带电粒子在组合场中的运动
高中物理-第一篇 专题三 微专题4 带电粒子在复合场中的运动
(2)电场的电场强度大小E以及磁场的磁感应强度大小B；
答案
mv2 6qL
2 3mv 3qL
1234
对粒子从Q点运动到P点的过程，根据动能
定理有 －qEL＝12mv2－12mv02 解得 E＝6mqvL2
设粒子从Q点运动到P点的时间为t1，有
0＋v0sin 2
θ·t1＝L
1234
解得
t1＝2
3mv02 3qE
⑤
竖直方向的位移 y＝0＋2 vyt＝m6qvE02
⑥
则粒子发射位置到P点的距离为
d＝
x2＋y2＝
13mv02 6qE
⑦
(2)求磁感应强度大小的取值范围； 答案 3－3q3lmv0<B<2mqlv0
设粒子在磁场中运动的速度为 v，结合题意及几何
关系可知，v＝sinv60 0°＝233v0
垂直于纸面向外的匀强磁场.OM上方存在电场强度大小为E的匀强电场，
方向竖直向上.在OM上距离O点3L处有一点A，在电场中距离A为d的位置
由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，经电场加速后该
粒子以一定速度从A点射入磁场后，第一次恰好不从ON边界射出.不计粒
子的重力.求：
(1)粒子运动到A点时的速率v0；
d.N边界右侧区域Ⅱ中存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀
强磁场.M边界左侧区域Ⅲ内，存在垂直于纸面向外的匀强磁场.边界线M
上的O点处有一离子源，水平向右发射同种正离子.已知初速度为v0的离子 第一次回到边界M时恰好到达O点，电场及两磁场区域
足够大，不考虑离子的重力和离子间的相互作用.
(1)求离子的比荷；
迹如图乙所示，设此时的轨迹圆圆心为O2，半
专题拓展课二 带电粒子在复合场中的运动
专题拓展课二带电粒子在复合场中的运动[学习目标要求] 1.知道复合场的概念。
2.能够运用运动组合的理念分析带电粒子在组合场中的运动。
3.能分析带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况，能够正确选择物理规律解答问题。
拓展点1带电粒子在组合场中的运动1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。
2．四种常见的运动模型(1)带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图所示。
(2)带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图所示。
(3)带电粒子先在磁场中做圆周运动，然后垂直进入电场做类平抛运动，如图所示。
(4)带电粒子先在磁场Ⅰ中做圆周运动，然后垂直进入磁场Ⅱ做圆周运动，如图所示。
3．三种常用的解题方法(1)带电粒子在电场中做加速运动，根据动能定理求速度。
(2)带电粒子在电场中做类平抛运动，需要用运动的合成和分解处理。
(3)带电粒子在磁场中的圆周运动，可以根据磁场边界条件，画出粒子轨迹，用几何知识确定半径，然后用洛伦兹力提供向心力和圆周运动知识求解。
4．要正确进行受力分析，确定带电粒子的运动状态。
(1)仅在电场中运动①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。
(2)仅在磁场中运动①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。
5．分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键。
特别提醒从一个场射出的末速度是进入另一个场的初速度，因此两场界面处的速度(大小和方向)是联系两运动的桥梁，求解速度是重中之重。
【例1】(2021·广东深圳市高二期末)某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗，在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤，杀死细胞，如图甲。
图乙为某“质子疗法”仪器部分结构的简化图，Ⅰ是质子发生器，质子的质量m＝1.6×10－27 kg，电量e＝1.6×10－19 C，质子从A点进入Ⅱ；Ⅱ是加速装置，内有匀强电场，加速长度d1＝4.0 cm；Ⅲ装置由平行金属板构成，板间有正交的匀强电场和匀强磁场，板间距d2＝2.0 cm，上下极板电势差U2＝1000 V；Ⅳ是偏转装置，以O为圆心、半径R＝0.1 m的圆形区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，质子从M进入、从N射出，A、M、O三点共线，通过磁场的强弱可以控制质子射出时的方向。
第一章 专题强化4 带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在组合场中的运动[学习目标] 1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法.2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法.3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现．1．解决带电粒子在组合场中的运动所需知识2．“电偏转”与“磁偏转”的比较电偏转磁偏转偏转条件只受恒定的静电力F＝qEv⊥E进入匀强电场只受大小恒定的洛伦兹力F＝q v Bv⊥B进入匀强磁场运动轨迹抛物线圆弧求解方法利用类平抛运动的规律x＝v0t，y＝12at2，a＝qEm，tan θ＝atv0利用牛顿第二定律、向心力公式有r＝m vqB，T＝2πmqB，t＝θT2π一、由电场进入磁场例1 (多选)一带负电粒子的质量为m 、电荷量为q ，空间中一平行板电容器两极板S 1、S 2间的电压为U .将此粒子在靠近极板S 1的A 处无初速度释放，经电场加速后，经O 点进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场(右边界平行于S 2)，图中虚线Ox 垂直于极板S 2，当粒子从P 点离开磁场时，其速度方向与Ox 方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则( )A ．极板S 1带正电B ．粒子到达O 点的速度大小为2qUmC ．此粒子在磁场中运动的时间t ＝πm3qBD ．若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O 点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d ＝Um qB 2答案 BC解析 带负电粒子向右加速运动，所受静电力向右，场强向左，说明极板S 1带负电，故A 错误；设粒子到达O 点的速度大小为v ，由动能定理可得Uq ＝12m v 2，解得v ＝2qUm，故B 正确；由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ＝60°＝π3，此粒子在磁场中运动的时间t ＝16T ＝16×2πm Bq ＝πm3qB，故C 正确；若改变右侧磁场(左边界位置不变)宽度，使粒子经过O 点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临界轨迹如图所示，洛伦兹力提供向心力，有Bq v ＝m v 2R把B 选项中求得的速度大小代入可得R ＝2UmqB 2， 则该有界磁场区域的宽度d ＝R ＝2UmqB 2，故D 错误． 例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L 的圆形匀强磁场，磁场圆心在M (L ，0)点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q (－2L ，－L )点以速度v 0沿x 轴正方向射入电场，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P (2L ，0)点射出磁场，不计粒子重力，求：(1)电场强度与磁感应强度大小的比值； (2)粒子在磁场与电场中运动时间的比值． 答案 (1)v 02 (2)π4解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子的质量和所带电荷量分别为m 和q ，粒子在匀强电场中运动，由类平抛运动规律及牛顿运动定律得，2L ＝v 0t 1，L ＝12at 12，qE ＝ma联立解得E ＝m v 022qL粒子到达O 点时沿＋y 方向的分速度为v y ＝at 1＝v 0，tan α＝v yv 0＝1，故α＝45°.粒子在磁场中的速度为v ＝2v 0.粒子所受洛伦兹力提供向心力， 则Bq v ＝m v 2r ，由几何关系得r ＝2L联立解得B ＝m v 0qL ，则E B ＝v 02；(2)粒子在磁场中运动的周期为T ＝2πr v ，粒子在磁场中运动的时间为t 2＝14T ＝πL2v 0，粒子在电场中运动的时间为t 1＝2Lv 0，解得t 2t 1＝π4.从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小和方向，这是正确求解的关键． 二、从磁场进入电场例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内有竖直向上的匀强电场，圆心O 1在x 轴上，半径为R 且过坐标原点O ，圆内有垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．一质量为m ，带电荷量为q 的正粒子从圆上P 点正对圆心O 1以速度v 0射入磁场，从坐标原点O 离开磁场，接着又恰好经过第一象限的Q (a ，b )点，已知PO 1与x 轴负方向成θ角，不计粒子重力，求：(1)匀强电场的电场强度E 及匀强磁场的磁感应强度B 的大小； (2)粒子从P 运动到Q 的时间．答案 (1)2mb v 02a 2q m v 0Rq tan θ2 (2)θR v 0tanθ2＋av 0解析 (1)设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ， 由几何关系得r tan θ2＝R又q v 0B ＝m v 02r故B ＝m v 0Rq tan θ2粒子从O 到Q 做类平抛运动，设运动时间为t 2， a ＝v 0t 2则t 2＝a v 0，b ＝12·qE m ·t 22故E ＝2mb v 02a 2q(2)粒子在磁场中运动的时间t 1＝θ2π·2πr v 0＝θr v 0＝θRv 0tanθ2则粒子从P 运动到Q 的时间为t ＝t 1＋t 2＝θR v 0tanθ2＋av 0.三、多次进出电场和磁场例4 如图所示的xOy 坐标系，在第二象限内有水平向右的匀强电场，在第一、第四象限内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向如图所示．现有一个质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子在该平面内从x 轴上的P 点，以垂直于x 轴的初速度v 0进入匀强电场，恰好经过y 轴上的Q 点且与y 轴成45°角射出电场，再经过一段时间又恰好垂直于x 轴进入第四象限的磁场．已知O 、P 之间的距离为d ，不计粒子的重力．求：(1)O 点到Q 点的距离； (2)磁感应强度B 的大小；(3)带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x 轴所用的时间． 答案 (1)2d (2)m v 02qd (3)(7π＋4)d 2v 0解析 (1)设Q 点的纵坐标为h ，粒子到达Q 点的水平分速度为v x ，从P 到Q 受到的恒定的静电力与初速度方向垂直，则粒子在电场中做类平抛运动，则由类平抛运动的规律可知，h ＝v 0t 1水平方向匀加速直线运动的平均速度v ＝0＋v x2，则d ＝v x t 12根据速度的矢量合成知tan 45°＝v xv 0解得h ＝2d .(2)粒子运动轨迹如图所示，由几何知识可得，粒子在磁场中的运动半径R ＝22d由牛顿第二定律得q v B ＝m v 2R ，由(1)可知v ＝v 0cos 45°＝2v 0联立解得B ＝m v 02qd.(3)粒子在电场中的运动时间为t 1＝2dv 0粒子在磁场中的运动周期为T ＝2πR v ＝4πdv 0粒子在第一象限中的运动时间为t 2＝135°360°·T ＝38T粒子在第四象限内的运动时间为t 3＝T2故带电粒子自进入电场至在磁场中第二次经过x 轴所用的时间为t ＝t 1＋t 2＋t 3＝(7π＋4)d2v 0.1．(2020·全国卷Ⅱ)CT 扫描是计算机X 射线断层扫描技术的简称，CT 扫描机可用于对多种病情的探测．图(a)是某种CT 机主要部分的剖面图，其中X 射线产生部分的示意图如图(b)所示．图(b)中M 、N 之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X 射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P 点，则( )A ．M 处的电势高于N 处的电势B ．增大M 、N 之间的加速电压可使P 点左移C ．偏转磁场的方向垂直于纸面向外D ．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P 点左移 答案 D解析 电子在M 、N 间受向右的静电力，电场方向向左，故M 处的电势低于N 处的电势，故A 错误；加速电压增大，可使电子获得更大的速度，根据r ＝m vqB 可知，电子在磁场中做圆周运动的半径变大，P 点右移，故B 错误；电子受到的洛伦兹力方向向下，根据左手定则，可判断磁场的方向垂直于纸面向里，故C 错误；根据r ＝m vqB，B 增大，可使电子在磁场中做圆周运动的半径变小，P 点左移，故D 正确．2.(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P ＋和P 3＋，经电压为U 的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示．已知离子P ＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出．在电场和磁场中运动时，则离子P ＋和P 3＋( )A ．在电场中的加速度之比为1∶1B ．在磁场中运动的轨迹半径之比为3∶1C ．在磁场中转过的角度之比为1∶2D ．离开电场区域时的动能之比为1∶3 答案 BCD解析 离子P ＋和P 3＋质量之比为1∶1，电荷量之比为1∶3，故在电场中的加速度(a ＝qEm )之比为1∶3，A 项错误；离子在离开电场区域时，有qU ＝12m v 2，在磁场中做匀速圆周运动时，有q v B ＝m v 2r ，得半径r ＝m v qB ＝1B2mU q ，则半径之比为1∶13＝3∶1，B 项正确；设磁场宽度为d ，由几何关系，有d ＝r sin θ，可知离子在磁场中转过的角度正弦值之比等于半径倒数之比，即1∶3，因为θ＝30°，则θ′＝60°，故转过的角度之比为1∶2，C 项正确；由qU ＝12m v 2可知，离子离开电场时的动能之比等于电荷量之比，即1∶3，D 项正确．3.质谱仪是一种测定带电粒子质量和分析同位素的重要工具．图中的铅盒A 中的放射源放出大量的带正电粒子(可认为初速度为零)，从狭缝S 1进入电压为U 的加速电场区域加速后，再通过狭缝S 2从小孔G 垂直于MN 射入偏转磁场，该偏转磁场是以直线MN 为切线、磁感应强度为B 、方向垂直于纸面向外、半径为R 的圆形匀强磁场．现在MN 上的点F (图中未画出)接收到该粒子，且GF ＝3R ，则该粒子的比荷为(粒子的重力忽略不计)( )A.8U R 2B 2B.4U R 2B 2C.6U R 2B 2D.2U R 2B 2 答案 C解析 设粒子在加速电场被加速后获得的速度大小为v ，由动能定理有qU ＝12m v 2，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何知识知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r ＝3R3.又Bq v ＝m v 2r ，则q m ＝6UR 2B2，故C 正确．4.如图所示的区域中，OM 左边为垂直纸面向里的匀强磁场，右边是一个电场强度大小未知的匀强电场，其方向平行于OM ，且垂直于磁场方向．一个质量为m 、电荷量为－q (q >0)的带电粒子从小孔P 以初速度v 0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与边界线的夹角θ＝60°，粒子恰好从小孔C 垂直于OM 射入匀强电场，最后打在Q 点，已知OC ＝L ，OQ ＝2L ，不计粒子的重力，求：(1)磁感应强度B 的大小； (2)电场强度E 的大小． 答案 (1)3m v 02qL (2)m v 022qL解析 (1)画出粒子运动的轨迹如图所示(O 1为粒子在磁场中做圆周运动的圆心)，∠PO 1C ＝120°设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r ， 由r ＋r cos 60°＝OC ＝L 得r ＝2L3粒子在磁场中做圆周运动，受到的洛伦兹力充当向心力，q v 0B ＝m v 02r ，解得：B ＝m v 0qr ＝3m v 02qL ；(2)粒子在电场中做类平抛运动，由牛顿第二定律得加速度大小为a ＝qEm ，水平方向有2L ＝v 0t ，竖直方向有L ＝12at 2联立解得E ＝m v 022qL.5.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON 为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子，从y 轴正半轴上y ＝h 处的M 点，以速度v 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上x ＝2h 处的P 点进入磁场，最后以垂直于y 轴的方向射出磁场．不计粒子重力．求：(1)电场强度E 的大小；(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r ；(3)粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t . 答案 见解析解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示设粒子在电场中运动的时间为t 1， 则有2h ＝v 0t 1，h ＝12at 12根据牛顿第二定律得Eq ＝ma 解得E ＝m v 022qh(2)设粒子进入磁场时速度为v ，在电场中， 由动能定理得Eqh ＝12m v 2－12m v 02，又因Bq v ＝m v 2r ，解得r ＝2m v 0Bq. (3)粒子在电场中运动的时间t 1＝2hv 0粒子在磁场中运动的周期T ＝2πr v ＝2πmBq设粒子在磁场中运动的时间为t 2，则 t 2＝38T得t ＝t 1＋t 2＝2h v 0＋3πm4Bq.6．(2022·河北泊头一中高二月考)如图所示，以两虚线P 、Q 为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的电场，电场强度为E ，方向水平向右，两侧为相同的磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m 、带电荷量为－q 、重力不计的带电粒子以水平向右的初速度v 0从电场边界P 、Q 之间的O 点出发．(1)若粒子能到达边界Q ，求O 点到边界Q 的最大距离l 1；(2)若使粒子到达边界Q 并进入磁场的偏转半径为R ，求O 点到边界Q 的距离l 2；(3)在题(2)的前提下，能使粒子从O 点出发到再次回到O 点的过程中，在磁场运动的时间最短，求电场宽度d 和全过程的运动时间t .答案 见解析解析 (1)由动能定理得－Eql 1＝0－12m v 02， 则l 1＝m v 022Eq. (2)由动能定理得－Eql 2＝12m v 12－12m v 02， 由洛伦兹力提供向心力，q v 1B ＝m v 12R解得l 2＝m 2v 02－q 2B 2R 22Eqm. (3)要使粒子在磁场中运动时间最短，则轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力q v 1B ＝m v 12Rq v 2B ＝m v 222R由动能定理得Eqd ＝12m v 22－12m v 12 解得d ＝3q 2B 2R 22Eqm粒子在电场中运动的加速度a ＝Eq m在磁场中运动的周期T ＝2πm qB全过程的运动时间t ＝32×2πm qB ＋2(v 0－v 1)a ＋2(v 2－v 1)a ＝3πm qB ＋2m v 0Eq .。
一轮复习：带电粒子在组合场中的运动
感应强度为B，N环上有均匀分布的6个小孔，从M环的内侧边缘
由静止释放一质量为m，电荷量为＋q的粒子(不计重力)，经电
场加速后通过小孔射入磁场，经过一段时间，粒子再次回到出发
点，全程与金属环无碰撞。则M、N间电压U满足的条件是(AC )
A．U＝qB6m2R22
B．U＝qB5m2R22
C．U＝3q2Bm2R22
如图所示，一带电粒子垂直射入匀强电场，经电场偏转后从磁场 的左边界上M点进入垂直纸面向外的匀强磁场中，最后从磁场的 左边界上的N点离开磁场。已知带电粒子的比荷q/m＝3.2×109 C/kg，电场强度E＝200 V/m，M、N间距MN＝1 cm，金属板长 L＝25 cm，粒子的初速度v0＝4×105 m/s，带电粒子的重力忽 略不计，求： (1)粒子射出电场时的运动方向与初速度v0的夹角θ； (2)磁感应强度B的大小。
2．如图所示，一束正离子从S点沿水平方向射出，在没有偏 转电场、磁场时恰好击中荧光屏上的坐标原点O；若同时加上
电场和磁场后，正离子束最后打在荧光屏上坐标系的第Ⅲ象限 中，则所加电场E和磁场B的方向可能是(不计离子重力及其间 相互作用力)( A ) A．E向下，B向上 B．E向下，B向下 C．E向上，B向下 D．E向上，B向上
B．粒子在 x 轴上方和下方两磁场中运动的轨迹半径
之比为 2∶1
C．粒子完成一次周期性运动的时间为23πqmB
D．粒子第二次射入 x 轴上方磁场时，沿 x 轴前进 3R
11所示，M、N为两个同
心金属圆环，半径分别为R1和R2，两圆环之间存在着沿金属环
半径方向的电场，N环内存在着垂直于环面向外的匀强磁场，磁
B＝5×10－3 T，l＝d＝0.2 m，每个带正电粒子的速度v0＝105
公开课：带电粒子在组合场中的运动
带电粒子在组合场中的运动一、基础知识回顾1、组合场：指电场与磁场同时存在，但各位于一定的区域内且并不重叠的情况。
带电粒子在一个场中只受一个场的作用。
大小方向做功特点电场力qE平行于E的方向电场力做功与路径无关，由初、末位置的电势差决定洛伦兹力Bqv 垂直于vB、决定的平面洛伦兹力始终不做功项目分类匀强电场中偏转（类平抛）匀强磁场中偏转（圆周）偏转产生条件带电粒子以速度v0垂直射入匀强电场带电粒子以速度v0垂直射入匀强磁场受力特征F＝qE(恒力) F＝qv0B(变力)运动性质匀变速曲线运动匀速圆周运动轨迹抛物线圆或圆弧处理方法运动的合成与分解匀速圆周运动知识运动规律vvx=，tmqEvy=tvx=，22tmqEy=qBmvR=，qBmTπ2=4、带电粒子在组合场中运动，一般不计重力。
二、题型归类例析1．质谱仪构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。
一个质量为m、电荷量为q的粒子，从容器A下方的小孔S1飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过S3沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片D上（1）求粒子进入磁场时的速率。
（2）求粒子照相底片D点到S3的距离变式1（2018全国卷三）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。
已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。
不计重力影响和离子间的相互作用。
求：（1）磁场的磁感应强度大小；（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
变式2、(2017·天津高考)平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。
一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。
2023年高考物理一轮复习讲义——带电粒子在组合场中的运动
专题强化二十一带电粒子在组合场中的运动目标要求 1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.2.学会处理磁场和磁场组合场、电场和磁场组合场中带电粒子的运动问题．1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现．2．分析思路(1)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．(3)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．3．常见粒子的运动及解题方法题型一磁场与磁场的组合磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同．解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系．例1(2020·江苏卷·16)空间存在两个垂直于Oxy平面的匀强磁场，y轴为两磁场的边界，磁感应强度分别为2B0、3B0.甲、乙两种比荷不同的粒子同时从原点O沿x轴正向射入磁场，速度均为v.甲第1次、第2次经过y轴的位置分别为P、Q，其轨迹如图所示．甲经过Q时，乙也恰好同时经过该点．已知甲的质量为m，电荷量为q.不考虑粒子间的相互作用和重力影响．求：(1)Q 到O 的距离d ；(2)甲两次经过P 点的时间间隔Δt ； (3)乙的比荷q ′m ′可能的最小值．答案 (1)m v 3qB 0 (2)2πm qB 0 (3)2qm解析 (1)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设半径分别为r 1、r 2 由q v B ＝m v 2r 可知r ＝m vqB ，故r 1＝m v 2qB 0，r 2＝m v3qB 0且d ＝2r 1－2r 2 解得d ＝m v 3qB 0(2)甲粒子先后在两磁场中做匀速圆周运动，设运动时间分别 t 1、t 2 由T ＝2πr v ＝2πm qB 得t 1＝πm 2qB 0，t 2＝πm 3qB 0且Δt ＝2t 1＋3t 2 解得Δt ＝2πmqB 0(3)乙粒子周期性地先后在两磁场中做匀速圆周运动 若经过两磁场的次数均为n (n ＝1,2,3，…) 相遇时，有n m ′v 3q ′B 0＝d ，n 5πm ′6q ′B 0＝t 1＋t 2解得q ′m ′＝n qm根据题意，n ＝1舍去．当n ＝2时，q ′m ′有最小值，(q ′m ′)min ＝2qm若先后经过右侧、左侧磁场的次数分别为(n ＋1)、n (n ＝0,1,2,3，…)，经分析不可能相遇． 综上分析，乙的比荷的最小值为2qm.题型二 电场与磁场的组合考向1 先电场后磁场1．带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲．2．带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图乙．例2 (2018·全国卷Ⅰ·25)如图，在y >0的区域存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ；在y <0的区域存在方向垂直于xOy 平面向外的匀强磁场．一个氕核11H 和一个氘核21H先后从y 轴上y ＝h 点以相同的动能射出，速度方向沿x 轴正方向．已知11H 进入磁场时，速度方向与x 轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O 处第一次射出磁场.11H 的质量为m ，电荷量为q .不计重力．求：(1)11H 第一次进入磁场的位置到原点O 的距离； (2)磁场的磁感应强度大小；(3)21H 第一次离开磁场的位置到原点O 的距离． 答案 (1)233h (2)6mE qh (3)233(2－1)h 解析 (1)11H 在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．设11H 在电场中的加速度大小为a 1，初速度大小为v 1，它在电场中的运动时间为t 1，第一次进入磁场的位置到原点O 的距离为s 1，由运动学公式有s 1＝v 1t 1① h ＝12a 1t 12② 由题给条件，11H 进入磁场时速度的方向与x 轴正方向夹角θ1＝60°.11H 进入磁场时速度沿y 轴方向的分量的大小为 a 1t 1＝v 1tan θ1③ 联立以上各式得 s 1＝233h ④(2)11H 在电场中运动时，由牛顿第二定律有 qE ＝ma 1⑤设11H 进入磁场时速度的大小为v 1′，由速度合成法则有 v 1′＝v 12＋(a 1t 1)2⑥设磁感应强度大小为B ，11H 在磁场中运动的圆轨道半径为R 1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有q v 1′B ＝m v 1′2R 1⑦由几何关系得 s 1＝2R 1sin θ1⑧ 联立以上各式得 B ＝6mEqh⑨ (3)设21H 在电场中沿x 轴正方向射出的速度大小为v 2，在电场中的加速度大小为a 2，由题给条件得12(2m )v 22＝12m v 12⑩ 由牛顿第二定律有 qE ＝2ma 2⑪设21H 第一次射入磁场时的速度大小为v 2′，速度的方向与x 轴正方向夹角为θ2，入射点到原点的距离为s 2，在电场中运动的时间为t 2.由运动学公式有 s 2＝v 2t 2⑫ h ＝12a 2t 22⑬ v 2′＝v 22＋(a 2t 2)2⑭ sin θ2＝a 2t 2v 2′⑮ 联立以上各式得s 2＝s 1，θ2＝θ1，v 2′＝22v 1′⑯ 设21H 在磁场中做圆周运动的半径为R 2，由⑦⑯式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得R 2＝2m v 2′qB＝2R 1⑰所以出射点在原点左侧．设21H 进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s 2′，由几何关系有 s 2′＝2R 2sin θ2⑱联立④⑧⑯⑰⑱式得，21H 第一次离开磁场时的位置到原点O 的距离为s 2′－s 2＝233(2－1)h .考向2 先磁场后电场1．进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)． 2．进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)．例3 如图所示的xOy 坐标系中，第一象限存在与xOy 平面平行的匀强电场E ，且与y 轴负方向的夹角θ＝30°，第二象限存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一带正电粒子自O 点射入第二象限，速度v 与x 轴负方向的夹角θ＝30°，粒子经磁场偏转后从y 轴上的P 点进入第一象限，并由x 轴上的M 点(未画出)离开电场．已知OM 距离为3L ，粒子的比荷为vBL，不计粒子重力．(1)求OP 两点的距离；(2)求粒子在磁场中运动的时间；(3)当该粒子经过P 点的同时，在电场中的N 点由静止释放另一个完全相同的带电粒子，若两粒子在离开电场前相遇且所需时间最长，求N 点的坐标． 答案 (1)3L (2)2πL 3v (3)(32L ，332L )解析 (1)带电粒子在第二象限内做匀速圆周运动，轨迹如图，圆心为C由牛顿第二定律，得q v B ＝m v 2R解得R ＝L由几何关系得∠OCP ＝120°则OP ＝3L(2)粒子在磁场中的运动周期T ＝2πRv 粒子偏转120°，即在磁场中运动时间t ＝T3解得t ＝2πL3v(3)带电粒子进入第一象限时速度与y 轴正方向成60°角，与电场方向垂直，故粒子在第一象限内做类平抛运动，轨迹如图．由于两粒子完全相同，所以只需在带电粒子进入电场时速度方向的直线上PN 范围内任一点释放粒子，均可保证两粒子在电场中相遇，且两粒子在M 点相遇所需时间最长，即在图中N 点由静止释放粒子即可．设N 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，根据几何知识可得PN ＝QM ＝3L 又x ＝PN cos 30° y ＝OP ＋PN sin 30° 解得x ＝32L ，y ＝332L考向3 粒子多次进出电场、磁场的运动例4 (2021·广东卷·14)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图，空间有三个同心圆a 、b 、c 围成的区域，圆a 内为无场区，圆a 与圆b 之间存在辐射状电场，圆b 与圆c 之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ.各区磁感应强度恒定，大小不同，方向均垂直纸面向外．电子以初动能E k0从圆b 上P 点沿径向进入电场，电场可以反向，保证电子每次进入电场即被全程加速，已知圆a 与圆b 之间电势差为U ，圆b 半径为R ，圆c 半径为3R ，电子质量为m ，电荷量为e ，忽略相对论效应，取tan 22.5°＝0.4.(1)当E k0＝0时，电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场，且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°，最终从Q 点出射，运动轨迹如图中带箭头实线所示，求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q 点出射时的动能；(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰，就能从出射区域出射．当E k0＝keU 时，要保证电子从出射区域出射，求k 的最大值． 答案 (1)5eUm eR πR meU 4eU 8eU (2)136解析 (1)电子在电场中加速有2eU ＝12m v 2在Ⅰ区磁场中，由几何关系可得r ＝R tan 22.5°＝0.4R 根据洛伦兹力提供向心力有B 1e v ＝m v 2r联立解得B 1＝5eUmeR电子在Ⅰ区磁场中的运动周期为T ＝2πrv由几何关系可得，电子在Ⅰ区磁场中运动的圆心角为 φ＝54π电子在Ⅰ区磁场中的运动时间为t ＝φ2πT联立解得t ＝πR meU4eU电子从P 到Q 在电场中共加速8次，故在Q 点出射时的动能为E k ＝8eU(2)设电子在Ⅰ区磁场中做匀速圆周运动的最大半径为r m ，此时圆周的轨迹与Ⅰ区磁场边界相切，由几何关系可得()3R －r m 2＝R 2＋r m 2解得r m ＝33R 根据洛伦兹力提供向心力有B 1e v m ＝m v m 2r m2eU ＝12m v m 2－keU联立解得k ＝136.例5 如图，直角坐标系xOy 中，在第一象限内有沿y 轴负方向的匀强电场；在第三、第四象限内分别有方向垂直于坐标平面向里和向外的匀强磁场．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子从y 轴上P 点(0，h )以初速度v 0垂直于y 轴射入电场，再经x 轴上的Q 点沿与x 轴正方向成45°角进入磁场．粒子重力不计．(1)求匀强电场的场强大小E ；(2)要使粒子能够进入第三象限，求第四象限内磁感应强度B 的大小范围； (3)若第四象限内磁感应强度大小为m v 0qh ，第三象限内磁感应强度大小为2m v 0qh，且第三、第四象限的磁场在y ＝－L (L >2h )处存在一条与x 轴平行的下边界MN (图中未画出)，则要使粒子能够垂直边界MN 飞出磁场，求L 的可能取值．答案 (1)m v 022qh (2)B <(1＋2)m v 02qh(3)L ＝⎝⎛⎭⎫1＋32n h (n ＝1,2,3…) 解析 (1)在第一象限内，粒子在静电力作用下做类平抛运动，由运动学规律有v y 2＝2ah ，v y ＝v 0tan 45°由牛顿第二定律有：qE ＝ma 联立解得E ＝m v 022qh(2)粒子在Q 点的速率v ＝v 0cos 45°＝2v 0，h ＝12v y t ，x ＝v 0t 可得OQ 的距离为x ＝2h粒子进入第四象限后做匀速圆周运动，如图甲所示，轨迹恰与y 轴相切时，对应恰能够进入第三象限的磁感应强度最大值由牛顿第二定律有q v B max ＝m v 2R min由几何关系有x ＝R min ()1＋cos 45° 联立以上各式解得B max ＝(1＋2)m v 02qh故B 的大小范围为B <(1＋2)m v 02qh(3)由洛伦兹力提供向心力可知q v B ＝m v 2R粒子在第四、第三象限的轨道半径分别为 R 1＝2h ，R 2＝2h 2易知：粒子由Q 点进入第四象限后运动半周进入第三象限，作出粒子在第四、第三象限的可能运动轨迹如图乙所示要让粒子垂直边界MN 飞出磁场，则L 满足的条件为 R 1sin 45°＋n ()R 1＋R 2sin 45°＝L (n ＝0,1,2,3…) 结合题意L >2h解得L ＝⎝⎛⎭⎫1＋32n h (n ＝1,2,3…)． 课时精练1．平面直角坐标系xOy 中，第二象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E ，第三、四象限存在垂直坐标平面向里的匀强磁场，如图所示．一质量为m ，带电荷量为q 的正粒子从坐标为(－L ，L )的P 点沿y 轴负向进入电场，初速度大小为v 0＝2EqLm，粒子第二次到达x 轴的位置为坐标原点．不计粒子的重力．(1)求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；(2)若粒子由P 点沿x 轴正方向入射，初速度仍为v 0＝2EqLm，求粒子第二次到达x 轴时与坐标原点的距离． 答案 (1)4mEqL (2)6＋24L 解析 (1)由动能定理得EqL ＝12m v 2－12m v 02粒子进入磁场时速度大小为v ＝4EqLm在磁场中L ＝2R q v B ＝m v 2R可得B ＝4mE qL(2)假设粒子由y 轴离开电场，运动轨迹如图所示L ＝v 0t ， y 1＝12at 2，Eq ＝ma解得y 1＝L4<L ，假设成立v y ＝at速度偏转角tan θ＝v yv 0第一次到达x 轴的坐标x 1＝L －y 1tan θ＝32L在磁场中R ′＝m v ′qBx 2＝2R ′sin θ＝2m v ′qB sin θ＝2m v y qB ＝24L粒子第二次到达x 轴的位置与坐标原点的距离 x ＝x 1＋x 2＝6＋24L .2.如图所示，在x 轴上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外；在x 轴下方存在匀强电场，电场方向与xOy 平面平行，且与x 轴成45°夹角．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子以初速度v 0从y 轴上的P 点沿y 轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经过一段时间T 0，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变．不计重力．(1)求粒子从P 点出发至第一次到达x 轴时所需时间； (2)若要使粒子能够回到P 点，求电场强度的最大值． 答案 (1)5πm 4qB (2)2m v 0qT 0解析 (1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示．设运动半径为R ，运动周期为T ，根据洛伦兹力提供向心力，有q v 0B ＝m v 02RT ＝2πR v 0联立解得T ＝2πmBq依题意，粒子第一次到达x 轴时，转过的角度为54π所需时间为t 1＝θ2πT ＝58T解得t 1＝5πm4qB.(2)粒子进入电场后，先做匀减速直线运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速直线运动，到达x 轴时速度大小仍为v 0，设粒子在电场中运动的总时间为t 2，加速度大小为a ，有qE ＝ma v 0＝a ·t 22解得t 2＝2m v 0qE根据题意，要使粒子能够回到P 点，必须满足 t 2≥T 0解得电场强度最大值E max ＝2m v 0qT 0. 3．如图所示，xOy 平面内，OP 与x 轴夹角为θ＝53°，在 xOP 范围内(含边界)存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ＝0.1 T ．第二象限有平行于 y 轴向下的匀强电场，场强大小为E ＝8340×105 V/m.一带电微粒以速度 v 0 ＝5×106 m/s 从 x 轴上 a (L,0)点平行于OP 射入磁场，并从OP 上的b 点垂直于OP 离开磁场，与y 轴交于c 点，最后回到x 轴上的点d ，图中点b 、d 未标出．已知L ＝54 m ，sin 53°＝45，cos 53°＝35，不计微粒的重力，求：(1)微粒的比荷qm ；(2)d 点与O 点的距离l;(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度B x 大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限．答案 (1)5×107 C/kg (2)4 m (3)B x ≥0.2 T解析 (1)微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得： r ＝L sin 53°由牛顿第二定律得q v 0B ＝m v 02r解得qm＝5×107 C/kg(2)粒子进入电场后做类斜抛运动．由几何关系得 y Oc ＝L cos 53°＋r sin 53°在y 轴方向 y Oc ＝－v 0t cos 53°＋12qE mt 2在x 轴方向 l ＝ v 0t sin 53° 解得l ＝4 m(3)微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界OP 相切时，恰好能到达第四象限． 由几何关系知R ＝12L sin 53°由牛顿第二定律得q v 0B 1＝m v 02R解得B 1 ＝ 0.2 T故当磁感应强度B x ≥0.2 T 时，微粒能到达第四象限．4．(2022·湖北宜昌市联考)如图所示，在矩形区域ABCD 内存在竖直向上的匀强电场，在BC 右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场，L 1、L 2、L 3是磁场的边界(BC 与L 1重合)，宽度相同，方向如图所示，区域Ⅰ的磁感应强度大小为B 1.一电荷量为＋q 、质量为m 的粒子(重力不计)从AD 边中点以初速度v 0沿水平向右方向进入电场，粒子恰好从B 点进入磁场，经区域Ⅰ后又恰好从与B 点同一水平高度处进入区域Ⅱ.已知AB 长度是BC 长度的3倍．(1)求带电粒子到达B 点时的速度大小； (2)求区域Ⅰ磁场的宽度L ；(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长，求区域Ⅱ的磁感应强度B 2的最小值． 答案 (1)23v 03 (2)23m v 03qB 1(3)1.5B 1解析 (1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v ，与水平方向成θ角，粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有：tan θ＝L BC L AB ＝33，则θ＝30°根据速度关系有：v ＝v 0cos θ＝23v 03；(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r 1，由牛顿第二定律得：q v B 1＝m v 2r 1，轨迹如图甲所示：由几何关系得：L ＝r 1 解得：L ＝23m v 03qB 1；(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时，在磁场中运动的时间最长．设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B 2m ，此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场，对应的轨迹半径为r 2，轨迹如图乙所示：可得：q v B 2m ＝m v 2r 2根据几何关系有：L ＝r 2(1＋sin θ) 解得：B 2m ＝1.5B 1.。
带电粒子在组合场中的运动
径为 r. 当不加磁场时，电子束将通过 O 点而打到屏幕的中心
M 点，为了让电子束射到屏幕边缘 P，需要加磁场，使电子 束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？
1 答案： r
2mU θ tan 2 e
第三章
磁场
金华调研 )如图所示，电子显像管由电子枪、加速 例2 (2013· 电场、偏转磁场及荧光屏组成．在加速电场右侧有相距为 d、长 为 l 的两平板，两平板构成的矩形区域内存在方向垂直纸面向外 的匀强磁场， 磁场的右边界与荧光屏之间的距离也为 d.荧光屏中 点 O 与加速电极上两小孔 S1、 S2 位于两板的中线上．从电子枪 发射质量为 m、 电荷量为－ e 的电子， 经电压为 U0 的加速电场后 3 从小孔 S2 射出，经磁场偏转后，最后打到荧光屏上．若 l＝ d， 2 不计电子在进入加速电场前的速度． (1)求电子进入磁场时的速度大小； (2)求电子到达荧光屏的位置与 O 点距离 的最大值 ym 和磁感应强度 B 的大小；
第三章
磁场
习题课
带电粒子在组合场中的运动
第三章
磁场
一、带电粒子在组合场内运动的分析
组合场是指电场、磁场同时存在，但各 位于一定的区域内 ( 或电场、磁场交替存
在，位于同一指定的区域内)．
常见题型有： ①带电粒子在电场中加速在磁场中偏转 ②带电粒子在组合场中的双偏转
第三章
磁场
例1 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现 的,电子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场 区,如图所示，磁场方向垂直于圆面，磁场区的中心为O，半
第三章
磁场
【例3】一个带电微粒在图示的正交匀强电场和匀强 磁场中在竖直面内做匀速圆周运动。则该带电微粒必 逆时针 然带_____ 。若已知圆半径为r， 负电 ，旋转方向为_____ Brg 电场强度为E磁感应强度为B，则线速度为_____。
专题36 带电粒子在组合场中的运动-2019高考物理一轮复习专题详解(解析版)
知识回顾组合场是指电场、磁场和重力场分区域存在．带电粒子在组合场中的运动形式1.静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．2．匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．3．较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．4．分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成.（在电场中经常是类平抛，在磁场中为匀速圆周）复合场中重力是否考虑的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略．而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等，一般应考虑其重力．(2)在题目中明确说明的按说明要求是否考虑重力．(3)不能直接判断是否考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否考虑重力．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果．基本思路：当带电粒子沿不同方向进入电场或磁场时，粒子做各种各样的运动，形成了异彩纷呈的轨迹图形．对带电粒子而言“受力决定运动，运动描绘轨迹，轨迹涵盖方程”．究竟如何构建轨迹模型，至关重要．首先应根据电场力和洛伦兹力的性质找出带电粒子所受到的合力，再由物体做曲线运动的条件确定曲线形式．例题分析【例1】如图所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有正交的匀强磁场和匀强电场，匀强磁场沿水平方向且垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B，匀强电场沿x轴负方向、场强大小为E.在其第一象限空间有沿y 轴负方向的、场强大小为E ′＝43E 的匀强电场．一个电荷量的绝对值为q 的油滴从图中第三象限的P 点得到一初速度，恰好能沿PO 做直线运动(PO 与x 轴负方向的夹角为θ＝37°)，并从原点O 进入第一象限．已知重力加速度为g ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力．(1)求油滴的电性；(2)求油滴在P 点得到的初速度大小；(3)在第一象限的某个长方形区域再加上一个垂直于纸面向里的、磁感应强度也为B 的匀强磁场，且该长方形区域的下边界在x 轴上，上述油滴进入第一象限后恰好垂直穿过x 轴离开第一象限，求这个长方形区域的最小面积以及油滴在第一象限内运动的时间． 【解析】 (1)油滴带负电．(2)油滴受三个力作用，如图所示，从P 到O 沿直线必为匀速运动，设油滴质量为m ：(3)油滴进入第一象限： 由电场力F ′＝qE ′＝43qE重力G ＝mg ＝4qE 3g ·g ＝43qE易知油滴先受平衡力而保持以速率v 做匀速直线运动，进入磁场区域后以线速度v 做匀速圆周运动，路径如图10－2－4，最后垂直于x 轴从N 点离开第一象限． 在磁场中运动的轨道半径：由qvB ＝m v 2r ，得r ＝mvqB代入m 、v 的结果，有r ＝20E 29gB 2长方形磁场区域的最小面积：高h ＝r ，宽l ＝r ＋r sin θ【例2】.如图所示，在空间中O 点放一质量为m ，带电荷量为＋q 的微粒，过O 点水平向右为x 轴，竖直向下为y 轴，MN 为边界线，上方存在水平向右的匀强电场E ，下方存在水平向左的匀强电场E ′和垂直纸面向里的匀强磁场．OM ＝h ，若从静止释放此微粒，微粒一直沿直线OP 穿过此区域，θ＝60°.若在O 点给它一沿x 方向的初速度v 0，它第一次经过MN 时，与MN 交于C 点．电场强度E 和E ′大小未知，重力加速度为g .求：(1)C 点的坐标；(2)匀强磁场的磁感应强度B 的大小． 【答案】⎝⎛⎭⎫3h ＋v 02h g ，h ；m 6gh 6qh(2)设微粒在D 点时的速度为v ，由动能定理得 mgh ＋3Eqh ＝12mv 2 解得v ＝22gh微粒在MN 下方做匀速直线运动，由平衡条件得 F 洛＝Bqv ＝mg cos30°，B ＝mg q 6gh＝m 6gh6qh 。
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复合场练习题
1.如图所示，在y＞0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向，在y＜0的空间中，存在着匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面（纸面）向外，一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y=-2h处的P3点，不计重力.求：
（1）电场强度的大小；
（2）粒子到达P2时速度的大小和方向；
（3）磁感应强度的大小.
2.如图所示，在第一象限有一均强电场，场强大小为E，方向与y轴平行；在x轴下方有一均强磁场，磁场方向与纸面垂直。
一质量为m、电荷量为-q（q>0）的粒子以平行于x轴的速度从y轴上的P点处射入电场，在x轴上的Q点处进入磁场，并从坐标原点O离开磁
（1）M点与坐标原点O间的距离；
（2）粒子从P点运动到M点所用的时间。
3.如图，在x>0的空间中，存在沿x轴方向的匀强电场，电场强度E=10N/C；在x<0的空间中，存在垂直xy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，一带负电的粒子(比荷q/m=160C/kg)，在x=0.06m处的d点以v0=8m/s的初速度沿y轴正方向开始运动，不计带电粒子的重力。
求：
（1）带电粒子开始运动后第一次通过y轴的速度大小
和方向；
（2）带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场；
（3）带电粒子运动的周期。
4．如图所示，在直角坐标系的第一、二象限内有垂直于纸面的匀强磁场，第三象限有沿y 轴负方向的匀强电场；第四象限无电场和磁场。
现有一质量为m、电荷量为q的粒子以速v从y轴上的M点沿x轴负方向进入电场，不计粒子的重力，粒子经x轴上的N点和P 度
点最后又回到M点，设OM=L,ON=2L.求：
（1）带电粒子的电性，电场强度E的大小；
（2）带电粒子到达N点时的速度大小和方向；
（3）匀强磁场的磁感应强度的大小和方向；
（4）粒子从M点进入电场，经N、P点最后又回
到M点所用的时间。