新定义问题(讲义及答案)
2[1].1.1找规律及定义新运算.讲义学生版(精)
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板块一、找规律
模块一、代数中的找规律
【例1】⑴点1A、2A、3A、„、n A (n为正整数都在数轴上.点1A在原点O的左边,且1
1AO =;点2A在点1A的右边,且212A A =;点3A在点2A的左边,且323A A =;点4A在点3A的右边,且434A A =; „„,
中考要求
找规律及定义新运算
2.1.1找规律及定义新运算讲义·学生版page 2 of 18
字母C第2n +1次出现时(n为正整数,恰好数到的数是(用含n的代数式表示。
⑵(2010河北中考将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4放置于水平桌面上,如图1.在图2中,将骰子向右翻滚90︒,然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒,则完成一次变换.若骰子的初始位置为图1所示的状态,那么按上述规则连续完成10次变换后,骰子
根钢管
.
① ② ③
【例2】⑴(2010年北京中考右图为手的示意图,在各个手指间标记字母A B C D ,
, ,。请你按图中箭头所指方向(即... A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式从A开始数连续的正整数1, 2, 3, 4… ,当数到12时,对应的字母是C第201次出现时,恰好数到的数是;当
⑶(2010山东青岛如图,是用棋子摆成的图案,摆第1个图案需要7枚棋子,摆第2个图案需要
19枚棋子,摆第3个图案需要37枚棋子,按照这样的方式摆下去,则摆第6个图案需要枚棋子,摆第n个图案需要枚棋子.
⑷(2010安徽中考下面两个多位数1248624„„、6248624„„,都是按照如下方法得到的:将第
看得见, 0个看不见;如图2中:共有8个小立方体,其中7个看得见, 1个看不见;如图3中:共
定义新运算
精锐教育学科教师辅导讲义
表示，求
，那么
，规定符号b＝（13 34
表示
表示
，⑴求则
，使下列算式成立：
，，，求
如：
=，其中的
△△_____.
规定：警察小偷警察，警察小偷那么：（猎人小兔）（山羊白菜）
7. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a ⨯-⨯=∆34.求2)34(∆∆.
8. 定义运算“”为x
)(2y x xy y +-=.求12(34).
9. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a ⨯-⨯=⊕23,如果已知42=⊕b .求b .
13. 对于数y x ,规定运算“○”为x ○)3()4(-⨯+=b a y .求7○(8○9)的值.
14. 设a
b 表示a 的3倍减去b 的2倍,即a b =b a 23-,已知x (41)=7.求x .
15. 定义两种运算“⊕”、“⊗”,对于任意两个整数b a ,,1-+=⊕b a b a , 1-⨯=⊗b a b a .计算)]53()86[(4⊕⊕⊕⊗的值.
18. 设b a ,分别表示两个数,如果a
b 表示3
b a ,照这样的规则,3[6(85)]的结果是什么?
小结 解决新定义运算问题，首先理解新定义符号的含义，
严格按新的规则操作，在操作过程中，不能按原来＋、－、×、÷运算法则合并使用，但可以根据不同的定义归纳出相对应的运算规律，因此解决新定义问题的关键是对问题的理解及适应能力。
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定义新运算讲义(精)
定义新运算定义1、定义新运算是指：用一个符号把字母连接在一起，表示一种新的运算。
注意：（1）做题的关键是要正确理解式子含义，按照式子的计算顺序，将数值代入式子中，转化为一般的四则运算，然后进行计算。
（2）它通常使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。
例1、对于任意数a，b有a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
分析与解：根据题目的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
12*4=12×4-12-4=48-12-4=32练习一1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
试计算3○4。
例2、假设a ★ b = ( a + b ÷ b 。
求8 ★ 5 。
分析与解：该题的运算顺序为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。
这里要先算括号里面的和，再算后面的商。
这里a代表数字8，b代表数字5。
8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6练习二对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。
计算3⊕5。
例3、如果a▲b=a×b-(a+b。
求6▲（9▲2）。
分析与解：根据定义，要先算括号里面的。
括号里的部分已经构成了新运算，其运算结果又与括号外的部分构成新运算。
本题要运用新运算的关系，计算两次。
6▲（9▲2）=6▲[9×2-（9+2）]=6▲7=6×7-（6+7）=42-13=29练习三1、规定a△b=a×b-（a＋b）。
求（10△5）＋（28△5）的值例4、已知1◎4=1+2+3+4，4◎5=4+5+6+7+8，按此规定，2001◎5=？分析与解：通过观察可以发现，“◎”这个特殊的符号在这道题中所规定的定义是求几个连续的自然数的和。
1◎4表示从1开始连续4个自然数的和，4◎5表示从4开始5个连续自然数的和，2001◎5是表示从2001开始连续5个自然数的和。
专题10 新定义问题(3)(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题10 新定义问题（3）【规律总结】※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。
其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。
※要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
【典例分析】例1．（2020·杭州市公益中学七年级月考）已知正整数n 小于100，并且满足等式236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则这样的正整数n 有（ ） A ．6个B ．10个C ．16个D ．20个【答案】C【分析】 由236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，以及若x 不是整数，则[]x <x 知,,223366n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，得到n 的值.【详解】∵236n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若x 不是整数，则[]x <x ， ∵,,223366n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数， ∵n 的值为：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96，共16个，故选：C.【点睛】此题考查有理数的大小比较，取整计算，解题的关键是正确理解[]x 表示不超过x 的最大整数，得到,,223366n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即n 是6的倍数，由此解决问题. 例2．（2021·全国八年级）若一个自然数t 能写成t ＝x 2﹣y 2（x ，y 均为正整数，且x ≠y ），则称t 为“万象数”，x ，y 为t 的一个万象分解，在t 的所有万象分解中，若x y x y-+最小，则称x ，y 为t 的绝对万象分解，此时F （t ）＝x y ．例如：32＝92﹣72＝62﹣22，因为9797-+＝18，6262-+＝12，1182<．所以9和7为32的绝对万象分解，则F （32）＝97．若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“博雅数”．例如2112，4554均为“博雅数”．若一个四位正整数m 是“万象数”且能被13整除，“博雅数”n 的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m 的一个万象分解，则所有满足条件的数m 中F （m ）的最大值为______． 【答案】6948【分析】设n 的个位数字是a ，十位数字是b ，由“博雅数”和万象分解的定义，可以得到m =99(a+b )(a -b )，再由a 与b 的取值范围，m 同时能被13整除，可以确定m 的所有取值可能为1287，3861，6435；再将这三个数进行万象分解，确定F(m)．【详解】设n的个位数字是a，十位数字是b，∵n是“博雅数”，∵n的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是m的一个万象分解，∵m＝（10a+b）2﹣（10b﹣a）2＝99（a+b）（a﹣b），∵m能被13整除，∵（a+b）（a﹣b）是13的倍数，∵1≤a≤9，0≤b≤9，∵a+b＝13，∵a＝6，b＝7；a＝7，b＝6；a＝5，b＝8；a＝8，b＝5；a＝9，b＝4；a＝4，b＝9；∵m的值所有情况为：1287＝99×13×1＝762﹣672＝362﹣32；3861＝99×13×3＝852﹣582＝752﹣422＝692﹣482；6435＝99×13×5＝942﹣492＝1022﹣632＝1142﹣332＝3622﹣3532；∵F（1287）＝7667；F（3861）＝6948；F（6435）＝362353；∵F（m）的最大值为69 48．故答案为：69 48．【点睛】本题考査因式分解的应用；能够通过定义，结合数整除的性质，借助因式分解准确找到符合条件的三个数的所有万象分解是解题的关键．例3．（2021·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”． 根据题中所给材料，解答以下问题：（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；（2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m ，设m abcd =，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：()|()()|F m a b c d =+-+，求()F m 的最大值．【答案】（1）1020，9990；（2）7．【分析】（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m ，再根据定义()|()()|F m a b c d =+-+求出()F m 即可得出最大值．【详解】解：（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m ，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m ”可能是1062；1602；1242；1422；2664．当m abcd==1602时，()|(16)(02)|=5F m=+-+；当m abcd==1062时，()|(10)(62)|=7F m=+-+；当m abcd==1242时，()|(12)(42)|=3F m=+-+；当m abcd==1422时，()|(14)(22)|=1F m=+-+；当m abcd==2664时，()|(26)(64)|=2F m=+-+；故()F m的最大值为7．【点睛】本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．【好题演练】一、单选题1．（2020·新安中学（集团）外国语学校七年级月考）若规定“！”是一种数学运算符号，且1!1=，2!212=⨯=，3!3216=⨯⨯=，，则100!98!的值为()A．5049B．99C．9900D．2【答案】C【分析】先根据数学运算符号“！”得出100!和98!的值，再计算有理数的乘除法即可得．【详解】由题意得：100!100999821 98!98979621⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，10099=⨯，9900=，故选择：C．【点睛】本题考查了新运算下的有理数的乘除法，理解新运算是解题关键．2．（2020·江苏常州市·七年级期中）定义：一种对于三位数abc(其中在abc中，a在百位，b 在十位，c在个位，a、b、c不完全相同)的F运算：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零)，例如abc＝463时，则经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次F运算都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的F运算也会得到一个定值，这个定值为（）A．4159B．6419C．5179D．6174【答案】D【分析】设这个四位数为1234，再进行若干次F运算即可得到这个定值．【详解】由题意，不妨设这个四位数为1234，则经过第1次F运算的结果为432112343087-=，经过第2次F运算的结果为87303788352-=，经过第3次F运算的结果为853*********-=，经过第4次F运算的结果为764114676174-=，由此可知，这个定值为6174，故选：D ．【点睛】本题考查了数字类的规律型问题，掌握理解F 运算的定义是解题关键．二、填空题3．（2020·浙江金华市·七年级期中）已知a 是不等于1-的数，我们把11a +称为a 的和倒数．如：2的和倒数为11123=+，已知211,a a =是1a 的和倒数，3a 是2a 的和倒数，4a 是3a 的和倒数，…，依此类推，则31212a a a a ⋅⋯⋅=______． 【答案】1233【分析】根据和倒数的定义分别计算出a 1、a 2、a 3、…a 12的值，代入计算即可求解．【详解】解：a 1＝1，a 211112==+，a 3121312==+，413a 2513==+，515a 3815==+，618a 51318==+，7113a 821113==+，8121a 1334121==+，9134a 2155134==+，10155a 3489155==+，11189a 55144189==+，121144a 892331144==+， 则a 1•a 2•a 3…a 12＝1123581321345589144123581321345589144233233⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：1233【点睛】本题为新定义问题，理解和倒数的定义，并根据定义依次计算出a1，a2，a3，a4，a5 (12)值是解题关键．4．（2020·江门市新会尚雅学校八年级期中）定义：若两个二次根式a、b满足a b c⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．若与是关于2的共轭二次根式，则m的值为___．【答案】1 12【分析】根据共轭二次根式的定义列等式即可得出m的值；【详解】解：∵与是关于2的共轭二次根式，∵=2⨯∵1 =12 m故答案为：1 12【点睛】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．三、解答题5．（2020·重庆市凤鸣山中学八年级期中）进位数是一种计数方法，可以用有限的数学符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n个则称为n进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0—9作为基数，特点是满十进1，对于任意一个(210)n n ≤≤进制表示的数通常使用n 个阿拉伯数字()01--n 作为基数，特点是逢n 进一，我们可以通过下列方式把它转化为十进制．例如：五进制数 ()252342535469=⨯+⨯+=，则()523469=，七进制数()271361737676=⨯+⨯+= （1）请将以下两个数转化为十进制：()5333= ，（746)= ．（2）若一个正数可以用7进制表示为()7abc ，也可用五进制表示为()5cba ，求出这个数并用十进制表示．【答案】（1）93，34；（2）这个数用十进制表示为51或102．【分析】（1）根据进制的规则列式计算即可；（2）根据题意列得227755a b c c b a ++=++，化简成24a+b=12c ，根据a 、b 、c 的取值范围分别将a 从1开始取值验证，即可得到答案．【详解】（1）()253333535393=⨯+⨯+=，7(46)47634=⨯+=，故答案为：93，34；（2）根据题意得：227755a b c c b a ++=++，∵24a+b=12c ， ∵212b c a =+， ∵a 、b 、c 均为整数，且04b ≤≤，∵b=0，c=2a ，∵04a <≤，04c <≤，∵12a c =⎧⎨=⎩或24a c =⎧⎨=⎩， ∵27(102)170251=⨯++=，27(204)2704102=⨯++=．∵这个数用十进制表示为51或102．【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． 6．（2020·浙江绍兴市·九年级其他模拟）定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线．（2）如图3，已知抛物线2132y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ． ①求m 的值和点D 的坐标；②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2D -；②存在，76y x =或2y x =或110y x =- 【分析】（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线；（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2D -； ②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．∵．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为37(,)24，中分线解析式为76y x =；∵．当AC 为对角线时，对角线交点坐标(1,2)．中分线解析式为2y x =；∵．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24-，中分线解析式为110y x =-． 【详解】解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线，（2）①将(2,0)A 代入抛物线2132y x x m =-+，得143202m ⨯-⨯+=， 解得4m =，∴抛物线解析式2211134(3)222y x x x =-+=--，∴顶点为1(3,)2D -；②将0y =代入抛物线解析式21342y x x =-+，得 234201x x -+=， 解得2x =或4，(2,0)A ∴，(4,0)B ，令0x =，则4y =，(0,4)C ∴，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．∵．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为14032(,)22-+，即37(,)24， 中分线经过点O ， ∴中分线解析式为76y x =； ∵．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004(,)22++，即(1,2)．中分线经过点O ，∴中分线解析式为2y x =；∵．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为10232(,)22-+，即51(,)24-， 中分线经过点O ， ∴中分线解析式为110y x =-， 综上，中分线的解析式为式为76y x =或为2y x =或为110y x =-． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．。
完整的新概念英语一讲义
新（一）讲课步骤一上课（起立问好）1.自我介绍;2.介绍新(一)分三期学完, 本期从第1—48课,全册分三期学完；3.宣读《学生守则》；强调安全及纪律性；二正课部分1. 单词讲解:先让学生逐个起来诵读单词，学生读一个老师讲一个;教师对单词讲解并拓词.单词完先由老师领读(一升一降),然后再找学生带读、齐读。
2. 语法:在黑板上标明“语法”与“语法内容”讲解语法须标明各项内容名称，如“定义”“构成，步骤”等。
语法讲解后领学生做“课堂语法练习题”（或利用练习册语法题部分）或汉译英。
3. 课文:听录音（合着书）回答课题中的问题,要求学生将答案写在书上。
分析课文的内容，划出本课的语法现象（短语、句子）用符号●标出，称为语法符号。
抽词组并对课文中的专有名词（人名、地名）标出音标。
学生齐读或学生分角色朗读课文。
三副课部分1.单词讲解（同正课部分）:此部分灵活掌握，如单词较少或补充内容不多，可与正课单词放在一块讲解。
处理课后练习和课课练。
2.语法讲解.四做练习1. 副课填空题：当堂必须全部完成,对答案；2. 句型题要求：A 较简单的题，须说明步骤、技巧。
B 较难的题，须把题型板书到黑板上，再说明做题步骤、技巧。
C 如句型题中出现新的语法现象，须将语法讲解清楚,带着学生做题。
D 句型题根据上课具体情况安排，数个至全部在课堂上由学生完成，其余题或典型题留成作业。
五作业：学生应准备三个本，（两个作业本AB，一个听写本）1.课文（正课）背写一遍→家长签字。
收改；2.单词（正课+副课）带音标抄3遍。
汉语一遍收改（前48课第一期，后两期可省去）；3.课后练习题（句型题）做在本子上，前5个或一半，收改；4.课课练与本课对应练习完成。
收改；（其中难题在第四部分上课解决）。
5.单词、课文在下次课上分别听写、默写,100分者在听写本上扣章。
6.奖励方法:听写得连续5个一级棒,换一个小博士, 一期结束,看谁得最多有奖品;六其他：1.收测试卷费，订课课练答案；2.严格遵守“喝茶”及“考试、考勤”制度；3. 试卷考完后利用课堂最后的时间进行讲解，考试内容较多的分次讲解。
专题71 函数中的新定义问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP解：（1）联立，解得，∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），∴n﹣1＝2，∴n＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m+3，解得m＝﹣；（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，∴k＝1，∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，＝×|t﹣3|×3，∴S△ABPS△ABO＝×3×3，＝3S△ABO，∵S△ABP∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜9．∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为x＜0或x＞4．．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是2，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是﹣1＜m＜0．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是y＝x；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，＝GI•（x E﹣x F），又∵S△GFE设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a ≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是C．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），直线y＝x，当x＝n时，则y＝n，∴点（n，n）在直线y＝x上，∴直线y＝x上有无数个“不动点”，故A正确；将（n，n）代入y＝，得n＝，此方程无解，∴函数y＝的图象上没有“不动点”，故B正确；将（n，n）代入y＝x+1，得n＝n+1，此方程无解，∴直线y＝x+1上没有“不动点”，故C错误；将（n，n）代入y＝x2，得n＝n2，解得n1＝0，n2＝1，∴函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（0，0）和（1，1），故D正确，故选：C．（2）设双曲线上的“不动点”为（x，x），则x＝，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，﹣3）和（3，3）．（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x），则x＝ax2﹣3x+c，即ax2﹣4x+c＝0，∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，∴关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4ac＝0，∴a＝，∵a＞1，∴＞1，∴0＜c＜4．②∵当a＝1时，则＝1，∴c＝4，∴抛物线为y＝x2﹣3x+4，由（2）得，双曲线在第一象限的不动点为（3，3），∴直线l即直线y＝3，如图，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝交直线l于点A，交直线r于点C，∴AC＝m，A（，3），∴AB＝3﹣＝，设直线t与直线r关于直线l对称，∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，∴0＜m＜．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为6Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I＝1+的图象与性质．总①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 2.5，n＝2；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而减小；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位而得到．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案为：6；（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，当R＝6时，n＝1+1＝2，故答案为：2.5，2；②图象如下：随R的增大而减小，（3）①根据图象可知，I总故答案为：减小；②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，故答案为：上，1．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；012…x…﹣4﹣3﹣2y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2AA．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝0．解：（1）把x＝0代入到中可得：y＝1，即m＝1，图象如下所示：故答案为：1，图象如上所示；（2）A．当x＜﹣1或x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，故选项A不正确；B．根据图象可得，函数图象不经过第四象限，故选项B正确；C．根据函数表示可得：x≠﹣1，所以函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故选项C正确；D．根据图象可知，函数图象对称中心（﹣1，0），故选项D正确；故选：A；（3）∵x1+x2＝﹣2，∴y1+y2＝＝＝＝0；故答案为：0．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：②；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4．解：（1）将x＝3代入得y＝，故答案为：．（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，故②正确；故答案为：②．（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四边形OABC为平行四边形，＝AB•y A＝2×2＝．∴S四边形OABC故答案为：4．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为30°；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵点，，，∴AB∥y轴，，OE＝3，∴AB⊥x轴，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°，∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值．（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA 半径画圆，交直线于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合视角的定义，P3，P6舍去．同理，当在直线AB上方时，视角是∠BPD，此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M，则AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴当在直线CD下方时，视角是∠APC，此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝0；n＝3；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是③；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝3或﹣9；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c 的取值范围是c＞﹣2．解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；故答案为：0，3；②描点，连线，作出函数图象如下：（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；故答案为：③；（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，解得x＝3或x＝﹣3，∴x＝3；若x＜0时，﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣9，故答案为：3或﹣9；（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，故答案为：c＞﹣2．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，故答案为：d，h；（2）如图，（3）①当x＝0时，y＝0.88，∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，故答案为：0.88；②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，，解得，∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案为：0.7．11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝﹣3；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3；②画出当x＞0时函数M的图象如下：③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；故答案为：﹣2或2，1；（2）由解得或，由解得或，∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W 上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有②③（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．解：（1）①点（3，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，﹣3），当x＝0时，y＝1，∴点（3，0）不是一次函数图象的“直旋点”；②点（﹣1，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，1），当x＝0时，y＝1，∴点（﹣1，0）是一次函数图象的“直旋点”；③点（0，3）绕原点顺时针旋转90°得（3，0），当x＝3时，y＝＝0，∴点（0，3）是一次函数图象的“直旋点”；∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③；故答案为：②③；（2）点N（3，1）绕原点顺时针旋转90°得点（1，﹣3），∵点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，∴，∴k＝﹣3；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，设点D（a，3a+3），则D（a，3a+3）绕原点顺时针旋转90°得点（3a+3，﹣a），∵点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”，∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，解得：a＝0或a，∴点D的坐标为（0，3）或．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．解：（1）y＝（x＞0）不是有界函数；y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝9，当x＝2时，y＝﹣3，∴对于﹣4＜x≤2时，任意函数值都满足﹣9＜y≤9，∴边界值为9．（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y＝x+，当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函数解析式为y＝﹣x﹣．（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x＝0时，y＝m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y＝﹣x2过点（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m ＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说否存在一点Q，使得S△APM明理由．解：（1）令y＝0，则mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或x＝﹣6，∴M（﹣6，0），N（2，0），设抛物线C1的解析式为y＝a（x+6）（x﹣2），将点A（0，﹣1）代入，得﹣12a＝﹣1，解得a＝，∴y＝（x2+4x﹣12）；（2）∵m＝，∴y＝x2+3x﹣9＝（x+2）2﹣12，∴D（﹣2，﹣12），∴MD＝4，ND＝4，MN＝8，∴MD＝ND，∴△MND是等腰三角形；＝S△ONQ，理由如下：（3）∵存在一点Q，使得S△APM∵点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，∴﹣＝（t2+4t﹣12），解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，﹣）或P（﹣3，﹣），设直线AM的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，过点P作PG∥y轴交AM于点G，当P（﹣1，﹣）时，G（﹣1，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；当P（﹣3，﹣）时，G（﹣3，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣﹣2，﹣）或（﹣﹣2，﹣）．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y ＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1是对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，∴y＝2|x|+1是“对称函数”．故答案为：是；y＝2|x|+1的图象如图1所示，（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，∴n＝1；②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，即方程组有一个解，∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，解得：n＝．综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∵b＞0，∴b＝2；当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，∵b＞0，∴b＝4；当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，解得：b＝．综上，当2＜b＜4或b＞时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+4x+8，自变量的取值范围是﹣2≤x≤4；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）∵半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3，∴A（﹣2，0），B（4，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得，∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+2x+8（﹣2≤x≤4）；故答案为：＝﹣x2+2x+8；﹣2≤x4．（2）如图，设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，∵CE与半圆相切，∴CE⊥CM，∴∠OCE+∠MCO＝90°，∵∠CEO+∠ECO＝90°，∴∠CEO＝∠MCO，又∵∠COE＝∠MOC＝90°，∴△COE∽△MOC，∴＝，由勾股定理得，OC＝＝2，∴OE＝＝＝8，∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）；（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y＝kx+8，联立，消掉y得，x2+（k﹣2）x＝0，∵直线与“蛋圆”抛物线相切，∴△＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝2x+8．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC 点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．解：（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝﹣上，∴，解得或，∴“XC点”为（﹣2，3）与（2，﹣3）或（，﹣4）与（﹣，4）；（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，∴，∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2018＝﹣（s﹣1）2+2019，当s＝1时，n有最大值2019，此时“XC点”为（1，7）与（﹣1，﹣7）；（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，∴，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，∵有且仅存在一组“XC点”，∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即＝﹣1，∴顶点M的纵坐标为﹣1，∵ax2+bx+c＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴AB＝＝，∵AB＝，∴＝，∴＝，∵∠OPA＝∠OBP，∠AOP＝∠POB，∴△POA∽△BOP，∴OP2＝OB•OA＝x1•x2，∵P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣1），∴t+1＝＝＝（c﹣1）2+，∴当c＝1时，t有最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形×；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形×；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形√；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE ＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．。
小学三年级奥数讲义定义新运算
定义新运算一、知识要点定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、精讲精练【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。
【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。
这里的“*”就代表一种新运算。
在定义新运算中同样规定了要先算小括号里的。
因此，在13*（5*4）中，就要先算小括号里的（5*4）。
练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。
求27*9。
2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。
【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。
求3△(4△6)。
【思路导航】根据定义先算4△6。
在这里“△”是新的运算符号。
练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。
2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。
求30△（5△3）。
3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。
【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。
二次函数压轴题之新定义问题(二)(讲义及答案)
二次函数压轴题之新定义问题（二）（讲义） 知识点睛解决新定义问题时常考虑：①回归新定义，给什么，用什么；将新定义与所给问题信息结合分析转化；②将新定义图形结构化、模型化，利用其相关特征、性质解决问题．精讲精练1.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为(1，0)．①若点B的坐标为(3，1)，求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式．（2）⊙O的半径为2，点M的坐标为(m，3)．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．2.【定义】我们定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （点F 不在直线l 上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F 叫做抛物线的“焦点”，直线l 叫做抛物线的“准线”．如图1，点O 即为抛物线1y 的“焦点”，直线l ：2y =-即为抛物线1y 的“准线”．可以发现“焦点”F 在抛物线的对称轴上．【理解】如图1，N (m ，n )是抛物线21114y x =-上的任一点，l 是过点(0，-2)且与x 轴平行的直线，过点N 作直线NH ⊥l ，垂足为点H ．①计算：当m=0时，NH=______，NO =_______；当m =4时，NH=_______，NO =_______．②证明：无论m 取何值，NO =NH ．【应用】（1）如图2，“焦点”为F (0，1)的抛物线2214y x =的准线为直线l ，经过点F 的任意一条直线0y kx b k =+≠（）与抛物线交于点M ，N ，过点M 作MQ ⊥l 于点Q ，过点N 作NH ⊥l 于点H ．①直接写出抛物线y 2的“准线”l 的解析式______________；②计算求值：11MQ NH+=____________；③记QH 的中点为G ，连接GM ，GN ，试证明∠MGN =90°．（2）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，半径为1的⊙O 与x 轴分别交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），直线33y x n =+与⊙O 只有一个公共点F ，求以F 为“焦点”、x 轴为“准线”的抛物线23y ax bx c =++的表达式．图1图2图33.在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P′，满足CP +CP′=2r ，则称P ′为点P 关于⊙C 的反称点，如图为点P 及其关于⊙C 的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C 重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O 的半径为1时．①分别判断点M (2，1)，N (32，0)，T (1，3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；②当点P 在直线2y x =-+上时，若点P 关于⊙O 的反称点P′存在，且点P′不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围．（2）当⊙C 的圆心在x 轴上，且半径为1时，直线3233y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反称点P′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．4.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若1212x x y y --≥，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12x x -；若1212x x y y -<-，则点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的非常距离为12y y -．例如：点P 1(1，2)，P 2(3，5)，因为1325-<-，所以点P 1与P 2的“非常距离”为253-=，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．（1）已知点1(0)2A -，，B 为y 轴上的一个动点．①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值．（2）已知C 是直线3+34y x =上的一个动点．①如图2，点D 的坐标是(0，1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标．图1图2图3【参考答案】1.（1）①2；②C 1(3，2)1AC l ⇒：y =x -1；C 2(3，-2)2AC l ⇒：y =-x +1（2）-5≤m ≤-1或1≤m ≤52.①1，1，5，5；②证明略（1）①y =-1；②1；③证明略（2）2313()324y x =++或2313()324y x =---3.（1）①M 反称点不存在，N 反称点N′(12，0)，T 反称点T′(0，0)②0＜x P ＜2（2）2≤x C ≤84.（1）①B (0，2)；②12（2）①最小值为87，此时点C 坐标为815()77-，②最小非常距离为1，34()55E -，，89()55C -，。
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新定义问题（讲义）
➢ 知识点睛
1. 新定义问题是一类以未接触过的概念为载体，要求学生现学
现用，侧重考查观察、尝试、分析、理解、应用等能力的问题．
2. 新定义问题的一般处理思路：
提取概念中的关键词，理解新定义的实质，与已学知识结合， 在新定义的框架下解决问题．
➢ 精讲精练
1. 已知实数 a ，b ，定义运算“ * ”如下：a * b =
⎧⎪b （a ≤
b ） ，
则 7 *( 2 * 3) 的值为
a 2 -
b 2（a > b ） ．
2. 在平面直角坐标系中，将点(-b ，-a )称为点(a ，b )的“关联点”
（例如点(-2，-1)是点(1，2)的“关联点”）．如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这个点在第 ______ 象限．
3. 在平面直角坐标系中，对于点 P (x ，y )和 Q (x ，y′)，给出如下 定义：若 ⎧ y （x ≥
0） y' = ⎨- y （x < 0 ，则称点 Q 为点 P 的“可控变点”，
⎩
）
例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点(-1，3)的“可控变点”为点(-1，-3)．结合定义，请回答下列问题： （1）点(-3，-4)的“可控变点”为 ；
（2）若点 N (m ，2)是函数 y =x -1 图象上点 M 的“可控变点”，
求点 M 的坐标．
4.定义：直线y=m x+n 与直线y=nx+m互为“友好直线”，如：
直线y=2x+1 与直线y=x+2 互为“友好直线”．
（1）点A(a，2)在直线y=-x+1 的“友好直线”上，则a= ；
（2）直线y=4x+3 上的一点B(b，c)又是它的“友好直线”上的点，求点B 的坐标；
（3）若点C(5，6)在直线l：y=mx+n 上，点D(1，-2)在直线l 的“友好直线”上，求直线l 的解析式．
5.在平面直角坐标系中，点P 到x 轴的距离为d1，到y 轴的距
离为d2，给出下列定义：
若d1≥d2，则称d1 为点P 的最大距离；
若d1＜d2，则称d2 为点P 的最大距离．
例如：点P(-1，2)到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为1，因为2＞1，所以点P 的最大距离为2．
根据以上定义解答下列问题：
（1）点A(5，-6)的“最大距离”为；
（2）若点B(a，4)的“最大距离”为7，则a 的值为；
（3）若点C 在直线y=-2x+3 上，且点C 的“最大距离”为5，求点C 的坐标．
6.定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a，b)，
B(c，d)，若点T(x，y)满足x =a +c
，y =
b +d
，那么称点T 3 3
是点A，B 的融合点．
例如：A(-1，8)，B(4，-2)，当点T(x，y)满足x =-1+ 4
= 1 ，3
y =8 + (-2)
= 2 时，点T(1，2)是点A，B 的融合点．3
（1）已知点A(-1，5)，B(7，7)，C(2，4)，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）已知点D(3，0)，点E(t，2t+3)（t 为任意数），点T是点D，E 的融合点．
①用含t 的式子表示点T 的坐标；
②若直线ET 交x 轴于点H，当△DTH 是以DH 为直角边的直角三角形时，则点E 的坐标为．
1 = 3 x +1
7. 小明根据学习函数的经验，对函数 y =|x +1|-2 的图象、性质进
行了探究．小明的探究过程如下： （1）列表：
=
．（2） 描点并画出该函数的图象． （3） 根据函数图象可得：
①该函数的最小值为 ；
②观察函数 y =|x +1|-2 的图象，写出该图象的两条性质：
，
．
（4） 结合函数图象，解决问题：
①函数图象与 x 轴有 个交点，所以对应方程|x +1|-2=0
有
个解；
②已知函数 y = 1
x +1的图象如图所示，结合你所画的函数图
3
象，直接写出方程 x +1 - 2 = 1
x +1的解： ．
3
⎪⎩ ⎪⎩
8. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，
我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过
程与方法，探究分段函数 y = ⎧⎪ x （x ≤1）
的图象与性质．
（1）列表：
⎨-2x + 3（x > 1）
=
．（2） 描点并画出该函数的图象． （3） 根据函数图象可得：
点 A ( 1 ，y 1)，B ( 2
，y 2)，C (x 1，-2)，D (x 2， - 3 )在函数图象
2 3 2
上，则 y 1 y 2，x 1 x 2．（填“＞”，“=”或“＜”）
（4） 结合函数图象，解决问题：
①当函数值 y = 5
时，自变量 x 的值为
；
2
②若一次函数 y =kx +1（k 为常数且 k ≠0）的图象与分段函数
y = ⎧⎪ x （x ≤1） 的图象只有 1 个交点，则 k 的取值范围是 ⎨-2x + 3（x > 1）
．
3 【参考答案】 ➢ 精讲精练
1. 2．
2. 二或第四．
3. （1）(-3，4)；
（2）点 M 的坐标为(3，2)或(-1，-2)． 4. （1）3；
（2）B (1，7)；
（3）直线 l 的解析式为 y = 2x - 4 ． 5. （1）6；
（2）±7 ；
（3）点 C 的坐标为(-1，5)或(4，-5)． 6. （1）点 C 是 A ，B 的融合点；
（2）①T ⎛ t +1 2 t +1⎫
；②(6，15)或( 3 ，6)．
， ⎪ ⎝ 3 ⎭ 2 7. （1）2；
（2） 图略；
（3） ①-2；②该函数的图象是轴对称图形；当 x ＜-1 时，
y 随 x 的增大而减小，当 x ＞-1 时，y 随 x 的增大而增大； （4）①两、两；② x 1 = 3，x 2 = -3 ． 8. （1）1；
（2）图略；
（3）＜，＞； （4）① - 5
；②k ＞0 或 k ≤-2．
2。