2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算6.3.1平面向量的坐标及运算
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.5向量的线性运算学案含解析第二册
学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 6.1.5 向量的线性运算
素养目标·定方向
课程标准 学法解读
1.掌握向量加法与数乘运算混合运算的运算律．
2．理解向量线性运算的定义与运算法则．
3．能利用向量线性运算解决简单问题． 通过学习向量线性运算的定义及运算法则的运用，培养学生的数学运算、逻辑推理素养．
必备知识·探新知
知识点
向量的加法与数乘向量的混合运算
规定:一般地，一个含有向量加法、数乘向量运算的式子，要先算__数乘向量__，再算__向量加法__．
运算律:设对于实数λ，μ以及向量a，b，有（1)λa＋μa＝__（λ＋μ）a__。（2）λ（a＋b）＝__λa＋λb__．
思考：（1)向量的加法与数乘向量能进行混合运算的根本原因是学必求其心得，业必贵于专精
- 2 - 什么？
（2）这里的条件“λ，μ为实数"能省略吗？为什么？
提示:(1）向量的加法与数乘向量的结果仍是一个向量．
(2）不能,数乘向量中的λ，μ都是实数，只有λ，μ都是实数时，运算律才成立． 知识点
向量的线性运算
向量的加、减、数乘向量以及它们的混合运算,统称为向量的线性运算．
关键能力·攻重难
题型探究 题型
向量的线性运算
┃┃典例剖析__■
典例1 （1）化简6a－［4a－b－5（2a－3b）]＋（a＋7b）；
（2）把满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x、y用a、b表示出来． 学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - ［分析］ 求解的依据是运算律，采用与代数式的运算相似的方法．
[解析] (1）原式＝6a－(4a－b－10a＋15b）＋a＋7b＝(6－4＋10＋1)a＋（1－15＋7)b＝13a－7B．
(2)由已知得｛ 3x－2y＝a①－4x＋3y＝b。②
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3B．
∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3B．
规律方法：熟练掌握和运用运算律（实数与向量的积满足的结合律与分配律），即当λ、μ为实数时，有：①（λμ)a＝λ(μa）；②(λ＋μ）a＝λa＋μa;③λ（a＋b）＝λa＋λB．
2019_2020学年高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算课时作业新人教A版必修第二册
6.2.3 向量的数乘运算
一、选择题
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
解析：原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.
答案：D
2．点C在直线AB上，且AC→＝3AB→，则BC→等于( )
A．－2AB→ B.13AB→
C．－13AB→ D．2AB→
解析：如图，AC→＝3AB→，所以BC→＝2AB→.
答案：D
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 B.3
C．－1或4 D．3或4
解析：因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝－32－m，解得m＝－1或m＝3.
答案：A
4.
如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝( )
A．a＋34b
B.34a＋14b C.14a＋14b
D.14a＋34b
解析：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋34BC→＝AB→＋34(AC→－AB→)＝14AB→＋34AC→＝14a＋34b.
答案：D
二、填空题
5．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
解析：由于|a|＝4，b＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2a.
答案：2
6．点C在线段AB上，且ACCB＝32，则AC→＝________AB→，BC→＝________AB→.
解析：因为C在线段AB上，且ACCB＝32，所以AC→与AB→方向相同，BC→与AB→方向相反，且ACAB＝35，BCAB＝25，所以AC→＝35AB→，BC→＝－25AB→.
答案：35 －25
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.∵|a|＝3，|b|＝5，
2019-2020学年高一数学新教材第二册同步学案-专题6.2 平面向量的运算(第一课时)(解析版)
6.2 平面向量的运算（第一课时）
运用一 向量的加法运算
【例1-1】如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【答案】见解析
【解析】 方法一 可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一点O，作向量＝OA→
a，接着作向量＝c，则得向量＝a＋c，然后作向量＝b，则向量＝a＋b＋c为所求．AB→
OB→
BC→
OC→
① ②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；OA→
OB→
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；OC→
(3)再作向量＝c；OD→
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c.即即为所求.OE→
OC→
OE→
【例1-2】化简：
(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋.BC→
AB→
AO→
BC→
OB→
AB→
DF→
CD→
BC→
FA→
(4)＋＋； (5)(＋)＋＋.DB→
CD→
BC→
AB→
MB→
BO→
OM→
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）AC→
AC→
0
0
AB→
【解析】 (1)＋＝＋＝.BC→
AB→
AB→
BC→
AC→
(2)＋＋＝＋＋＝＋＝.AO→
BC→
OB→
AO→
OB→
BC→
AB→
BC→
AC→
(3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.AB→
DF→
CD→
BC→
FA→
AB→
BC→
CD→
DF→
FA→
AC→
CD→
DF→
FA→
AD→
DF→
FA→
AF→
FA→
(4)＋＋＝＋＋＝＋＝0.DB→
CD→
BC→
BC→
CD→
DB→
BD→
DB→
(5)方法一 (＋)＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.AB→
MB→
BO→
OM→
AB→
BO→
OM→
MB→
AO→
OB→
AB→
方法二 (＋)＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝.AB→
MB→
BO→
OM→
AB→
MB→
BO→
OM→
AB→
MO→
新教材 人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 知识点汇总及解题规律方法提炼
6．1 平面向量的概念
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→．
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB→的长度，记作|AB→|.
(3)向量的表示
■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB→的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
(1)向量的模(长度)：向量AB→的大小，称为向量AB→的长度(或称模)，记作|AB→|．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b. ■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
典型例题1
向量的相关概念
给出下列命题：
①若AB→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在▱ABCD中，一定有AB→＝DC→；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
【解析】 AB→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
2021_2022学年新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算课时32直线
.
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 课时32 直线上向量的坐标及其运算
知识点一 直线上向量的坐标
1.如下图，那么直线上向量a，b的坐标分别为( )
A．－2,4 B．2,4
C．4，－2 D．－4，－2
答案 C
解析 向量a的始点在原点，那么a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，那么b的坐标为－2.应选C．
2．，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，假设b的坐标为2，那么a的坐标为( )
A．4 B．－4
C．2或－2 D．4或－4
答案 D
解析 由b的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐标为4或－4.应选D．
知识点二 直线上向量的坐标运算
a的坐标为5，b的坐标为－13，求以下向量的坐标：
(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b．
解 (1)－3b的坐标为(－3)×－13＝1.
(2)a－b的坐标为5－－13＝163.
(3)2a＋3b的坐标为2×5＋3×－13＝9.
(4)－a－6b的坐标为－5－6×－13＝－3.
知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标
示的数轴上，A，B两点的坐标分别为a，b，那么向量AB→的坐标为( ) .
下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
A．a－b B．b－a
C．－a－b D．a＋b
答案 B
解析 AB→＝(b－a)e，AB→的坐标为b－a．
5．如图，数轴上A，B两点的坐标分别为－4,2，点C是线段AB的中点，那么向量AC→的坐标为________．
答案 3
解析 由A，B两点的坐标分别为－4,2，得点C的坐标为－4＋22＝－1，故AC→的坐标为－1－(－4)＝3.
6．数轴上A，B两点的坐标分别为x1，x2，求AB→，BA→的坐标及A，B两点间的距离．
(1)x1＝2，x2＝－5.3；(2)x1＝10，x2＝20.5.
高中数学第6章6.2.3课时33平面向量的坐标及其运算两点间的距离公式与中点坐标公式人教B版必修第二册
- 1 - 课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式
知识点一 平面向量的坐标
1.如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.
答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)
解析 将各向量向基底所在直线分解．
a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，
b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，
c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．
2．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．
①OA→＝2i＋3j；
②OB→＝3i＋4j；
③AB→＝－5i＋j；
④BA→＝5i－j.
答案 ①③④
解析 i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确．
知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系
3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝( )
A．(7,3) B．(7,7)
C．(1,7) D．(1,3)
答案 A
解析 a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线 - 2 - 答案 C
解析 因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则mn＝________，|na＋mb|＝________.
答案 －12 41
解析 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(4，－1)．
∴ 2m－n＝4，3m＋2n＝－1，解得 m＝1，n＝－2，∴mn＝－12.
2019-2020学年高一数学新教材第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示(第二课时解析版)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示
（第二课时）
运用一 简单坐标的运算
【例1】（1）（2019·宁夏银川一中高三月考（文））已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，1)，若c(2a＋b)，则m=（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(k,4)，且(a－b)⊥c，则k＝( )
A．－6 B．－1 C．1 D．6
【答案】（1）C （2）C
【解析】（1）2(4,2)ab，且c//(2a＋b)，所以4120m，解得，m=2. 所以本题答案为C.
（2）∵a＝(－1,2)，b＝(3,1)，∴a－b＝(－4,1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
【举一反三】
1．设向量121abx，，，，当向量2ab与2ab平行时，ab（ ）
A．52
B．2 C．1 D．72
【答案】A
【解析】∵2124223abxabx，，，，2ab与2ab平行，
∴31242xx，∴12x.∴115121121222ab，，.故选：A。
2．（2016·湖北高三期末（文））已知(1,2)a，(0,1)b，(,2)ck，若+2abc，则k（ ）
A．8 B．2 C．2 D．8
【答案】A
【解析】+2=1,4+2,+280,8,ababcabckk，故选A．
3．设向量(1,2),(1,1)ab，若向量aλb与向量a垂直，则实数的值为（ ）
A．43 B．1 C．1 D．5
【答案】D
【解析】由已知得(1,2)ab，向量aλb与向量a垂直，
()0aba.即(1)1(2)20，解得5.故选D.
运用二 点共线
2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.2 向量的加法课时作业 新人教B版必修第二册
6.1.2 向量的加法
一、选择题
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO→＋OC→＋CB→等于( )
A.AB→ B.BC→
C.CD→ D.DA→
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO→＋OC→＋CB→＝AC→＋CB→＝AB→.故选A.
答案：A
2．设a表示“向东走5 km”，b表示“向南走5 km”，则a＋b表示( )
A．向东走10 km B．向南走10 km
C．向东南走10 km D．向东南走52 km
解析：
如图所示，AC→＝a＋b，|AB→|＝5，|BC→|＝5，且AB⊥BC，则|AC→|＝52，∠BAC＝45°.
答案：D
3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．不确定
解析：如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；如果它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．
答案：A
4．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝( )
A.OH→ B.OG→
C.FO→ D.EO→
解析：设a＝OP→＋OQ→，以OP，OQ为邻边作平行四边形，则OP与OQ之间的对角线对应的向量即向量a＝OP→＋OQ→，由a和FO→长度相等，方向相同，得a＝FO→，即OP→＋OQ→＝FO→.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，则a＋b＋c＝________.
解析：由向量加法的三角形法则，得AB→＋BC→＝AC→，即a＋b＋c＝AB→＋BC→＋CA→＝0.
答案：0
6．化简(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→＝________.
解析：原式＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＋BC→＝AO→＋OB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→.
2019-2020年高中数学人教A版(2019)必修第二册教案：6.1 平面向量的概念 Word版
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第六章 平面向量及其应用
6。1 平面向量的概念
教学设计
一、教学目标
1. 通过对生活中力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景；
2. 理解向量的意义及几何表示；
3. 掌握相等向量与共线向量的意义.
二、教学重难点
1. 教学重点
掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示。
2. 教学难点
对共线向量的理解及掌握.
三、教学过程
（一）新课导入
师：我们在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？
生：既有大小,又有方向.
师：下面我们来学习这些量。
（二）探索新知
1. 问:我们对这些既有大小，又有方向的量给出一个定义，叫做向量，并且把只有大小，没有方向的量叫做数量.同学们来举出你知道的向量与数量的例子。
（学生举手回答）
如，向量：作用力、反作用力、加速度等;数量：身高、体重、面积、质量等.
2. 问：数量可以用数轴上的点来表示吗？
答：可以，因为数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴2019-2020年高中数学人教A版（2019）必修第二册教案：6.1 平面向量的概念 Word版含答案
上的点表示,而且不同的点表示不同的数量。
问:如何表示向量呢？
在表示位移的时候，若小船以A为起点,B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向。于是，这条“带有方向的线段"就可以用来表示位移.同样，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
2019_2020学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3.26.3.36.3.4第1课时平面
- 1 - 第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示
[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若OA→＝4i＋2j，OB→＝3i＋4j，则2OA→＋OB→的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
解析：选D.因为OA→＝(4，2)，OB→＝(3，4)，
所以2OA→＋OB→＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
A．－112 B.112
C．－292 D.292
解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以4λ＝－2，xλ＝7，解得λ＝－12，x＝－14，所以λ＋x＝－292，故选C.
3．已知MA→＝(－2，4)，MB→＝(2，6)，则12AB→等于( )
A．(0，5) B．(0，1)
C．(2，5) D．(2，1)
解析：选D.12AB→＝12(MB→－MA→)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为( )
A.2，72 B.2，－12
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故2m＝4，2n－4＝3， - 2 - 解得m＝2，n＝72，即点D的坐标为2，72，故选A.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→(λ∈R)，则λ的值为( )