专题01 三角形(专题详解)(解析版)

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专题01 等腰三角形的性质与判定(十六大题型+跟踪训练)(解析版)

专题01等腰三角形的性质与判定（十六大题型+跟踪训练）题型1：等腰三角形的定义1．用刻度尺测量得出下图（）是等腰三角形．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别量取各三角形的三边长，然后根据等腰三角形两腰相等，进行判断即可．【解析】解：A 中三边长分别为：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B 中三边长分别为：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C 中三边长分别为：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D 中三边长分别为：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形两腰相等．2．在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是（）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，即可判断．【解析】解：在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形，关键是掌握等腰三角形的定义．3．以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（）A ．2，2，4B ．6，3，6C ．4，4，5D ．1，1，1【答案】A【分析】根据三角形三边关系和等腰三角形的判定对所给的四个选项逐一判断、解析即可．【解析】解：A ．∵224+=，∴以2，2，4为边不能组成三角形，更不可能组成等腰三角形，故此选项符合题意；B．∵以6，3，6为边能组成三角形，且有两边相等，∴以6，3，6为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；C．∵以4，4，5为边能组成三角形，且有两边相等，∴以4，4，5为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；D．∵以1，1，1为边能组成三角形，且有两边相等，∴以1，1，1为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的判定等知识点及其应用问题．牢固掌握三角形的三边关系、等腰三角形的判定是解题的关键．4．等腰三角形两边长分别是2cm和3cm，则周长是（）A．7cm B．8cm C．7cm或8cm D．条件不足，无法求出【答案】C【分析】分两种情况讨论：①底边为3cm时；②底边为2cm时，分别求解即可得到答案．【解析】解：分两种情况讨论：①底边为3cm时，等腰三角形的周长为3227cm++=；②底边为2cm时，等腰三角形的周长为2338cm++=，∴等腰三角形的周长为7cm或8cm，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．5．已知等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为4cm，则它周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．当AD AC+与BC+即115 22x x x⎛⎫+-+⎪⎝⎭解得：8x=，8，8，5能够组成三角形；当BC BD+与AD+∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴9044A ABD ∠︒-=︒=∠，∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴904644DAB ∠︒=︒-，【分析】根据轴对称的性质，得到ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．【解析】解：由题意可得：ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，∴AB AC =，∴ABC 的周长2AB AC BC AB BC =++=+，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出ABC 是等腰三角形．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若5cm AB =，则DBE 的周长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和性质可得DE CD =，CAD EAD ∠=∠，推出CDA EDA ∠=∠，可得AC AE =，证明再根据等腰直角三角形的性质求出AC BC AE ==，然后求出DBE 的周长AB =，代入数据即可得解．【解析】解：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，DE CD ∴=，CAD EAD ∠=∠，CDA EDA ∴∠=∠，AC AE ∴=，又AC BC = ，AC BC AE ∴==，DBE ∴△的周长DE BD EB CD BD EB BC EB AE EB AB =++=++=+=+=，5cm AB = ，DBE ∴△的周长5cm =．故选：A ．A ．80︒B 【答案】C 【分析】根据等边对等角可得【解析】解：∵AB AC =∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．16．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．17．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 在BC 上，且BD BA =，则CAD ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．22.5︒D ．21︒【答案】C 【分析】利用ABC 是等腰直角三角形先求出B ∠，再利用BDA △是等腰三角形求出BAD ∠，最后利用直【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到据角的和差计算求解即可．∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．如图，直线a ∥b ，AB AC =，140 ∠=，则∠BAC 的度数是（）A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】A 【分析】根据直线a ∥b ，140 ∠=，可知140ACB ∠=∠= ，由AB AC =，可得40ACB ABC ∠=∠= ，利用平行的性质即可求出∠BAC 的值．【解析】解：由题意得，∵直线a ∥b ，140 ∠=，∴140ACB ∠=∠= ，∵AB AC =，∴40ACB ABC ∠=∠= ，∴()180118080100BAC ABC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟练利用平行线进行角度转化时解题的关键．22．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒【答案】A 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解析】解：∵DE 垂直平分BC ，∴BD =DC ，∴∠BDE =∠CDE =64°，∴∠ADB =180°-64°-64°=52°，∵∠A =28°，∴∠ABD =180°-28°-52°=100°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．24．如图，已知D 为ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若70B ∠=︒，则BDF ∠等于（）键．题型5：等边对等角的解答证明26．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 都在边BC 上，且BE CD =，求证：AD AE =．【答案】见详解【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明()SAS ABE ACD ≌△△，从而得AD AE =．【解析】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABE 和ACD 中，AB AC B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACD ≌△△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．27．如图，,∥DE AB AE 平分DAB ∠，点C 在线段AE 上，AC BC AD ==，求证：AE AB =．【答案】见解析【分析】根据平行和角平分线得出AD DE =，再证△ADE ≌△ACB 即可．【解析】证明：∵AE 平分DAB ∠，∴DAE CAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴E BAE ∠=∠，∵AC BC =，∴B BAE ∠=∠，∴E B ∠=∠,在△ADE 和△ACB 中，E B DAE CAB AD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ACB ，∴AE AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，在ABC 中，AB AC =，延长BC 至D ，使得BD AC =，连接AD ，再延长AB 至E ，使得BE CD =，连接DE ．求证：≌BED CDA △△．【答案】见详解【分析】先证明,EBD ACD ∠=∠再根据SAS 判定证明即可．【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，180,180,EBD ABC ACD ACB ∠=︒-∠∠=︒-∠ ,EBD ACD ∴∠=∠BE CD = ，BD AC =，(SAS)BED CDA ≌．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．题型6：等腰三角形的“三线合一”30．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．33．下列说法错误的是（）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质依次判断．【解析】解：A 、等腰三角形两腰上的高相等，故正确；B 、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确；C 、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误；故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．34．已知点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且PB PC =，则下列命题为假命题的是（）A ．若点P 在边BC 上，则AB AC=B ．若点P 在ABC 内部，则AB AC=C ．若点P 在ABC 外部，则AB AC=D ．若AB AC =，则点P 可能在边BC 上，可能在ABC 内部，也可能在ABC 外部【答案】C【分析】选项A 根据等腰三角形的性质判断；当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，先证明Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，再证明(AAS)ABP ACP ≌可判断选项B ；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，可判断选项D ；选项C 有两种情况，具体见详解．【解析】∵点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，∴点P 在BAC ∠的角平分线所在的直线上，即BAP CAP ∠=∠，如图1，当点P 在边BC 上时，即P 为BC 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得到AB AC =，故选项A 是真命题；如图2，当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，,PE PF PB PC == ，Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，得到EBP FCP ∠=∠，∵BAP CAP ∠=∠，AP AP =，(AAS)ABP ACP ∴ ≌，AB AC ∴=；故选项B 是真命题；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，故选项D 是真命题；当点P 在ABC 外部时，如图3所示，AB 与AC 不一定相等，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．题型7：等腰三角形的“三线合一”有关的最值问题35．如图，在ABC 中，AB AC =，=4BC ，面积是10；AB 的垂直平分线ED 分别交AC ，AB 边于E 、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 为线段ED 上一动点，则PBF △周长的最小值为（）A ．7B ．9C ．10D ．14【答案】A 【分析】连接AP ，根据线段垂直平分线性质得AP BP =，PBF △周长==BP PF BF AP PF BF AF BF ++++≥+，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF ，BF ，即可得出答案．【解析】解：如图所示．连接AP ，∵DE 是AB 的垂直平分线，A．①②③【答案】D【分析】根据三线合一得到A．8cm B．【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．42．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，∴AD 为BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，∴BE CE =，又∵线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，∴AE CE =，∴AE BE =；（2）∵AB AC =，40BAC ∠︒=，【答案】见解析【分析】作EF AC ⊥于点F EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．∠=【解析】解：∵B【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．题型11：等角对等边证明等腰三角形的解答证明48．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．49．如图，在ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，求证：AED △是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SSS 证明三角形全等即可；（2）证明EAD ADE ∠=∠即可证明AE DE =，进而得到AED △是等腰三角形．【解析】（1）证明：在ABD △和ACD 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD ACD ≌；（2）证明：∵ABD ACD △≌△，∴∠=∠DAB DAC ，∵∥DE AC ，∴ADE DAC ∠=∠，∴EAD EDA ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．50．已知ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2B C ∠=∠．(1)如图1，求证：AB BD AC +=；(2)如图2，延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE ，若36C ∠=︒，直接写出图中所有的等腰三角形（ABC 和ADE V 除外）．【答案】(1)证明见解析(2)ABE 是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，ADC △是等腰三角形，ABD △是等腰三角形；【分析】（1）如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，证明()SAS ABD AED ≌△△得到BD ED B AED ==，∠∠，根据三角形外角的性质结合已知条件证明EDC C ∠=∠，得到ED EC BD ==，即可证明AC AE CE AB BD =+=+；（2）根据等腰三角形的判定条件结合三角形内角和定理进行推理即可．【解析】（1）证明：如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD EAD ∠=∠，又∵AB AE AD AD ==，，∴()SAS ABD AED ≌△△，∴BD ED B AED ==，∠∠，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED C EDC ∠=∠+∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC BD ==，∴AC AE CE AB BD =+=+；（2）解：∵BE AB =，∴BEA BAE ∠=∠，ABE 是等腰三角形，∵BEA BAE ABC +=∠∠∠，∴2ABC BEA =∠∠，又∵272ABE C ==︒∠∠，∴36BEA BAE C ===︒∠∠∠，∴AE AC =，即ACE △是等腰三角形，∵18072BAC C ABC =︒--=︒∠∠∠，AD 平分BAC ∠，∴36BAD CAD ∠=∠=︒，∴36DAC C ∠=∠=︒，∴72ADB C DAC =+=︒∠∠∠，ADC △是等腰三角形，∴72ADB ABD ∠∠==︒，∴ABD △是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，灵活运用所学知识是解题的关键．题型12：等角对等边证明边长相等、求边长51．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．52．如图，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若12AB =，7DE =，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到ABD EDB ∠=∠，则7BE DE ==，即可求出答案．【解析】解：∵在ABC 中，BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ∥，∴CBD EDB ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴7BE DE ==，∴1275AE AB BE =-=-=；故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．53．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，点Q 是OA 上一点，且PQ OB ∥，若2PQ =，则线段OQ 的长是（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．2【答案】D 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出QPO QOP ∠=∠，据此即可求解．【解析】解：∵点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，∴QOP POB ∠=∠，∵PQ OB ∥，∴QPO POB ∠=∠，∴QPO QOP ∠=∠，∴2OQ PQ ==，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．54．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥．若8DE =，5AD =，则AB 的长为（）A ．13B ．12C ．10D ．9【答案】A 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明DBE DEB ∠=∠，得到8DE DB ==，则13AB AD BD =+=．【解析】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB CBE ∠=∠，∴DBE DEB ∠=∠，∴8DE DB ==，∴8513AB AD BD =+=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，证明DBE DEB ∠=∠是解题的关键．55．如图，在ABC 中，45AB AC ==，，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB AC ，于M ，N ，则AMN 的周长为（）A ．8B ．9C ．10D ．不确定【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和MN BC ∥可以得出MB ME =，NC NE =，继而可以得出AMN 的周长AB AC =+，从而可以得出答案．【解析】解：∵MN BC ∥，∴∠∠=MEB EBC ．∵BE 平分ABC ∠，∴MBE EBC =∠∠，∴MEB MBE ∠=∠．∴MB ME =．同理，NC NE =，∴9AMN C AM ME EN AN AB AC =+++=+=△．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出MEB MBE ∠=∠是解题的关键.56．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．57．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得CAD ∠；（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．58．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由．【答案】EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见解析【分析】证明()AAS ADE BFE ≌△△，得出DE EF =，证明GDF BFE ∠=∠，得出GD GF =，根据垂直平分线的判定得出GE 垂直平分DF ，即可得出答案．【解析】解：EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见如下：∵AD BC ∥，∴ADE BFE ∠=∠，E 是AB 的中点，AE BE ∴=，又∵FEB DEA ∠=∠，∴()AAS ADE BFE ≌△△，DE EF ∴=，∵GDF ADF ∠=∠，ADE BFE ∠=∠，∴GDF BFE ∠=∠，GD GF ∴=，DE EF = ，∴GE 垂直平分DF ，∴EG DF ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，得出ADE BFE V V ≌．题型13：直线上与已知两点组成等腰三角形的点59．如图，ABC ，点P 为直线AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形．则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解析】解：作AB 垂直平分线与AC 的交点，可得22P A P B =，以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有两个交点，13P A AB P A ==，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有一个交点，4P B AB =，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．60．如图，线段AB 的一个端点B 在直线m 上，直线m 上存在点C ，使ABC 为等腰三角形，这样的点C 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，据此可得答案．【解析】解：如图所示，以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，∴直线m 上存在4个点C ，使ABC 为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．61．如图，直线a b ，相交于点O ，150∠=︒，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O A B 、、为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】分别以点O A B 、、为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可；【解析】解：当OA OB =时；以点O 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；当OA AB =时；以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个；当OB AB =时；作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个；∴满足条件的B点总共有4个；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．题型14：等腰三角形有关的尺规作图62．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．故选：B ．【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．63．如图（1），锐角ABC 中，AB BC AC >>，要用尺规作图的方法在AB 边上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A ．甲、乙、丙都正确B ．甲、丙正确，乙错误C ．甲、乙正确，丙错误D ．只有甲正确【答案】A【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．【解析】解：甲图：以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交AB 于点D ，∴AD AC =，∴ACD 为等腰三角形，乙图：作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，∴AD DC =，∴ACD 为等腰三角形，丙图：∵所作的A DCA ∠=∠，∴AD DC =，∴ADC △是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A ．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．64．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画 MN，交OB 于点C ．②以D 为圆心，DO 长为半径画 GH， GH 与OB 交于点E ，连接DC 并延长，使DC 的延长【答案】见解析【分析】以AB为腰和底两种情况作图即可．【解析】如图，以AB为腰，AO为对称轴；如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；【点睛】本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．66．图1，图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：=；(1)在图1中，连接MA，MB，使MA MB==．(2)在图2中，连接MA，MB，MC，使MA MB MC【答案】(1)见解析(2)见解析=；【分析】（1）根据勾股定理得MA MB==．（2）连接AC，取AC中点M，MA MB MC【解析】（1）解：如图1正确画图．（2）如图2正确画图．【点睛】本题主要考查尺规作图，熟练根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．67．如图，在每个小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为底的等腰ABC(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰DEF直接写出DC的长度．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，22DC ．（2）如图所示，DEF 即为所求；CD =【点睛】本题考查的是作图：应用与设计作图，根据题意找出符合条件的点是解题的关键．题型16：等腰三角形的性质和判定综合题68．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 90EDF ∠=︒，下列结论：①BED AFD △≌△积，则1211142S S S ≤≤；④EF AD =；所有正确的结论是（。

专题01 三角形全等-手拉手模型(解析版)-初中数学几何专题之冲刺2022年满分突破大全

倍长中线模型模型讲解【结论】已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E 在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．（1）△ACD≌△BCE（2）∠CAD＝∠CBE；∠AEB＝∠ACF【证明】（1）∵∠ACB＝∠DCE，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CF A＝∠BFE，∴∠AEB＝∠ACF△BCE可看成△ACD绕C点顺时针旋转一定角度而得到的；△ACD可看成△BCE绕C点逆时针旋转一定角度而得到的。

所以，通常用旋转的思想来构造全等三角形手拉手模型的关键：AC=BC（线段相等、有公共点且此三点不共线）那么，哪些图形满足这些特征呢？1【等边三角形类】等边△ABD、△BCE，则：（1）△ABC≌△BDE （2）∠ACB＝∠DEB已知等边△BCE，将△ABC绕B点旋转60°到△BDE，那么会得到一个新的△ABD也为等边三角形。

【等腰直角三角形类】等腰Rt△ABD、△BCE，则：（1）△ABC≌△BDE （2）∠ACB＝∠DEB已知等腰Rt△BCE，将△ABC绕B点旋转90°到△BDE，那么会得到一个新的△ABD也为等腰Rt△。

方法点拨例题演练1．（2021春•鄄城县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（）A．55°B．50°C．45°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，故选：A．2．（2016春•威海期末）如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，且AB＝DE，AC⊥CD，连接AE，BD，分别交CD，AC于点G，连接FG，BE．下列结论：①AE＝BD＝BE；②BC平分∠DBE；③直线EC⊥AB；④FG∥BE．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，且AB＝DE，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝150°，∴∠BCE＝150°，在△ACE与△BCD与△BCE中，，∴△ACE≌△BCD≌△BCE，∴AE＝BD＝BE，故①正确，∠DBC＝∠EBC，故②正确；∴∠BEC＝∠AEC，∵BE＝AE，∴直线EC⊥AB；故③正确；在△BCF与△ECG中，，∴△BCF≌△ECG，∴BF＝EG，设AE，BD交于H，∵∠FBC＝∠GEC，∠CBE＝∠CEB，∴∠HBE＝∠HEB，∴BH＝EH，∴HF＝HG，∴，∴FG∥BE，故④正确，故选：D．3．（2018秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝BD：CD；④若BF＝2EC，则△FCD的周长等于AB的长，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，∴③正确；∵∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC，∴FD＝CD，∴∠FCD＝∠CFD＝45°，∴①正确；若AE＝EC，BE⊥AC，可得AB＝BC，与题意不符合，故②错误．若BF＝2EC，根据①得BF＝AC，∴AC＝2EC，即E为AC的中点，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，BA＝BC，∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，即△FDC周长等于AB的长，∴④正确．强化训练故选：C．1．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA ＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD ＝AB＝4．求点E到BC的距离．【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．2．（2021春•松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，∴∠ADC＝∠ABG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，即∠EAG＝∠EAF，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝EF，∴EF＝BE+DF；（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，在BE上截取BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ABC＝∠ADF，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，∴∠BAD＝∠MAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠MAF，∴∠EAF＝∠EAM，在△AME和△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS），∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．3．（2017•南岸区二模）如图，已知等腰Rt△ABC，∠ACB＝90°，CA＝CB，以BC为边向外作等边△CBD，连接AD，过点C作∠ACB的角平分线与AD交于点E，连接BE．（1）若AE＝2，求CE的长度；（2）以AB为边向下作△AFB，∠AFB＝60°，连接FE，求证：F A+FB＝FE．【解答】解：（1）延长CE交AB于G，∵△BAC是等腰直角三角形，CE平分∠ACB，∴CG⊥AB，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∴△CAG是等腰直角三角形，∵△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝AC，∠BCD＝60°，∴∠CAD＝∠CDA，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，∴∠CAD＝∠CDA＝15°，∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°，在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，AE＝2，∴AG＝，EG＝1，∵CG＝AG＝，∴CE＝CG﹣EG＝﹣1．（2）延长FB到H，使得BH＝AF，连接EH．作EI⊥BF于I．由（1）可知：AC＝BC，CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴△ACE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA＝30°，在△AFB中，∠AFB＝60°，∴∠F AB+∠FBA＝120°，∴∠F AE＝∠EAB+∠F AB＝30°+∠F AB，∠EBH＝180°﹣∠EBA﹣∠ABF＝150°﹣（120°﹣∠F AB）＝30°+∠F AB，∴∠EBH＝∠F AE，∴△AFE≌△BHE，∴∠AFE＝∠BHE，EF＝EH，∴∠EFB＝∠EHB＝∠AFE＝30°，∵EI⊥FH，∴EI＝IH，在Rt△FEI中，∠EFI＝30°，∴FI＝FE，∴FH＝BH+FB＝FE，∴F A+FB＝FE．4．（2021春•南岸区期末）如图，已知∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC．（1）△ABC与△ADE全等吗？请说明理由；（2）若AF⊥CB，垂足为F，请说明线段2CF＝CE；（3）在（2）的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．【解答】解：（1）△ABC≌△ADE，理由如下：如图1，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE＝90°﹣∠CAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．（2）如图2，作AG⊥BC于点G，则∠AGC＝∠AGE＝90°，∵AC＝AE，AG＝AG，∴Rt△AGC≌Rt△AGE（HL），∴CG＝EG＝CE，∠CAG＝∠EAG＝∠CAE＝45°，∴∠ACG＝∠E＝45°，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACF＝∠E＝45°，∵AF⊥CB，∴∠F＝90°，∴∠CAF＝45°，∵∠ACF＝∠ACG＝45°，AC＝AC，∠CAF＝∠CAG＝45°，∴△CAF≌△CAG，∴CF＝CG＝CE，∴2CF＝CE．（3）BF＝（CD﹣DE），理由如下：如图2，由（2）得，CF＝CG＝EG，∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∴CF﹣BC＝EG﹣DE，∴BF＝DG，∵DG＝EG﹣DE＝CE﹣DE＝（CD+DE）﹣DE＝（CD﹣DE），∴BF＝（CD﹣DE）．5．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，C为AB上一点，△ACD和△BCE为等边三角形，AE交CD于M，DB交CE于N．求证：（1）AE＝DB；（2）MN∥AB；（3）PC平分∠APB；（4）PC+PE＝PB．【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴∠ACD＝∠BCE＝60°，AC＝DC，EC＝BC，∴∠ACD+∠DCE＝∠DCE+∠ECB，即∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠EAC＝∠BDC，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠MCN＝60°，且∠EAC＝∠BDC，AC＝DC，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM＝CN，又∵∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形，∴∠NMC＝∠ACD＝60°，∴MN∥AB；（3）如图，过点C作CG⊥AE于G，作CH⊥BD于H，∵∠EAC＝∠BDC，AC＝DC，∠AGC＝∠DHC＝90°，∴△AGC≌△DHC（AAS），∴CG＝CH，且CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB；（4）如图，在PB上截取PF＝PC，连接CF，∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝∠BDC，∠AEC＝∠DBC，∵∠ACD＝∠BDC+∠CBD＝60°，∴∠DOA＝∠CAE+∠CBD＝60°，∴∠APB＝120°，∵PC平分∠APB，∴∠CPF＝APB＝60°，∴△CPF为等边三角形，∴CF＝CP，∠CFP＝60°，∴∠CFB＝∠CPE＝120°，∴△CFB≌△CPE（AAS），∴BF＝PE，∴PB＝BF+PF＝PE+PC．6．（2013秋•沙坪坝区校级月考）如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边△EPQ，连接FQ，EF．（1）若等边△ABC的边长为20，且∠BPE＝45°，求等边△EPQ的边长；（2）求证：BP＝EF+FQ．【解答】（1）解：过点E作EM⊥BC于M∵等边△ABC，∴∠B＝60°，∵E为AB的中点，∴BE＝AB＝10，在Rt△BEM中，sin B＝，∴＝，∴EM＝5，在Rt△EMP中，sin∠EPM＝，∴＝，∴EP＝5，即等边△EPQ的边长为5；（2）证明：取BC的中点N，连接NE，∵等边△ABC，∴AB＝BC，∵E为AB的中点，F为AC的中点，N为BC的中点，∴EF＝BC，BE＝AB，BN＝BC，EF∥BC，∴EF＝BE＝BN，∵∠B＝60°，∴△EBN是等边三角形，∴EN＝BN＝EF，∠ENB＝60°，∵EF∥BC，∴∠FEN＝60°，∴∠1+∠2＝60°，∵等边△EPQ，∴EP＝EQ，∠PEQ＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠1＝∠3，在△ENP和△EFQ中，，∴△ENP≌△EFQ（SAS），∴NP＝FQ，∴BP＝BN+NP＝EF+FQ．7．（2020秋•斗门区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D、E分别在AB，AC上，且AD＝AE．若△ADE绕点A逆时针旋转，得到AD1E1，设旋转角为a（0°＜a≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD1＝CE1；（2）当∠CPD1＝2∠CAD1时，求旋转角为a的度数．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中，，∴△ABD1≌△ACE1 （SAS），∴BD1＝CE1；（2）设AC与BP交于点G，由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°，∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋转角α＝90°+∠CAD1＝135°．8．（2021春•渝中区校级期末）如图，△CAB与△CDE为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE ＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，连接AD、BE．（1）如图1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，则∠DEB的度数为27度；（2）如图2，若A、D、E三点共线，AE与BC交于点F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF 的面积；（3）如图3，BE与AC的延长线交于点G，若CD⊥AD，延长CD与AB交于点N，在BC上有一点M且BM＝CG，连接NM，请猜想CN、NM、BG之间的数量关系并证明你的猜想．【解答】解：（1）如图1中，∵△ACB，△CDE都是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE＝28°，∵∠DCB＝10°，∴∠ECB＝90°﹣10°＝80°，∴∠CEB＝180°﹣80°﹣28°＝72°，∵∠CED＝45°，∴∠DEB＝72°﹣45°＝27°．故答案为：27．（2）如图2中，过点C作CQ⊥DE于Q．∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠CEB，AD＝BE＝3，∵∠CDE＝∠CED＝45°，∴∠ADC＝∠CEB＝135°，∴∠AEB＝90°，在△CFQ和∠BFE中，，∴△CQF≌△BEF（AAS），∴CQ＝BE＝3，QF＝EF，∵CQ＝EQ＝3，∴EF＝EQ＝，∴S△CEF＝•EF•CQ＝××3＝．（3）如图3中，结论：CN+MN＝BG．理由：如图过点B作BT⊥BC交CN的延长线于T∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCT+∠ECB＝90°，∠ECB+∠CBG＝90°，∴BCT＝∠CBG，在△CBT和△BCG中，，∴△CBT≌△BCG（ASA），∴BT＝CG，CT＝BG，∵BM＝CG，∴BM＝BT，在△BNM和△BNT中，，∴△BNM≌△BNT（SAS），∴MN＝NT，∴CN+MN＝CN+NT＝CT＝BG．9．（2021春•楚雄州期末）已知△ABC中，∠ACB＝∠DCE＝α，AC＝BC，DC＝EC，且点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．（1）如图1，当α＝60°时，求出∠AEB的度数．（2）如图2，当α＝90°时，若∠CBE＝∠BAE，CF＝2，AB＝4+2，求△ABF的面积．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CF A＝∠BFE，∴∠AEB＝∠ACF＝60°．（2）同理可证△ACD≌△BCE，∴∠CAF＝∠CBE，∵∠CBE＝∠BAE，∴∠CAF＝∠BAE，∴AF平分∠CAB，∵FC⊥AC，CF＝2，∴点F到AB的距离＝CF＝2，∴S△ABF＝•AB•CF＝×（4+2）×2＝4+2．10．（2012秋•渝北区期末）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在△ABC的外部，且AD⊥BD，AD交BC于点E，连接CD，过点C作CG⊥CD，交AD于点G．（1）若CG＝4，求DG的长；（2）若CG＝BD，求证：AB＝AC+CE．【解答】（1）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵∠ACB＝90°，而∠AEC＝∠BED，∴∠CAE＝∠EBD，∵CG⊥CD，∴∠GCD＝90°，即∠GCE+∠ECD＝90°，而∠GCE+∠ACG＝90°，∴∠ACG＝∠ECD，在△ACG和△BCD中，∴△ACG≌△BCD，∴CG＝CD，∴△CDG为等腰直角三角形，∴DG＝CG＝4；（2）证明：延长AC、BD，它们相交于点H，如图，∵CG＝BD，而CG＝CD，∴BD＝CD，∴∠DCB＝∠DBC，∵∠H+∠CBH＝90°，∠CHD+∠DCB＝90°，∴∠H＝∠HCD，∴CD＝HD，∴DH＝DB，而AD⊥BH，∴AB＝AH，在△ACE和△BCH中，∴△ACE≌△BCH，∴CE＝CH，∴AB＝AC+CH＝AC+CE．11．已知△BAC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°．（1）如图1，点E、B、C三点在一条直线上，连接AE，若∠AEC＝30°，BC＝4，求BE的长．（2）如图2，将△BDE以点B为旋转中心顺时针旋转，当C在ED延长线上时，EC交AB于点H．求证：∠BAE＝2∠BCH．【解答】（1）解：如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC，∴AH＝BH＝HC＝2，在Rt△AEH中，∵∠AHE＝90°，AH＝2，∠AEH＝30°，∴EH＝＝2，∴BE＝EH﹣BH＝2﹣2．（2）证明：如图2中，连接AD．∵∠BDH＝∠HAC，∠BHD＝∠CHA，∴△BHD∽△CHA，∴＝，∴＝，∵∠AHD＝∠CHB，∴△AHD∽△CHB，∴∠ADH＝∠CBH＝45°，∠DAH＝∠BCH，∴∠ADB＝90°+45°＝135°，∴∠ADE＝360°﹣90°﹣135°＝135°，∴∠ADE＝∠ADB，在△ADE和△ADB中，，∴△ADE≌△ADB，∴∠DAE＝∠DAB，∵∠DAB＝∠BCH，∴∠BAE＝2∠BCH．12．（2021•鄂尔多斯）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM ＝cm．（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC 于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示）（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）如图①，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由旋转得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN，∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形，∵CM＝2，∴MN＝＝，∴AM＝MN＝（cm）；故答案为：；（2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠CDQ＝90°，在△CDQ和△CBE中，，∴△CDQ≌△CBE（SAS），∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE，∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE，在△QCP和△ECP中，，∴△QCP≌△ECP（SAS），∴PQ＝PE，∴△APQ的周长＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP＝AQ+BE+PB+AP＝AQ+DQ+AB＝2AB＝2a；（3）如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA于E，由旋转得：△BCD≌△B′AD，∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，∠CBD＝∠AB'D，∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A，△BDB'是等边三角形，∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BAB′＝∠BDB'+∠AB'D+∠ABD＝135°，∴∠B′AE＝45°，∵B′A＝BC＝2，∴B′E＝AE＝，∴BE＝AB+AE＝2+＝3，∴BB′＝＝2，设等边三角形的高为h，则勾股定理得：h＝＝，∴S四边形ABCD ＝S四边形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′＝×2×﹣××＝5﹣2．。

2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版

期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。

三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。

等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。

三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。

三角形的随意两边之差小于第三边。

（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。

（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。

考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。

专题01 三角形章末重难点题型(解析版)

专题01 三角形章末重难点题型汇编【举一反三】【考点1 三角形的稳定性】【方法点拨】理解稳定性：“只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.【例1】（2019春•永泰县期中）如图小方做了一个方形框架，发现很容易变形，请你帮他选择一个最好的加固方案（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形的稳定性进行解答．【答案】解：根据三角形的稳定性可得C是最好的加固方案．故选：C．【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．【变式1-1】（2019秋•西陵区校级期中）将几根木条用钉子钉成如图的模型，其中在同一平面内不具有稳定性的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形具有稳定性进行解答．【答案】解：根据三角形具有稳定性可得A、B、D都具有稳定性，C未曾构成三角形，因此不稳定，故选：C．【方法总结】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．【变式1-2】（2018秋•桐梓县校级期中）图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．【答案】解：如图：A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．故选：A．【方法总结】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．【变式1-3】（2019秋•安陆市期中）我们都有这样的生活经验，要想使多边形（三角形除外）木架不变形至少再钉上若干根木条，如图所示，四边形至少再钉上一根；五边形至少再钉上两根；六边形至少再钉上三根；…，按照此规律，十二边形至少再钉上（）A．11根B．10根C．9根D．8根【思路点拨】根据分成三角形个数与边数的关系，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数，由此得出答案即可．【答案】解：过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，所以，要使一个十二边形木架不变形，至少需要12﹣3＝9根木条固定．故选：C．【方法总结】此题考查了图形的变化规律，考虑把多边形分成三角形是解题的关键．【考点2 判断三角形的高】【方法点拨】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【例2】（2019春•海州区期中）如图，△ABC中的边BC上的高是（）A．AF B．DB C．CF D．BE【思路点拨】根据三角形高的定义即可解答．【答案】解：△ABC中的边BC上的高是AF，故选：A．【方法总结】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高．【变式2-1】（2019春•大丰区期中）要求画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是（）A．B．C．D．【思路点拨】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或者条边的延长线作垂线即可．【答案】解：过点C作AB边的垂线，正确的是C．故选：C．【方法总结】本题是一道作图题，考查了三角形的角平分线、高、中线，是基础知识要熟练掌握．【变式2-2】（2019春•苏州期中）如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【思路点拨】根据直角三角形的性质即可直接得出结论．【答案】解：∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；故选：B．【方法总结】本题考查的是三角形高的性质，熟知直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点是解答此题的关键．【变式2-3】（2018春•南岗区校级期中）如图，BD是△ABC的高，EF∥AC，EF交BD于G，下列说法正确的有（）①BG是△EBF的高；②CD是△BGC的高；③DG是△AGC的高；④AD是△ABG的高．A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据三角形的高的定义以及平行线的性质，即可解答．【答案】解：∵BD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∵EF∥AC，∴∠EGB＝∠ADB＝90°，∴BG是△EBF的高，①正确；∵∠CDB＝90°，∴CD是△BGC的高，②正确；∵∠ADG＝∠CDG＝90°，∴DG是△AGC的高，③正确；∵∠ADB＝90°，∴AD是△ABG的高，④正确．故选：D．【方法总结】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，理解定义是关键．也考查了平行线的性质．【考点3 三角形边角关系的应用】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】（2019春•福州期末）用一根长为10cm的绳子围成一个三角形，若所围成的三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，则这样的围法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【思路点拨】根据三角形的两边之和大于第三边，根据周长是10厘米，可知最长的边要小于5厘米，进而得出三条边的情况．【答案】解：∵三角形中一边的长为2cm，且另外两边长的值均为整数，∴三条边分别是2cm、4cm、4cm．故选：A．【方法总结】本题主要考查了学生根据三角形三条边之间的关系解决问题的能力．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【变式3-1】（2019秋•银海区期末）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c【思路点拨】首先根据：三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值号，然后根据整式的加减法的运算方法，求出结果是多少即可．【答案】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝（a+b+c）﹣（b+c﹣a）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）＝a+b+c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c＝0故选：A．【方法总结】此题主要考查了三角形的三边的关系，以及整式加减法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形两边之和大于第三边．【变式3-2】（2019春•秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3a B．2a＜L＜2（a+b）C．a+2b＜L＜2a+b D．3a﹣b＜L＜3a+b【思路点拨】先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再确定这个三角形的周长l的取值范围即可．【答案】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得a﹣b＜x＜a+b．∴这个三角形的周长L的取值范围是a﹣b+a+b＜L＜a+b+a+b，即2a＜L＜2a+2b．故选：B．【方法总结】考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式3-3】（2019•孝感模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【思路点拨】两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．【答案】解：已知4条木棍的四边长为3、4、5、7；①选3+4、5、7作为三角形，则三边长为7、5、7，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为7；②选5+4、7、3作为三角形，则三边长为9、7、3，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为9；③选5+7、3、4作为三角形，则三边长为12、4、3；4+3＜12，不能构成三角形，此种情况不成立；④选7+3、5、4作为三角形，则三边长为10、5、4；而5+4＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为9．故选：D．【方法总结】本题考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【考点4 多边形的相关概念】【方法点拨】了解凸多边形的定义，掌握多边形对角线与所分成三角形个数之间的关系：从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线.将多边形分成(n-2)个三角形.【例4】（2019春•道里区期末）下列选项中的图形，不是凸多边形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形．【答案】解：图形不是凸多边形的是A．故选：A．【方法总结】本题主要考查了凸多边形的定义，正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键．【变式4-1】（2019秋•德州校级月考）要使一个五边形具有稳定性，则需至少添加（）条对角线．A．1B．2C．3D．4【思路点拨】根据三角形具有稳定性，过一个顶点作出所有对角线即可得解．【答案】解：如图需至少添加2条对角线．故选：B．【方法总结】本题考查了三角形具有稳定性的应用，作出图形更形象直观．【变式4-2】（2018秋•南城县期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A．6B．5C．8D．7【思路点拨】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．【答案】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形．故选：B．【方法总结】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．【变式4-3】（2018秋•绵阳期中）一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．7或8C．7或8或9D．8或9或10【思路点拨】根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【答案】解：∵截去一个角后边数可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是7或8或9．故选：C．【方法总结】本题考查了多边形，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．【考点5 多边形内角和与外角和的应用】【方法点拨】（1）掌握多边形内角和计算公式：(n-2) ×180 °(n ≥3的整数），多边形的外角和等于360°特别注意：与边数无关.【例5】（2019春•吴江区期中）一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1：3，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形【思路点拨】此题要结合多边形的内角与外角的关系来寻求等量关系，构建方程求出每个外角．多边形外角和是固定的360°．【答案】解：设这个多边形的边数为n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°，解得n＝8，∴这个多边形为八边形，故选：D．【方法总结】此题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想．关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征．【变式5-1】（2018秋•桐梓县校级期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进12米后向左转36°，再沿直线前进12米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）米．A．100B．120C．140D．60【思路点拨】根据多边形的外角和为360°，由题意得到小明运动的轨迹为正10边形的周长，求出即可．【答案】解：由题意得：360°÷36°＝10，则他第一次回到出发地A点时，一共走了12×10＝120（米）．故选：B．【方法总结】此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和定理是解本题的关键．【变式5-2】（2019春•江都区期中）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（）A．180°B．90°C．210°D．270°【思路点拨】根据两直线平行，同旁内角互补得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解．【答案】解：延长AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4+∠5＝180°，根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．故选：A．【方法总结】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．【变式5-3】（2019春•江阴市期中）如图，在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F＝α，CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，则∠P的度数是（）A．α﹣180°B．180°﹣αC．αD．360°﹣α【思路点拨】由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，由和②即可求出结果．【答案】解：在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝（6﹣2）×180°＝720°①，∵CP、DP分别平分∠BCD、∠CDE，∴∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，∵∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，∴2（∠P+∠PCD+∠PDE）＝360°，即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，①﹣②得：∠A+∠B+∠E+∠F﹣2∠P＝360°，即α﹣2∠P＝360°，∴∠P＝α﹣180°；故选：A．【方法总结】本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理；熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理是解题关键．【考点6 三角形内角和定理的应用】【方法点拨】三角形内角和等于180°.【例6】（2019春•石景山区期末）如图，BD平分∠ABC．∠ABD＝∠ADB．（1）求证：AD∥BC；（2）若BD⊥CD，∠BAD＝α，求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）．【思路点拨】（1）想办法证明∠ADB＝∠DBC即可．（2）利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD∵∠ABD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠DBC，∴AD∥BC．（2）解：∵AD∥BC，且∠BAD＝α，∴∠ABC＝180°﹣α，∴∠DBC＝∠ABC＝90°﹣α，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°∴∠C＝90°﹣（90°﹣α）＝α．【方法总结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式6-1】（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）【思路点拨】（1）根据垂直的定义得到∠D＝90°，根据邻补角的定义得到∠ACD＝180°﹣100°＝80°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝50°，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝25°，于是得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，得到∠ACD＝180°﹣β，求得∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），根据角的和差即可得到结论．【答案】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD＝90°﹣80°＝10°，∵∠B＝30°，∴∠BAD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝50°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝25°，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝35°；（2）∵AD⊥BC，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝β，∴∠ACD＝180°﹣β，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝β﹣90°，∵∠B＝α，∴∠BAD＝90°﹣α，∴∠BAC＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣（α+β），∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝90°﹣（α+β）+β﹣90°＝β﹣α．故答案为：β﹣α．【方法总结】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．【变式6-2】（2019春•福州期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D．作∠BDE＝∠ABD 交AB于点E．（1）求证：ED∥BC；（2）点M为射线AC上一点（不与点A重合）连接BM，∠ABM的平分线交射线ED于点N．若∠MBC ＝∠NBC，∠BED＝105°，求∠ENB的度数．【思路点拨】（1）利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行；（2）分两种情况分别进行解答，根据每一种情况画出相应的图形，依据图形中，角之间的相互关系，转化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可．【答案】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵∠BDE＝∠ABD，∴∠BDE＝∠DBC，∴ED∥BC；（2）∵BN平分∠ABM，∴∠ABN＝∠NBM，①当点M在线段AC上时，如图1所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝∠MBC＝∠NBC，设∠MBC＝x°，则∠EBN＝∠NBM＝x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△ENB中，由内角和定理得：x+2x+105°＝180°，解得：x＝25，∴∠ENB＝2x＝50°，②当点M在AC的延长线上时，如图2所示：∵DE∥BC，∴∠ENB＝∠NBC，∵∠MBC＝∠NBC，∴∠NBM＝3∠MBC，设∠MBC＝x°，则∠EBN＝∠NBM＝3x°，∠ENB＝∠NBC＝2x°，在△EMB中，由内角和定理得：3x+2x+105°＝180°，解得：x＝15，∴∠ENB＝2x＝30°，答：∠ENB的度数为50°或30°．【方法总结】综合考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，分类讨论，分别画出相应的图形，利用等量代换和图形中角之间的关系布列方程是解决问题常用的方法．【变式6-3】（2018秋•丰城市期末）已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B、C．（1）∠DBC+∠DCB＝度；（2）过点A作直线直线MN∥DE，若∠ACD＝20°，试求∠CAM的大小．【思路点拨】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，然后把∠D＝90°代入计算即可；（2）在Rt△ABC中，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°，整体代入即可得出结论．【答案】解：（1）在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，而∠D＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝90°；故答案为90；（2）在△ABC中，∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠BAC＝180°，而∠DBC+∠DCB＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠BAC，∴∠ABD+∠BAC＝90°﹣∠ACD＝70°．又∵MN∥DE，∴∠ABD＝∠BAN．而∠BAN+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠ABD+∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠CAM＝180°﹣（∠ABD+∠BAC）＝110°．【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出∠ABD+∠BAC＝70°．【考点7 三角形外角性质的应用】【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【例7】（2019春•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD 的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【思路点拨】（1）根据三角形的外角的性质求出∠CBD，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）根据平行线的性质解答即可．【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，∴∠CBD＝124°，∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝62°；（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°，∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°．【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【变式7-17】（2018春•岱岳区期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝62°，CE平分∠ACB，CD⊥AB 于D，DF⊥CE于F，求∠ACE和∠CDF的度数．【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义求出∠ACE；根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠CDF．【答案】解：∵∠A＝30°，∠B＝62°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣62°＝88°；∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝44°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝28°，∴∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝16°，∵DF⊥CE，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝74°．【方法总结】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．【变式7-2】（2018春•商水县期末）如图，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求△ABC各内角的度数．【思路点拨】根据三角形外角性质得到∠FDE＝∠BAD+∠ABD，而∠BAD＝∠CBE，则∠FDE＝∠BAD+∠CBE＝∠ABC＝64°；同理可得∠DEF＝∠ACB＝43°，然后根据三角形内角定理计算∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB即可．∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝48°，∠DEF＝64°，【答案】解：∵∠FDE＝∠BAD+∠ABD，∠BAD＝∠CBE∴∠FDE＝∠BAD+∠CBE＝∠ABC，∴∠ABC＝64°；同理∠DEF＝∠FCB+∠CBE＝∠FCB+∠ACF＝∠ACB，∴∠ACB＝43°；∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣64°﹣43°＝73°，∴△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°．【方法总结】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形外角的性质，熟记：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．【变式7-3】（2019春•南开区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度数．【思路点拨】根据直角三角形的性质求出∠BAD的度数，得到∠BAC的度数，根据邻补角的性质求出∠CAM的度数，根据角平分线的定义求出∠MAE的度数，根据三角形的外角的性质计算即可．【答案】解：∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，∴∠BAC＝54°，∴∠MAC＝126°，∵AE是∠BAC外角的平分线，∴∠MAE＝∠MAC＝63°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠ABC＝23°，∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【考点8 利用互余关系倒角】【方法点拨】直角三角形两锐角互余，通常利用这一结论进行倒角.【例8】（2019春•莲湖区期中）如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD＝∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．【思路点拨】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CF A＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．【答案】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CF A＝90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠AED＝∠CFE，又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE．【方法总结】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．【变式8-1】（2011春•越城区校级期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解．【答案】解：∵AD是BC边上的高线，∠EPD＝125°，∴∠CBE＝∠EPD﹣∠ADB＝125°﹣90°＝35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD＝2∠CBE＝2×35°＝70°，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．【方法总结】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，准确识图，根据图形找出图中各角之间的关系是解题的关键．【变式8-2】在△ABC中，∠ACB＝90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD ⊥BC，交CF的延长线于点D，若∠D＝65°，求∠EAC的度数．【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余进行解答即可．【答案】解：在RT△DBC中，∠D＝65°，可得：∠DCB＝25°，在RT△ACE中，∠DCB＝25°，可得：∠ACF＝65°，在RT△ACF中，∠ACF＝65°，可得：∠EAC＝25°．【方法总结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余进行解答．【变式8-3】（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE的形状是什么？为什么？（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点C，B，E在同一直线上，∠A与∠D有什么关系？为什么？【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得出∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，再解答即可；（2）根据直角三角形的性质得出∠ADE+∠A＝∠A+∠B＝90°，再解答即可；（3）根据直角三角形的性质得出∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，再解答即可．【答案】解：（1）∠ACD＝∠B，理由如下：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B；（2）△ADE是直角三角形．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别在AC，AB上，且∠ADE＝∠B，∠A为公共角，∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴△ADE是直角三角新；（3）∠A+∠D＝90°．∵在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，∴∠ABC+∠A＝∠ABC+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°，∴∠A+∠D＝90°．【方法总结】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余．。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略【基础知识点】性质：等腰三角形两个底角相等（简称：等边等角）；推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形类型一、与等腰三角形有关最值问题例．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中△BAC＝△DAE＝90°，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最小值为__________．【答案】4【详解】解：连接AM，如下图所示：点M为边DE的中点，且Rt△ADE为等腰三角形，AM DE ∴⊥，12AM DE DM==，在Rt△ADE中，2AD=，由勾股定理可知：222AD AM DM=+，故有AM DM==当A、B、M三点不共线时，由三角形的三边关系可知：此时一定有BM AB AM>-，当三点共线且M点位于A、B之间时，此时有BM AB AM=-，∴4BM AB AM≥-=-4【变式训练1】如图，AD为等腰△ABC的高，其中△ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，△AFB的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C【详解】如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小， △AC=BC ，△CH=AC ，△△HCB=90°，AD△BC ，△AD//CH ，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC ，△FH=CE ，△FH+BF=CE+BF 最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【变式训练2】如图，C 是线段AB 上一动点，ACD △，CBE △都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若6AB =，则线段MN 的最小值为______．【解析】连接CN ，△ACD △和BCE 为等边三角形，△AC CD =，BC CE =，60ACD BCE B ∠=∠=∠=︒ △18060DCE ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒， △N 是BE 的中点，△CN BE ⊥，302BCEECN BCN ∠∠=∠==∠︒，△90DCN DCE ECN ∠=∠+∠=∠︒，设AC a =，△12CM a =△6AB =，△6BC a =- ，△cos )CN BCN BC a =∠⨯=-△MN==△当92a=时，MN的值最小为【变式训练3】在ABC中，90ACB∠=︒，60B∠=︒，4AB=，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【答案】3【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，△90ACB∠=︒，60B∠=︒，△30BAC∠=︒，△4AB=，△122BC AB==，△2223AC AB BC，△ACF是等边三角形，△CF AC AF===60FAC∠=︒，△ADE是等边三角形，△AD AE=，60DAE∠=︒，△FAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠，△CAE FAD∠=∠，在ACE和AFD中，AC AFCAE FADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS≅，△CE DF=，当DF BC⊥时，DF的长是最小的，即CE的长最小，△906030FCD'∠=︒-︒=︒，Rt CFD'，△12D F CF'==3CD'=，△当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．故答案是：3．【变式训练4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝BD、CE为△ABC的两条中线，且BD△CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接DE ．△AB ＝AC ，△△ABC ＝△ACB ，△BE ＝12AB ，DC ＝12AC ，△BE ＝CD ，△BC ＝CB ，△△EBC △△DCB （SAS ），△△ECB ＝△DBC ，EC ＝BD ，△BN ＝CN ，△EN ＝DN ， △BD △EC ，△△EDM ，△BCN 都是等腰直角三角形， △AE ＝EB ，AD ＝DC ，△DE //BC ，DE ＝12BC ，△EN NC＝DE BC ＝12，△CN ＝2EN ，△BN ＝2EN ，△AE ＝BE ＝△EN ＝3，BN ＝6，△BN ＝CN ＝6，△BC ＝作点A 关于直线BD 的对称点H ，连接EH 交BD 于M ，连接AM ，此时AM +EM 的值最小，最小值＝线段EH 的长，过点H 作HT △AB 于T ，延长BD 交AH 于J ． △AJ//EN ，AE ＝EB ，△BN ＝NJ ＝6，△AJ ＝JH ＝2EN ＝6，△S △ABH ＝12•AB •HT ＝12•AH •BJ ，△HT △AT=△ET ＝AE ﹣AT ＝，△EH△AM +EM +BC 的最小值为．故答案为类型二、等腰三形存在性问题例1．（几何图形种）如图，在矩形ABCD 中，=8AB ，=5AD ，点E 是线段CD 上的一点（不与点D ，C 重合），将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，当△'C CD 为等腰三角形时，CE 的长为___________．【答案】52或203【详解】解：△四边形ABCD 是矩形 △90C ∠=︒，8,5CD AB BC AD ====△将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，△BCE BC E '≌,90C E CE BC E BCE ''∴=∠=∠=︒，BC BC '=，设CE x =，则8DE CD x x =-=- ①当C D C C ''=时，如图过点C '作,C F CD C G BC ''⊥⊥，则四边形C GCF '为矩形C D C C ''=，142C G DF FC CD '∴====，4EF x =-在Rt BC G '中，3BG =，532C F CG '∴==-= 在Rt C FE '中222C E C F EF ''=+，即()22224x x =+-，解得52x =，52CE ∴= ②当CC CD '=时，如图，设,CC BE '交于点O ，设OE y =,BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC '，11422OC OC CC CD ''∴====3OB =在Rt OCE 中222OE OC CE +=，即2224y x += 在Rt BCE 中，222BE BC CE =+，即()2223+5y x =+ 联立()22222243+5y x y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，解得203163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203EC ∴= ③当DC DC '=时，如图，又BC BC '=，DB ∴垂直平分CC ',BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC ' 此时,D E 重合，不符合题意综上所述，203=EC 或52，故答案为：52或203例2．（坐标系中）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．【答案】（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【详解】设P （a ，0），△A （0，3），B （4，0），△PB =|a -4|，PA 2=a 2+9，AB =5，△△ABP 是等腰三角形，△①当PB =AB 时，△|a -4|=5，△a =-1或9，△P （-1，0）或（9，0）， ②当PA =PB 时，△（a -4）2=a 2+9，△a =78，P （78，0），③当PA =AB 时，△a 2+9=25，△a =4（舍）或a =-4，△P （-4，0）．即：满足条件的点P 的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【变式训练1】如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG △ADG ；（2）求PAG ∠的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当12∠=∠时，求直线PE 的解析式（可能用到的数据：在Rt 中，30°内角对应的直角边等于斜边一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45PAG ∠=︒，PG OG BP =+；（3）3y -；（4）(0,3)-或3)【详解】（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO ADAG AG=⎧⎨=⎩，△AOG △ADG （HL ）．（2）在Rt △ADP 和Rt △ABP 中，AD ABAP AP =⎧⎨=⎩ΔΔADP ABP ∴≅（HL ），则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠；又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒， PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+．（3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠，又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；△在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+△222(2)3OG OG =+，解得OG =G ∴点坐标为0)，3CG = 在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+△222(2)CG CG PC =+，△3PC ==，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．②如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，G M ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．【变式训练2】如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，将△AOB沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．（1）点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）求OC 的长度；（3）在x 轴上有一点P ，且△PAB 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(4,0)，(0,3)；（2）78；（3）(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【详解】解：（1）对应一次函数334y x =-+，当0y =时，3304x -+=，解得4x =，即(4,0)A ，当0x =时，3y =，即(0,3)B ，故答案为：(4,0)，(0,3)；（2）(4,0),(0,3)A B ，4,3OA OB ∴==，由折叠的性质得：AC BC =，设OC a =，则4BC AC OA OC a ==-=-，在Rt BOC 中，222OB OC BC +=，即2223(4)a a +=-，解得78a ，即OC 的长度为78；（3）设点P 的坐标为(,0)P m ，则4PA m =-，PB 5AB ，根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①当PB AB =时，PAB △5=，解得4m =±，此时点P 的坐标为(4,0)P -或(4,0)P （与点A 重合，不符题意，舍去）； ②当PA AB =时，PAB △是等腰三角形，则45m -=，解得9m =或1m =-，此时点P 的坐标为(1,0)P -或(9,0)P ；③当PA PB =时，PAB △是等腰三角形，则4m -=解得78m =，此时点P 的坐标为7(,0)8P ；综上，点P 的坐标为(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【变式训练3】如图，在直角坐标系中，直线l ：y ＝43x +8与x 轴、y 轴分别交于点B ，点A ，直线x ＝﹣2交AB 于点C ，D 是直线x ＝﹣2上一动点，且在点C 的上方，设D （﹣2，m ）（1）求点O 到直线AB 的距离；（2）当四边形AOBD 的面积为38时，求点D 的坐标，此时在x 轴上有一点E （8，0），在y 轴上找一点M ，使|ME ﹣MD |最大，请求出|ME ﹣MD |的最大值以及M 点的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线l ：y ＝43x +8左右平移，平移的距离为t （t ＞0时，往右平移；t ＜0时，往左平移）平移后直线上点A ，点B 的对应点分别为点A ′、点B ′，当△A ′B ′D 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）4.8；（2）当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）t的值为﹣2﹣、4、﹣或9．【详解】（1）当x ＝0时，y ＝43x +8＝8，△A （0，8），△OA ＝8；当y ＝43x +8＝0时，y ＝﹣6，△B （﹣6，0），△OB ＝6．△AB10，△点O 到直线AB 的距离＝OA OBOA⋅＝4.8．（2）当x ＝﹣2时，y ＝43x +8＝163，△C （﹣2，163），△S 四边形AOBD ＝S △ABD +S △AOB ＝12CD •（x A ﹣x B ）+12OA •OB ＝3m +8＝38，解得：m ＝10， △当四边形AOBD 的面积为38时，点D 的坐标为（﹣2，10）．在x 轴负半轴上找出点E 关于y 轴对称的点E ′（﹣8，0），连接E ′D 并延长交y 轴于点M ，连接DM ，此时|ME ﹣MD |最大，最大值为线段DE ′的长度，如图1所示．DE ′= 设直线DE ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将D （﹣2，10）、E ′（﹣8，0）代入y ＝kx +b ，21080k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线DE ′的解析式为y ＝53x +403，△点M 的坐标为（0，403）．故当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）△A （0，8），B （﹣6，0），△点A ′的坐标为（t ，8），点B ′的坐标为（t ﹣6，0）， △点D （﹣2，10），△B ′D8116t -+，A ′B ′10，A ′D△A ′B ′D 为等腰三角形分三种情况：①当B ′D ＝A ′D8116t -+t ＝9； ②当B ′D ＝A ′B ′8116t -+＝10，解得：t ＝4；③当A ′B ′＝A ′D 时，有10解得：t 1＝﹣2﹣，t 2＝﹣．综上所述：当△A ′B′D 为等腰三角形时，t 的值为﹣2﹣4、﹣或9．类型三、等腰三角形中的动点问题例1.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P 沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接PQ，PC，设点P的运动时间为t(s)．（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_______（cm），BP的长为_______（cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）t；(6−t)；（2）当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）当t=3或t=9时，∆CPQ为等腰三角形．【详解】解：（1）点Q从点B出发，速度为1cm/s，点P从点A出发，速度为1cm/s，△BQ=tcm，AP=tcm，△BP=(6−t)cm，故答案为：t；(6−t)；（2）根据题意分三种情况讨论：①如图所示：当PQ⊥CB时，∠PQB=90°，△三角形ABC为等边三角形，△∠A=∠ACB=∠ABC=60°，△∠QPB=30°，△QB=12PB，由（1）可得：t=12(6−t)，解得：t=2；②如图所示：当PQ⊥AB时，∠QPB=90°，△∠ABC=60°，△∠BQP=30°，△QB=2PB，由（1）可得：t=2(6−t)，解得：t=4；③如图所示：当PQ⊥AC时，∠AQP=90°，△∠A=60°，△∠APQ=30°，△AP=2QA，由（1）可得：t=2(12−t)，解得：t=8；综上可得：当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）根据题意，分情况讨论：①当点Q在BC边上时，CQ=PQ时，如图所示：过点Q作QE⊥AB，△∠ABC=60°，△∠BQE=30°，△BE=12BQ=12t，△QE=√32t，CQ=6−t，PE=6−t−1 2t=6−32t，△PQ=√PE2+QE2=√(6−32t)2+(√32t)2△CQ=PQ，△(6−t)2=(6−32t)2+(√32t)2，解得：t=3或t=0（舍去）；②当点Q在BC边上时，CP=CQ时，如图所示：过点P作PF⊥AC，△∠CAB=60°，△∠APF=30°，△AF=12AP=12t，△PF=√32t，CQ=6−t，CF=6−12t，△CP=√PF2+CF2=12(√3 2△CP=CQ，△(6−t)2=(6−12t)2+(√32t)2，解得：t=0（舍去）；③当点Q在BC边上时，CP=PQ时，如图所示：由图可得：∠CQP>60°，∠QCP<60°，∠CQP≠∠QCP，△这种情况不成立；④当点Q在AC边上时，只讨论CP=PQ情况，如图所示：过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，△∠CAB=60°，∆ABC为等边三角形，△∠AQE =30°，AF =BF =3，△CF =3√3，AQ =12−t ， △AE =6−12t ，△QE =√32(12−t)，△EP =t −(6−12t)=32t −6，△PQ =√QE 2+EP 2=√34(12−t)2+(32t −6)2，△CF =3√3，PF =t −3，△PC =√CF 2+FP 2=√(3√3)2+(t −3)2，△PC =PQ ，△34(12−t)2+(32t −6)2=(3√3)2+(t −3)2，解得：t 1=9或t 2=6（舍去），综上可得：当t =3或t =9时，∆CPQ 为等腰三角形．【变式训练1】如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =；（1）试说明ABC ∆是等腰三角形；（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)． ①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt △ACD 中，AC 5x ，△AB ＝AC ，△△ABC 是等腰三角形；（2）①S △ABC ＝12×5x ×4x ＝40cm 2，而x ＞0，△x ＝2cm ，则BD ＝4cm ，AD ＝6cm ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ．当MN △BC 时，AM ＝AN ，即10−t ＝t ，此时t ＝5，当DN △BC 时，AD ＝AN ，此时t ＝6，综上所述，若△DMN 的边与BC 平行时，t 值为5或6； ②ΔADN 能成为等腰三角形，分三种情况：（△）若AD =AN =6，如图：则t =61=6s ；（△）若DA =DN ，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ，由1122ACDSAD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯，解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==，3615AN t s ∴==；（△）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51ANt s ∴==；综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （c ，0），a ≠0且a ，b ，c 满足条件()20a b +=．（1）直接写出△ABC 的形状；（2）点D 为射线BC 上一动点，E 为射线CO 上一点，且△ACB =120°，△ADE =60° ① 如图1，当点E 与点C 重合时，求AD 的长；② 如图2，当点D 运动到线段BC 上且CD =2BD ，求点E 的坐标；【答案】（1）等腰三角形，证明见解析；（2）①6；②0,7.E【详解】解：（1） ()20a b +=，030a b c 解得：3a bc∴ A （b -，0），B （b ，0），C （3，0），,OA OB ∴= 而,OC AB ⊥ ,AC BC ∴=ABC ∴是等腰三角形.（2）① △ACB =120°，△ADE =60°，,ACBD DAC 60,DACACD ∴是等边三角形，,AD CD AC,AC BC =30,ABCCAB 90,DAB ∴∠=︒2BD BC CD AD,AD DC BC ∴==3,,CO COAB 6,BC6.AD②在CE 上取点F ，使CF =CD ，连接DF ，记,AD CE 的交点为K ，如图所示：△AC =BC ，△ACB =120°， △△ACO =△BCO =60°， △△CDF 是等边三角形， △△CFD =60°，CD =FD ， △△EFD =120°， △△ACO =△ADE =60°，,AKCFKD △△CAD =△CED ，又△△ACD =△EFD =120°， △△ACD △△EFD （AAS ）， △AC =EF ，由（1）得：c =3， △OC =3， △△AOC =90°，△ACO =60°， △△OAC =30°， △BC =AC =2OC =6，EF =AC =6，△CD =2BD ， △BD =2，CF =CD =4， △CE =EF +CF =6+4=10， △OE =CE -OC =1037-=， △0,7.E 【变式训练3】如图，在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝6cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s ，点N 的速度为2cm/s ．当点N 第一次回到点B 时，点M 、N 同时停止运动，设运动时间为ts ．（1）当t 为何值时，M 、N 两点重合；（2）当点M 、N 分别在AC 、BA 边上运动，△AMN 的形状会不断发生变化． ①当t 为何值时，△AMN 是等边三角形； ②当t 为何值时，△AMN 是直角三角形；（3）若点M 、N 都在BC 边上运动，当存在以MN 为底边的等腰△AMN 时，求t 的值．【答案】（1）当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①2t =，△AMN 是等边三角形；②当32t =或125时，△AMN 是直角三角形；（3）8t =【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+6＝2x ，解得：x ＝6，即当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，△AB＝AC＝BC＝6cm，△△A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，△t＝6﹣2t，解得t＝2，△点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若△AMN＝90°，△BN＝2t，AM＝t，△AN＝6﹣2t，△△A＝60°，△2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得32t=；如图3，若△ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得125t=．综上所述，当t为32或125s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，△AN＝AM，△△AMN＝△ANM，△△AMC＝△ANB，△AB＝BC＝AC，△△ACB是等边三角形，△△C＝△B，在△ACM和△ABN中，△△AMC＝△ANB，△C＝△B，AC＝AB，△△ACM△△ABN（AAS），△CM＝BN，△t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)在数学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。

在考试中，等腰三角形常常出现在各类题目中，而三种压轴题型更是考察学生对等腰三角形的理解和运用能力。

本文将为大家介绍三种常见的等腰三角形压轴题型，并给出详细的解析，帮助大家更好地掌握解题技巧。

一、等腰三角形的性质首先，我们回顾一下等腰三角形的性质。

等腰三角形有两条边相等，可以分为底边和两条等腰边。

其性质如下：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。

2. 等腰三角形的两条等腰边上的两个顶角相等。

利用这些性质，我们可以解决以下三种常见的等腰三角形压轴题型。

二、题型一：等腰三角形边长第一种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其边长。

这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度或两条等腰边的长度，并要求计算等腰三角形的其他边长。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边或两条等腰边的长度表示出来。

Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他边长的表达式。

Step 3：根据所得到的表达式，计算出未知边长的具体数值。

三、题型二：等腰三角形的面积第二种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其面积。

这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度和高，并要求计算面积。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边长度和高表示出来。

Step 2：根据面积公式 S = (1/2) ×底边 ×高，计算出面积。

Step 3：得到等腰三角形的面积。

四、题型三：等腰三角形的角度第三种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其顶角的度数。

这种题型通常会给出等腰三角形的顶角的度数，并要求计算其他角的度数。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的某个顶角的度数表示出来。

Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他角度的表达式。

八年级数学上学期期中真题分类汇编(人教版)：专题01 三角形基础专项训练(解析版)(人教版)

专题01三角形基础专项训练三角形的三边关系1．（2023春·江苏常州·七年级统考期中）三角形的三边长分别为3、6和a ，其中a 为奇数，那么这个三角形的周长是（）A ．14B ．15C ．16D ．14或16【答案】D【分析】先根据三角形三边之间的关系求出a 的值，再求出周长即可．【详解】解：∵三角形的三边长分别为3、6和a ，∴6363a ，即39a ，∵a 为奇数，∴5a 或7，∴这个三角形周长为35614 或36716 ，故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）已知a ，b ，c 为ABC 的三边长，b ，c 满足22(3)0b c ，且a 为方程51a 的解，则ABC 的周长为．【答案】9【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出2b 、3c 的值，再解绝对值方程可得6a 或4a ，进而利用三角形三边关系得出a 的值，进而求出ABC 的周长．【详解】解：∵22(3)0b c ，∴20b 且30c ，∴2b 、3c ，∵a 为方程51a 的解，∴6a 或4a ，又236 ，∴4a ，则ABC 的周长为2349 ，故答案为：9．【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a 的值是解题关键．3．（2023春·上海奉贤·七年级校考期中）已知一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为．【答案】5【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．【详解】解：设第三边为a ，根据三角形的三边关系，得：7337a ，即410a ，a ∵为整数，a 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键．4．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）若a ，b ，c 是三角形的三边长，a b c a c b c a b．【答案】3c a b【分析】根据绝对值的性质和三角形的三边关系即可求得答案．【详解】∵a b c ，∴ 0a b c a b c ．∴ a b c a b c a b c ．同理可得a cb ac b ，c a b c a b ．∴a b c a c b c a ba b c a c b c a ba b c a c b c a b 3c a b ．故答案为：3c a b ．【点睛】本题主要考查三角形的三边关系和绝对值的性质，牢记三角形的三边关系（三角形两边的和大于第三边）是解题的关键．由三角形的中线求面积5．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，E 是AB 上的一点，且3AE BE ，BD 与CE 相交于点F ，若CDF 的面积为3，则ABC 的面积为．【答案】10【分析】连接AF ，根据中点可得3ADF CDF S S ，根据3AE BE 可得3AEF BEF S S ，设BEF S x ，可得4BCF S x ，进而可得:4:1ACF AEF S S ，求出x 的值，进而可求解．【详解】解：连接AF ，如图所示：∵D 是AC 的中点，3CDF S ，3ADF CDF S S ，又3AE BE ∵，3AEF BEF S S ，设BEF S x ，则3AEF S x △，ABD BCD S S ∵，333BCF S x x ，4BCF S x ，:4:1CF EF ，:4:1ACF AEF S S ，332AEF S x ，解得：12x ，122(34)102ABC BCD S S \==´+´=，故答案为：10．【点睛】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到:4:1ACF AEF S S 是解题的关键．6．（2022春·天津南开·七年级校联考期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是BC 、CD 边上的中点，求图中阴影部分的面积．【答案】323/2103【分析】连接CG ，根据三角形中线的性质可得,GBE GCE GCF GDF S S S S ，通过证明4DFG BEG ECFG S S S 四边形，得出GBE GCE GCF GDF S S S S ，即可求解．【详解】解：如图，令,BF DE 相交于点G ，连接CG ，∵正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是BC 、CD 边上的中点，∴,GE GF 分别是,BCG CDG 中线，2BE CE CF DF ，∴,GBE GCE GCF GDF S S S S ，∵12442BCF DCE S S ，∴4DFG BEG ECFG S S S 四边形，∴GBE GCE GCF GDF S S S S ，∴14433GBE GCE GCF GDF S S S S ，∴阴影部分的面积 43244433GBE GCE GCF GDF ABCD S S S S S 正方形，故答案为：323．【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形面积分为相等是两部分．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考期中）如图，在ABC 中，点E 为AB的中点，点D 为BC 延长线上一点，连接DE ，DE 与AC 边交于点F ，23BC DC ，若DBE 的面积为4，则DFC △的面积为．【答案】95【分析】连接AD BF ，，由线段比转化得到面积比，设23BFC DFC S x S x ，，结合中线的性质得到关于面积的方程求解即可．【详解】解：连接AD BF ，，23BC DC ∵32DFC DAC BFC BAC S S S S 设23BFC DFC S x S x ，，∵点E 是AB 中点，∴DAE DBE FAE FBE S S S S ，，325DAF DBF S S x x x ，538DAC S x x x ，216833BAC S x x，1610233BAF S x x x，1523BEF BAF S S x ，52023433DEB S x x x x ，35x ，393355DFC S x ，故答案为：95．【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，利用线段比转化为面积比并结合中线的性质列方程是解决本题的关键．8．（2023春·江苏无锡·七年级统考期中）如图，在ABC 中，8AB ，10AC ，3CD BD ，点E 是AC 的中点，BE 、AD 交于点F ，则四边形DCEF 的面积的最大值是（）A ．24B ．22C ．20D ．18【答案】D 【分析】连接CF ，设 BFD S a ，由三角形面积公式可得3CFD S a ，3ADC ABD S S ，由点E 是AC 的中点，得ABE CBE S S ，AFE CEF S S ，进而得4ABF CBF S S a ，5ABD S a ，15ADC S a ，12AFC S a ，20ABC S a ，6EFC S a ，得出9DCEF S a 四边形，通过讨论ABC 的面积最大值得四边形DCEF 的面积最大值．【详解】解：连接CF ，设 BFD S a ，3CD BD ∵，3CFD S a ，3ADC ABD S S ，∵点E 是AC 的中点，ABE CBE S S ，AFE CEF S S ，4BFD C ABF CB F F D S a S ，45ABF BFD ABD S a S a S a ，15ADC S a ，51520ABC ABD ADC S S S a a a204412ABC ABF C A B FC F a S S S a S a a ，126A EF FC C S a S ，639F DCE C F E C FD S a a S S a 四边形，920ABC DCEF S S 四边形，∵在ABC 中，8AB ，10AC ，1810402ABC S 的最大值，四边形DCEF 的面积的最大值是18，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的面积，已知两边三角形面积的最大值等知识，解题关键是理解运用同高的两个三角形面积之比等于底边之比．由三角形中线求长度9．（2022秋·浙江杭州·八年级统考期中）已知等腰三角形的底边长为10cm ，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为6cm ，则腰长为．【答案】16cm /16厘米【分析】设腰长为cm x ，分腰长和腰长的一半长的和和腰长的一半和底边长的和进行讨论求解即可．【详解】解：设腰长为cm x ，依题意得，当腰长和腰长的一半长的和比腰长的一半和底边长的和大时，1110622x x x ，解得16cm x ，当腰长的一半和底边长的和比腰长和腰长的一半长的和大时，1110622x x x 骣琪+-+=琪桫，解得4cm x ，因为4410 ，所以4cm x 不符合题意舍弃．故答案为：16cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形的性质，掌握相关知识并分情况讨论是解题的关键．10．（2022春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）在ABC 中，BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，则AC 的长为．【答案】3cm 或8cm 【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD ，然后求出ABD △与ADC △的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD CD ，∵中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，∴ 5AB BD AD AC CD AD 或 5AC CD AD AB BD AD ，∴5AB AC 或者5AC AB ，∵AB 与AC 的和为11cm ，∴11AB AC ，∴83AB AC 或38AB AC，故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．11．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）如图，在ABC 中AB BC （＞），2AC BC ＝，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，求AC 和AB 的长．【答案】5636AC AB ＝，＝【分析】先根据2AC BC 和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①70AC CD ，②50AC CD ，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．【详解】解：设BD CD x ，则24AC BC x ，∵BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成70和50两部分，AB BC ＞，①当7050AC CD AB BD ，时470x x ，解得：14x ，∴441456AC x ，14BD CD ，∴50501436AB BD ，∴3628AB BC ＞，满足条件∵36286456BC AB AC ＞，满足三边关系，∴5636AC AB ，；②当5070AC CD AB BD ，时，450x x ，解得：10x ，∴441040AC x ，∴10BD CD ，20BC ，70701060AB BD ，∵402060AC BC AB ，∴此时构不成三角形，∴舍去，∴5636AC AB ，．【点睛】本题考查了三角形中线的性质和三边的关系，解题的关键是找到等量关系，列出方程．12．（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图所示，在ABC 中，AB AC ，AC 边上的中线把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两部分，求这个三角形的边BC 的长．【答案】14cm 或22cm【分析】方法1：设2cm AB AC x ，cm BC y ，进而得出1cm 2AD CD AC x，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．方法2：设cm AD CD a ，进而表示出2cm AB AC a ， 544cm BC a ，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论．【详解】解法1：设2cm AB AC x ，cm BC y ，∵点D 是AC 的中点，∴1cm 2AD CD AC x ，∵AC 边上的中线把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两部分，∴①22430x x x y，解得822x y ，∴22cm BC ，②23024x x x y，解得1014x y ，∴14cm BC ，解法2、∵BD 是ABC 的中线，∴2AC CD AD ，设cm AD CD a ，∴2cm AB AC a ，∵AC 边上的中线把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两部分，∴ 24304544cm BC a a ，①当24cm AB AD 时，∴224a a ，∴8a ，∴544543222cm BC a ，②当30cm AB AD 时，∴230a a ，∴10a ，∴544544014cm BC a ，综上，BC 为14cm 或22cm ．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，分类讨论的思想，解本题的关键是建立方程组求解．三角形的高线13．（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在Rt ABC △中，90ABC ，点D 沿BC 自点B 向点C 运动（点D 与点B ，C 不重合），作BE AD 于点E ，CF AD 的延长线于点F ，在点D 的运动过程中，BE CF 的值逐渐（填“增大”，“减小”或“不变”）．【答案】减小【分析】根据点D 沿BC 自点B 向点C 运动时，Rt ABC △的面积不变，但是AD 会增大，由面积公式可得BE CF 的值逐渐减小【详解】解：由ABC ABD ACD S S S △△得：1122ABC S AD BE AD CF△ 12AD BE CF ∵Rt ABC △的面积不变，但是点D 沿BC 自点B 向点C 运动时，AD 会增大，∴BE CF 的值逐渐减小，故答案为：减小【点睛】本题考查了三角形的动点问题，利用三角形的面积转换是解决问题的关键14．（2023春·辽宁大连·七年级统考期中）如果一个多边形的内角和为1260 ，那么这个多边形是边形．【答案】九【分析】设它的边数为n ，根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设它的边数为n ，根据题意，得(2)1801260n ，解得9n ，所以这是一个九边形．故答案为：九．【点睛】本题考查多边形内角和与外角，掌握多边形的内角和公式是解决问题的关键．15．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）已知平面直角坐标系中， 3,4A ， 2,1B ， 1,0C ，延长AB 与x 轴交于一点P ，若13PBC ABC S S ，则P 点的坐标为．【答案】11,03【分析】过点A 作AD x 轴于点D ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，根据 3,4A ， 2,1B ， 1,0C ，求出7ABC S △，得出17733PBC S ，设点P 的坐标为 0m ,，得出 17123m ，求出m 的值，即可得出答案．【详解】解：过点A 作AD x 轴于点D ，过点B 作BE x ⊥轴于点E ，如图所示：∵ 3,4A ， 2,1B ， 1,0C ，∴1BE ， 123EC ，312CD ， 325DE ，4 AD ，∴ABC BCE ACDABED S S S S 梯形 11114513242227 ，∴17733PBC S ，设点P 的坐标为 0m ,，∵ 1,0C ，∴1CP m ，∴ 17123m ，解得：113m，∴点P 的坐标为11,03．故答案为：11,03．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中三角形的面积计算，解题的关键是作出辅助线，利用割补法求出ABC 的面积．三角形的角平分线16．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，AE 是△ABC 的角平分线，AD ⊥BC 于点D .若∠BAC ＝128°，∠C ＝36°，则∠DAE 的度数是()A ．10°B ．12°C ．15°D ．18°【答案】A 【分析】根据角平分线定义求出∠EAC=64°,根据垂线定义求出∠CAD=54°,相减即可求解.【详解】解：∵AE 平分∠BAC,∠BAC ＝128°，∴∠EAC=64°,∵AD ⊥BC,∠C ＝36°，∴∠CAD=54°,∴∠DAE=∠EAC-∠DAC =64°-54°=10°,故选A.【点睛】本题考查了角平分线的定义,垂线的定义,属于简单题,表示出∠EAD=∠EAC-∠DAC 是解题关键.17．（2018秋·浙江杭州·八年级统考期中）如图，BF 是ABD 的平分线，CE 是ACD 的平分线，BF 与CE 交于点G ．若140BDC ，110BGC ，则A 的度数为（）A ．70B ．80C ．50D ．55【答案】B 【详解】解：如图，连接BC ．∵140BDC ，∴18014040DBC DCB ．∵110BGC ，∴18011070GBC GCB ．∵BF 是ABD 的平分线，CE 是ACD 的平分线，∴113022GBD GCD ABD ACD ，∴30240100ABC ACB ，∴18010080A ．故选B ．18．（2021秋·安徽安庆·八年级校考期中）如图，∠MAN ＝100°，点B ，C 是射线AM ，AN 上的动点，∠ACB 的平分线和∠MBC 的平分线所在直线相交于点D ，则∠BDC 的大小为()A ．40°B ．50°C ．80°D ．随点B ，C 的移动而变化【答案】B 【详解】试题解析：∵CD 平分∠ACB ，BE 平分∠MBC ，∴∠ACB=2∠DCB ，∠MBC=2∠CBE ，∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB ，∠CBE=∠D+∠DCB ，∴2∠CBE=∠D+∠DCB ，∴∠MBC=2∠D+∠ACB ，∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB ，∴∠A=2∠D ，∵∠A=100°，∴∠D=50°．故选B ．19．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，CD ＝3，AB ＝12，则△ABD 的面积为．【答案】18【分析】过点D 作DE AB 于点E ，先根据角平分线的性质可得3DE CD ，再利用三角形的面积公式即可得．【详解】解：如图，过点D 作DE AB 于点E ，90C ∵，CD AC ，又AD ∵平分CAB ，3CD ，3DE CD ，12AB ∵，ABD 的面积是111231822AB DE ，故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．三角形的角20．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）例题再现：（1）如图1，五角星的顶角分别是,,,,A B C D E ，则A B C D E _________（直接写出答案）；知识链接n 边形的内角和等于 2180 n ．变式拓展：（2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角A ．①求B C D E P Q 的度数；②若8B C D E A ，求P Q 的度数．【答案】（1）180 （2）①360 ②200【分析】（1）利用三角形的外角的性质和三角形的内角和进行求解即可；（2）①三角形的外角的性质得到QGF B D ，PFG C E ，进而得到42180360QGF PFG P Q ，即可得解；②根据180A B C D E 以及8B C D E A ，求出A ，进而求出B C D E ，再利用①中结论进行求解即可。

八年级下册数学期中好题必刷专题01 三角形的证明(北师大版)(解析版)

专题01 三角形的证明一、单选题1．（广东韶关·八年级期中）若三角形内一点到三边的距离相等,则这个点是（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点【答案】D【提示】根据角平分线的判定定理到角两边距离相等的点在角平分线上,得出到到三边的距离相等的点是三角形三个角的平分线交点即可．【解答】解：根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上,∴到到三边的距离相等的点是三角形三个角的平分线交点．故选择D．【点睛】本题考查角平分线的判定,以及角平分线交点的性质,掌握角平分线的判定与性质是解题关键．2．（湖北省直辖县级单位·八年级期中）如图,Rt△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB ＝10,S△ABD＝15,则CD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【提示】过点D作DE⊥AB于E,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图,过点D作DE⊥AB于E,∵∠C=90°,AD平分∠BAC, ∴DE=CD,∴S△ABD=12AB×DE=12×10×DE=15,解得DE=3,∴CD=DE=3,故选：A．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质,能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．3．（黑龙江·牡丹江四中八年级期中）等腰三角形底边长为5,一腰上的中线把周长分成两部分的差为3cm,则腰长为（）A．8cm或2cm B．2cm C．8cm D．8cm或25cm【答案】C【提示】根据题意,画出图形,然后分两种情况讨论,即可求解．【解答】解：如图,CD为△ABC的中线,AB=AC,底边BC=5cm,∴AD=BD,根据题意得：当（AD+AC+CD）-（BD+BC+CD）=3cm时,则AC-BC=3cm,∴AB=AC=8cm；当（BD+BC+CD）-（AD+AC+CD）=3cm时,则BC -AC =3cm,∴AB=AC=2cm,∵4AB AC BC +=<,不合题意,舍去；综上所述,腰长为8cm ．故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 4．（山东济宁·八年级期中）如图,已知ABC 是等边三角形,点B ,C ,D ,E 在同一直线上,且CG CD =,DF DE =,则E ∠=（）A ．30°B ．20°C ．15°D ．10°【答案】C 【提示】由于△ABC 是等边三角形,那么∠B ＝∠1＝60°,而CD ＝CG ,那么∠CGD ＝∠2,而∠1是△CDG 的外角,可得∠1＝2∠2,同理有∠2＝2∠E ,等量代换有4∠E ＝60°,即可求得∠E ．【解答】解：如图所示,∵△ABC 是等边三角形, ∴∠B ＝∠1＝60°, ∵CD ＝CG , ∴∠CGD ＝∠2,∴∠1＝∠CGD +∠2=2∠2, ∵DF =DE , ∴∠DFE =∠E ,∴∠2＝∠DFE +∠E =2∠E , ∴4∠E ＝60°, ∴∠E ＝15°．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质,解题的关键是利用外角性质得出∠1=2∠2,∠2=2∠E ．5．（辽宁·沈阳市第四十三中学八年级期中）如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠B =15°,AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于E ,若DB =10cm,则CD 的长为（）A ．5B ．3C ．55D ．10【答案】B 【提示】利用线段垂直平分线的性质求得AD =BD =10 cm,及∠ADC =30°,再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【解答】解：∵AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于E , ∴AD =BD =10 cm,∠DBA =∠BAD =15°, ∴∠ADC =30°, ∴AC =12AD =5（cm ）,CD 222210553AD AC --=cm ）．故选：B 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形,勾股定理,解题的关键是：熟记含30°角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质及三角形的外角性质．6．（重庆市凤鸣山中学八年级期中）如图,在ABC 中,AB AC =,36A ∠=︒,AB 的中垂线DE 交AC 于点D ,交AB 于点E ,下述结论中正确的是（）A ．点D 是线段AC 的中点B ．AD BD BC == C ．BDC 的周长等于AB CD + D ．BD 平分EDC ∠【答案】B 【提示】由在△ABC 中,AB ＝AC ,∠A ＝36°,根据等边对等角与三角形内角和定理,即可求得∠ABC 与∠C 的度数,又由AB 的垂直平分线是DE ,根据线段垂直平分线的性质,即可求得AD ＝BD ,继而求得∠ABD 的度数,则可知BD 平分∠ABC ；可得△BCD 的周长等于AB ＋BC ,又可求得∠BDC 的度数,求得AD ＝BD ＝BC ,则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：∵36A ∠=︒,AB AC =, ∴72ABC C ∠=∠=︒, ∵DE 垂直平分AB , ∴AD BD =, ∴36ABD A ∠=∠=︒, ∴36DBC ∠=︒, ∵C DBC ∠>∠, ∴BD ＞CD , ∴AD ＞CD ,∴点D 不是线段AC 的中点,故A 错误； ∵∠DBC ＝36°,∠C ＝72°,∴∠BDC ＝180°−∠DBC −∠C ＝72°, ∴∠BDC ＝∠C , ∴BD ＝BC ,∴AD ＝BD ＝BC ,故B 正确；∴△BCD 的周长为：BC ＋CD ＋BD ＝BC ＋CD ＋AD ＝BC ＋AC ＝BC ＋AB ,故C 错误； ∵在△ABC 中,AB ＝AC ,∠A ＝36°,∴∠ABC＝∠C＝180362︒-︒＝72°,∵AB的垂直平分线是DE,∴AD＝BD,∴∠ABD＝∠A＝36°,∴∠DBC＝∠ABC−∠ABD＝72°−36°＝36°,∴72BCD BDC∠=∠=︒,∵9054EDB ABD∠=︒-∠=︒,∴EDB BDC∠≠∠,故D错误；故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识．此题综合性较强,但难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用,注意等腰三角形的性质与等量代换．7．（江苏苏州·八年级期中）如图,四边形ABCD中,AC、BD是对角线,△ABC是等边三角形,∠ADC＝30°,AD＝4,BD＝6,则CD的长为（）A．25B．5 C．2 D．213【答案】A【提示】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接CE,DE,由旋转的性质知DC=EC、∠DCE=∠ACB=60°、BD=AE=6,即可得△DCE为等边三角形,根据∠ADC=30°得到∠ADE=90°,根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图所示,将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接CE,DE,由旋转的性质知DC =EC ,∠DCE =∠ACB =60°,BD =AE =6, 则△DCE 为等边三角形, ∵∠ADC =30°, ∴∠ADE =90°, ∴AD 2+DE 2=AE 2, ∴42+DE 2=62, ∴DE =CD =25．故选：A ．【点睛】本题考查旋转变换,熟练掌握旋转变换的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,正确的作出辅助线是解题的关键．8．（福建·龙岩二中八年级期中）如图,在Rt ACB 中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥垂足为D ．ABD △与'ADB 关于直线AD 对称,点B 的对称点是点'B ,若'14B AC ∠=︒,则B 的度数为（）A ．38︒B ．48︒C ．52︒D ．54︒【答案】D 【提示】通过折叠角相等,∠BAD ＋∠B ´AD ＋∠B ´AC ＝90°计算得∠BAD ,进而用余角进行计算．【解答】解：∵∠BAD ＋∠B ´AD ＋∠B ´AC ＝90°,且∠BAD ＝∠B ´AD ,∠B ´AC ＝14°, ∴∠BAD ＝38°, ∴∠B ＝90°−38°＝52°. 故选：D ．【点睛】本题考查折叠以及直角三角形中角的转化与计算,属于中考常考题型．9．（福建师范大学附属中学初中部八年级期中）如图,直线m 是△ABC 中BC 边的垂直平分线,点P是直线m 上的一动点,若AB ＝5,AC ＝4,BC ＝6,则△APC 周长的最小值是（）A ．9B ．10C ．11D ．12.5【答案】A 【提示】根据垂直平分线的性质BP PC =,所以APC △周长9AC AP PC AC AP BP AC AB =++=++≥+=. 【解答】∵直线m 是ABC 中BC 边的垂直平分线, ∴BP PC =∴APC △周长AC AP PC AC AP BP =++=++ ∵两点之间线段最短 ∴AP BP AB +≥APC ∴的周长AC AP BP AC AB =++≥+ 4AC =,5AB =∴APC △周长最小为9AC AB += 故选：A 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理,以及两点之间线段最短.做本题的关键是能得出AP BP AB +≥,做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件,联系相关定理得出结论,再根据结论进行推论．10．（2022·全国·八年级期中）如图,等腰ABC 中,AB AC =,120BAC ∠=︒,AD DC ⊥于D ,点O 是线段AD 上一点,点P 是BA 延长线上一点,若OP OC =,则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】A【提示】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO,∠DCO＝∠DBO,则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD,据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点,所以BO不一定是∠ABD的角平分线,可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC,即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OP A≌△CPE,则AO ＝CE,得AC＝AE+CE＝AO+AP．【解答】解：①如图1,连接OB,∵AB＝AC,AD⊥BC,∴BD＝CD,∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°,∴OB＝OC,∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC,∴OB＝OC＝OP,∴∠APO＝∠ABO,∠DCO＝∠DBO,∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°,故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO,∠DCO＝∠DBO,∵点O是线段AD上一点,∴∠ABO与∠DBO不一定相等,则∠APO与∠DCO不一定相等,故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°,∴∠APC+∠DCP＝150°,∵∠APO+∠DCO＝30°,∴∠OPC+∠OCP＝120°,∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°, ∵OP＝OC,∴△OPC是等边三角形,故③正确；④如图2,在AC上截取AE＝P A,∵∠P AE＝180°﹣∠BAC＝60°,∴△APE是等边三角形,∴∠PEA＝∠APE＝60°,PE＝P A,∴∠APO+∠OPE＝60°,∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°,∴∠APO＝∠CPE,∵OP＝CP,在△OP A和△CPE中,PA PEAPO CPEOP CP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△OP A≌△CPE（SAS）,∴AO＝CE,∴AC＝AE+CE＝AO+AP,∴AB＝AO+AP,故④正确；正确的结论有：①③④,故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识,正确作出辅助线是解决问题的关键．二、填空题11．（云南·弥勒市长君实验中学八年级期中）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则该等腰三角形的顶角度数为__________．【答案】40°或140°【提示】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【解答】解：①当为锐角三角形时,如图1,∵∠ABD＝50°,BD⊥AC,∴∠A＝90°−50°＝40°,∴三角形的顶角为40°；②当为钝角三角形时,如图2,∵∠ABD＝50°,BD⊥AC,∴∠BAD＝90°−50°＝40°,∵∠BAD＋∠BAC＝180°,∴∠BAC＝140°∴三角形的顶角为140°,故答案为40°或140°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,做题时,考虑问题要全面,必要的时候可以做出模型帮助解答,进行分类讨论是正确解答本题的关键,难度适中．12．（上海市西南位育中学八年级期中）如图在△ABC中,AB＝AC,BF＝CD,BD＝CE,∠FDE＝70°,那么∠A＝_____．【答案】40°【提示】先证明△BDF≌△CED,得到∠BFD=∠CDE,根据三角形的内角和与平角的定义推出∠FDE与∠B相等,再利用三角内角和定理整理即可得出结论．【解答】解：∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BDF和△CED中,BF CDB CBD CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△BDF≌△CED（SAS）,∴∠BFD=∠CDE,∴∠FDE=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B,∵∠FDE=70°,∴∠B=70°,∵∠B+∠C+∠A=180°,∴∠A=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定．解题的关键是通过三角形全等利用角的等量代换得到∠FDE =∠B ．13．（山东济宁·八年级期中）如图,AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线,DE AB ⊥于点E ,7ABC S =△,2DE =,4AB =,则AC 长是______．【答案】3 【提示】作DF ⊥AC 于点F ,由角平分线的性质可得DF =DE =2,然后根据三角形的面积公式求解．【解答】解：作DF ⊥AC 于点F ,∵AD 是ABC 中BAC ∠的角平分线,DE AB ⊥, ∴DF =DE =2, ∵11722AB DE AC DF ⋅+⋅=, ∴11422722AC ⨯⨯+⨯=, ∴AC =3, 故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键． 14．（北京市师达中学八年级期中）如图,BD 是∠ABC 的平分线,点P 是射线BD 上一点,PE ⊥BA 于点E ,2PE =,点F 是射线BC 上一个动点,则线段PF 的最小值为_________．【答案】2【提示】过P作PH⊥BC,根据垂线段最短得出此时PH的长最小,根据角平分线的性质得出PE=PH,再求出答案即可．【解答】解：过P作PH⊥BC,此时PH的长最小,∵BD是∠ABC的平分线,PH⊥BC,PE⊥BA,∴PE=PH,∵PE=2,∴PH=2,即PF的最小值是2,故答案为：2.【点睛】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质,能找出当PF最小时点F的位置是解此题的关键．∠+∠+∠=______°．15．（浙江杭州·八年级期中）如图是单位长度为1的正方形网格,则123【答案】135如图,证明ABC≌AEF可得1390∠+∠=︒,根据等腰直角三角形的性质可得245∠=︒,进而即可求得答案．【解答】解：如图,在ABC与AEF 中AB AEB EBC FE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABC≌AEF∴4=3∠∠1490∠+∠=︒1390∴∠+∠=︒245∴∠=︒123135∴∠+∠+∠=︒故答案为：135【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,等腰直角三角形的性质,掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．16．（江苏·无锡市江南中学八年级期中）已知直角三角形△ABC的三条边长分别为3,4,5,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画___条．【答案】6【提示】根据等腰三角形的性质分别利用AB,AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．解：如图所示：当BC 2=CC 2,AC 1=AC ,BC =BC 3,BC =CC 4,BC =CC 5,C 6A =C 6B 都能得到符合题意的等腰三角形．故答案为：6．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识,正确利用图形分类讨论得出是解题关键．17．（福建·厦门市湖里中学八年级期中）如图,ABC 中,6AB =,4AC =,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB 于点E ,BF ⊥AC 于点F ,2DE =,则BF 的长为______．【答案】5 【提示】过点D 作DG AC ⊥,根据角平分线的性质可得2DG DE ==,结合图形得出6ABDS=,4ACDS=,10ABCS=,利用等面积法计算即可得出结果．【解答】解：如图所示：过点D 作DG AC ⊥,∵AD 平分BAC ∠,DG AC ⊥,DE AB ⊥,∴2DG DE ==, ∵6AB =,4AC =, ∴1·62ABDS AB DE ==,1·42ACDS AC DG ==, ∴10ABCABDACDS S S=+=,∴1·102ABCSAC BF ==, 即14?102BF ⨯=, 解得：5BF =, 故答案为：5．【点睛】题目主要考查角平分线的性质及三角形等面积法求三角形的高,理解题意,熟练掌握运用角平分线的性质是解题关键．18．（云南·云大附中八年级期中）如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ,过点G 作EF //BC 交AB 于E ,交AC 于F ,过点G 作GD AC ⊥于D ,下列五个结论：①EF BE CF =+；②BE CF =；③1902BGC A ∠=︒+∠；④点G 到△ABC 各边的距离相等；⑤设GD m =,AE AF n +=,则AEF S mn =△．其中正确的结论是______（请填写序号）．【答案】①③④ 【提示】①根据BG 、CG 为角平分线,且EF ∥BC ,可得△BEG 和△CFG 为等腰三角形,从而得出结论； ②G 为角平分线交点,不能得到BE 和CF 相等；③先根据角平分线的性质得出∠GBC +∠GCB =12（∠ABC +∠ACB ）,再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线定理即可得出答案；⑤连接AG,根据三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：①∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ； ∴∠EBG =∠CBG ,∠FCG =∠BCG ．∵EF ∥BC ,∴∠EGB =∠CBG ,∠FGC =∠BCG ； ∴∠EBG =∠EGB ,∠FGC =∠FCG , ∴EB =EG ,FG =FC ,∴EF =EG +FG =BE +CF ,故本小题正确；②G 点是角平分线的交点,G 不一定是EF 中点,故本小题错误； ③∵∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ； ∴∠GBC +∠GCB =12ABC ACB ∠+∠（）=18012A ︒-∠（）,∴∠BGC =180GBC GCB ︒-∠+∠（）=11180802A ︒-︒-∠（）=190+2A ︒∠,故本小题正确； ④∵CG 平分∠ACB ,∴G 到AC 、BC 的距离相等； ∵BG 平分∠ABC ,∴G 到AB 、BC 的距离相等； ∴G 到三边的距离都相等,故本小题正确；⑤连接AG ,∵点G 是角平分线的交点,GD m =,AE AF n +=, ∴1122AEF S AE GD AF GD =⋅+⋅△=()12AE AF GD +⋅=12nm ,故本小题错误．答案为：①③④【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的性质与判定、角平分线的性质、三角形内角和定理,熟练掌握相关内容是解题的关键．三、解答题19．（广东·深圳市福田区第二实验学校八年级期中）如图,在△ABC 中,AB ＝4,BC 5点D 在AB 上,且BD ＝1,CD ＝2．(1)求证：CD ⊥AB ； (2)求AC 的长．【答案】(1)见解析 13【提示】（1）根据勾股定理逆定理证明△BCD 是直角三角形,即可得证；（2）先求得AD ＝AB DB -3=,在Rt △ACD 中,勾股定理求解即可． (1)证明：∵在△BCD 中,BD ＝1,CD ＝2,BC 5∴BD 2＋CD 2＝12＋2252＝BC 2, ∴△BCD 是直角三角形,且∠CDB ＝90°, ∴CD ⊥AB ； (2)解：∵CD ⊥AB , ∴∠ADC ＝90°, ∵AB ＝4,DB ＝1, ∴AD ＝3,在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,∴AC 22AD CD +2232+13∴AC 13 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理,掌握勾股定理是解题的关键． 20．（天津·八年级期中）如图,AC BC ⊥,BD AD ⊥,AC 与BD 交于点O ,AC BD =．(1)求证：ΔΔADB BCA ≅； (2)求证：OAB ∆是等腰三角形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【提示】根据AC BC ⊥,BD AD ⊥可证角相等并等于90度,进而可证Rt ABD Rt BAC ≌；由（1）可知Rt ABD Rt BAC ≌,进而可证OA OB =,从而可证OAB 是等腰三角形． (1) 证明：AC BC ⊥,BD AD ⊥90D C ∴∠=∠=︒,在Rt ABD △和Rt BAC 中,AC BDAB BA =⎧⎨=⎩, ∴()Rt ABD Rt BAC HL ≌． (2)∵Rt ABD Rt BAC ≌DBA CAB ∴∠=∠,OA OB ∴=,即OAB 是等腰三角形．【点睛】本题考查直角三角形的判定,全等三角形的性质,等腰三角形的证明,能够找到判定全等所需的条件进行全等判定是解决本题的关键．21．（重庆·八年级期中）点C 、D 都在线段AB 上,且AD BC =,AE BF =,A B ∠=∠,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证：ΔΔACE BDF ≅； (2)若10CE =,4DG =,求EG 的长．【答案】(1)见解析 (2)6 【提示】（ 1）由“SAS ”可证ΔΔACE BDF ≅；（ 2）由全等三角形的性质可得ACE BDF ∠=∠,可得4CG DG ==,即可求解． (1) 证明：AD BC =,AD DC BC DC ∴+=+,AC BD ∴=,在ACE ∆与BDF ∆中, AC BD A B AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()ΔΔACE BDF SAS ∴≅；(2)由（1）得：ΔΔACE BDF ≅,ACE BDF ∴∠=∠, 4CG DG ∴==,1046EG CE CG ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键． 22．（广东·珠海市文园中学八年级期中）如图,已知：E 是∠AOB 的平分线上一点,EC ⊥OB ,ED ⊥OA ,C 、D 是垂足,连接CD ,且交OE 于点F ．(1)求证：OE是CD的垂直平分线；(2)若∠AOB=60°,请直接写出OE与EF之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)OE=4EF【提示】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论．(1)证明：∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,∴DE=CE,∵OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,∴△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的平分线,∴OE是CD的垂直平分线；(2)解：∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°,∴∠AOE=∠BOE=30°,∵EC⊥OB,ED⊥OA,∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,∴∠EDF=30°,∴OE=4EF．【点睛】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知以上知识是解答此题的关键．23．（山东·昌乐县教学研究室八年级期中）△ABC中,AB＝AC,BD平分∠ABC交AC于点D,从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．（1）若∠BAC＝40°,求∠E的度数；（2）点F是BE上一点,且FE＝BD．取DF的中点H,请问AH⊥BE吗？试说明理由．【答案】（1）∠E＝35°；（2）AH⊥BE．理由见解析．【提示】（1）根据等腰三角形两底角相等,已知顶角,可以求出底角,再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数,最后根据两直线平行,内错角相等求出；（2）由“SAS”可证△ABD≌△AEF,可得AD=AF,由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠BAC=40°,∴∠ABC=12（180°-∠BAC）=70°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=12∠ABC=35°,∵AE∥BC,∴∠E=∠CBD=35°；（2）∵BD平分∠ABC,∠E=∠CBD, ∴∠CBD=∠ABD=∠E,在△ABD和△AEF中,AB AEE ABDBD EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△AEF（SAS）,∴AD=AF,∵点H是DF的中点,∴AH⊥BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键．24．（广西柳州·八年级期中）如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交AC于M．（1）若∠B=70°,则∠NMA的度数是_________．（2）连接MB,若AB=8cm,BC=6cm．①求△MBC的周长；②在直线MN上是否存在点P,使由P,B,C构成的△PBC的周长值最小?若存在,直接写出△PBC的周长最小值；若不存在,说明理由．【答案】（1）50°；（2）①14cm；②存在,14cm．【提示】（1）根据等腰三角的性质,三角形的内角和定理,可得∠A的度数,根据直角三角形两锐角的关系,可得答案；（2）①根据垂直平分线的性质,可得AM与MB的关系,再根据三角形的周长,可得答案；②根据两点之间线段最短,可得P点与M点的关系,可得PB+PC与AC的关系．【解答】解：（1）∵∠B=70°,AB=AC,∴∠B=∠C=70°,∴∠A=180°-∠B-∠C=50°,∵MN⊥AB,∴∠ANM=90°,∴∠NMA=90°-∠A=50°,故答案为：50°；（2）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB=MA,又∵BC=6cm,AC=BC=8cm,∴△MBC的周长是MB+MC+BC= MA+MC+BC=AC+BC=14(cm)；②当点P与M重合时,△PBC周长的值最小,理由：∵PB+PC=P A+PC,P A+PC≥AC,∴P与M重合时,P A+PC=AC,此时PB+PC最小,∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14(cm)．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质,等腰三角形的性质,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键．25．（江苏盐城·八年级期中）如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．（1）求证：AD垂直平分EF；（2）若AB+AC＝10,S△ABC＝15,求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）3DE（1）由角平分线的性质得DE ＝DF ,再根据HL 证明Rt △AED ≌Rt △AFD ,得AE ＝AF ,从而证明结论；（2）根据DE ＝DF ,得111++()15222ABDACDS SAB ED AC DF DE AB AC ==+=,代入计算即可．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高, ∴DE ＝DF ,在Rt △AED 与Rt △AFD 中,AD ADDE DF =⎧⎨=⎩, ∴Rt △AED ≌Rt △AFD （HL ）, ∴AE ＝AF , ∵DE ＝DF ,∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE ＝DF , ∴111++()15222ABDACDSSAB ED AC DF DE AB AC ==+=, ∵AB +AC ＝10, ∴DE ＝3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,解题的关键是掌握这些知识点．26．（湖北武汉·八年级期中）如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A =30°,D 为AB 上一点,以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．（1）如图1,当点E 在边AC 上时,求证：DE ＝AE ；（2）如图2,当点E 在△ABC 内部时,猜想ED 和EA 数量关系；（3）当点E 在△ABC 外部时,过点E 作EH ⊥AB 点H ,EF ∥AB ,CF ＝2,AH ＝3．直接写出AB 的长为．【答案】（1）见解析；（2）ED =EA ,理由见解析；（3）16（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角的性质得到∠EDA＝∠A,根据等腰三角形的判定定理证明；（2）取AB的中点O,连接CO、EO,分别证明△BCD≌△OCE和△COE≌△AOE,根据全等三角形的性质证明；（3）取AB的中点O,连接CO、EO、EA,根据（2）的结论得到△CEF≌△DCO,根据全等三角形的性质解答．【解答】（1）证明：∵△CDE是等边三角形,∴∠CED＝∠DCE=60°,∴∠EDA＝60°﹣∠A＝30°,∵∠A=30°,∴∠EDA=30°,∴∠EDA＝∠B,∴DE＝EA；（2）结论：ED＝EA,理由：如图2中,取AB的中点O、EO,∵∠ACB＝90°,∠BAC＝30°,∴∠B＝60°,OC＝OB,∴△BCO为等边三角形,∴CB＝CO=BO=AO,∵△CDE是等边三角形,∴∠BCD＝∠OCE,在△BCD和△OCE中,CB COBCD OCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∠COE＝∠B＝60°,∴∠AOE＝60°,在△COE和△AOE中,OC OACOE AOEOE OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△COE≌△AOE（SAS）,∴EC＝EA,∴ED＝EA；（3）解：如图3中,取AB的中点O、连接EO,AE,由（2）得△BCD≌△OCE,∴∠COE＝∠B＝60°,∴∠AOE＝60°,同法可得△COE≌△AOE,∴EC＝EA,∴ED＝EA,∵EH⊥AB,∴DH＝AH＝5,∵EF∥AB,∴∠F＝180°﹣∠B＝120°,∵∠FCD＝∠FCE+60°＝∠CDB+60°,∴∠FCE＝∠CDB,在△CEF和△DCO中,F CODECF ODCCE CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴CF＝OD＝2,∴OA＝OD+AD＝2+6＝8,∴AB＝2OA＝16．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握等边三角形判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．27．（四川·成都外国语学校八年级期中）如图1,在△ABC中,AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE交于点F,∠ACE＝45°．(1)求证：△AEF≌△CEB．(2)若G在BC的延长线上,连接GA,若GA＝GB,求证：AC平分∠DAG．(3)如图2,在（2）的条件下,H为AG的中点,连接DH交AC于M,连接EM、ED,若S△EMC＝4,∠BAD ＝15°,求AM的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【提示】（1）先判断出AE=CE,再利用等角的余角相等判断出∠EAF=∠ECB,进而判断出AEF CEB△≌△,即可得出结论；（2）先利用三角形外角的性质得出∠AEF=45︒+∠CAD,进而得出∠B=45︒+∠CAD,而∠B=∠BAG,得出∠BAG=45︒+∠CAD,而∠BAG=45︒+∠CAG,即可得出结论；（3）先判断出ADH是等边三角形,进而利用含30度角的直角三角形的性质判断出AM=3CM,进而求出ACM的面积,即可求出AE,进而求出AC,即可得出结论．(1)证明：∵CE⊥AB,∴∠AEC ＝∠BEC ＝90°, ∵∠ACE ＝45°, ∴∠CAE ＝45°＝∠ACE , ∴AE ＝CE , ∵AD ⊥BC , ∴∠ADC ＝90°, ∴∠ECB +∠CFD ＝90°, ∵∠CFD ＝∠AFE , ∴∠ECB +∠AFE ＝90°, ∵∠EAF +∠AFE ＝90°, ∴∠EAF ＝∠ECB , 在AEF 和CEB 中,90EAF ECB AE CE AEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ∴AEF CEB △≌△（ASA ）； (2)∵AEF CEB △≌△, ∴∠AFE ＝∠B ,∵∠AFE ＝∠ACE +∠CAD ＝45°+∠CAD , ∴∠B ＝45°+∠CAD , ∵AG ＝BG , ∴∠B ＝∠BAG , ∴∠BAG ＝45°+∠CAD ,∵∠BAG ＝∠CAE +∠CAG ＝45°+∠CAG , ∴∠CAD ＝∠CAG , ∴AC 平分∠DAG ； (3)∵∠BAD ＝15°,∠CAE ＝45°, ∴∠CAD ＝∠CAE ﹣∠BAD ＝30°, ∵∠CAD ＝∠CAG ,∴∠DAG＝2∠CAD＝60°,在Rt△ADG中,点H是AG的中点,∴DH＝AH,∴△ADH是等边三角形,∴∠ADH＝60°,AD＝AH,∵∠CAD＝∠CAG,∴AC⊥DH,即：∠AMD＝∠DMC＝90°∵∠ADC＝90°,∴∠CDM＝30°,在Rt△DMC中,DM,在Rt△AMD中,AM＝3CM, ∴S△AEM＝3S△CEM＝3×4＝12,∴S△ACE＝S△CEM+S△AEM＝16,∵∠AEC＝90°,AE＝CE,∴S△ACE＝12AE2＝16,∴AE＝∴AC＝8,∴AM+CM＝8,∵AM＝3CM,∴3CM+CM＝8,∴CM＝2,∴AM＝3CM＝6．【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,等角的余角相等,等边三角形的判定和性质,三角形外角的性质,含30度角的直角三角形的性质,求出AE是解本题的关键．。

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专题01 三角形专题详解专题01 三角形专题详解 (1)11.1与三角形有关的线段 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 认识三角形 (2)知识点2 三角形三边关系 (4)知识点3 三角形的高、中线与角平分线 (5)知识点4 三角形的稳定性 (6)二、典型题型 (8)题型1 三角形三边关系（限定条件） (8)题型2 中线与三角形面积 (8)题型3 高线与三角形面积 (9)三、难点题型 (10)题型1 与三角形有关的线段 (10)题型2 面积问题—等积变换 (10)11.2与三角形有关的角 (12)知识框架 (12)一、基础知识点 (12)知识点1 三角形内角和定理 (12)知识点2 三角形的外角 (12)二、典型题型 (14)题型1 方程思想求角度 (14)题型2 转化思想求角度 (14)题型3 整体思想求角度 (15)题型4 数学模型—角平分线模型 (16)题型5 数学模型—对顶三角形模型 (16)题型6 分类讨论思想求角度 (17)11.3多边形及其内角和 (18)知识框架 (18)一、基础知识点 (18)知识点1 多边形的有关概念 (18)知识点2 多边形的内角和 (18)知识点3 多边形的外角和 (19)二、典型题型 (20)题型1 已知多边形内角和，求边 (20)题型2 已知多边形的边，求内角 (20)题型3 已知内、外角的关系，求边数 (20)三、难点题型 (22)题型1 多边形的边和角 (22)11.1与三角形有关的线段知识框架一、基础知识点知识点1 认识三角形（1）三角形定义：由不在同一条直线上的三段线段首位顺次相接所组成的图形叫作三角形。

记作△ABC，读作三角形ABC。

（2）三角形的有关概念：①顶点：三角形两边的公共点。

如：点A、点B、点C②边：组成三角形的三条线段称为三角形的三边。

如：AB（c）、BC（a）、AC（b）③内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫作三角形的内角。

如∠CAB（∠A）、∠ABC（∠B）、∠ACB（∠C）④对应边：∠A对应边为BC；∠B对应边为AC；∠C对应边为AB注：当∠A不能唯一表示一个角是，必须用∠CAB表示。

（3）三角形的分类：①已学习，按照角分类⎪⎩⎪⎨⎧度大于钝角三角形，有一个角度为直角三角形，有一个角度小于锐角三角形，三个角都909090②还可按照边进行分类，根据边是否相等③等腰不等边，两腰角相等，且两腰均为锐角；等边三角形，三个角都为60度；④特殊三角形：等腰直角三角形，90度、45度、45度。

例1.如图，在△ABC 中，∠A 对边是_______；在△ABD 中，∠A 的对边是______.例2.如图，图中以AD 为边的三角形有______个，以∠C 为一个内角的三角形有______个；若△ABC 与△AED 都是锐角三角形，则图中共有______个钝角三角形。

4）三角形的计数在复杂图形中寻找三角形的方法是：先以一个顶点为基础，改变另外两个顶点依次组成三角形，将含有这个顶点的所有三角形确定完全后，再以其他顶点为基准，依次寻找。

要注意去掉重复计数的三角形（计数过的顶点不再计算）。

例1.在图中有几个三角形例2.在图中有几个三角形例3.在图中有几个三角形知识点2 三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边三边三角形两边之和大于第⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+AC AB BC AC AB AC BC AC AB 两边之差小于第三边⇒⎪⎩⎪⎨⎧->->->AB AC BC BC AB AC AC BC AB 只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边）注：是“>”和“<”，不包含“=”例1.三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边长取值范围是（）例2.下列线段能构成三角形的有哪些？（1）6cm，8cm，10cm（2）5cm，8cm，2cm（3）三条线段之比为4:5:6（4）a+1，a+2，a+3（a＞0）知识点3 三角形的高、中线与角平分线（1）三角形的高从△ABC的顶点A向它所对应的边BC所在直线作垂线，垂足为点D。

所得线段AD叫作△ABC 的边BC上的高。

三条高的交点叫作垂心。

注：①三角形有三个高，每条边各对应一个高②锐角所对应边的高在三角形内，钝角对应边的高在三角形外③三条高一定交于某一点（2）中线：连接△ABC的顶点A和它所对应边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线。

三条中线的交点叫作重心。

（3）画∠A的平分线AD，交∠A所对应的边BC于点D，线段AD叫作△ABC的角平分线。

三条角平分线的交点叫作内心。

（4）几何关系：①垂线：AD⊥BC②中线：CD=DB③角平分线：∠CAD=∠DAB例1.作下列三角形的高线。

例2.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，求∠DBC。

例3.如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，则下列说法不正确的是（）A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=CD，BE=ECD.∠C的对边是DE知识点4 三角形的稳定性（1）三角形具有稳定性（三边长度确定，形状不会改变）（2）多边形不稳定。

要想稳定，中间加入边，构造成多个三角形例1.下列图形具有稳定性的有（）A．2个 B.3个 C.4个 D.5个二、典型题型题型1 三角形三边关系（限定条件）性质：<第三边<两边之和注：两边为相同两条边解题技巧：（1）已知两条边，根据限定条件求第三条边，求解完成后，切勿忘记要验证三边是否能构成三角形。

（2）题干告知为等腰三角形，但未告知哪条边是腰时，往往有多解。

最后，也需验证三边是否能构成三角形。

例1.已知等腰三角形的两边长分别是5和6，求这个等腰三角形的周长。

例2.用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8cm的等腰三角形吗？例3.已知三角形三边长分别为2,8，a，且a是不等式2a－1＜15的正整数解，求a的值。

题型2 中线与三角形面积性质：三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解题技巧：明确中线是哪个三角形的中线，这条中线将对应三角形的面积平分。

题目中往往会出现多个三角形和多条中线，利用中线性质依次类推三角形的面积，直至求解出题干要求的面积。

例1.AD是△ABC的中线，AH是△ABC的高，证明中线AD将△ABC分成相等的两部分。

例2.如图所示，在△ABC中，D，E，F，G分别是BC，AC，DC，EC的中点，已知△ABC的面积为1，求△FGC的面积。

题型3 高线与三角形面积性质：三角形面积等于对应底边和高乘积的一半，同一个三角形面积不变注：求面积时，底边和高必须对应解题技巧：同一个三角形面积不变，利用这条性质，可得出等式：BC×AD=AB×CE=AC×BF。

利用个等式，可求出三角形中某些不太方便求解的边。

例1.如图，已知△ABC中，AM，CN分别是△ABC对应边的高，若CN=3，AM=6，AB=10，求BC的长。

例2.如图，AD、CE、BF分别是△ABC对应边上的高，若AB=2AC，求的值。

三、难点题型题型1 与三角形有关的线段性质：（1）在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边。

注：前提条件：必须在同一个三角形中解题技巧：遇到证明边之间大小关系的题型，想办法构造三角形，将需要证明的边转化到同一个三角形中，利用性质（1）来推导证明；利用性质（2），可将同一个三角形中的角和边的关系互换。

例1.如图，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB上的点，证明：△DEF的周长小于△ABC的周长。

例2.如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC证明：AB+AC＞PB+PC例3.如图，在△ABC中有D、E两点，求证：BD+DE+EC＜AB+AC题型2 面积问题—等积变换性质：（1）两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积之比；（2）等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比；（3）等底等高的两个三角形面积相等。

解题技巧：（1）寻找两个面积相等三角形技巧：选取底边相同的两个点的三角形，三角形的另一个顶点为与底边平行的线段上的点（等高）；（2）两图形面积之比，就是底边与高乘积之比。

注：三角形面积公式中有乘，而平行四边形中无。

例1.如图，平行四边形ABCD中，EF∥AC分别交CD、AD于E、F。

连接AE、BE、BF、CF，问与△BCE面积相等的三角形还有哪些？例2.如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE。

设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若△ABC的面积为6，求S1－S2的值。

例3.在△ABC中，E为AC中点，D在BC上，DC=2BD，AD交BE于F，求证：S△BDF：S四边形FDCE=1:5.例4.如图，已知P为△ABC内一点，AP、BP、CP分别与对边相交于点D、E、F。

把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已经给出。

求△ABC的面积。

11.2与三角形有关的角知识框架一、基础知识点知识点1 三角形内角和定理（1）定理：三角形三个内角和等于180度（2）直角三角形的两个锐角互余例1.△ABC中，若∠A=60°，∠B=65°，求∠C。

例2.在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2:3:4，求∠C。

知识点2 三角形的外角（1）外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角（一个角的外角有2个）（2）外交性质：性质一：三角形的外角等于它不相邻两内角和性质二：三角形外角和相邻内角和为180度性质三：三角形外角和为360度例1.如图，求x的值。

例2.如图，已知AB∥CD，若∠C=70°，∠F=30°，求∠A的度数。

二、典型题型题型1 方程思想求角度性质：（1）三角形内角和=180°；（2）对顶角相等，邻补角互补；（3）三角形外角=不相邻两个内角和。

解题技巧：若图形中角比较多，用设未知数方法，利用上述3条性质，将图形角度之间的关系转化为方程的形式求解。

例1.在△ABC中，∠A－∠B=30°，∠C=4∠B，求∠C的度数。

例2.如图，△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数。

例3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠1=∠A，∠2=∠C，求∠A的度数。

题型2 转化思想求角度解题技巧：求解多个角度和问题时，先利用三角形角度间的基本性质，将不规则图形中的角度转化到同一个三角形（多边形）中；再利用三角形（多边形）内角和性质求解角度。

例1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

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