第一章 1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质(二)

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π 求函数y＝tan2x－3 的单调区间．
π π x在x∈－2＋kπ，2＋kπ
1.3.2（二）
跟踪训练2
解 ∵y＝tan
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(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋kπ<2x－ < ＋kπ，k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即－ ＋ <x< ＋ ，k∈Z. 12 2 12 2
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1.3.2（二）
1＋tan x≠0， 只需 π x≠2＋kπ
(k∈Z)．
∴函数的定义域为 π π x|x∈R，x≠kπ＋ 且x≠kπ－ ，k∈Z. 2 4 (2)由 3－tan x>0，得tan x< 3. π π 根据正切函数图象，得－ ＋kπ<x< ＋kπ (k∈Z)， 2 3 π π x|－ ＋kπ<x< ＋kπ，k∈Z. ∴函数的定义域是 2 3
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跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280° )与tan 1 680° ； (2)tan 1，tan 2，tan 3.
本 课 时 栏 目 开 关1. Nhomakorabea.2（二）
解 (1)∵tan(－1 280° )＝tan(－4×360° ＋160° ) ＝tan(180° －20° )＝tan(－20° )， tan 1 680° ＝tan(4×360° ＋240° ) ＝tan(180° ＋60° )＝tan 60° ，
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1.3.2（二）
(3)正切函数的奇偶性： 从正切函数的图象来看， 正切曲线关于 原点 对称； 从诱导公式
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来看，tan(－x)＝ －tan x ．故正切函数是 奇 函数． (4)正切函数的周期性： 正切函数是周期函数，最小正周期是 π .据此可知函数 y＝
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1.3.2（二）
(4)把角 x 的正切线向右平移， 使它的起点与 x 轴上的点 x 重合． (5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到 y＝tan x， π π x∈－2，2 的图象，如图所示．
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几何画板演示
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例2
解
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1.3.2（二）
1 π 求函数y＝tan－2x＋4 的单调区间及最小正周期．
1 1 π π y＝tan－2x＋4＝－tan2x－4，
π 1 π π 由kπ－2<2x－4<kπ＋2 (k∈Z)， π 3 得2kπ－ <x<2kπ＋ π，k∈Z， 2 2 1 π ∴函数y＝tan－2x＋4的单调递减区间是 π 3 2kπ－ ，2kπ＋ π，k∈Z. 2 2
1.3.2（二）
π 4．函数y＝3tanx＋3 的对称中心的坐标是
kπ π － ，0 3 2
(k∈Z)
．
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π kπ 由x＋3＝ 2 (k∈Z)， kπ π 得x＝ 2 －3 (k∈Z)． kπ π ∴对称中心坐标为 2 －3，0 (k∈Z)． 解析
( C )
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π 2． 函数f(x)＝tan(x＋ )的单调递增区间为 4 π π A．(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z 2 2
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1.3.2（二）
( C )
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z 3π π C．(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z 4 4 π 3π D．(kπ－ ，kπ＋ )，k∈Z 4 4
，90°上是增函数， 而函数y＝tan x在－90°
∴tan(－20° )<tan 60° ， 即tan(－1 280° )<tan 1 680° .
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1.3.2（二）
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(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， π π 又∵ <2<π，∴－ <2－π<0， 2 2 π π ∵ <3<π，∴－ <3－π<0， 2 2 π π 显然－ <2－π<3－π<1< ， 2 2 π π 且y＝tan x在－2，2 内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.
周期T＝
＝2π. 1 － 2
π
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1.3.2（二）
y＝tan(ωx＋φ) (ω>0)的单调区间的求法即是把ωx＋φ看 π π 成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z即可．当ω<0 2 2 本
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小结
时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
π π π π 而－2<－5<7<2.
π ∴tan－5<tan
6 13 π － π － π 7，即tan 5 <tan 7 .
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π (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而 <2<9－2π<π. 2 π 由于函数y＝tan x在2，π上是增函数，
π tan(ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期是 ω ，根据函数图象可知 y＝ |tan x|的最小正周期是 π .
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(5)正切函数的单调性：
1.3.2（二）
π k π, 由正切函数的图象可知，正切函数在每一个开区间 2 π k π (k∈Z) 本 2 内都是增函数．但是我们不能说正切函数在整
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1.3.2（二）
∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.
小结 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱 导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函 π π π π 数的单调递增区间为 －2＋kπ，2＋kπ ，k∈Z.故在 －2，2 和 π 3π ， 上都是增函数． 2 2
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6 π π 解 (1)∵tan－5π＝tan－π－5＝tan－5， 13 π π － π＝tan－2π＋ ＝tan ， tan 7 7 7 π π 又函数y＝tan x在－2，2上是增函数，
填一填·知识要点、记下疑难点
1.3.2（二）
函数 y＝tan x 的性质与图象见下表：
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y＝tan x
图象
定义域
π {x|x∈R，且 x≠kπ＋2，k∈Z}
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1.3.2（二）
值域
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R
最小正周期为 π
周期 奇偶性 单调性
奇函数 π π kπ－ ，kπ＋ (k∈Z) 2 2 在开区间 内递增
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1.3.2（二）
探究点一
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正切函数的图象
π π x，x∈－2 ，2 图
阅读下文，了解正切函数图象的几何作法． 类比正弦函数图象的作法，作正切函数 y＝tan 象的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在 x 轴的负半轴上任取一点 O1，以 O1 为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成 8 份， 并作出相应终边的正切线． π π (3)在 x 轴上，把－2 ，2 这一段分成 8 等份，依次确定单位圆上 7 个分点在 x 轴上的位置．
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1.3.2（二）
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π 1． 函数y＝3tan(2x＋ )的定义域是 4 π A．{x|x≠kπ＋ ，k∈Z} 2 k 3π B．{x|x≠ π－ ，k∈Z} 2 8 k π C．{x|x≠ π＋ ，k∈Z} 2 8 k D．{x|x≠ π，k∈Z} 2
1.3.2（二）
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π π 即函数的定义域为kπ－4，kπ＋4
(k∈Z)．
小结 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解 不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
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跟踪训练1 求下列函数的定义域： 1 (1)y＝ ；(2)y＝lg( 3－tan x)． 1＋tan x 1 解 (1)要使函数y＝ 有意义， 1＋tan x
1.3.2（二）
1.3.2
余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
【学习要求】 1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．
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2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题． 【学法指导】 学习正切函数的性质与图象时，应类比正弦函数和余弦函数的 π 研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线(x＝kπ＋ ，k∈Z) 2 这一明显特征，准确地整体把握正切函数的图象，结合图象记 忆正切函数的有关性质(定义域、 值域、 周期、 奇偶性、 单调性、 对称性等).
课 时 个定义域上是增函数． 栏 目 (6)正切函数图象的对称性： 开 关 正切函数图象是中心对称图形，对称中心有无数多个，它们的
坐标为
kπ ，0(k∈Z) 2
．
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[典型例题] 例1 求函数y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域．
tan x＋1≥0 解 由题意得 ，即－1≤tan x<1. 1－tan x>0 π π 在－2，2内，满足上述不等式的x的取值范围是 π π － ， .又y＝tan x的周期为π， 4 4 π π 所以所求x的范围是kπ－4，kπ＋4 (k∈Z)．