABC ，在平面ABC 内，过点H 做HG AN ⊥，垂足为G ， 连接MG ，AN HG ⊥，AN MH ⊥，HG MH H ⋂=， ∴AN ⊥平面MHG ，则AN MG ⊥， ∴MGH ∠是二面角M AN B --的平面角， ∵12MH BB ==，由AGH BAC ∆~∆，得HG =所以MG ==cos 21HG MGH MG ∠==， ∴二面角M AN B --.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．如图所示的几何ABCDEF ，底ABCD 为菱形，2AB =，120ABC ∠=︒.平面BDEF ⊥底面ABCD ，//DE BF ，DE BD ⊥，222DE BF ==.（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【解析】 【分析】（1）推导出AC BD ⊥，从而AC ⊥平面BDEF ，进而AC EF ⊥.再由BD DE ⊥，得DE ⊥平面ABCD ，推导出EF AF ⊥，从而EF ⊥平面AFC ，由此能证明平面AEF ⊥平面AFC ；（2）取EF 中点G ，从而OG ⊥平面ABCD ，以OA u u u r 、OB uuu r 、OG u u u r所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E AC F --的余弦值. 【详解】解：（1）由题意可知AC BD ⊥，又因为平面BDEF ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥平面BDEF ， 从而AC EF ⊥.因为BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 易得6AF =6EF =AE 23=所以222AF FE AE +=，故EF AF ⊥. 又AF AC A =I ，所以EF ⊥平面AFC .又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ；（2）取EF 中点G ，AC ，BD 相交于点O ，连结OG ，易证OG ⊥平面ABCD ，故OA 、OB 、OG 两两垂直，以O 为坐标原点，以OA u u u r 、OB uuu r 、OG u u u r所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()3,0,0C -，()0,1,22E -，()0,1,2F ，所以()3,1,22AE =--u u u r，()23,0,0AC =-u u u r，()0,2,2EF =-u u u r . 由（1）可得平面AFC 的法向量为()0,2,2EF =-u u u r.设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =r， 则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3220,0,x y z x ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩令2z =，得4y =，所以()0,4,2=rn .从而3cos ,363n EF n EF n EF ⋅===⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，故二面角E AC F --的正弦值为6.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.21．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合，若直线l 的参数方程：12312x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：22sin 30ρρθ--=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得线段的长． 【答案】 (1) 31y x =-；22(1)4x y +-=.(2) 23. 【解析】分析：（1）直线l 的参数方程为：12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），消去参数t 即可；曲线C 的极坐标方程为：22sin 30ρρθ--=，利用互化公式即可；（2）几何法求弦长即可.详解：（1）直线l 的普通方程为31y x =-，曲线C 的普通方程为()2214x y +-=; （2）曲线C 表示以()0,1为圆心，2为半径的圆， 圆心到直线l 的距离1d =，故直线l 被曲线C 截得的线段长为222212 3.-=． 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用； (2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．22． 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 【答案】 (1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0]. 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。
四川省乐山市2020年高二下数学期末监测试题含解析
四川省乐山市2020年高二下数学期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线2213x y a -=的离心率等于2，则实数a 等于（ ）A ．1BC ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率的平方列方程，解方程求得a 的值. 【详解】 由34a a+=可得1a =，从而选A. 【点睛】本小题主要考查已知双曲线的离心率求参数，考查方程的思想，属于基础题. 2．以下说法正确的是（ ）A ．命题“x R ∀∈，2250x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，200250x x ++<”B ．命题“x ，y 互为倒数，则1xy=”的逆命题为真C ．命题“若x ，y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题为真D ．“1m ≤-”是“133m≥”的充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A 选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B 选项的正确性. .写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C 选项的正确性.根据充要条件的知识判断D 选项的正确性. 【详解】对于A 选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“0x R ∃∈，200250x x ++≤”，所以A 选项错误.对于B 选项，原命题的逆命题是“若1xy =，则,x y 互为倒数”，是真命题，故B 选项正确.对于C 选项，原命题的否命题为“若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数”，当,x y 都为奇数时，x y +是偶数，故为假命题.所以C 选项错误.对于D 选项，由113313mm -≥=⇒≥-，所以. “1m ≤-”不是“133m ≥”的充要条件.故D 选项错误. 综上所述可知，B 选项正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题.3．已知1232727272727S C C C C =++++，则S 除以9所得的余数是A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质，将1232727272727S C C C C =++++化简为()9911--，再展开即可得出结果.【详解】()9123272799081827272727999C C C C 21819119C 9C 9C 2S =++++=-=-=--=-++-，所以除以9的余数为1．选D. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题. 4．已知复数满足(13)z i i =-，则z 共轭复数z =( ) A ．3i + B ．13i +C ．13i -D ．3i -【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的乘法将复数z 表示为一般形式，然后利用共轭复数的定义得出z . 【详解】()21333z i i i i i =-=-=+，因此，3z i =-，故选D.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，解复数相关的问题，首先利用复数四则运算性质将复数表示为一般形式，然后针对实部和虚部求解，考查计算能力，属于基础题．5．A 、B 、C 、D 、E 、F 六名同学站成一排照相，其中A 、B 两人相邻的不同排法数是（ ） A ．720种 B ．360种C ．240种D ．120种【答案】C先把A 、B 两人捆绑在一起，然后再与其余四人全排列即可求出A 、B 两人相邻的不同排法数. 【详解】首先把把A 、B 两人捆绑在一起，有22212A =⨯=种不同的排法，最后与其余四人全排列有5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种不同的排法，根据分步计算原理，A 、B 两人相邻的不同排法数是52521202240A A =⨯=，故本题选C.【点睛】本题考查了全排列和分步计算原理，运用捆绑法是解题的关键.6．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 7．i 为虚数单位，复数512i+的共轭复数是（ ） A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i +分析：直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．详解：()()()51251 2.121212i i i i i ⋅-==-++- 则复数512i+的共轭复数是12i +. 故选C.点睛：本题考查复数的除法的运算法则的应用，复数的基本概念，是基础题．8．①线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点1122(,),(,)(,)n n x y x y x y 中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④C ．①③D ．②③【答案】D 【解析】对于①，因为线性回归方程是由最小二乘法计算出来的，所以它不一定经过其样本数据点，一定经过(,)x y ，故错误；对于②，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故正确；对于③，变量ξ服从正态分布()21,N σ，则(02)2(01)0.8P P ξξ<<=<<=，故正确；对于④，随机变量2K 的观测值越大，判断“X 与Y 有关系”的把握越大，故错误. 故选D.点睛：在回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线方程必过(,)x y 点，可能所有的样本数据点都不在直线上. 9．已知直线00x x at y y bt，=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）上两点,A B 对应的参数值分别是12,t t ，则||=AB （ ）A．12t t +B ．12t t - C12t t - D【答案】C 【解析】试题分析：依题意，{{x xx x atty y bty y==+⇒==+=+，由直线参数方程几何意义得1212AB m m t=-=-，选C．考点：直线参数方程几何意义10．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有( )种.A．36B．30C．12D．6【答案】A【解析】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，因为先从其余3人中选出1人担任文艺委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，所以不同的选法共有123436C A=种.本题选择A选项.11．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和直线l2有交点(s，t)B．直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)C．直线l1和直线l2必定重合D．直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行【答案】A【解析】【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。
四川省乐山市十校2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题文【含答案】
0a 2
3
分
于是
M
m
4a3
4
4a3 12a 4
2 a 1 3 0a 2
3
分
当
2 3
a
1时，
M
m
4a3
4
是关于
a
的减函数，
∴
M
m
(8,140] 27
当
0
a
2 3
时，
M
m
4a3
12a
4
也是关于
a
的减函数，
∴M
m ( 140 27
, 4)
分
综上可得 M m 的取值范围是 (8, 4) 。
7 8 9
19. 解：（1）∵ f (x) ex xex 1 x
(ex )2
ex
分
∴当 x 1时， f (x) 0 ，当 x 1时， f (x) 0 ；
即 f (x) 的单调递增区间是 (,1) ，单调递减区间是 (1, ) 。
（2）由 f (x) x a 0 得 a x ，
ex
ex
将此方程的根看作函数
（II）事件 M 发生的概率为0.3 。
12
分
22.解：（1）∵ f (x) 3x2 6ax 3x(x 2a)
1
分
∴当 a 0 时，由 f (x) 0 得， x 0 或 x 2a ，由 f ( f (x) 0 ，
3分
当 a 0 时，由 f (x) 0 得， x 2a 或 x 0 ，由 f (x) 0 得， 2a x 0 ，
f (x) 的导函数，且对任意的 x (0, ) 都有 f ( f (x) x2 ) 2 ， 若函数 F (x) xf (x) 2 f (x) 3 的一个零点 x0 (m, m 1) ，则整数 m 的值是
四川省乐山市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案
机密★启用前（考试时间：2020年7月17日上午8:30—10:30）乐山市高中2021届教学质量检测理科数学本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共60分）注意事项：1．选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有下列事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②实数的绝对值不小于零；③某彩票中奖的概率为11000，则买1000张这种彩票一定能中奖．其中必然事件是（）．A ．②B ．③C ．①②③D ．②③2．复数21i -的共轭复数是（）．A ．1i --B ．1i -+C ．2i+D ．2i-3．从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．则从甲地到丙地的走法种数（）．A ．8B ．6C ．5D ．24．2342x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项的系数是（）．A ．240B ．240-C ．160D ．160-5．为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图所示），已知从左到右长方形高的比为2:3:5:6:3:1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是（）．A．32人B．27人C．24人D．33人6．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而等长．如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）．A．2B．3C．4D．57．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女3015()2P K k≥0.100.050.025k 2.706 3.841 5.024附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++参照附表，得到的正确结论是（）．A．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”8．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：广告费x 23456销售额y2941505971由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）．A ．101.2B ．108.8C ．111.2D ．118.29．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）．A ．44πB ．22πC ．223πD ．883π10．若函数3212()33f x x x =+-在区间(,5)a a +上存在最小值，则实数a 的取值范围是（）．A ．[5,0)-B ．(5,0)-C ．[3,0)-D ．(3,0)-11．从[2,3]-中任取一个实数a ，则a 的值能使函数()sin f x x a x =+在R 上单调递增的概率为（）．A ．45B ．35C ．25D ．1512．设函数()(31)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）．A ．23,4e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭第二部分（非选择题共90分）注意事项：1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．2．本部分共11小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．设复数z 满足21z =+（i 是虚数单位），则z 的模为________．14．已知随机事件A 和B 互斥，且()0.7P A B ⋃=，()0.2P B =，则()P A =________．15．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且23ηξ=-+，则()E η=________．ξ1-01P14121416．已知函数18ln ,y a x x e e⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（10分）设函数31()(0)3f x x ax a =->，2()21g x bx b =+-．若曲线()y f x =与()y g x =在它们的交点(1,)c 处有相同的切线，求实数a ，b 的值，并写出切线l 的方程．18．（12分）海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．19．（12分）已知函数32()()f x ax x a R =+∈在43x =-处取得极值．（1）确定a 的值；（2）若()()x g x f x e =，讨论()g x 的单调性．20．（12分）国际马拉松赛后，某机构用“10分制”调查了名阶层人士对此项赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：7308666677889997655满意度（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到极满意的人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB//DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．22．（12分）已知函数2()ln g x x x =+，2()ln m f x mx x x-=--，m R ∈．（1）求函数()g x 的极值点；（2）若()()f x g x -在[1,)+∞上为单调函数，求m 的取值范围；（3）设2()eh x x=，若在[1,]e 上至少存在一个0x ，使得()()()000f x g x h x ->成立，求m 的取值范围．参考答案1-12：ABADD CACBC CD1314．0.515．316．2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦17．∵31()(0)3f x x ax a =->，2()21g x bx b =+-，∴2()f x x a '=-，()2g x bx '=．∵曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，∴(1)(1)f g =，且(1)(1)f g ''=，即1213a b b -=+-，且12a b -=，解得13a =，13b =，得切点坐标为(1,0)．∴切线方程为2(1)3y x =-，即2320x y --=．18．（1）因为样本容量与总体中的个体数比是615015010050=++，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是150150⨯=，1150350⨯=，1100250⨯=．所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1，3，2．（2）设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；1B ，2B ，3B ；1C ，2C ．则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{}1,A B ，{}2,A B ，{}3,A B ，{}1,A C ，{}2,A C ，{}12,B B ，{}13,B B ，{}11,B C ，{}21,B C ，{}23,B B ，{}21,B C ，{}22,B C ，{}31,B C ，{}32,B C ，{}12,C C ，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{}12,B B ，{}13,B B ，{}23,B B ，{}12,C C ，共4个．所以4()15P D =，即这2个商品来自相同地区的概率为415．19．（Ⅰ）对()f x 求导得2()32f x ax x'=+∵32()()f x ax x a R =+∈在43x =-处取得极值，∴403f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，∴16432093a ⎛⎫⋅+⋅-= ⎪⎝⎭，∴12a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得321()2x g x x x e ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴23231()222x x g x x x e x x e ⎛⎫⎛⎫'=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(1)(4)2x x x x e =++令()0g x '=，解得0x =，1x =-或4x =-，当4x <-时，()0g x '<，故()g x 为减函数；当41x -<<-时，()0g x '>，故()g x 为增函数；当10x -<<时，()0g x '<，故()g x 为减函数；当0x >时，()0g x '>，故()g x 为增函数；综上知()g x 在(,4)-∞-和(1,0)-内为减函数，在(4,1)--和(0,)+∞内为增函数．20．（12分）【详解】（1）由茎叶图可知：这组数据的众数为86．中位数878887.52+==．（2）被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为9.7，9.6，9.5，9.5．从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率421343121619140C C C P C +==．（3）由题意可得：19~3,140B ξ⎛⎫⎪⎝⎭．分布列是ξ0123P3121140⎛⎫⎪⎝⎭21319121140140C⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭23219121140140C⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33319140C⎛⎫⎪⎝⎭根据二项分布的性质得到：1957()3140140Eξ=⨯=．21．（12分）证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，AD AB⊥，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵2AD DC AP===，1AB=，点E为棱PC的中点．∴(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，(1,1,1)E∵(0,1,1)BE=，(2,0,0)DC=∵0BE DC⋅=，∴BE DC⊥；（Ⅱ）∵(1,2,0)BC=，(2,2,2)CP=--，(2,2,0)AC=由F点在棱PC上，设(2,2,2)(01)CF CPλλλλλ==--≤≤，故(12,22,2)(01)BF BC CFλλλλ=+=--≤≤由BF AC⊥得2(12)2(22)0BP ACλλ⋅=-+-=解得34λ=，即113,,222BF⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面F FBA的法向量为(,,)n a b c=，由n ABn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得1130222aa b c=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令1c =，则(0,3,1)n =-，取平面ABP 的法向量(0,1,0)i =，则二面角F AB P --的平面角α满足：||cos ||||10i n a i n ⋅===⋅ 故二面角F AB P --的余弦值为：31010．22．（本小题12分）解：（1）因为22212()x g x x x x-'=-+=由22212()0x g x x x x-'=-+==，得02x =，所以02x =为函数()g x 的极小值点3分（2）()()2ln mf xg x mx x x-=--，∴222[()()]mx x mf xg x x -+'-=．因为()()f x g x -在[1,)+∞上为单调函数，所以220mx x m -+≥或220mx x m -+≤在[1,)+∞上恒成立5分220mx x m -+≥等价于221x m x ≥+22211x x x x =++，2max 11x x ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎩⎭，∴1m ≥．7分∴220mx x m -+≤等价于()212m x x +≤，即221xm x≤+在[1,)∞恒成立，而22(0,1]1xx∈+，0m ≤综上，m 的取值范围(,0][1,)-∞⋃+∞．8分（3）构造函数2()()()()2ln m e F x f x g x h x mx x x x=--=--，当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln 0ex x--<，所以在[1,]e 不存在0x 使得()()()000f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222()m e mx x m eF x m x x x x -++'=+-+=11分因为[1,]x e ∈，∴220e x -≥，20mx m +>，所以()0F x '>在[1,]e 恒成立，故()F x 在[1,]e 单调递增，max ()4mF x me e=--，所以只需40m me e -->，解之得241em e >-，故m 的取值范围24,1e e ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭．12分。
2019-2020学年乐山市十校高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年乐山市十校高二(下)期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(−1+3i)z=10，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人数为()A. 6B. 7C. 8D. 93.设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：；②；③；④()A. ①④B. ②③C. ①②D. ①②④4.若，则等于()A. B. C. D.5.某事件发生的概率为1，则下列说法不正确的是()4A. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在1左右4B. 无数次实验中，该事件平均每4次出现1次C. 每做4次实验，该事件就发生1次D. 逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和1逐渐接近46.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=07.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则语文书不相邻的排法有A. 36种B. 48种C. 72种D. 144种8.设函数，则函数的各极小值之和为()A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输出x=5，则输出结果为()A. 7B. 6C. 5D. 410.函数的定义域为R，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1007=−1，m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2012)+f(a2013)，则()A. m恒为负数B. m恒为正数C. 当d>0时，m恒为正数；当d<0时，m恒为负数D. 当d>0时，m恒为负数；当d<0时，m恒为正数11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 9πB. 253π C. 10π D. 283π12.若不等式对一切正数，恒成立，则正数a的最小值为()A. 1B. 2C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算5(4+i)2i(2+i)=______．14.已知函数f(x)=x3−3x，这个函数的图象在x=2处的切线方程为______．15.在闭区间[−1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是。
四川省乐山十校高2020届(第四学期)半期联考 数学(理科)试题(精编含解析)
句②为
，故本题选 A.
【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.
10.已知某运动员每次投篮命中的概率为 ．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中 的概率：先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定 ， ， ， 表示命中， ， ， ， ， ，
表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下 组随机数：
A.
，
C.
，
【答案】A
【解析】
由题意得，
B.
，
D.
，
，故选 A.
同理
12.当
时，不等式
A.
B.
【答案】C
【解析】
试题分析：当 x=0 时，原式恒成立；
恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
C.
D.
当
时，原式等价于
恒成立；
当
时，原式等价于
恒成立；
令
，
，可知
为 y 的增区间，
时，t=1 时
，即
上递减，在
上递增，所以 t=-1 时
值范围是
，故选 C.
考点：不等式恒成立问题.
【此处有视频，请去附件查看】
，令 ，即
，
为 y 的减区间，所以当
时，即
；当
时，即
时，y 在
，即
；综上，可知 a 的取
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。
13.用数学归纳法证明“当 为正奇数时，
中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四川省乐山十校2020学年高二数学下学期半期联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数，是z的共轭复数，则=A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】2.如果用反证法证明“数列的各项均小于”，那么应假设( )A. 数列的各项均大于B. 数列的各项均大于或等于C. 数列中存在一项，D. 数列中存在一项，【答案】D【解析】试题分析：各项均小于2，的否定是存在一项大于或等于2，所以选D考点：反证法3.函数，，那么任取一点，使的概率( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，然后利用几何概型公式求出概率.【详解】,任取一点，使的概率，故本题选C.【点睛】本题考查了几何概型，正确解出不等式的解集是解决本题的关键.4. 执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：程序执行的数据变化如下：成立，输出考点：程序框图5.，则等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．解：∵=1，∴=f′（x0）=故选C．6.曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】试题分析：由，得，故，故切线的斜率为，故选C.考点：导数的集合意义. 7.从甲、乙两种树苗中各抽测了株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是( )A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】从茎叶图的数据可以看出甲种树苗的平均高度为27，乙种树苗的平均高度为30，因此乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度．又从茎叶图分析知道，甲种树苗的高度集中在20到30之间，因此长势更集中．8.从装有20个红球和30个白球的罐子里任取两个球，下列情况中是互斥而不是对立的两个事件是( )A. 至少有一个红球，至少有一个白球B. 恰有一个红球，都是白球C. 至少有一个红球，都是白球D. 至多有一个红球，都是红球【答案】B【解析】【分析】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白，结合互斥事件和对立事件的概念，选出正确的答案.【详解】由题意可知，基本事件分三类：一类是二个红球；一类是二个白球；一类是一红一白.选项A：至少有一个红球，包括一红球一白球，二红球，至少有一个白球，包括一白球一白球，二白球，这二个事件不互斥；选项B：恰有一个红球，那一个是白球，与二个都是白球，显然互斥但不对立，因为还有一个事件二个都是红球；选项C:至少有一个红球，包括一红一白，二红，显然与二白是对立事件；选项D;至多一个红球，包括一红一白，二白，显然与二红是对立事件，故本题选B.【点睛】本题考查了互斥事件、对立事件的概念以及它们之间的联系与区别.互斥事件是指两个事件不能同时发生，但是可以同时不发生，而对立事件是指两事件中必有一个发生，一个不发生，也就是说互斥不一定对立，但是对立一定互斥.9.给出个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能( )A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】A【解析】【分析】要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.10.已知某运动员每次投篮命中的概率为．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生到之间取整数值的随机数，指定，，，表示命中，，，，，，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】观察数据，代表三次都命中的有431， 113共两个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮都命中的概率为0，故选C．11.已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：则下列结论正确的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由题意得，同理，故选A.12.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当时，原式等价于恒成立；当时，原式等价于恒成立；令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
13.用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，当第二步假设命题为真时，进而证明_______，命题亦真．【答案】【解析】因为是正奇数，所以的下一项就是。
点睛：本题考查数学归纳法的基本格式。
第一步是证明命题的第一项成立，需要注意的是命题的第一项不一定就是的情况；第二步假设命题的第项成立，本题中因为是正奇数，则假设成立；第三步证明命题的第项成立，本题中的第项是。
14.若二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)相等，a，b为正整数，则2a+b=_______.【答案】3【解析】【分析】分别把二进制数10b1(2)和三进制数a02(3)转化为十进制数，得到等式，进而求出2a+b的值.【详解】，，由题意可知故，因此.【点睛】本题考查了二进制、三进制转化为十进制，考查了运算能力.15.已知,若存在,, 使得成立,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】试题分析：分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出的最大值，从而得到关于的不等式，求得其范围.试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值. 函数的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即. 考点：存在性量词与不等式的有解问题．【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.16.由一组样本数据，，，得到的回归直线方程为，那么下面说法正确的序号________.（1）直线必经过点（2）直线至少经过点，，，中的一个（3）直线的斜率为 .（4）回归直线方程最能代表样本数据中,之间的线性关系，b大于0时与正相关，b小于0时与负相关.注：相关数据：，其中【答案】（1）（3）（4）【解析】【分析】线性回归方程一定过样本中心点，线性回归方程可以不经过所有的样本点，根据所给的公式和一次函数的性质可以判断说法（3）（4）的正确性.【详解】（1）线性回归方程一定过样本的中心点，故本说法正确；（2）线性回归方程可以不经过所有的样本点，故本说法不正确；（3）通过最小二乘法知，本说法是正确的；（4）线性回归方程是一次函数，由一次函数的性质可以知道本说法是正确的，因此正确的说法有（1）（3）（4）.【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，最小二乘法，考查了与线性回归方程有关的概念.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数（为正实数），且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）把代入中，计算化简，根据题意，可以求出的值，最后确定复数；（2）运用复数除法运算公式计算，最后根据复数求模公式求出复数的模．【详解】（1） .，所以，又为正实数，所以．所以，（2），所以．【点睛】本题考查了根据复数的分类求参问题，考查了复数的除法、模的计算，考查了运算能力.18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间．【答案】（1）；（2）当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【解析】【分析】（1）对函数进行求导，把代入导函数中，求出在点处的切线的斜率，写出直线的点斜式方程，最后化为一般方程；（2）对的值，进行分类讨论，求出的单调区间．【详解】（1）当时，，所以．所以，，所以切线方程为．（2）．当时，在时，所以的单调增区间是；当时，函数与在定义域上的情况如下：所以的单调递减区间是；递增区间是．综上所述：当时，的单调增区间是；当时，的单调递减区间是；递增区间是．【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性.本题考查了分类讨论思想.19.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数,以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260), [260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中的值.(2)求理科综合分数的众数和中位数.(3)在理科综合分数为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组学生中,用分层抽样的方法抽取11名学生,则理科综合分数在[220,240)的学生中应抽取多少人?【答案】(1) (2)230，（3）5人【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x的值即可；（2）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；（3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．试题解析：（1）由，解得，∴直方图中值为．（2）理科综合分数的众数是，∵，∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，则，解得，即中位数为．（3）理科综合分数在的学生有（位），同理可求理科综合分数为，，的用户分别有15位、10位、5位，故抽取比为，∴从理科综合分数在的学生中应抽取人．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．20. （本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）；最大值（万元）．【解析】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．21.已知函数．(1)当b＝4时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b的取值范围．【答案】（1）极小值f(－2)＝0，极大值f(0)＝4；（2）【解析】【分析】（1）求导，判断函数的单调性，进而求出函数的极值；（2）在区间上单调递增，说明导函数在上大于或者等于零，求出的取值范围. 【详解】(1)当b＝4时，，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，易知当x∈时，<0，依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤.所以b的取值范围为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值.考查了已知函数的单调区间，求参数问题.22.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当,函数在区间上为增函数,求整数的最大值.【答案】（1）当时, 在上为增函数;当时, 在为减函数,在为增函数；（2）1【解析】【分析】（1）求导，根据取值不同进行分类讨论，求出函数的单调性；（2）求导，问题转化为在恒成立,常变量分离，在恒成立,令，求导，求出的最小值，最后求出整数的最大值.【详解】(1)定义域为,,当时,,所以在上为增函数;当时,由得,当时, ,当时,所以在为减函数,在为增函数，综上所述：当时, 在上为增函数;当时, 在为减函数,在为增函数.(2)当时,, 若在区间上为增函数,则在恒成立,即在恒成立,令.，令, 可知，又当时，,所以函数在只有一个零点, 设为,即,且; 由上可知当时,即;当时，,即, 所以,有最小值,把代入上式可得,又因为,所以,又恒成立,所以,又因为为整数,所以,所以整数的最大值为1 .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及恒成立问题，常变量分离，构造新函数是解题的关键.。