虚位移原理1

dr
δr
M
′ δrA
δrA
A
δθ
O
δrB
B
′ δrB
虚位移不唯一 虚位移可以是线位移，也可以是角位移 实位移：在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生的位移 实位移 所谓真实运动, 所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始 条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是唯一的, 条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是唯一的,
s为系统中的约束数目
双面约束方程的一般数学形式：
& & & ,& & & f j (x1, y1, z1,L xn , yn , zn , x1, y1, z1,L xn , yn , zn ,t) = 0 ,
j = 1,2, L , s
s为系统中的约束数目
5、应用实例 、 1.单面非完整约束应用实例---齿轮啮合 2.单面非完整约束应用实例---摩擦系统 3.单面几何约束应用实例----悬挂结构
(r=1,…,s) 约束方程的个数为：s
单面约束方程的一般数学形式：
& & & & & & f j ( x1 , y1 , z1 , L , xn , y n , z n , x1 , y1 , z1 , L , xn , y n , z n , t ) > 0或 < 0
j = 1,2, L , s
虚 虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关； 位 （2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关； 移 完整定常约束下 虚位移方向沿其真实速度方向 速度方向。 （3）在完整定常约束下，虚位移方向沿其真实速度方向。 特 点 （4）虚位移可能有多组 虚位移可能有多组
3、约束分类
(1)如果限制运动的条件是几何性质的，则称为几何约束 如果限制运动的条件是几何性质的，则称为几何约束。 如果限制运动的条件是几何性质的 几何约束 (2)如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运 如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为运 如果运动时速度也受到一定条件的限制 动约束。 动约束 (3)当约束方程中都不包含时间t (3)当约束方程中都不包含时间t时，这种约束称为定常约束。 当约束方程中都不包含时间 这种约束称为定常约束。 定常约束 (4)若约束方程中明显包含时间t 这种约束就称为非定常约束。 (4)若约束方程中明显包含时间t，这种约束就称为非定常约束 若约束方程中明显包含时间 非定常约束 (5)约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各质点速 约束方程中不包含坐标对时间的导数（ 约束方程中不包含坐标对时间的导数 度的投影）的约束，称为完整约束 完整约束。 度的投影）的约束，称为完整约束 (6)约束方程总是以微分形式表示 不可能积分成有限的形式的 约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的形式的 约束方程总是以微分形式表示 约束称为非完整约束 非完整约束。 约束称为非完整约束 (7)由于构成约束的形式不同，约束又可分为单面约束和双面约 由于构成约束的形式不同，约束又可分为单面约束和 由于构成约束的形式不同 单面约束 束。
它们被用于描述刚体的位形 位形
4、约束刚体的自由度与广义坐标 约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式 不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形 式时的广义坐标数。
刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上一点被固定 （定点运动） 刚体被限制作平面平行运 动（平面运动） 刚体被限制作平行移动 （平移） 自由度 1 3 3 3 广义坐标
x + y +z =l
2 2 2
2
单摆
OA为柔绳：
x2 + y2 + z 2 ≤ l 2
4、约束方程的一般形式 n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为： 个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为 个质点组成的质点系
& & & & & & f r ( x1 , y1 , z1 , …, x n , y n , z n ; x1 , y1 , z1 , …, x n , y n , z n ; t ) ≤ 0
虚位移原理是静力学的普遍原理， 虚位移原理是静力学的普遍原理，它给 静力学的普遍原理 出了质点系平衡的充分和必要条件。 出了质点系平衡的充分和必要条件。 平衡的充分和必要条件
• 什么是虚位移
虚位移的概念与分析方法
一、基本概念 1、虚位移与实位移 虚位移： 约束所容许的任何微小的位移 虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许 约束所容许 微小的位移
每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：
s = 3n − 6
自由度数为： k = 3n − s = 6
3、自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标 ( x0 , y 0 , z 0 ) 和欧拉角 (θ，ϕ，ψ ) 或卡尔丹角（ α , β , γ ）组成的6个独立参变量就是 广义坐标。 自由刚体的广义坐标。 广义坐标
碰撞系统实例
约束方程:
&+ &− xk = 0.5v, xk = −ε xk
摩擦系统实例
& x = v0 , f s ≤ µ s N ;
约束方程
& x > v0 , f d = µ d N
Villas车站大厅 约束方程:
广义坐标、 三、广义坐标、自由度
1、基本概念 自由度： 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度
x A = x;
yA = 0
x B = x A + l cosθ
B
k=2
独立广义坐标
y B = l sin θ
q1 = x; q 2 = θ
研究 该平衡问题
图示杠杆平衡， 图示杠杆平衡，求F1与F2关系
平衡条件： 平衡条件
∑M
假定系统运动了微小角度 ϕ 则：
C
(F ) = 0
（a）
F1a − F2b = 0
ϕ
θ , ϕ ,ψ
x 0 , y 0 ,θ
x0 , y 0 , z 0
四 实例
1.刚体数目： 1.刚体数目： 3; 刚体数目 2.定轴转动刚体： 2.定轴转动刚体： OA; 定轴转动刚体 平面运动刚体：AB及轮 及轮C; 平面运动刚体：AB及轮C; 3.约束方程 3.约束方程
xO = 0
2 2
yO = 0
单摆:
x + y +z =l
2 2 2
2
z
A x
非定常几何约束
x + y = (l0 − vt )
2 2
2
r v
(3)完整约束 非完整约束 完整约束与非完整约束 完整约束 非完整约束。
1.位移约束----全部几何约束 1.位移约束----全部几何约束 位移约束---完整约束: 完整约束: 2.运动约束可积分 运动约束可积分---2.运动约束可积分----纯滚动的
（1）几何约束与运动约束 几何约束
单摆:
O
l
y A
x + y +z =l
2 2 2
2
z
x z M y x
曲面上的质点：
f ( x, y , z ) = 0
运动约束
纯滚动的圆轮：
yC = r
& & x − ϕr = 0
——几何约束 ——运动约束
y
C
r vC
x
（2）定常约束与非定常约束
O y
l
定常几何约束
二、约束 1、约束概念
约束就是限制物体任意运动的条件 约束就是限制物体任意运动的条件。 就是限制物体任意运动的条件
不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系， 自由质点系 于此相反，
受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系 受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。 非自由质点系
2
4. 自由度计算 约束方程数: S=7
2
x A + y A = OA
2
( x A − xB ) + ( y A − y B )
& xC = rωC
= AB
2
自由度: k=3*3-7=2 5. 广义坐标
yC = const
r r r vB = v A + vBA
q1 = β
q2 = ϕ
l0
k
x
A
θ
标注B质点的真实位移、 标注 质点的真实位移、虚位移 质点的真实位移
o
y A = sin t
A
x
θ
l
B
δrB
rA
rBA
v v v rB = rA + rBA
y
B
rA
drB = drA + ldθ
虚位移：几何概念， 虚位移：几何概念，仅依赖于约束条件
（1）虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许的微小位移； 虚位移不是任何随便的位移，它必须为约束所允许的微小位移； 约束所允许的微小位移
力在微小位移中所作的功 力在微小位移中所作的功来建立 微小位移中所作的
虚位移原理
虚位移原理
用动力学方法建立受约束质点系平衡条件 用动力学方法建立受约束质点系平衡条件 由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 ， 提出的 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的 由 拉格朗日 完善的
空间质点: 空间质点 k = 3n −广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量 广义坐标：
自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅qk 一般地： n个质点，
xi = xi (q1 , q2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅qk , t )