2021-2022年高二上学期第一次月考数学(理)试题 含答案
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考(文、理)数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省驻马店市第二高级中学高二上学期第一次月考（文、理）数学试题一、单选题1．已知a ，b ∈R ，且a b >，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11a b <B ．33a b >C ．2ab b >D ．22a b >【答案】B【分析】利用特殊值判断A 、C 、D ，根据幂函数的性质判断B ； 【详解】解：因为a ，b ∈R ，且a b >， 对于A ：若1a =，1b，显然11a b>，故A 错误； 对于B ：因为函数3y x =在定义域R 上单调递增，所以33a b >，故B 正确； 对于C ：若0b =，则20ab b ==，故C 错误； 对于D ：若1a =，1b ，则22a b =，故D 错误；故选：B2…，则 ）项． A ．6 B ．7C ．9D ．11【答案】D【分析】根据前几项写出数列的通项公式，由此可判断.【详解】，…，由此可归纳数列的通项为：n a，所以11n =，所以11项， 故选：D.3．若数列{an }满足：a 1＝19，an ＋1＝an －3，则数列{an }的前n 项和数值最大时，n 的值为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B【分析】先判断数列{an }为等差数列，写出通项公式，若前k 项和数值最大，利用10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩，解出k .【详解】∵a 1＝19，an ＋1－an ＝－3，∴数列{an }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴an ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n ，则an 是递减数列．设{an }的前k 项和数值最大，则有10,0,k k a a +≥⎧⎨≤⎩ 即()2230,22310,k k -≥⎧⎨-+≤⎩∴193≤k ≤223， ∵k ∈N *，∴k ＝7． ∴满足条件的n 的值为7． 故选：B【点睛】求等差数列前n 项的最大（小）的方法： （1）由2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n 的值； （2）利用an 的符号①当a 1>0，d <0时，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn 的最大值，其n 的值由an ≥0且an+1≤0求得；②当a 1<0，d >0时，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn 的最小值，其n 的值由an ≤0且an+1≥0求得.4．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A．BC．D【答案】A【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】由题意得：3813837a a a a ++==，所以873a =，211149314a a a a ++==，所以9143a =.89989a a ⋅=，所以8a 和9a的等比中项为故选A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。
江苏省宝应中学2021-2022学年高二上学期月考测试数学理试题 Word版含答案
江苏省宝应中学17-18学年第一学期高二班级月考测试 (数学理科)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．）．． 1．赋值语句为：235T T T ←←-+，，则最终T 的值为 ▲ ．2．在一次数学测验中，某小组16名同学的成果与全班的平均分116分的差分别是2，3，3-，5-，-6，12，12，8，2，1-，4，10-，2-，5，5，6那么这个小组的平均分是 ▲ . 3.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．4．样本数据8321,,,,x x x x 的平均数为6，若数据)8,7,6,5,4,3,2,1(63=-=i x y i i ，则8321,,,,y y y y ⋅⋅⋅的平均数为▲ ．5.某校高一班级有同学400人，高二班级有同学360人，现接受分层抽样的方法从全校同学中抽出56人，其中从高一班级同学中抽出20人，则从高三班级同学中抽取的人数为 ▲6. 以线段AB ：40(04)x y x +-=≤≤为直径的圆的方程为 ▲ ．7、阅读如图所示的程序框，若输入的n 是28，则输出的变量S 的值是__▲____． 8．、椭圆192522=+y x 的两个焦点是21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且1222=+B F A F ，则||AB 的长为 ▲ .9.已知无论p 取任何实数，0)32()32()41(=-+--+p y p x p 必经过肯定点，则定点坐标为 ▲ ．10.若直线x ＋n y ＋3＝0与直线nx ＋9y ＋9＝0平行，则n 的值等于__▲___11.双曲线2212x y m m -=+ 的一条渐近线方程为x y 2=，则此m 等于 ▲ .12已知平面上两点A(0,2)、B(0,-2),有一动点P 满足PA-PB=2，则P 点的轨迹方程为 ▲ ．13. 若关于x 的方程24420x kx k ---+=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲14、 如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP P F 31=，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题14分）某赛季甲、乙两名运动员每场竞赛得分状况如下表： 第一场 其次场 第三场 第四场 第五场 第六场 第七场 甲 26 28 24 22 31 29 36 乙26293326402927（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较甲、乙两人七场竞赛的平均得分及得分的稳定程度.16．（本题14分）已知椭圆C 的方程为．（1）求k 的取值范围； （2）若椭圆C 的离心率，求k 的值．17．（本题14分）为了调查高一新生是否住宿，招生前随机抽取部分准高一同学调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （1）求直方图中x 的值；（2）假如上学路上所需时间不少于40分钟的同学应住宿，且该校方案招生1800名，请估量新生中应有多少名同学住宿；（3）若担忧排住宿的话，请估量全部同学上学的平均耗时（用组中值代替各组数据的平均值）．（第7题）18. （本题16分）已知△ABC 三个顶点坐标分别为：A （1，0），B （1，4），C （3，2），直线l 经过点（0，4）． （1）求△ABC 外接圆⊙M 的方程；（2）若直线l 与⊙M 相切，求直线l 的方程；（3）若直线l 与⊙M 相交于A ，B 两点，且AB=2，求直线l 的方程．19．（本题16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆C ：22(1)16x y ++=，点(1,0)F ，E 是圆C 上的一个动点，EF 的垂直平分线PQ 与CE 交于点B ，与EF 交于点D 。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
江苏省南京市某高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
2021-2022学年第一学期第一次月考高二数学(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．1．抛物线24y x =的准线方程为____________． 【答案】1x =-【解析】抛物线)0(22>=p px y 的准线方程为2p x =-2．双曲线29x －24y ＝1的渐近线方程是 ．【答案】 230x y ±=．【解析】由29x －24y ＝0得230x y ±=．3．若()xf x e x =-，则=)0('f ____________． 【答案】0【解析】由于'()()'()'11x x xf x e x e e =-=-=-，所以=)0('f 1-1=0．4.在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ln x 在x ＝e(e 为自然对数的底数)处的切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，则实数a 的值为________． 【答案】－e【解析】由于y ′＝1x ，所以曲线y ＝ln x 在x ＝e 处的切线的斜率k ＝y ′x ＝e ＝1e.又该切线与直线ax －y ＋3＝0垂直，所以a ·1e ＝－1，所以a ＝－e.5．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________． 【答案】(x －2)2＋(y ＋3)2＝5【解析】由圆的几何意义知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.6.已知实数,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则2z x y =+的最小值 ．【答案】3【解析】如图：作出可行域ｙＡＢｘ目标函数：y x z +=2，则 z x y +-=2当目标函数的直线过点B(1,1)时，Z 有最小值32min =+=y x Z .7．已知p ：0322≤-+x x ，q ：a x ≥．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的最大值为__________．【答案】3-【解析】由0322≤-+x x 知13≤≤-x ，当3-≤a 时p 是q 的充分不必要条件，所以实数a 的最大值为3-．8．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右准线的距离为_________．【答案】215【解析】由题102=a ，由于点P 到左焦点的距离为4，所以点P 到右焦点的距离为6．设点P 到右准线的距离为d ，则有546==e d，即215=d ． 9.设M 是圆22(5)(3)9x y -+-=上一点，则M 到直线l ：3420x y +-=的距离的最大值为 ．【答案】8【解析】圆心到直线距离为2555d ==，最大距离为538d r +=+=.10.若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．11.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的取值范围为____________.【答案】[]0,8【解析】作出可行域如图:22x y +表示可行域内的点与原点的距离的平方,由图可知2208x y ≤+≤.12．如图，已知1F ，2F 是椭圆的左右两个焦点，过1F 且与椭圆 长轴垂直的直线交椭圆与A ，B 两点．若2ABF ∆是正三角形， 则椭圆的离心率为 ．【答案】33【解析】设m AF =1，则m AF 22=，a m 23=，即m a 23=，又c m F F 2321==，即mc 23=，所以33==a c e ．13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为 ． 【答案】6【解析】由图可知，圆C 上存在点P 使∠APB ＝90°，即圆C 与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m ≤32＋42＋1，即4≤m ≤6.14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q . 若PQ ＝λAP ，则实数λ的取值范围为 ．【答案】0<λ<1【解析】 解法1 λ＝PQ AP ＝AQ －AP AP ＝AQAP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k (x ＋2)得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[](2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)＝0，所以x A ＝－2, x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1.所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝⎛⎭⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2(2k 2＋1)2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝AQ AP －1＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1.由于k 2>0，所以0<λ<1. 解法2 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x ＋2)消去x 得(k 2＋1)y 2－4ky ＝0，所以y Q ＝4k k 2＋1，同理y P ＝4k2k 2＋1，由解法1知，λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4kk 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由于k 2>0，所以0<λ<1。
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
江西省临川第一中学2021-2022高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一､选择题1.若直线//l α，且l 的方向向量为(2,,1)m ，平面α的法向量为(1,1,2)-，则m 为（ ） A. -4 B. -2C. 2D. 4【答案】D 【解析】 【分析】由题可得l 与平面α的法向量垂直,再利用垂直的数量积公式求解即可.【详解】由题有l 与平面α的法向量垂直,故(2,,1)(1,1,2)0220m m ⋅-=⇒-+=,所以4m =.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行得出线和法向量垂直的关系,同时也考查了空间向量垂直的计算,属于基础题.2.下列说法正确的是（ ）A. 若()p q ⌝∧为真命题，则p ，q 均为假命题；B. 命题“若2340x x --=，则1x =-”的逆否命题为真命题；C. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若“10a >”则“20192018S S >”的否命题为真命题；D. “平面向量a 与b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<” 【答案】C 【解析】 【分析】根据逻辑连接词的性质判断A;根据逆否命题与原命题同真假判断B;根据逆否命题同真同假判断C;再根据数量积的公式判断D 即可.【详解】对A, 若()p q ⌝∧为真命题,则p q ∧为假命题,故p ,q 至少有一个假命题,故A 错误. 对B, 因为2340x x --=有1x =-或4x =,故命题“若2340x x --=,则1x =-”为假命题,故其逆否命题也为假命题.故B 错误.对C, 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“10a >”则“20192018S S >”的逆命题为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若“20192018S S >”则“10a >”.又因为当20192018S S >时201920180S S ->即2018201911000a a q a >⇒>⇒>成立.而原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假，故C 正确.对D, 当0a b ⋅<时, a 与b 也可能反向,此时夹角为π.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,包括四种命题之间的关系与充分必要条件的性质判定等.属于基础题.3.命题“[2,3]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 0a ≤ B. 1a ≤C. 2a ≤D. 3a ≤【答案】D 【解析】 【分析】先求解原命题的充要条件,再根据必要不充分条件的范围更大选择对应选项即可.【详解】命题“[2,3]x ∀∈,220x a -≥”为真命题的充要条件：[2,3]x ∀∈,22x a ≥恒成立.即42a ≥,2a ≤.故其必要不充分条件为3a ≤. 故选：D【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的性质,一般先求出原命题的充要条件,再根据必要条件与充分条件的范围大小进行判定.属于基础题.4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于2a 的是（ ）A. 2AB CA ⋅B. 2AC FG ⋅C. 2AD DC ⋅D.2EF DB ⋅【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式分析向量的夹角与模长逐个判断即可.【详解】对A, 2222cos 3AB CA AB CA a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对B, 222cos022aAC FG AC FG a a ⋅=⋅⋅︒=⨯=.满足对C, 2222cos 3AD DC AD DC a π⋅=⋅⋅=-.不满足 对D, 222cos 22aEF DB EF DB a a π⋅=⋅⋅=-⨯=-.不满足故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积,需要根据几何关系判断向量的夹角与模长,属于基础题.5.命题p :函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数.命题q :直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0. 若p q ∨为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. 4a >B. 0a ≥C. 04a ≤<D.04a <≤【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴与区间的位置关系判断a 的取值范围,再求得直线0x y a +-=在y 轴上的截距令其小于0计算a 的取值范围.再根据p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题再分析即可. 【详解】当函数21y x ax =-+在(2,)+∞上是增函数时,对称轴满足242aa ≤⇒≤. 当直线0x y a +-=在y 轴上的截距小于0时有0a <.又p q ∨为假命题可知,p q 均为假命题.故440a a a >⎧⇒>⎨≥⎩.故选：A【点睛】本题主要考查了利用命题间的关系求解参数的范围问题,需要根据题意先求出命题均为真命题时的参数范围,再根据复合命题的真假求取值范围即可.6.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（ ）B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S︒=⨯=设P 点的纵坐标为h 则1221F F h h ⋅⋅=⇒=. 故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积运用,属于中档题.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1AA ､1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG m m =<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）C.3【答案】D 【解析】 分析】易得11//A B 平面1D EF ,故点G 到平面1D EF 的距离为点1A 到平面1D EF 的距离,再分析线面垂直的关系求解即可.【详解】作11A P ED⊥于P,因为,E F分别为棱1AA､1BB的中点,故11//EF A B,EF⊥平面11A ADD.故1EF A P⊥,又11A P ED⊥,1EF ED E⋂=.故11A P ED F⊥平面. 又11//EF A B所以点G到平面1D EF的距离为点1A到平面1D EF的距离1A P.又111111111212111152225112A E A DA P ED A E A D A PED⨯⋅⋅=⋅⇒===⎛⎫+⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了点到平面距离的计算,根据题意可直接找到11A P ED F⊥再根据等面积法计算1A P,属于中档题.8.我们把由半椭圆22221(0)x yxa b+=≥与半椭圆22221(0)y xxb c+=<合成的曲线称作“果圆”(其中222a b c=+，0a b c>>>).如图，设点0,F1,F2F是相应椭圆的焦点，1,A2A和1,B2B是“果圆”与,x y轴的交点，若012F F F△是等腰直角三角形，则ab的值为（）A.722 C.62D.54【答案】C【解析】【分析】根据题意分别利用椭圆中的基本量关系计算0,F2F对应的坐标,再根据012F F F△是等腰直角三角形可得02OF OF=计算即可.【详解】根据题意有(),0F c,()2220,bF c-,又根据012F F F△是等腰直角三角形的性质可得02OF OF=,即()22222222322ab c c b a bb-=⇒=-⇒=.故6ab=故选：C【点睛】本题主要考查了根据椭圆的基本量关系列式求解的方法,需要求出对应点的坐标,利用等腰直角三角形的性质列式化简求解.属于基础题.9.如图，直三棱柱111ABC A B C-中，侧棱长为4，2AC BC==，90ACB︒∠=，点D是11A B 的中点，F是侧面11AA B B(含边界)上的动点.要使1AB⊥平面1C DF，则线段1C F的长的最大值为（）5 B. 213 D. 25【答案】A【解析】【分析】分析可得当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,再根据平面中的边角比例关系求解即可.【详解】由题,当1AB⊥平面1C DF时1AB DF⊥,故F在边界1BB时1C F取最大值,此时因为1AB DF⊥,故111111190FDB AB A B AA AB A∠+∠=∠+∠=︒.故111FDB B AA∠=∠.故111tan tanFDB B AA∠=∠即1111111111FB A B A B DBFBDB AA AA⋅=⇒==2411BB=<满足题意 .此时1C F===故选：A【点睛】本题主要考查了根据线面垂直计算边长的关系的方法.需要根据题意找到对应的角度等量关系,利用正切值相等进行列式求解.属于中档题.10.椭圆22143x y+=上有n个不同的点123,,,,nP P P P⋅⋅⋅，椭圆右焦点F，数列{}nP F是公差大于12019的等差数列，则n的最大值为（）A. 4036B. 4037C. 4038D. 4039 【答案】C【解析】【分析】根据题意分析最大最小的n P F的值,再利用等差数列的通项公式求解n的最大值即可. 【详解】根据题意有,当1P为椭圆的右顶点,n P为左顶点时n取得最大值.此时121PF==.23nP F==.又数列{}nP F是公差12019d>的等差数列,()2131112019n d dn=+-⇒=>-,所以140384039n n-<⇒<.故n的最大值为4038.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆上的点到焦点的距离最值以及等差数列的基本量运用,属于中档题.11.已知正四棱锥S ABCD-，E是线段AB上的点且13AE AB=，设SE与BC所成的角为1θ，二面角S AB C--的平面角为2θ，SE与平面ABCD所成的角为3θ，则（）A.123θθθ<< B.321θθθ<< C.132θθθ<< D.231θθθ<<【答案】B【解析】 【分析】作出立体图形,分别构造关于123,,θθθ的直角三角形,利用正切值的大小判断即可. 【详解】如图,作SO ⊥平面ABCD 于O ,取AB 中点J ,在DC 上取F 使得13DF DC =,I 为EF 中点.连接各点如图所示.易得//EF BC ,故SE 与BC 所成的角1SEF θ=∠,二面角S AB C --的平面角2SJO θ=∠,SE 与平面ABCD 所成的角3SEO θ=∠. 又OJ AB ⊥,故EO JO >,所以32tan tan SO SO EO JOθθ=<=. 又12EI JO BC ==,SO OI ⊥,故SI SO >,21tan tan SO SI JO EIθθ=<=. 综上有321tan tan tan θθθ<<.又1230,,2πθθθ<<.故321θθθ<< 故选：B【点睛】本题主要考查了立体几何中的线面角与线线角等之间的关系,需要找到对应的角度,利用正切函数的单调性进行大小的判断.属于中档题.12.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的下顶点，,M N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A. ⎫⎪⎪⎝⎭B. 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题四边形OPMN 为平行四边形可知,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,再代入椭圆方程可求得,M N 的坐标,再利用35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,根据斜率等于倾斜角的正切值求斜率的表达式再计算即可.【详解】∴,M N 两点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,即,M N 两点关于x 轴对称,MN OP a ==,可设,,,22a a M x N x ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,代入椭圆方程得：2x =,因为35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故0x <得2a N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α为直线ON 的倾斜角,tan aα==,又35,46ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 1,3α⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭,即1133ba -<<-⇒<<.故0,3e ⎛= ⎝⎭∴椭圆C的离心率的取值范围为⎛ ⎝⎭.故选：D.【点睛】本题主要考查了根据椭圆中的几何关系列出关于基本量的不等式求解离心率的问题,重点是根据题设找到对应的等量关系列式求解.属于中档题. 二､填空题13.正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若1AC 与底面ABCD 所成角为45︒，则11A C 和底面ABCD 的距离是________.【答案】2 【解析】 【分析】确定1AC 与底面ABCD 所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.【详解】连接1AC ,因为1CC ⊥平面ABCD ,故1AC 与底面ABCD 所成角为145C AC ∠=︒. 所以1C AC 为等腰直角三角形.所以11A C 和底面ABCD 的距离221112CC AC ==+=.2【点睛】本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.14.给定两个命题，P :对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q :方程2213x ya a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆.如果P Q ∧⌝为真命题，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题.再分别根据恒成立以及椭圆的标准方程性质求解即可.【详解】由P Q ∧⌝为真命题可知P 为真命题Q 为假命题. 又对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立则显然0a ≥ ：①当0a =时10>恒成立满足题意,②当0a >时24004a a a ∆=-<⇒<<. 综上有04a ≤<又方程2213x y a a+=-表示焦点在x 轴上的椭圆有33032a a a >->⇒<<.又Q 为假命题故32a ≤或3a ≥. 故实数a 的取值范围是30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：30,[3,4)2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求参数的范围问题.需要根据题意分析命题的真假,再求解对应的参数范围最后再求参数的交集.属于中档题.15.函数()1g x ax =+(0)a >，2()2f x x x =-，对1[1,2]x ∀∈-，0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立，则a 的取值范围是_________.【答案】(0,1] 【解析】 【分析】由题意可知()f x 的值域包含()g x 的值域,再分别根据定义域求对应函数的值域,再根据包含关系列不等式求解即可.【详解】由题,当[]11,2x ∈-时,因为0a >,故[]()11,21g x ax a a =+∈-++.又0[0,3]x ∈则[]2()21,3f x x x =-∈-.又1[1,2]x ∀∈-,0[0,3]x ∃∈使()()10g x f x =成立,所以()f x 的值域包含()g x 的值域.所以111213a a a -+≥-⎧⇒≤⎨+≤⎩,因为0a >,所以a 的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]【点睛】本题主要考查了根据函数恒成立与能成立的问题求解参数范围的问题,需要根据题意判定出函数值域满足的关系式,再分别列式求解.属于中档题.16.已知O 为坐标原点,平行四边形ABCD 内接于椭圆Ω：22221(0)x y a b a b+=>>,点E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ,OF 的斜率之积为12-,则椭圆Ω的离心率为______．【答案】2【解析】 【分析】设()11,C x y ,则()22,D x y ,由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --,由可得2211221x y a b +=,2222221x y a b+=,相减可得：AB ，AD 斜率之积为()()()()2121221212.y y y y b x x x x a -+=--+由E ,F 分别为AB ,AD 的中点,可得OE ，OF 的斜率之积等于AB ,AD 斜率之积．即2212b a =,即可求得椭圆Ω的离心率．【详解】解：设()11,C x y ,则()22,D x y , 由对称性可得：()11,A x y --，则()22,B x y --， 可得2211221x y a b +=,2222221x y a b +=．相减可得：22221212220x x y y a b--+= AB ∴,AD 斜率之积为()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+． E ,F 分别为AB ,AD 的中点,且OE ，OF 的斜率之积为12-，则OE ,OF 的斜率之积等于AB ，AD 斜率之积．2212b a =∴,则椭圆Ω的离心率为2e ==,故答案为:2．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三､解答题17.已知集合{}2|320A x x x=-+≤，集合{}2|2B y y x x a==--，集合{}2|20C x x ax=+-≤，命题:p A B⋂≠∅，命题:q A C⊆.（1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p q∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a<-（2）31a-≤≤-【解析】【分析】(1)由题意A B=∅,再根据区间端点满足的关系式求解即可.【详解】由题, {}{}2|320|12A x x x x x=-+≤=≤≤,{}{}2|2|1B y y x x a y y a==--=≥--（1）由命题p是假命题,可得A B=∅,即得12,3a a--><-.（2）p q∧为真命题,,p q∴都为真命题,即A B⋂≠∅,且A C⊆.∴有121204220aaa--≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≤⎩,解得31a-≤≤-.【点睛】本题主要考查了根据集合间的基本关系求解参数范围的问题,需要根据题意求出对应的区间端点满足的不等式再求解.属于中档题.18.如图，在几何体ABCDE中，//CD AE，90EAC︒∠=，平面EACD⊥平面ABC，22CD EA ==，2AB AC ==，23BC =，F 为BD 的中点.（1）证明://EF 平面ABC ； （2）求直线BC 与平面BDE 所成角. 【答案】（1）证明见解析（2）30°. 【解析】 【分析】(1)取BC 中点G ,连接FG ,AG ,再证明四边形AGFE 是平行四边形即可.(2) 以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再用空间向量求解直线BC 与平面BDE 所成角即可.【详解】（1）取BC 中点G ,连接FG ,AG ,又F 为BD 的中点,2CD EA =,//CD AE ,12FG CD EA ∴==,且//FG AE , ∴四边形AGFE 是平行四边形, //EF AG ∴,而且EF ⊄平面ABC ,AG ⊂平面ABC , //EF ∴平面ABC ；（2）90EAC ︒∠=,平面EACD ⊥平面ABC ,且交于AC , ∴平EA ⊥面ABC ,由（1）知//FG AE ,FG ∴⊥平面ABC ,又AB AC =,G 为BC 中点, AG BC ∴⊥,如图,以,,GA GB GF 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则3,0)B ,(0,3,0)C ,(0,3,2)D -,(1,0,1)E ,(0,23,0)BC ∴=-,(0,23,2)BD =-,(1,3,1)BE =,设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =,则00n BD n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即3030z x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,令1y =,得(0,1,3)n =, ∴直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为12||||BC n BC n ⋅=.∴直线BC 与平面BDE 所成角为30°.【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解线面角的问题,需要找到合适的坐标原点建立空间直角坐标系,再求面的法向量与直线的向量,进而求得线面所成角的正弦求解.属于中档题. 19.已知21:()4P f x ax ax =-+R ，:q x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，关于x 的不等式(1)(2)0x m x m -+-≤的解集记为B . （1）若p q ∧为真，求实数a 的取值集合A ；（2）在（1）的条件下，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）10,4⎡⎫=⎪⎢⎣⎭A ；（2）1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先确定p ，q 为真的等价条件，若p q ∧为真则p 真q 真，求交集即可；（2）利用x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，即A ⊊B ，确定条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）:p 真 f （x ）214ax ax =-+的定义域为R ，则ax 2﹣ax +14≥0对任意实数x都成立，当a ＝0时显然满足，当a ≠0时，有2()0a a a ⎧⎨--≤⎩＞，解得0＜a ≤1． 综上： []a 0,1∈:q 真 x R ∃∈，使得不等式20x x a -+<成立，∴14a 0=->即a 1,4⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭p q ∧为真，即p 真，q 真，∴ 10,4A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭（2）①12m m -<，即1m >-，此时[]1,2B m m =-x A ∈是x B ∈的充分不必要条件∴ 10124m m -≤⎧⎪⎨≥⎪⎩1,18⎡⎤⇒⎢⎥⎣⎦； ②12m m -=，即1m =-，此时{}2B =- 不符合题意． ③①12m m ->，即1m <-，此时[]2,1B m m =-10,4A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦为[]2,1B m m =-的充分不必要条件 ∴ 11420m m ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩ 无解；综上所述：1,18m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查且命题、交集运算、不等式解法、充分条件和必要条件的应用等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.长方形ABCD中，2=AB AD M 是DC 中点（图1）.将ADM 沿AM 折起，使得AD BM ⊥（图2）在图2中:（1）求证:平面ADM ⊥平面ABCM ；（2）在线段BD 上是否存点E ，使得二面角E AM D --5，说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用勾股定理与线面垂直的性质证明BM ⊥平面ADM 即可.(2) 以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 设(01)BE BD λλ=<<,再根据二面角的向量方法,分别求解面的法向量,再根据法向量的夹角求解即可.【详解】（1）在长方形ABCD 中,连结BM ,因为2AB AD =,M 是DC 中点, 所以2AM BM AD ==,从而222AM BM AB +=,所以AM BM ⊥ 因为AD BM ⊥,ADAM A =,所以BM ⊥平面ADM . 因为BM ⊂平面ABCM ,所以平面ADM ⊥平面ABCM .（2）因为平面ADM ⊥平面ABCM ,交线是AM ,所以在面ADM 过M 垂直于AM 的直线必然垂直平面ABCM .以M 为坐标原点,MA 为x 轴,MB 为y 轴,过M 作平面ABCM 的垂线为z 轴, 建立空间直角坐标系.则()2,0,0A ,()0,2,0B ,()1,0,1D ,(1,2,1)BD =-.设(01)BE BD λλ=<<,则(),22,ME MB BE λλλ=+=-.设1(,,)x y z =n 是平面AME 的法向量,则1100n ME n MA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即(22)020x y z x λλλ+-+=⎧⎨=⎩,取()10,,22n λλ=-,平取面AMD 的一个法向量是()20,1,0n =. 依题意122cos ,2n n =, ()222525λλ=+-,解方程得12λ=, 因此在线段BD 上存点E ,使得二面角E AM D --5. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定与利用空间直角坐标系求解是否存在点满足条件的问题.一般做法是先假设存在,再设对应的向量的参数,再根据二面角的余弦列出关于参数的表达式最后进行求解即可.属于中档题.21.已知动点G(x,y)2222(1)(1)4x y x y ++-+= （1）求动点G 的轨迹C 的方程；（2）过点Q(1,1)作直线L 与曲线C 交于不同的两点,A B ,且线段AB 中点恰好为Q.求OAB ∆的面积；【答案】（1）22143x y +=；（2）1056【解析】 【分析】（1）先由椭圆的定义得知轨迹C 为椭圆，并利用椭圆定义求出a ，从已知条件中得出c ，并求出b 值，结合椭圆焦点位置得出椭圆C 的标准方程；（2）由已知条件得知直线L 的斜率存在，并设直线L 的方程为()11y k x -=-，将直线L 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由Q 为AB 的中点求出k 的值，从而得出直线L 的方程，再利用弦长公式求出AB ，由点到直线的距离公式计算出原点O 到直线L 的距离，再利用三角形的面积公式可求出OAB ∆的面积．【详解】（1）由动点(),G x y4=可知，动点G 的轨迹是以()1,0-和()1,0为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为22143x y +=；（2）由于直线L 与曲线C 相交所得线段AB 中点恰好为()1,1Q 可知， 直线L 的斜率一定存在，设直线L 的方程为()11y k x -=-，联立221431(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 可得2222(43)(88)(488)0k x k k x k k +--+--=， 所以21222122884348843k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩， 又线段AB 中点的横坐标为1，∴212288243k kx x k -+==+，解得34k =-， 12122121x x x x +=⎧⎪∴⎨=⎪⎩， 直线L 的方程为3470x y +-=，弦长21AB ==L 的距离为75d =，1725ABC S ∆∴==． 【点睛】本题考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，韦达定理的应用，以及弦长、三角形面积的计算，对于直线与圆锥曲线的综合问题，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，应用韦达定理进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好地考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分析问题解决问题的能力等．22.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点.右焦点，椭圆上的点与F 1的最大距离等于4，离心率等于13，过左焦点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，圆E 内切于三角形F 2MN ；（1）求椭圆的标准方程 （2）求圆E 半径的最大值 【答案】（1）22198x y ；（2）max 89r =【解析】 【分析】（1）根据椭圆上点与1F 的最大距离和离心率列方程组，解方程组求得,,a b c 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用与三角形内切圆有关的三角形面积公式列式，求得内切圆半径的表达式，利用换元法结合基本不等式求得圆半径的最大值.【详解】由条件知13314c a a c a c ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩ ，所以2228b a c =-=.故椭圆的标准方程为22198x y +=；（2）由条件l 不为x 轴，设1l x my =-：交椭圆于()()1122,,,M x y N x y ，设圆E 的半径为r ，由221198x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()228916640m y my +--=，1212221664,8989m y y y y m m -+==++ 22221(2F MN F MN F MN S C r C F MN ∆∆∆=⨯∆为的周长）2121166F MN r S y y ∴==-重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 即r ==令21t m =+，（1t ≥），则r ==当1,0t m ==即时，max 89r =. 【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆位置关系，考查三角形内切圆半径有关计算，考查换元法和基本不等式求最值，属于中档题.。
2021年高二上第一次月考数学试题 含答案
2021年高二上第一次月考数学试题含答案数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、 ( )A. B. C. D.2、圆心角为，半径为的扇形的面积为( )A. B. C. D.3、已知角的终边经过点，则( )A. B. C. D.4、函数的最小正周期是A. B. C. D.5、为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（） A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度6、已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（）A．（5，7）B．（5，9）C．（3，7）D．（3，9）7、已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（）A．﹣1 B．0 C． 1 D．28、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为（） A．﹣B．C． 1 D．9、等差数列{an }的前n项和为Sn，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A． 8 B．10 C．12 D．1410、已知数列{an }是公比为实数的等比数列，且a1=1，a5=9，则a3等于（）A． 2 B． 3 C． 4 D．5二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．11、已知，则12、已知α是第四象限的角，若cosα=，则tan2α=13、等比数列{an }的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为14、设函数,若成等差数列（公差不为零），则三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15、（本小题满分13分）已知函数，求（1）的最小正周期和最大值；（2）的单调区间；16、（本小题满分13分）已知，求（1）的值；（2）的最大值以及取得最大值时的值.17、（本小题满分13分）在中，（1）求的值；（2）设的面积为，求的长.18、（本小题满分13分）已知数列，满足，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19、（本小题满分14分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为 .（1）求数列与的通项公式（2）若，求数列的前项和20、（本小题满分14分）已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和；（3）讨论（2）中的最值.参考答案1-5 ABCDA 6-10 ABDCB 11、12、13、14、215、16、17、解：（Ⅰ）由，得，由，得．所以．（Ⅱ）由得，由（Ⅰ）知，故AB×AC=65，又，故，．所以．18、（1）（2）分组求和19、（1）（2）20、（1）（2）（3）最小值，无最大值35042 88E2 裢20115 4E93 亓6Mmw25919 653F 政29768 7448 瑈r22262 56F6 囶y 29322 728A 犊。
2021-2022学年河南省新乡市高二年级上册学期第一次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年河南省新乡市高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知a >b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．ac >bcC ．D ．22a b -≥22ac bc >22a b>【答案】D【分析】举出反例可判断A 、C ，由不等式的基本性质可判断B ，由指数函数的单调性可判断D ，即可得解.【详解】对于A ，当，时，，故A 错误；0a =1b =-2210a b -=-<对于B ，当时，，故B 错误；0c ≤ac bc ≤对于C ，当时，，故C 错误；0c =22ac bc =对于D ，由函数在上单调递增可得，故D 正确.2xy =R 22a b>故选：D.【点睛】本题考查了不等式性质的应用及不等关系的判断，考查了指数函数单调性的应用，属于基础题.2．在中，，，，则ABC ∆30A =︒105C =︒8b ==aA ．4B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题可先通过三角形内角和为180度解出角的度数，再通过解三角形的正弦定理得出答B 案．【详解】因为，30A =︒105C =︒，所以18045B A C =︒--=︒．根据解三角形正弦定理可得，解得D ．8sin 30sin 45a =︒︒a =【点睛】解三角形的正弦定理：sin sin a bA B =．3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ）n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a A ．1B ．2C ．4D ．8【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的n 4524a a +=648S =1a d 方程组，通过解方程组求数列的公差.{}n a 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=611656615482S a d a d ⨯=+=+=联立，解得.11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =故选：C.4．数列的通项为，若要使此数列的前项和最大，则的值为{}n a 262n a n =-n n A ．12B ．12或13C ．13D ．14【答案】B【分析】本题可以先通过数列的通项得出数列是等差数列并知道数列的首项，然后得{}n a {}n a {}n a 出数列的前项和，然后得出其的最大值．{}n a n 【详解】因为，262n a n =-所以数列是一个首项为、公差为的数列．124a =，{}n a 242-所以数列的前项和为{}n a n 224262252n nS n n n +-=⨯=-，由数列的前项和为是一个开口向下的二次函数，且对称轴为{}n a n n S 252n =可知的值为12或13，故选B ．n 【点睛】二次函数在对称轴位置取最值，不过要注意是否能取到对称轴所在的那个点．5．在中，若，，则为（ ）ABC 2a =b =30A =B A ．B ．或C ．D ．或6060 1203030 150【答案】B【分析】利用正弦定理即可求解【详解】由得，解得，sin sin a bA B=212=sin B =所以或.60B =120故选：B6．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．D ．【答案】C【分析】由三角形内角和求出，由三角形的性质求出边BC ，根据面积公式求出三角形面积.C ∠【详解】由三角形内角和：，故三角形为等腰三角形，所以，30C ∠=6AB BC ==由三角形面积公式：.166sin 2S B =⨯⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查三角形面积公式以及三角形性质，注意面积公式中边与角的关系，求边长时也可以通过正弦定理.7．求和：()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯⨯+ A ．B ．C ．D ．1nn +1n n-12n n ++1n n+【答案】A【分析】本题中的可以化为，可以化为，可以化为，再112⨯1112-123⨯1123- ()11n n ⨯+111n n -+将其依次求和，得出结果．【详解】1111212=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯ ，()11111n n n n =-⨯++所以()111111111111111223341122334111n n n n n n n ++++=-+-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯++++ ，故选A ．【点睛】裂项相消法：()1111n n a a n n a ⎛⎫=- ⎪⨯++⎝⎭．8．已知等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的公比等于{}n a 13a =14a 22a 3a {}n a A ．1B ．-1C ．-2D ．2【答案】D【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的关系，列出方程组,进而求解.【详解】设的公比为，因为成等差数列，所以 ，即{}n a ()0q q ≠1234,2,a a a 2114a a q +14a q =，解得2440q q -+= 2.q =【点睛】属于基础题,考察数列基本量的题目，难点在于运算，本题尤其要注意如何求出公比和首项.9．在中，，则ABC ∆cos cos 2b C c B b +=b a =A B ．C ．D ．122【答案】B【分析】本题可以将转化为、转化为，通过化简得出，最cos C 2222a b c ab +-cos B 2222a c b ac +-2a b =后得出结果．【详解】cos cos 2b C c B b +=，，222222222a b c a c b b c bab ac +-+-⨯+⨯=22222a b a b a==，，即故选B ．1 22b b a b ，==【点睛】解三角形的余弦公式：．222cos 2a b c C ab +-=10．若△ABC 中，，则此三角形的形状是（ ）2sin()sin()sin A B A B C +-=A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据不为0得到，再利用两sin C sin()sin A B C -=角和与差的正弦函数公式化简.【详解】中，，ABC ∆ sin()sin A B C +=已知等式变形得：，即，∴2sin sin()sin C A B C -=sin()sin sin()A B C A B -==+整理得：，即，sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+2cos sin 0A B =或（不合题意，舍去），cos 0A ∴=sin 0B =0A π<< ，90A ∴=︒故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．11． 已知四个实数成等差数列，五个实数成等比数列，则1291a a －，，，－12391b b b －，，，，－221()b a a －＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98【答案】B【详解】试题分析：先由等差数列和等比数列的性质，得，()21198413a a d ----===-；再利用等比数列中的第三项和第一项同号，得；所以()()22199b =-⨯-=23b =-.故选B.2218()3=83b a a -⨯-－＝【解析】等差数列的性质；等比数列的性质.12．已知数列满足{}n a 110,n a a +==2017a =A ．0B．C D【答案】A【分析】本题可先由推出的值，再由推出的值，再由推出的值，以此类推后可以发1a 2a 2a 3a 3a 4a现数列是一个循环数列，然后得出结果．{}n a【详解】120a a ===，，23a a ===340a a === 由上述可知，数列是每三项一次循环的数列，{}n a 则有故选A ．201710a a ==，【点睛】如果一个数列中的项数每隔几项就会重复，那么则说明这个数列是循环数列．二、填空题13．不等式的解集为_____________________．2450x x -++<【答案】【详解】试题分析：变形为，所以解集为2450x x -++<()()2450150x x x x -->∴+->【解析】一元二次不等式解法14．已知数列的前项和为，则的通项公式为__________．{}n a n 2n S n n =+{}n a n a =【答案】2n【分析】利用求得.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩n a 【详解】当时，，1n =112a S ==当时，，2n ≥()221112n n n a S S n n n n n-⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦当时上式也符合，所以.1n =2n a n =故答案为：2n15．设等差数列的前项和为则________.{}n a 1020,100,400,n S S S ==30S =【答案】900【分析】本题可以通过等差数列的前项和计算得出结果．n 【详解】因为数列是等差数列，{}n a 所以成等差数列，1020103020S S S S S --、、所以()201010302030302600300900S S S S S S S -=+-=-=，，．【点睛】如果数列是等差数列，则有{}n a 232n n nn nS S S S S --、、．16．已知的三边长构成公差为2ABC 长为________.【答案】15【分析】本题可先根据三边长构成公差为2的等差数列可将三边设为，再通过最大22n n n -+、、以及对应边，再通过三角形的余弦公式得出的值，最后120︒n 求出周长．【详解】设三边长分别为22n n n -+、、，A 所以角等于或A 60︒120︒，因为角是最大角，A 所以角等于, 角对应边为A 120︒A 2n +，根据三角形的余弦公式得，()()()22222cos12022n n n n n-+-+︒=-解得三角形周长为5n =，2215n n n -+++=．【点睛】最大的角对应的边也是最长的．三、解答题17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，.2sin a b A =（1）求B 的大小．（2）若，求b .a =5c =【答案】（1）；（2）π6B =b 【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；sin 2sin sin A B A =sin B B （2）利用余弦定理，可得，即可求出.2222cos b a c ac B =+-b 【详解】（1）由，得，2sin a b A =sin 2sin sin A B A =因为，所以，sin 0A ≠1sin 2B =又因为B 为锐角，所以．π6B =（2）由余弦定理，可得，解2222cos 27252552457b a c ac B =+-=+-⨯=-=得b =【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．(1)为等差数列的前项和，,，求.n S {}n a n 26S S =1a =5a(2)在等比数列中，若求首项和公比.{}n a 422324,6,a a a a -=+=1a q 【答案】（1）；（2）首项,公比51a =-115a =5q =【分析】（1）本题可通过解得的值，再得出的值．26S S =45a a +5a （2）本题可通过得出，在利用等比数列性质与化简得4223246a a a a -=+=、3430a a +=236a a +=出结果．【详解】（1）由题意可得：根据等差数列的性质可得：()6234564545201,1S S a a a a a a a a -=+++=+==∴=-，（2）在等比数列中,，,可得,{}n a 4224a a -=236a a +=3430a a +=而,可得.又知,.()3423a a q a a +=+5q =()22316a a a q q +=+=115a =首项,公比．115a =5q =【点睛】等比数列有11n n mn m a a q a q --==．19．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．ABC A B C a b c 2sin a B =(1)求角的大小；A (2)若，求的取值范围．6a =b c +【答案】(1)π3(2)(⎤⎦【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求出答案；（2）通过已知结合锐角三角形内角范围求出的范围，然后结合正弦定理表示、，再由和差角B b c 公式与辅助角公式进行化简，利用正弦函数性质即可求解.【详解】（1），2sin a B =，2sin sin A B B ∴=，sin 0B ≠sin A ∴=为锐角的内角，A ABC.π3A ∴=（2），sin sin sin b c a B C A ====，b c B C ∴+=+，23B B π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1sin 2B B B ⎫=++⎪⎪⎭，6cos B B =+，12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由题意与小问1可得：，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，ππ62B ∴<<，ππ2π363∴<+<B，πsin 16⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭B.(b c ⎤∴+∈⎦20．已知等差数列满足：，．的前n 项和为．{}n a 37a=5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令（）,求数列的前项和．211n n b a =-n N +∈{}n b n n T 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．21,(2)nn a n S n n =+=+4(1)nn +【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得{}n a d 3577,26a a a =+=1127{21026a d a d +=+=解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可1,a d n a n S 111()41n b n n =-+试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，，所以有，{}n a d 37a =5726a a +=1127{21026a d a d +=+=解得，所以，.13,2a d ==32(1)21n a n n =+-=+2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+（2）由（1）知，，21n a n =+所以，22111111(1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++所以，11111111(1)(1)42231414(1)n n T n n n n =-+-++-=-=+++ 即数列的前项和.{}n b n 4(1)n nT n =+【解析】等差数列的通项公式，前项和公式．裂项求和n 21．已知分别是的三个内角所对的边．,,a b c ABC ∆,,A B C (1)若的面积，求的值；ABC∆260ABC S c A ︒∆===,a b (2)若，且，试判断的形状．=cos a c B sin b c A =ABC ∆【答案】（1）；（2）等腰直角三角形．1a b ==【详解】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b 边，得，再由由余弦定理得：1sin 2ABC S bc A ∆==12sin 602b ∴⋅︒=1b =，所以（2）判断三角形形状，利用边的222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=a =关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以cos a c B =2222222a c b a c a b c ac +-=⋅⇒+=，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.90C ∠=︒Rt ABC ∆sin a A c =ab c ac =⋅=ABC ∆解：（1）， 2分1sin 2ABC S bc A ∆= ，得 3分12sin 602b ∴⋅︒=1b =由余弦定理得：， 5分222222cos 12212cos 603a b c bc A =+-=+-⨯⨯⋅︒=所以分a =222a cb +-在中，，所以 11分Rt ABC ∆sin a A c =a b c a c =⋅=所以是等腰直角三角形； 12分ABC ∆【解析】正余弦定理22．已知等比数列{an}中，a2＝2，a5＝128.(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若bn ＝，且数列{bn}的前项和为Sn ＝360，求的值.2log n a n n 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) n ＝20232n n a -=【详解】试题分析：(1)由题意结合数列的通项公式得到关于首项、公比的方程组，求解方程组，结合通项公式有；232n n a -=(2)结合(1)的结论可得bn ＝ 则{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列， 结合等差223,n log a n =-数列前n 项和公式得到关于n 的方程，结合解方程可得n ＝20.*n ∈N 试题解析：(Ⅰ)设等比数列{an }的公比为q ，则214512128a a q a a q ==⎧⎨==⎩解之得， ∴即 ；1124a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩111142n n n a a q --==⨯232n n a -=(Ⅱ) bn ＝2322223,n n log a log n -==-∵bn ＋1－bn ＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)＝2，又，11b =-∴{bn }是首项为－1，公差为2的等差数列，∴Sn ＝＝360，()1232n n -+-即 n 2－2n －360＝0，∴n ＝20或n ＝－18（舍去），因此，所求n ＝20.。
2021-2022年高二上学期第一次月考 数学试题 含答案(I)
2021年高二上学期第一次月考数学试题含答案(I)佟玉臣张伟萍一、选择题（每个题答案唯一，每题4分，共48分）1．已知：p:x>1;q:x>2;则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若p是真命题，q是假命题则（）A．pq是真命题B．pq是假命题C．p是真命题D．q是真命题3．从N个编号中要抽取n个号码，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（表示的整数部分）（）A． B．n C． D．+14．某工厂生产甲，乙，丙三种型号的产量，产品数量之比3:5:7，现用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于（）A.54B.90C.45D.1265．已知x,y取值如下表从所得的散点图分析，y 与x 线性相关且， 则a 等于（ ）6.如果执行如图的程序框图，那么输出的i 为（ ）A.4B.5C.6D.77.如图，是某篮球运动员在一个赛季的30的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为（ ）A.3与3B.23与3C.3与23D.23与23 0 8 91 1234 6 7 8 9 2 0 1 1 3 3 35 7 8 8 3 0 1 2 2 3 4 8 94 0 18.同时掷两颗骰子，得到的点数和为6的概率是（ ） A. B. C. D. 是9．将[ 0,1]内的均匀随机数转化为[-6,6]内的均匀随机数，需实施的变换为（）A． B． C． D．10．已知某厂的产品合格率为90%。
抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）A．合格产品少于9件 B．合格产品多于9件C．合格产品正好是9件 D．合格产品可能是9件11．某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（） A．至多有一次中靶 B．两次都中C．两次都不中 D．只有一次中靶12．对实数a和 b定义运算“”：ab=设函数f(x)=()xR,则函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点的充要条件是c满足（）A.（- ]B. （- ]C.(-1,)D. （- ）二、填空题(每题4分，共16分)13．命题“若m>0则方程”的逆否命题是．14．P:“ +1 ”的否定是 .15．已知p:,q:,若p是q的充分不必要条件则实数m的取值范围16．下列命题：在是“B=”充分不必要条件②a,b,c成立的必要不充分条件③在中“A<B”是cos2A>cos2B的充要条件④设f(x)=asin2x+bcos2x,其中a,b,ab,若f(x)对一切x恒成立，则则真命题的序号三、解答题（共56分，要求有必要的解答步骤）18．（10分）设有关于x的一元二次方程（1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，若b从0,1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率（2）若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率19.（10分）某中学团委组织了“我对祖国知多少”的知识竞赛，从参加竞赛的学生中抽出60名学生将其成绩（均为整数）分成6组[40,50），[50,60），[60,70），…[90,100）其部分频率分布直方图如图所示，回答：（1）求成绩在[70,80）的频率，并补全这个频率分布直方图（2）估计这次考试的及格率（60分以上为及格）和平均分20. (8分)p:“”q:“”若pq为真命题，pq为假命题，求m的取值范围22. (10)已知直线l:y=kx+1与圆c:（1）求弦AB的中点M的轨迹方程（2）若o为坐标原点，s（k）表示f(k)=k,求f(k)的最大值高二数学答案15.③④16. 217.（1） (2) (3)18. (1) (2)19. (1)0.3 图略(2)75% 71 (3)p=20. p： q:m>1或m<-1综上: 或m<或m>21. 【解】(Ⅰ) 连接．在平行四边形中，因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以，因为，，所以．(Ⅱ) 因为，且，所以．即．又，，所以，NOMD CAP因为，所以．(Ⅲ) 取的中点，连接，所以，．由，得，所以是直线与平面所成的角．在中，，，所以．从而．在中，tan54MNMANAN∠===直线与平面所成角的正切值为．22.(1)直线l与y轴的交点为N（0,1）圆心C（2，3）设M（x,y）因为MN与MC所在直线垂直所以且当x=0时不符合题意，当x=2时符合所以)477477(,034222+<<-=+--+xyxyx（2）设A（）B（）S= S- S且所以S=将y=kx+1与+联立。
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D CBAOyxxx 第一学期高二第一次月考2021-2022年高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：（将你认为正确的答案填在答卷的表格内，每题有且只有一个正确选项）1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ，则P 的子集共有：A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。
若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是： （A ）4（B ）5（C ）6（D ）73.已知函数f （x ）=。
若f(a)+f(1)=0,则实数a 的值等于： A. -3 B. -1 C. 1 D. 34.设向量则下列结论中正确的是： A. B. C. D. 垂直5、已知在上是减函数，在上是增函数，则的值是： A 、 B 、6 C 、 D 、12 6．如图所示，ABCD 是一平面图形的水平 放置的斜二侧直观图。
在斜二侧直观图中， ABCD 是一直角梯形，A B ∥CD ，， 且BC 与轴平行。
若 ，则这个平面图形的实际面积为： A ． B ． C ． D ．7．实数、满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y 则的取值范围是：A ．B ．C ．D ．8．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，三棱柱的底面是正三角形。
那么在圆柱内任取一点，该点落在三棱柱内的概率为： A. B. C. D.9.设，函数4sin()33ππω=+y x +2的图像向右平移个单位后与原图象重合， 的最小值是（ ） A. B. C. D. 310. 数列的通项公式分别是 ， ，则数列的前100项的和为： A ． B ． C ． D ．二、填空题：（将你认为正确的答案填在答卷对应题序的横线上） 11．右面的程序框图给出了计算数列的前8项 和S 的算法，算法执行完毕后,输出的S 为 ．12.函数的定义域是13.已知等比数列中，前项和为 ，当 ，时，公比的值为14.下表是避风塘4天卖出冷饮的杯数与当天气温的对比气温 / 20 25 30 33 杯数20386070如果卖出冷饮的杯数与当天气温成线性相关关系，根据最小二阶乘法，求得回归直线方程是 ，则的值是 。
三、解答题：要求写出必要的步骤、推理要严密、书写要条理。
1 2 3 2 3 3 71 0 14 75 4 2 3 2 甲乙15． 设函数() ()sin ,04f x x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的部分图象如右图所示． （1）求的表达式； （2）若，，求的值．16．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的 情况用如图所示的茎叶图表示（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．参考数据如下：（2222222981026109466++++++=，236112136472222222=++++++）17.在中，角A,B,C 所对的边分别为且满足25cos325=⋅=A AB AC 。
（1）求的面积； （2）若18．如图，在四棱锥中，垂直于底面,底面是直角梯形，，且2224AB AD DC PD ==== ，为的中点。
（１）如图，若正视方向与平行，请在下面（答题区）方框内作出该几何体的正视图并求出正视图面积； （２）证明：平面； （３）求四棱锥的体积；正视图PEDCBA19．定义在上的单调函数满足，且对任意的、都有 （1）求证：为奇函数；（2）若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意恒成立，求实数的取值范围。
20．已知函数，其中.定义数列如下：，.（I ）当时，求的值；（II ）是否存在实数m ，使构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数的值，若不存在，请说明理由；（III ）求证：当时，总能找到，使得.xx 高二级第一次月考理科数学答卷题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案11 12 13 14三、解答题：（共80分，其中15题、17题为12分，其它题都为14分） 15解：16解：正视图P E DC BA17解：18证明：19解：20解：xx 第一学期高二第一次月考理科数学答案题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BCADCACBCA11、 92 12、 13、 14、三、解答题：（共80分，其中15题、17题为12分，其它题都为14分） 15．解：（1）设函数的周期为T ，T 3 T , 24884ππππω===∴=－得．所以． ……………3分 （2）∵()()1sin 2sin 2sin 2cos 244444f x f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-=+=++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭－，∴115sin 4 cos4 , ,, 4(,2), 2224212x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫+=⇒=∈∈∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又． (9)分∴tan tan1546tan tan tan212461tan tan46xπππππππ++⎛⎫==+===+⎪⎝⎭⋅－…………12分16.解：（Ⅰ）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23………2分（Ⅱ）21732232224151714=++++++=甲x…………………3分12131123273130217x++++++==乙…………………4分()()()()()()()2222222 221-1421-1721-1521-2421-2221-2321-3223677 S++++++ ==甲…………………………………………………………………………………6分()()()()()()()2222222 221-1221-1321-1121-2321-2721-3121-3046677 S++++++ ==乙8分，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………9分（Ⅲ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件为，()()()()30,32,31,32,,11,14,13,14 ，总数为49……10分其中甲的得分大于乙的是：甲得14分有3场，甲得17分有3场，甲得15分有3场甲得24分有4场，甲得22分有3场，甲得23分有3场，甲得32分有7场，共计26场 12分从而甲的得分大于乙的得分的概率为………14分17.解：（1）223cos cos2cos121,225A AA=∴=-=⨯-=⎝⎭2分4sin.5A∴===3分又由，得6分114sin5 2.225ABCS bc A∆∴==⨯⨯=8分（2）5,1 5.bc c b==∴=由（1）知又，9分由余弦定理得222222cos 512320.a b c bc A =+-=+-⨯= 11分12分18.解（1）正视图如下：（没标数据扣1分）…………3分主视图面积………………5分（2）设的中点为，连接 ………6分E ，F 分别是PA ，PB 的中点 又 且 ………………8分故四边形是平行四边形，即可得， 9分 又平面，平面，平面 10分 （3）底面， 是四棱锥 的高 11分2,2,4===AD DC AB 直角梯形ABCD 的面积是()642221)(21=+⨯⨯=+⋅=DC AB AD S 底 13分 四棱锥的体积是()34263131cm PD S V =⨯⨯=⋅=底 14分19. 解：令,代入 得: ∴ 2分 令代入上式得：，又 ∴ 即 对任意成立， 5分 ∴是奇函数 6分(2), 又在R 上单调且，， 故是上的增函数， 8分 又由（1）知为奇函数∴(3)(392)(392),3392,x x x x x x x x f k f f k <---=-++∴<-++10分213()3x x k h x <-++=即恒成立， 11分 只需 12分 13分 14分20.解：（Ｉ）因为，，所以，精品文档实用文档 ，()()22435a f a m m m ==++=. 4分（II ）方法一：假设存在实数，使得构成公差不为0的等差数列. 由（I ）得到，，()()2243==++a f a m m m .因为成等差数列，所以， 6分所以，()()2222m m m m m m +=+++， 化简得，解得（舍）,. 8分经检验，此时的公差不为0，所以存在，使构成公差不为0的等差数列. 9分方法二：因为成等差数列，所以， 6分即，所以，即.因为，所以解得. 8分经检验，此时的公差不为0.所以存在，使构成公差不为0的等差数列. 9分（III ）因为221111244n n n n n a a a m a a m m +⎛⎫⎛⎫-=+-=-+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又 ,所以令. 由，，……，将上述不等式全部相加得，即，因此只需取正整数，就有2010(1)()2010k a k d d d≥->⋅=. 14分25993 6589 斉21444 53C4 叄20997 5205 刅 37964 944C 鑌g40643 9EC3 黃22337 5741 坁32160 7DA0 綠39388 99DC 駜27695 6C2F 氯U#22783 58FF 壿。