上海华东师大三附中2015学年第二学期期中考试高三数学试题
2015年11月华东师大二附中高三数学期中考试试卷
2015年11月华东师大二附中高三数学期中考试试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本题满分64分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知全集U R =，集合{}1|-==x y x M ，则=M C U 。
2．设i z -=11，ai a z 22+=)(R a ∈，其中i 是虚数单位，若复数21z z +是纯虚数，则a ＝ 。
3．经过圆1)1(22=+-y x 的圆心M ，且与直线0=-y x 垂直的直线方程是 。
4．已知ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，︒===60,3,2B b a ，那么A 等于 。
5．已知数列{}n a 为等差数列，且π=++1371a a a ，则)tan(122a a +的值为 。
6．若命题“存在x ∈R ，使得2(1)10x a x +-+=”是真命题，则实数a 的取值范围是 . 7．对任意非零实数a b 、，定义一种运算：a b ⊗，其结果b a y ⊗=的值由右图确定，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭。
8．（理科）极坐标系中两点)6,3(πA ，)2,1(πB ，则线段AB 的长等于．（文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 ．9．若关于,x y 的二元一次方程组1112mx m m y m+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭至多有一组解，则实数m 的取值范围主视图左视图俯视图是 .10．从集合{}2,1,1-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合{}2,1,2-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 ___ .11． 不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切R x ∈成立，则实数a 的取值范围为 . 12. 已知每条棱长都为3的直平行六面体1111ABCD A BC D -中，60BAD ∠=︒，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平 行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____ .13. 在平面直角坐标系中，定义*11()n n nn n nx y x n yy x ++=-⎧∈⎨=+⎩N 为点()n n n P x y ，到点111()n n n P x y +++，的一个变换，我们把它称为点变换．已知1(0,1)P ，222(,)P x y ，…，()n n n P x y ，，111()n n n P x y +++，是经过点变换得到的一列点．设1||n n n a P P +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么limnn nS a →∞的值为 14.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ．．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得 4分，否则一律得零分.15．A ,B 两点在半径为2的球面上，且以线段AB 为直径的小圆周长为2π，则A ,B 两点间的球面距离为………………………………………………………………………………（ ） A ．π B ．π2 C ．3πD ．32π16．已知函数1()(),2ax f x a R x +=∈+则“(2)(3)f f <”是“()f x 在区间(2,)-+∞上单调递增”的什么条件. …………………………………………………………………………（ ） A ．“充要”、 B ．“充分不必要”、 C ．“必要不充分”、 Ｄ．“既不充分也不必要”17．（理科）设直线:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,则下列命题中是真命题的个数是（ ）①存在一个圆与所有直线相交 ②存在一个圆与所有直线不相交 ③存在一个圆与所有直线相切 ④M 中所有直线均经过一个定点 ⑤存在定点P 不在M 中的任一条直线上A 1⑥对于任意整数(3)n n ≥，存在正n 边形,其所有边均在M 中的直线上⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等A 、3B 、4C 、5D 、6（文科）在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,042y x y x S y x 下，若53≤≤S ，目标函数y x Z 23+=的最大值变化范围是………………………………………………………………………………………（ ） A ．]8,6[ B ．]15,6[ C. ]8,7[ D. ]15,7[18.长度分别为2x x x x x 、、、、、的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是………………………………………（ ） (A) 3x >(B) 23x << (C)33x <<D ) 1>x 三、解答题19 .(本题满分12分,第1小题满分6分，第2小题满分6分) 关于x 的不等式012<+xa x 的解集为()b ,1-．（1）求实数a 、b 的值；（2）若bi a z +=1，ααsin cos 2i z +=，且21z z 为纯虚数，求)32cos(πα-的值．20．(本题满分14分,第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,侧棱1AA ABCD ⊥底面,//AB DC ,11AA =,3AB k =,4AD k =,5BC k =,6DC k =(0)k >.(1)若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67,求k 的值; (2)现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为()f k ,写出()f k 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)A 121. (本题满分14分,第1小题满分7分，第2小题满分7分)ABC ∆的内切圆与三边,,AB BC CA 的切点分别为,,D E F ，已知)0,2(),0,2(C B -，内切圆圆心(1,),0I t t ≠，设点A 的轨迹为L . （1）求L 的方程；（2）过点C 的动直线m 交曲线L 于不同的两点,M N （点M 在x 轴的上方），问在x 轴上是否存在一定点Q （Q 不与C 重合），使QM QC QN QCQM QN⋅⋅=恒成立，若存在，试求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由.22(本题满分16分,第1小题满分4分，第2小题满分6分,第2小题满分6分)设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出如下两个命题上： 命题p ：{}n a 是等差数列；命题q ：等式1113221111+++=+++n n n a a bkn a a a a a a 对任意n （*N n ∈）恒成立，其中b k ,是常数。
华师大三附中-高一-数学期中考试
华师大三附中2018学年第二学期期中考试高一 数学试卷时间：90分钟 满分：100分一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题3分1. 已知扇形的圆心角为4π，半径为2，则扇形的弧长为 2. 若0sin >θ且02sin <θ，则角θ的终边所在象限是第 象限 3. 函数()03sin >⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx y 的最小正周期是π，则ω= 4. 方程2tan =x 的解集为5. 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f 的单调增区间是 6. 在ABC ∆中，三个内角C B A 、、所对应的边分别为c b a 、、，若︒=∠135A ，︒=∠15C ，2=b ，则a =7. 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=23,21,arcsin x x y 的值域是8. 若31sin sin cos cos =+y x y x ，则()=-y x 22cos 9. 若函数x y sin =的图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将整个图像沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数解析式为()=x f 10. 若关于x 的不等式x x a sin cos 2+>恒成立，则a 的取值范围是11. 给出函数()x x x f cos 2cos +=，有以下四个结论：①该函数的值域为[]30，②当且仅当()Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值③该函数的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ,2 ④当且仅当31<<m 时，方程()π20<<=x m x f 在上有两个不同的根，且这两个根的和为π2其中正确结论的序号为12. 已知ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且BC 边上的高为a ，则bc c b +的最大值为 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题3分13. 在ABC ∆中，若0cos sin <⋅B C ，则这个三角形的形状是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定14.下列结论中错误的是（ ）A.若20πα<<，则ααtan sin <B.若α是第二象限角，则2α为第一象限与第三象限 C.若角α的终边过点()()04,3≠k k k P ，则54sin =α D.若扇形周长为6，半径为2，则其中心的大小为1的弧度 15.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛--=43sin 212πx y 是（ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数 16.已知函数()()4,2,0sin ππϕωϕω-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤>+=x x x f 为()x f 的零点，4π=x 为()x f y =的图像的对称轴，且()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛3658ππ，单调，则ω的最大值为（ ） A.11 B.9 C.7 D.5三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题17. （本题满分8分，每小题4分）已知函数()()R x x x x f ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2sin sin π. （1）若()43=αf ，求α2sin 的值 （2）求()x f 的最大值和最小值.18. （本题满分8分，每小题4分）已知2tan =α.（1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值（2）求ααα2cos 1cos 22sin 2+-的值.19. （本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分）已知函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数()x f 的值 （2）求函数()x f 的值域.20. （本题满分12分，第一小题5分，第二小题7分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为）（即33ππ=∠ACB ，墙AB 的长度为6米（已有两面墙的可利用长度足够大），记θ=∠ABC（1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米） （2）为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动时面积即ABC ∆的面积尽可能打，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大值.21. （本题满分14分，第一小题4分，第二小题4分，第三小题6分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线()03≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为α，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32-ππα，. （1）若31sin =α，求POQ ∠cos （2）用α表示Q P 、的坐标（3）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值.。
上海市华东师大二附中高三数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= ．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= ．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= ．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为= ．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”18．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．619．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= {x|x＜1} ．【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意全集U=R，再根据函数的定义域写出集合M，然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可．【解答】解：因为集合M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，全集U=R，∴C U M={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】首先把两个复数相加，实部和虚部分别相加，得到复数的标准形式，根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部等于0，虚部不等于0，解出结果．【解答】解：∵z1=1﹣i，z2=a+2ai，∴z1+z2=a+1+（2a﹣1）i，∵复数z1+z2是纯虚数，∴a+1=0，2a﹣1≠0，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算，是一个基础题，解题的关键是看清题目中的要求，注意一定要上虚部不等于0．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是x+y﹣1=0 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】易得圆心坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M为（1，0），又直线x﹣y=0的斜率为1，由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣1，∴直线方程为y﹣0=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及圆的标准方程，属基础题．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= 45°．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由a小于b，利用三角形中大边对大角得到A小于B，确定出A的范围，进而由sinA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=，b=，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA==，又＜，即a＜b，∴A＜B，则A=45°．故答案为：45°【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质易得a7=，进而可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7+a13=3a7=2π，∴a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正切的运算，属基础题．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根∴△=（a﹣1）2﹣4＞0∴a＜﹣1或a＞3故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= 1 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】通过程序框图判断出新运算S=a⊗b的解析式，化简，再利用新运算法则求出值．【解答】解：由程序框图知 S=a⊗b=，∴=3⊗4==1故答案为：1．【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则．利用运算法则求值，属于基础题．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；定义法；坐标系和参数方程．【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可．【解答】解：极坐标系中，，∴线段AB的长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径和正方体的棱长，即可求体积【解答】解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为2，半径为1，正方体的棱长为2∴原几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力．属简单题10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，+∞）．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组；二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题．【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后消去y得（m2﹣1）x=m（m﹣1），当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解，从而求出m的范围．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组即二元一次方程组①×m﹣②得（m2﹣1）x=m（m﹣1）当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解∴m≠1故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数，以及矩阵的乘法运算，属于中档题．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=，故答案为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为a≥1或a≤﹣2 ．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需，求得a≥1或a≤﹣2，故答案为：a≥1或a≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积【解答】解：取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（）MN=∴x2+y2+z2=4∴∴OP2=1即OP=1∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分又∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°∴点P的轨迹是球的∴几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为=2+．【考点】数列的极限．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】由题设知a1=|（0，1）•（1，1）|=1，a2=|（1，1）•（0，2）|=，a3=|（0，2）•（2，2）|=2，a4=|（2，2）•（0，4）|=2，…，a n=（）n﹣1，S n=a1+a2+a3+…+a n=．由此可求出的值．【解答】解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，且当n≥2时，a n2=|P n P n+1|2=（x n+1﹣x n）2﹣（y n+1﹣y n）2=[（y n﹣x n）﹣x n]2+[（y n+x n）﹣y n]2=5x n2﹣4x n y n+y n2a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（x n﹣x n﹣1）2﹣（y n﹣y n﹣1）2①由定义（n∈N），得，∴，代入①计算化简得a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（）2+（）2=（5x n2﹣4x n y n+y n2）=a n2．∴=（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=（）n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=．∴=•=，则===2+．故答案为：．【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用，属于中档题．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出球的半径，利用等边三角形求出∠AOB的大小，再求球面距离弧AB．【解答】解：根据题意画出示意图，如图所示：∵球的半径为R=2，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，∴小圆直径为AB=2；∴在三角形AOB中，AO=AB=BO=2，∴∠AOB=，∴A，B两点间的球面距离为：l=R=．故选：D．【点评】本题考查了球面距离的应用问题，也考查了圆的周长与弧长的计算问题，是基础题目．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出函数f（x）的导数，求出“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，从而得到答案．【解答】解：f′（x）==，如f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则2a﹣1＞0，解得：a＞，由f（2）＜f（3），得：＜，解得：a＞，故f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题．18．设直线系M：xco sθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以⑥都正确．⑦可以举反例．【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个故选：B【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域．19．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y 过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当S=3时，对应的平面区域为四边形OCAD，当直线z=3x+2y经过点A（1，2）时，z最大，最大值为7．当S=5时，对应的平面区域为三角形OBD，当直线z=3x+2y经过点B（0，4）时，z最大，最大值为8，故当3≤S≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键．20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1【考点】棱锥的结构特征．【专题】压轴题；探究型．【分析】用极限的角度考虑，可求x接近最小的数值，得不到最大值，求出结果．【解答】解：用极限的角度考虑，四面体趋近于在一个平面内的菱形时x最小，不能低于，最大可以无穷大（就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于0），【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】（1）将原不等式转化为（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0，根据解集为（﹣1，b）得到﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解（2）根据z1z2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于α的条件式并解得：tanα=﹣，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将化为关于tanα的代数式即可求解【解答】解：（1）原不等式等价于（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0由题意得，解得a=﹣1，b=2．（2）z1=﹣1+2i，z1z2=（﹣cosα﹣2sinα）+i（2cosα﹣sinα）若z1z2为纯虚数，则，解得==．【点评】本题考查了二阶矩阵，两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力，属于基础题．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】压轴题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x0，0），再设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，从而说明存在点Q．【解答】解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．∴|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CF|=|BE|﹣|CE|=|BO|+|OE|﹣（|OC|﹣|OE|）=2|OE|I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|﹣|AC|=2x2﹣y2=1（x＞1）（2）设点Q（x0，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）∵⇔⇔⇔∠MQC=∠NQC于是：①当MN⊥x，点Q（x0，0）在x上任何一点处，都能够使得：∠MQC=∠NQC成立，②当MN不垂直x时，设直线．由得：则：∴∵，要使∠MQC=∠NQC成立，只要t an∠MQC=tan∠NQC：⇒x2y1﹣x0y1+x1y2﹣x0y2=0即=∴⇒∴当时，能够使：对任意的直线m成立．【点评】本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设{a n}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，代入求和公式S n=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以•=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{a n}为等差数列”．当n=1时， =显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得， =（﹣），即na n﹣（n﹣1）a n+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n=a1④，即2a n=a n﹣1+a n+1．所以{a n}为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，所以r≤．设{a n}的公差为d，则a n+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以a n=rsinθ﹣，S n==r≤•=，所以S n的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得f（f（x））=f（）=x，（2）作函数y=||与函数y=a﹣|x|的图象，从而化为x+=a有一个解，从而利用判别式解得．。
华二附中高三数学期中试卷
一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[1, 2]上单调递增，则f'(x)的取值范围是（）A. [0, 3]B. [3, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 3]2. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，则该数列的前10项之和为（）A. 160B. 170C. 180D. 1903. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (-3, -2)D. (-2, -3)4. 已知复数z = a + bi（a, b ∈ R），若|z| = 1，则复数z的辐角为（）A. π/2B. π/4C. 0D. π5. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = √(x^2 - 4)B. y = 1/xC. y = log2(x + 1)D. y = sin(x)二、填空题（每题5分，共20分）6. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图像与x轴的交点坐标为__________。
7. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10 =__________。
8. 已知复数z = 1 + 2i，则|z|^2 =__________。
9. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 0，f(2) = 5，则f(3) =__________。
三、解答题（每题15分，共60分）10. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 - 4，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
11. 已知等差数列{an}的首项为2，公差为3，求该数列的前10项之和。
12. 已知复数z = 1 + 2i，求复数z的辐角。
13. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(-1) = 0，f(2) = 5，求函数f(x)的表达式。
14. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
上海市华师大二附中2015-2016学年高一数学下册期中测试题
华东师大二附中2015学年第二学期期中考试试卷高一数学一、填空题（4*10=40分）1.求值arctan cot 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭_________. 2.函数()f x =____________.3.若tan 3θ=-，则()sin sin 2cos θθθ-=_____________.4.若()0,2x π∈，则使s i n c o s x x =-成立的x 的取值范围是___________.5.若arcsin arccos 6x x π-=，则x =_________. 6.函数()()cos1log sin f x x =的单调递增区间是____________.7.若02πθ<<，则()()cos ,cos sin ,sin cos θθθ的大小顺序为___________. 8.若关于x 的函数sin y x ω=在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则ω的取值范围是________.9.已知,,,44x y a R ππ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，并有方程组33sin 2014sin 202x x a y y a ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩成立，则()cos 2x y +=___________.10.设函数()sin 2sin 1cos 2cos x x f x x x-=+-，关于()f x 的性质，下列说法正确的是_________. ①定义域是,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；②值域是R ；③最小正周期是π； ④()f x 是奇函数；⑤()f x 在定义域上单调递增.二、选择题（4*4=16分）11.为了得到3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将3cos 2y x =的图像（ ） .A 向左平移4π .B 向右平移4π .C 向右平移8π .D 向右平移8π 12.,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且tan cot αβ<，则必有（ ） .A αβ< .B αβ> .C 32παβ+<.D 32παβ+> 13.下列函数中以π为周期，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） .A ()tan cot1x y = .B sin y x = .C cos 2y x =-.D t a n y x =-14.下列命题中错误的是（ ）.A 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()c o s c o s 2f y y =成立; .B 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()s i n s i n 2f y y =成立; .C 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()cos cos3f y y =成立; .D 存在定义在[]1,1-上的函数()f x 使得对任意实数y 有等式()sin sin3f y y =成立;三、解答题（8+10+12+14=44分）15.已知(),0,αβπ∈，并且()7s i n 52c o s 2παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.16.若关于x 的方程sin 0x x a +=在()0,2π内有两个不同的实数根,αβ，求实数a 的取值范围及相应的αβ+的值.17.已知函数sin cos 2sin cos y θθθθ=++. （1）设变量sin cos t θθ=+，试用t 表示()y f t =，并写出t 的范围；（2）求函数()y f t =的值域.18.用,,a b c 分别表示ABC 的三个内角,,A B C 所对边的边长，R 表示ABC 的外接圆半径.（1）2,2,45R a B ===︒，求AB 的长；（2）在ABC 中，若C ∠是钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数,,a b R ，其中b a ≤，问,,a b R 满足怎样的关系时，以,a b 为边长，R 为外接圆半径的ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC 存在的情况下，用,,a b R 表示c .沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
华师大二附中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题及答案
华师大二附中2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题（时间90分钟 满分100分 命题人：郑同 审核人：龚杰曾）一、填空题（每小题3分，共36分）１、扇形的半径为cm 1，圆心角为2弧度，则扇形的面积为________2cm ．2、已知角α的终边过点()12,5--P ，则=αcos ______．3、已知),2(,41)sin(ππααπ∈=-，则=α2sin _________. 4、已知α是锐角，则=+)tan 1(log 2cos αα ．5、化简：=--⋅+-⋅+-)2sin()cos()2sin()2cot()tan()sin(απααπαπαπαπ ． 6、若α是第三象限角，且1312)cos(sin cos )sin(-=+-+βαβββα，则=2tan α ． 7、在ABC ∆中，32,3,1π=∠==C c b ，则=∆ABC S ． 8、隔河测算B A ,两目标的距离，在岸边取D C ,两点，测得m CD 200=，︒=∠105ADC ，︒=∠15BDC ，︒=∠120BCD ，︒=∠30ACD ，则B A ,间的距离 m ．9、定义bc ad d c b a -=，则函数)(sin 1cos 4sin )(R x xx x x f ∈-=的值域为 ． 10、定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP 与x y sin =的图像交于点2P ,则线段21P P 的长为____ ．11、已知函数12)(2+-=ax x x f ，存在)2,4(ππϕ∈，使得)(cos )(sin ϕϕf f =，则实数a 的取值范围是 ．12、设函数]),[(42cos 322sin 3cos 1224)(4234ππ-∈+++-+-=x x x x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M __ __．二、选择题（每小题4分，共16分）13、已知k Z ∈，下列各组角的集合中，终边相同的角是 （ ）A ．2k π 与 2k ππ± B ．2k ππ+与4k ππ± C ．6k ππ+ 与26k ππ± D ．3k π 与 3k ππ+14、在ABC ∆中，若A B B A sin sin cos cos >，则此三角形一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．形状不确定15、给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-,下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =16、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在]2,3[--上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，且βα<，则下列不等式关系中正确的是 （ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<三、解答题（本大题共48分）17、（本题6分）若2tan 1tan 1=+-A A ，求)4cot(A +π的值．18、（本题8分）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （1）求ABC ∆的周长；（2）求()C A -cos 的值.19、（本题10分）已知函数()f x =223sin cos 2cos 1()x x x x R +-∈．(1)求函数()f x 的最小正周期及在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； (2)若06()5f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．20、（本题10分）如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交与点A ,与钝角α的终边OB 交于点),(B B y x B ，设BAO β∠=.（1）用β表示；（2）如果4sin 5β=,求点),(B B y x B 的坐标； （3）求B B y x -的最小值.21、（本题14分）已知函数)1,0(112log )(≠>+--=a a x mx m x f a 是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合.（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）当1>a ，试判断函数)(x f y =的定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当),[b a A x =∈（A ⊂≠B ，a 是底数）时，函数)(x f 为),1[+∞，求实数b a ,的值．参考答案一、填空题（每小题3分，共42分）１、扇形的半径为cm 1，圆心角为2弧度，则扇形的面积为____１____2cm ．2、已知角α的终边过点()12,5--P ，则=αcos __135-____． 3、已知),2(,41)sin(ππααπ∈=-，则=α2sin ___815-______. 4、已知α是锐角，则=+)tan 1(log 2cos αα 2- ．5、化简：=--⋅+-⋅+-)2sin()cos()2sin()2cot()tan()sin(απααπαπαπαπ 1- ． 6、若α是第三象限角，且1312)cos(sin cos )sin(-=+-+βαβββα，则=2tan α 23- ． 7、在ABC ∆中，32,3,1π=∠==C c b ，则=∆ABC S 43 ． 8、隔河测算B A ,两目标的距离，在岸边取D C ,两点，测得m CD 200=，︒=∠105ADC ，︒=∠15BDC ，︒=∠120BCD ，︒=∠30ACD ，则B A ,间的距离 2200 m ．9、定义bc ad d c b a -=，则函数)(sin 1cos 4sin )(R x xx x x f ∈-=的值域为 ]4,4[- ． 10、定义在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛20π,上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP 与x y sin =的图像交于点2P ,则线段21P P 的长为___32_ ． 11、已知函数12)(2+-=ax x x f ，存在)2,4(ππϕ∈，使得)(cos )(sin ϕϕf f =，则实数a 的取值范围是 )22,2( ．12、设函数]),[(42cos 322sin 3cos 1224)(4234ππ-∈+++-+-=x x x x x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M 4 ．二、选择题（每小题4分，共16分） 13、已知k Z ∈，下列各组角的集合中，终边相同的角是 （ Ｂ ）A ．2k π 与 2k ππ± B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+ 与26k ππ±D ．3k π 与 3k ππ+ 14、在ABC ∆中，若A B B A sin sin cos cos >，则此三角形一定是 （ A ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．形状不确定15、给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-,下列函数中不满足其中任何一个等式的是 （ Ｂ ）A ．()3x f x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =16、定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在]2,3[--上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，且βα<，则下列不等式关系中正确的是 （ Ｂ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ． (cos )(cos )f f αβ>C ．(cos )(cos )f f αβ<D ．(sin )(cos )f f αβ<三、解答题（本大题共48分）与钝角 的终边OB 交于点),(B B y x B .21（本题14分）已知函数)1,0(112log )(≠>+--=a a x mx m x f a 是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数x 的集合.（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）当1>a ，试判断函数)(x f y =的定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当),[b a A x =∈（A ⊂≠D ，a 是底数）时，函数)(x f 为),1[+∞，求实数b a ,的值．。
上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中 数学试题(含解析)
华二附中高三期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【解析】【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC 中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是133sin 24bc A =.故答案为：3345.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】233【解析】【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【解析】【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】122+-【解析】【分析】据题意设(,)b x y = ，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b +=，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即212t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：12+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【解析】【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【解析】【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2y x =-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y +-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．【答案】10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】设直线MN 的解析式为y kx m =+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P 的坐标．【详解】设(0,)P m ．设直线MN 的解析式为y kx m =+，联立2(0)y axa =>得到：22ax kx m ax m kx =+-=，，整理，得20ax kx m --=，则1212,k m x x x x a a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax 则()()222222222222111222()1,()1PMx m ax k x PN x m ax k x =+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x x MP NP k x x ++=⨯+()2121222212211,x x x x k x x +-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【解析】【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA 面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或1cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当1cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：18．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【解析】【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x y x y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B 【解析】【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A 【解析】【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣D.,122+⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为12⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A 【解析】【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【解析】【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【解析】【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【解析】【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：2S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫- ⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。
2023-2024学年上海市金山区华东师大三附中高二(下)期中数学试卷(含答案)
2023-2024学年上海市金山区华东师大三附中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“n=6”是“(x2+1x)n的二项展开式中存在常数项”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.已知复数z满足z2=−z，则复数z的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 43.已知M(x0,y0)是圆x2+y2=r2(r>0)内异于圆心的一点，则此直线x0x+y0y=r2与该圆( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定4.已知椭圆x24+y2=1，作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线交椭圆于C，D两点，且|AB|=|CD|，两垂线相交于点P，若点P的轨迹是某种曲线(或其一部分)，则该曲线是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.在等差数列{a n}中，a1=1，公差d=2，则a3=______．6.已知函数f(x)=(m−1)x m2−3m−5是幂函数，则实数m=______．7.已知向量a=(−1,2),b=(x,4)，且a⊥b，则x=______．8.抛物线y=x2的准线方程为________．9.已知直线x+2y−3=0和2x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是______．10.已知随机变量X的分布为(−2130.160.440.40)，则E[2X+5]=______11.方程x23−m +y2m−1=1表示焦点在x轴上的椭圆，则x的取值范围是______．12.直线l的斜率的取值范围为[−1,1]，则其倾斜角的取值范围是______．13.已知椭圆x216+y27=1的左、右焦点分别为F1、F2.若P为椭圆上一点，且|PF1|⋅|PF2|=14，则△F1PF2的面积为______．14.已知m∈R，动直线l1：x+my−1=0过定点A，动直线l2：mx−y−2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A，B)，则|PA|+|PB|的最大值为______．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：(x2+y2)3=4x2y2被称为“四叶玫瑰线”(如图所示).给出下列三个结论：①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；③存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，使得曲线C在此正方形区域内(含边界)．其中，正确结论的序号是．16.定义两个点集S、T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||P∈S，Q∈T}，其中|PQ|表示两点P、Q之间的距离，已知k、t∈R，S={(x,y)|y=kx+t，x∈R}，T={(x,y)|y=4x2+1,x∈R}，若d(S,T)=(1,+∞)，则t的值为．三、解答题：本题共5小题，共78分。
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11. （理）已知点()4,4-P ，曲线C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 8y x （θ为参数），若Q 是曲线C 上的动点，则线段PQ 的中点M 到直线l ：⎩⎨⎧+-=+=ty tx 223（t 为参数）距离的最小值为________．（文）若圆锥的主视图(正视图)是一个边长为2的等边三角形,则该圆锥的表面积为___． 12. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ． 13. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1232015,,,...,a a a a 的方差为1λ，数据3201512,,,...,1232015S S S S 的方差为2λ，则12λλ= ． 14. 已知t n m ,,均为实数，[]u 表示不超过实数u 的最大整数，若[]022≤-+-++x x tnx mx 对任意实数x 恒成立，且()()()0011>>=+++-m n t P n P m ，则实数P 的最大值为_____． 二、选择题：（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15. 不等式62<<m 是方程16222=-+-my m x 表示椭圆的 （ ）A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充分必要条件； D ．既不充分又不必要条件．16. 已知偶函数)(x f 的定义域为R ，则下列函数中为奇函数的是 （ ）A ．)](sin[x f ；B ．)(sin x f x ⋅；C ．)(sin )(x f x f ⋅；D ．2)](sin [x f ．17. 已知集合}{22(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，若存在R k ∈，使得M N =∅ 成立，则实数b 的取值范围是 （ ）A ．[]3,3-；B ．(,3)(3,)-∞-+∞ ；C ．[]2,2-；D ．(,2)(2,)-∞-+∞ ．18. 若等比数列{}n a 的公比为q (0)q ≠，则关于x 、y 的二元一次方程组132432a x a y a x a y +=⎧⎨+=-⎩的解的情况的下列说法中正确的是（ ）A ． 对任意q R ∈(0)q ≠，方程组都有唯一解；B ． 对任意q R ∈(0)q ≠，方程组都无解；C ． 当且仅当23q =-时，方程组有无穷多解；D ． 当且仅当23q =-时，方程组无解． 三、解答题：（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第二小题6分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠ACB ，030=∠BAC ，1=BC ，61=AA ，点D E 、分别是ABC ∆边AB AC 、的中点，求：（1）该直三棱柱的侧面积；（2）（理）异面直线1DB 与1EA 所成的角的大小(用反三角函数值表示)(文)异面直线DE 与11A B 所成的角的大小.20. （本题满分14分，第1小题6分，第二小题8分）已知函数22()(sin cos )f x x x x =++． （1）求函数()x f 的最小正周期并求出单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2cos 2a C c b +=，求()B f 的取值范围．ABCDEA 1B 1C 121. （本题满分14分，第1小题6分，第二小题8分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()1,n S =，()122,1++-=n n a ，⊥ （1）求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列； （2）若n n a n n b 12011+-=,问是否存在0n , 对于任意k （k N *∈），不等式0n k b b ≤成立.22. （本题满分16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称． （1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于B A ,两点，另一直线L 经过M ()0,2-及AB 的中点，求直线L 在y 轴上的截距b 的取值范围；（3）若Q 是双曲线C 上的任一点，21,F F 为双曲线C 的左、右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的角平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程．23. （本题满分18分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题8分） 设()x m x x h +=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈5,41x ，其中m 是不等于零的常数， （1）1=m 时，直接写出()x h 的值域； （2）求()x h 的单调递增区间；（3）已知函数()[]()b a x x f ,∈，定义：()(){}[]()b a x x t a t f x f ,min 1∈≤≤=，()(){}[]()b a x x t a t f x f ,max 2∈≤≤=．其中，(){}D x x f ∈min 表示函数()x f 在D 上的最小值，(){}D x x f ∈max 表示函数()x f 在D 上的最大值．例如：()[]π,0,cos ∈=x x x f ，则()[]π,0,cos 1∈=x x x f ，()[]π,0,12∈=x x f ，（理）当1=m 时，设()()()()()2424x h x h x h x h x M -++=，不等式()()n x M x M t ≤-≤21恒成立，求n t ,的取值范围；（文）当1=m 时，()()n x h x h ≤-21恒成立，求n 的取值范围．华东师大三附中2015学年第二学期期中考试高三数学试题参考答案 一、填空题：1. ()0,2；2. 3；3. 107-； 4. (]1,-∞-； 5. 132-=n a n ； 6. 10； 7. （理）32 （文） 8 ； 8. 34-； 9. 8；10. （理） 2.1 （文）3518； 11. （理）558（文）π3； 12. 825；13. 4； 14. 3-二、选择题：15. B ； 16. B ； 17. B ； 18. C三、解答题：19. (1) S 侧=(2)(理)； (文)O 6020. （1）()f x 的最小正周期为π；递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k （Z k ∈）21. 解（1） a b →→⊥ ∴0221=++-+n n n a S022211=++-+++n n n a S1122++-=∴n n n a a12211-=∴++n nn n a a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列 （2）)1()1(22+-=---=n n a nn()()()20102009200922011220102201102009201011或的最大值为令=∴=≤-≥-≥-=∴++n b b b n n n b b n b n n n nn n n22. （1）设双曲线C 的渐近线方程为y=k x ，即k x －y=0∵该直线与圆 1)2(22=-+y x 相切， ∴双曲线C 的两条渐近线方程为x y ±=故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ，又∵双曲线C 的一个焦点为)0,2(∴1,2222==a a ，∴双曲线C 的方程为122=-y x （2）由022)1(112222=---⎩⎨⎧=-+=mx x m y x mx y 得 令22)1()(22---=mx x m x f直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 )0,(0)(-∞=在x f 上有两个不等实根.因此21012012022<<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--<->∆m mm m解得 又AB 中点为)11,1(22mm m -- ∴直线L 的方程为)2(2212+++-=x m m y 令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b∵)2,1(∈m ∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ∴故b 的取值范围是),2()22,(+∞⋃---∞（3）若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T ，使|QT|=|OF 1| 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T ，使|QT|=|QF 1|根据双曲线的定义|TF 2|=2，所以点T 在以F 2)0,2(为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程是)0(4)2(22≠=+-x y x ①由于点N 是线段F 1T 的中点，设N （x ，y ），T （T T y x ,）则⎩⎨⎧=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x y y x x TT T T 222,222即代入①并整理得点N 的轨迹方程为 )22(122≠=+x y x23. （1） ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈526,2x h ； （2）0<m 时，()x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,41递增 ；1610≤<m 时，()x h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,41递增25161≤<m 时，()x h 在[]5,m 递增 （3）（理）由题知：()()()x x x h x h 441342-=-所以，()()x h x h 4> ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈21,41x()()x h x h 4= ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈21x()()x h x h 4< ⎥⎦⎤⎝⎛∈45,21x()()()()()()()⎩⎨⎧<≥=x h x h x h x h x h x h x M 4,44, ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=45,21,41421,41,1x x x x x x x M()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=45,21,2521,41,11x x x x x M()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=45,1,4141,41,4172x x x x x M⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=-45,1,414251,21,4721,41,417121x x x x x x x M M()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-0,102121x M x M1021,0-≤≥∴t n（3）（文）()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=5,1,21,41,11x x x x x h()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=5,4,14,41,4172x x x x x h()()[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-+=-5,4124,1,491,41,417121x x x x x x x x h x h ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-516,021x h x h所以516≥n。