chap5_经典设计法 [兼容模式]

2011/10/195.1.1 设计原理和步骤• 实质是将数字控制器部分看成是一个整体，其输入和输出都是模拟量， 因而可等效为连续传递函数De(s)。

连续域连续域-离散化设计的步骤如下：第1步：根据系统的性能，选择采样频率，并设计抗混叠前 置滤波器。

第2步：考虑ZOH的相位滞后，根据系统的性能指标和连续 域设计方法，设计数字控制算法等效传递函数Ddc(s)。

第3步：选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，获得脉 冲传递函数D(z)，使两者性能尽量等效。

第4步：检验计算机控制系统闭环性能。

若满足指标要求， 第4步：检验计算机控制系统闭环性能 若满足指标要求 进行下一步；否则，重新进行设计。

改进设计的途径有： – 选择更合适的离散化方法。

– 提高采样频率。

– 修正连续域设计，如增加稳定裕度指标等。

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5连续域—离散化设计 数字PID控制器设计 控制系统z平面设计性能指标要求 z平面根轨迹设计 w’变换及频率域设计图5-1计算机控制系统典型组成 A/D输出与输入关系：R* ( jω ) =系统低通且 1 ∑ R( jω + jnω s ) 采样频率较高 T n =−∞∞R *( jω ) ≈1 R ( jω ) TR *( jω ) / R ( jω ) ≈计算机实现算法D(z)的计算表示：D (e D/A的频率特性： G ( jω ) = T 等效连续 传递函数1jωT1 T)sin(ωT / 2) − jωT / 2 e ≈ Te − jωT / 2 ωT / 2设计时常近似为：1 De ( jω ) ≈ D (e jωT )Te − jωT / 2 = D (e jωT )e − jωT / 2 T第5步：将D(z)变为数字算法，在计算机上编程实现。

e − sT / 2 ≈ 1 1 + sT / 22De ( s ) = Ddc ( s )e − sT / 235.1.2 各种离散化方法• 最常用的表征控制器特性的主要指标：– – – – – – 零极点个数； 系统的频带； 稳态增益； 相位及增益裕度； 阶跃响应或脉冲响应形状； 频率响应特性。

1. 一阶向后差分法(1)离散化公式D( z ) = D( s)s= 1− z T−1D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s1. 一阶向后差分法(2)主要特性 ① s平面与z平面映射关系– 当σ=0 （s平面虚轴），s平面虚 轴映射到z平面为该小圆的圆周。

– 当σ> 0（s右半平面），映射到z 平面为上述小圆的外部。

– 当σ< 0（s左半平面），映射到z 平面为上述小圆的内部。

du (t ) / dt = e(t )s = σ + jω实质：将连续域中的微分D(s)等效离散D(z)用一阶向后差分替换du (t ) / dt = [u (kT ) − u[( k − 1)T ]] / T做z变换，得比较• 数值积分法一阶向后差法 一阶向前差法 双线性变换法及修正双线性变换法D ( z ) = U ( z ) / E ( z ) = T /(1 − z )s与z之间的变换关系−1②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定 ③变换前后，稳态增益不变。

③变换前后 稳态增益不变 ④离散后控制器的时间响应与频率响 应，与连续控制器相比有相当大的 畸变。

D( s)s =0= D( z )z =1离散化方法(3) 应用由于这种变换的映射关 系畸变严重，变换精度较低。

所以，工程应用受到限制， 用得较少。

• 零极点匹配法 • 保持器等价法 • z变换法(脉冲响应不变法)4图5-3向后差分(矩形积分)法图5-4 向后差分法的映射关系652. 一阶向前差分 一阶向前差分法(1)离散化公式D( z ) = D( s )s= z −1 TD ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ s2.一阶向前差分 2.一阶向前差分法(2)主要特性① s平面与z平面映射关系⇒ z = (1 + σT ) 2 + (ωT ) 223.双线性变换法（突斯汀-Tustin变换法）(1)离散化公式 D( z ) = D( s) 平移放大关系s= 2 z −1 T z +1du (t ) / dt = e(t )D ( s ) = U ( s ) / E ( s ) = 1/ sz = 1 + Tsu (t ) = ∫ e(t )dt0t实质：将连续域中的微分 用一阶向前差分替换 做z变换，得du (t ) / dt = {u[(k + 1)T ] − u (kT )}/ Tz = sT + 1, 令s = σ + jω , 则z = (1 + σT ) + jωT 1 2 1 ) + ω 2 = ( )2 T T实质：将梯形面积 u (k ) = u ( k − 1) + T [e( k ) + e( k − 1)] 近似代替积分 2 进行z变换，得D ( z ) = U ( z ) / E ( z ) = T /( z − 1)比较令 z = 1 ⇒ (σ +2比较s与z之间的变换关系②若D(s)稳定，则D(z) 不一定稳定[改进方法是 适当减少采样周期T ]。

s与z之间的变换关系z − 1 1 − z −1 s= = T Tz −1图5-7 向前差分矩形积分法(3) 应用向前差分法的映射关系图z = 1 + Ts由于这种变换的映射关系畸变严重，不能保证D(z)一定 稳定，或者如要保证稳定，要求采样周期较小，所以应用较少。

7 8图5-9 梯形积分法912011/10/193.双线性变换法(2)主要特性z=① s平面与z平面映射关系– 当σ=0（s平面虚轴)映射为z平面 的单位圆周。

– 当σ> 0（s右半平面），映射到z 平面单位圆外 。

– 当σ< 0（s左半平面），映射到z 平面单位圆内 。

ωT ⎛ T ⎞ T s ⎜1 + σ ⎟ + j 2 2 =⎝ 2 ⎠ T ωT T 1 − s ⎛1 − σ ⎞ − j ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠1+z域角频率为ωDs域角频率s=2 ( z − 1) T ( z + 1)3.双线性变换法ωA = ω T 2 tan D 2 T(2)主要特性 ③频率畸变：双线性变换的一对一映射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变。

ωA =ω T 2 tan D 2 Tω DT足够小s = σ + jω⎛ T ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎜1 + σ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ z =⎝ 2 2 ⎛ T ⎞ ⎛ ωT ⎞ ⎜1 − σ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2 2当采样频率较高jω A ==2 1 − e− jω DT 2 e jω DT / 2 − e − jω DT / 2 = ω T 1 + e− jω DT T e jω DT / 2 + e− j D T / 22 2 j sin(ω DT / 2) 2 ω T = j tan D T 2 cos(ω DT / 2) T 22 ω DT ωA ≅ = ωD T 2②若D(s)稳定，则D(z)一定稳定图5-10 双线性变换映射关系图5-12双线性变换的频率关系10 11图5-11双线性变换的频率关系123. 双线性变换法(2)主要特性④变换前后，稳态增益不变。

⑤双线性变换后D(z)的阶次不变， 且分子、分母具有相同的阶次。

并有下式成立：4. 修正双线性变换解决“双线性变换产生频率轴非线性畸变 ”问题的方法。

D( s)s =0= D( z )z =1修正：Ω* T 2 ω1* = arctan T T 2(1)离散化方法D( z ) = D( s)s=ω1 z −1 tan(ω1T / 2) z +1ω1是设计者选定的特征角频率D(e(3) 应用jω T)ω=ωs2=0A C BΩ* = ω1 Tω1* =2 ωT arctan 1 T 2依据连续域与双线性变换后频率的非线性关系，首先修 正原连续域传递函数，然后再进行双线性变换的结果。

(2) 主要特性– 该方法本质上仍为双线性变换法，因此具有双线性变换法的各种特 性。

但由于采用了频率预修正，故可以保证在处连续频率特性与离 散后频率特性相等，即满足① 这种方法使用方便，且有一定的精度和前述一些好的 特性，工程上应用较为普遍。

② 这种方法的主要缺点是高频特性失真严重，主要用于 低通环节的离散化，不宜用于高通环节的离散化。

13D (e jω1T ) = D ( jω1 )(3) 应用ΩT 1Ω* T– 由于该方法的上述特性，所以主要用于原连续控制器在某些特征频 率处要求离散后频率特性保持不变的场合。

155. 零极点匹配法(1)离散化方法5. 零极点匹配法(2)主要特性① 零极点匹配法要求对D(s)分解为极零点形式，且需 要进行稳态增益匹配，因此工程上应用不够方便。

6. 其他离散方法(1) z变换法（脉冲响应不变法） D( z ) = Z [ D( s ) ]这种方法可以保证连续与离散环节脉冲响应相同，但由 于z变换比较麻烦，多个环节串联时无法单独变换以及产生 频率混叠和其他特性变化较大，所以应用较少。

特点：– 零、极点分别按 z = e 匹配 – 若分子阶次 小于分母阶次 若分子阶次m小于分母阶次n，离散变换时，在D(z)分子上加 离散变换时 在D( )分子上加 (z+1)n-m因子 – 确定D(z)的增益k1的方法： D( s ) s =0 = D( z ) z =1 • 按右式来匹配 • 若D(s)分子有s因子，可依高频段增益相等原则确定增益,即sT( ) ② 由于该变换是基于z变换进行的，所以可以保证D(s) 稳定，D(z)一定稳定。

稳定 定稳定 ③ 当D(s)分子阶次比分母低时，在D(z)分子上匹配有 (z+1)因子，可获得双线性变换的效果，即可防止频 率混叠。

D(s)s =∞= D( z )z =−1• 也可选择某关键频率处的幅频相等，即D ( jω1 ) = D (e jω1T )16171822011/10/19(2) 带保持器的z变换 ①带零阶保持器z变换法（阶跃响应不变法）⎡1 − e − sT ⎤ D( z ) = Z ⎢ D( s) ⎥ ⎣ s ⎦5.2 数字PID控制器设计 数字PID控制器设计5.1 5.2 52 5.3 5.4 5.5 • 根据偏差的比例(P)、积分(I)、微分(D) 进行控制(简称PID控制)，是控制系统中 应用最为广泛的一种控制规律。

• 优点：– 原理简单 – 通用性强注意，这里的零阶保持器是假想的，并没有物理的零阶保持 器。