2021年高考真题——理科数学(上海卷) Word版含答案
2021年一般高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷（理工农医类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．设全集UR．若集合1,2,3,4，23xx，则U
．
2．若复数z满足31zzi，其中i为虚数单位，则z
．
3．若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为35xy，则12cc ．
4．若正三棱柱的全部棱长均为a，且其体积为163，则a ．
5．抛物线22ypx（0p）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p ．
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7.方程1122log95log322xx的解为 ．
8.在报名的3名男老师和6名女老师中，选取5人参与义务献血，要求男、女老师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9.已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C．若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为 ．
10.设1fx为222xxfx，0,2x的反函数，则1yfxfx的最大值为 ．
11.在10201511xx的开放式中，2x项的系数为 （结果用数值表示）．
12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规章是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的确定值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1和2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12 （元）．
13.已知函数sinfxx．若存在1x，2x，，mx满足1206mxxx，且
1223112nnfxfxfxfxfxfx（2m，m），则m的最小值为 ．
14.在锐角三角形C中，1tan2，D为边C上的点，D与CD的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则DDF ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．设1z，2Cz，则“1z、2z中至少有一个数是虚数”是“12zz是虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知点的坐标为43,1，将绕坐标原点逆时针旋转3至，则点的纵坐标为（ ）
A．332 B．532 C．112 D．132
17．记方程①：2110xax，方程②：2220xax，方程③：2340xax，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
18．设,nnnxy是直线21nxyn（n）与圆222xy在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx（ ）
A．1 B．12 C．1 D．2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必需在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CDCD中，11，D2，、F分别是、C的中点．证明1、1C、F、四点共面，并求直线1CD与平面11CF所成的角的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分
如图，，，C三地有直道相通，5千米，C3千米，C4千米.现甲、乙两警员同时从地动身匀速前往地，经过t小时，他们之间的距离为ft（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是C，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设1tt时乙到达C地.
（1）求1t与1ft的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11tt时，求ft的表达式，并推断ft在1,1t上得最大值是否超过3？说明理由.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于、和C、D，记得到的平行四边形CD的面积为S.
（1）设11,xy，22C,xy，用、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明11212Sxyxy；
（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值.
22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知数列na与nb满足112nnnnaabb，n.
（1）若35nbn，且11a，求数列na的通项公式；
（2）设na的第0n项是最大项，即nnaa0（n），求证：数列nb的第0n项是最大项；
（3）设10a，nnb（n），求的取值范围，使得na有最大值与最小值m，且2,2m.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于定义域为R的函数gx，若存在正常数，使得cosgx是以为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知fx是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设fx单调递增，00f，4f. （1）验证sin3xhxx是以6为余弦周期的余弦周期函数；
（2）设ba．证明对任意,cfafb，存在0,xab，使得0fxc；
（3）证明：“0u为方程cos1fx在0,上得解”的充要条件是“0u为方程cos1fx在,2上有解”，并证明对任意0,x都有fxfxf.
2021年全国乙卷数学(理)高考真题文档版(含答案)
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2021年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设2()3()46izzzz，则z（ ）
A．12i B．12i C．1i
D．1i
2．已知集合21,SssnnZ，41,TttnnZ，则ST（ ）
A． B．S C．T
D．Z
3．已知命题:pxR，sin1x；命题:qxR，||e1x，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．pq B．pq C．pq
D．()pq
4．设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．(1)1fx B．(1)1fx C．(1)1fx
D．(1)1fx
5．在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（ ）
A．2 B．3 C．4
D．6
6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种
D．480种
7．把函数()yfx图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数sin4yx的图像，则()fx（ ）
2021年高考真题—普通高等学校统一考试—理科数学(全国卷II)—解析版
第 1 页 共 11 页 2021年高考真题—普通高等学校统一考试—理科数学（全国卷II）—解析版
.ks5u. 20__年普通高等学校招生全国统一考试（全国 II卷） 理科数学 一、选择题 1.
设集合，，则s( ) A.
B.
C.
D.
答案：
A 解答：
或，，∴.
2.
设,则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：
C 解析：
，对应的点坐标为,故选C.
3．已知， ， ，则（ ） A.
B.
C.
D. 第 2 页 共 11 页 答案：
C 解答：
∵， ∴，解得，， ∴.
4．20__年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就。实现月球背面软着路需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系。为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地球月拉格朗日点的轨道运行，点是平衡点，位于地月连线的延长线上。设地球的质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程。设。由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为（ ） A． B． C． D． 答案：
D 解答：
所以有 化简可得，可得。
5.
演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A． 中位数 B． 平均数 C． 方差
D．极差 答案：
A 解答： 第 3 页 共 11 页 由于共9个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5个，假设为，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。
2021年高考真题汇编——理科数学(解析版)1：集合与简易逻辑
公众号：惟微小筑
2021高|考真题分类汇编：集合与简易逻辑
1.【2021高|考真题浙江理1】设集合A ={x|1＜x＜4} ,集合B ={x|2x -2x -3≤0}, 那么A∩ (CRB )
=
A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪ (3,4 )
【答案】B
【解析】B ={x|2x -2x -3≤0} =}31|{xx ,A∩ (CRB ) ={x|1＜x＜4}}3,1|{xxx或 =}43|{xx .应选B.
2.【2021高|考真题新课标理1】集合{1,2,3,4,5}A,{(,),,}BxyxAyAxyA；,那么B中所含元素
的个数为 ( )
()A3 ()B6 ()C ()D
【答案】D
【解析】要使Ayx,当5x时 ,y可是1 ,2 ,3 ,4.当4x时 ,y可是1 ,2 ,3.当3x时 ,y可是1 ,2.当2x时 ,y可是1 ,综上共有10个 ,选D.
3.【2021高|考真题陕西理1】集合{|lg0}Mxx ,2{|4}Nxx ,那么MN
( ) A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]
【答案】C.
【解析】}22|{}4|{},1|{}0lg|{2xxxxNxxxxM ,
]2,1(NM ,应选C.
4.【2021高|考真题山东理2】全集0,1,2,3,4U ,集合1,2,3,2,4AB ,那么UCAB为
(A )1,2,4 (B )2,3,4 (C )0,2,4 (D )0,2,3,4
全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 Word版含答案
全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 Word版含答案
全国高考理科数学试题分类汇编2：函数word版含答案
全国高考理科数学试题分类汇编2：函数
一、选择题
1．（2021年高考江西卷（理））函数y=xln(1-x)的定义域为a.(0,1)b.[0,1)c.(0,1]d.[0,1]【答案】d
2．（2021年普通高等学校录取统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若a?b?c,则函数
f?xx?a??x?bx?b??x?cx?c??x?a?的两个零点分别位于区间()
a,b和?b,c?内b.,a?和?a,b?内c.?b,c?和?c,内d.,a?和?c,内
a.
【答案】a
3．（2021年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数yyyf(x)?x的大致图像是()
y?120ax0bx0cx0dx
【答案】a
4．（2021年中考四川卷（理））设立函数曲线y?sinx上存有(x0,y0)使(a)[1,e](b)[e【答案】a
1f(x)exxa(ar,e为自然对数的底数).若
f(f(y0))?y0,则a的值域范围就是()
,-11]，(c)[1,e?1](d)[e?1-1,e?1]
x2?2x,x?05．（2021年中考新课标1（理））未知函数f(x)??,若|f(x)|≥ax,则a的
ln(x?1),x?0?取值范围是
a.(??,0]b.(??,1]c.[?2,1]d.[?2,0]
【答案】d 6．（2021年普通高等学校录取统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校订））函数
1fx=log21x0的反函数f?1?x?=
x(a)
11xxx?0x?0(b)(c)(d)2?1x?r2?1?x?0xx2?12?1【答案】a
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海卷，含答案，不完整版）(1)
上海市数学（文）（有答案，不完整版）-2021年一般高等学校招生统一考试
三．解答题（本大题共5题，总分值74分）
1九、（此题总分值12分）
底面边长为2的正三棱锥PABC, 其表面展开图是三角形321ppp，如图，求△321ppp的各边长及此三棱锥的体积V.
20.（此题总分值14分）此题有2个小题，第一小题总分值6分，第二小题总分值1分。
设常数0a，函数aaxfxx22)(
（1）若a=4，求函数)(xfy的反函数)(1xfy；
（2）依照a的不同取值，讨论函数)(xfy的奇偶性，并说明理由.
21.（此题总分值14分）此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.
如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角别离为和.
（1）设计中CD是铅垂方向，假设要求2，问CD的长最多为多少（结果精准到0.01米）？
（2）施工完成后.CD与铅垂方向有误差，此刻实测得，，45.1812.38求CD的长（结果精准到0.01米）？
22（此题总分值16分）此题共3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分.
在平面直角坐标系xoy中，关于直线l：0axbyc和点),,(),,(22211yxPyxPi记1122)().axbycaxbyc（若<0，那么称点21,PP被直线l分隔。假设曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点21PP，被直线l分隔，那么称直线l为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点），（），（012,1BA被直线01yx分隔；
⑵假设直线kxy是曲线1422yx的分隔线，求实数k的取值范围；
⑶动点M到点）（2,0Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线.
2021年上海市高考数学练习试卷(一)(附答案详解)
第1页，共17页
2021年上海市高考数学练习试卷（一）
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）
1. (2018·广西壮族自治区河池市·月考试卷)已知𝑃={𝑎⃗ |𝑎⃗ =(1,0)+𝑚(0,1)，𝑚∈𝑅}，𝑄={𝑏⃗ |𝑏⃗ =(1,1)+𝑛(−1,1)，𝑛∈𝑅}是两个向量集合，则𝑃∩𝑄=( )
A. {(1,1)} B. {(−1,1)} C. {(1,0)} D. {(0,1)}
2. (2021·上海市·模拟题)已知数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若𝑎𝑛∈{0,1，2，3}，𝑎𝑛≠𝑎𝑛+1，𝑎𝑛=𝑎𝑛+3，则𝑆100可能的不同取值的个数为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
3. (2021·上海市·模拟题)已知𝑧1，𝑧2∈𝐶，且|𝑧1−4𝑖|=1，|𝑧2−2√3|=|𝑧2−2𝑖|(𝑖是虚数单位)，则|𝑧1−𝑧2|的最小值为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. (2021·上海市·模拟题)从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形M的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形N的顶点，对于命题：
①𝑀的面积可能大于N的面积；
②𝑁为直角三角形的概率是M为等腰三角形的概率的2倍．
下列判断正确的是( )
A. ①②都正确 B. ①正确，②错误
C. ①②都错误 D. ①错误，②正确
二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. (2014·新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州·期末考试)函数𝑦=tan𝜋2𝑥的最小正周期为______ ．
6. (2021·上海市·模拟题)写出一个解集为(0,2)的分式不等式______ ．
7. (2014·安徽省滁州市·期末考试)双曲线𝑥2−𝑦2=1的焦点到其渐近线的距离为______ ．
2021新高考数学全国Ⅱ卷真题(含答案-解析版)
2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
使用省份：海南､辽宁､重庆
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.复数2i
13i
在复平面内对应的点所在的象限为（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】【分析】利用复数的除法可化简2i
13i
，从而可求对应的点的位置.【详解】
2i13i2i55i1i
13i10102
，所以该复数对应的点为11
,
22
，
该点在第一象限，
故选：A
.
2.设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}UAB
，则
UABð
（）
A.{3}
B.{1,6}
C.{5,6}
D.{1,3}
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集、补集的定义可求
UABð
.
【详解】由题设可得
U1,5,6Bð
，故
U1,6ABð
，
故选：B.
3.抛物线22(0)ypxp的焦点到直线1yx
的距离为2
，则p
（）
A.1B.2C.22D.4
【答案】B
【解析】
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p
的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,0
2p
，
其到直线10xy的距离：01
2
2
11p
d
，
解得：2p
(6p
舍去).
故选：B.
4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道
位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一
个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直
接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
22(1cos)Sr
（单位：
2km），则S占地球表面积的百分比约为（）
A.26%B.34%C.42%D.50%
2021年上海市高考数学一模试卷(理科)含解析答案
精品 Word 可修改 欢迎下载 2021年上海市高考数学一模试卷（理科）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．
1．（4分）（2021•闵行区一模）已知集合A={x||x﹣|＞}，U=R，则∁UA=
[﹣1，4]．
【考点】： 补集及其运算．
【专题】： 集合．
【分析】： 求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R求出A的补集即可．
【解析】： 解：由A中不等式变形得：x﹣＞或x﹣＜﹣，
解得：x＞4或x＜﹣1，即A=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），
∵U=R，∴∁UA=[﹣1，4]．
故答案为：[﹣1，4]
【点评】： 此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
2．（4分）（2021•闵行区一模）若复数z满足（z+2）（1+i）=2i（i为虚数单位），则z= ﹣1+i ．
【考点】： 复数代数形式的乘除运算．
【专题】： 数系的扩充和复数．
【分析】： 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解析】： 解：由（z+2）（1+i）=2i，得
，
∴z=﹣1+i．
故答案为：﹣1+i．
【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（4分）（2021•闵行区一模）函数f（x）=xcosx，若f（a）=，则f（﹣a）= ﹣．
【考点】： 函数的值．
【专题】： 函数的性质及应用．
【分析】： 由已知得f（a）=acosa=，由此能求出f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．
【解析】： 解：∵f（x）=xcosx，f（a）=，
∴f（a）=acosa=，
∴f（﹣a）=﹣acos（﹣a）=﹣acosa=．
精品 Word 可修改 欢迎下载 故答案为：﹣．
【点评】： 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2021上海高考数学试题 - 副本_20210611000145
2019 上海高考数学试题
一、填空题(第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分)
▲1.已知 A ,3、B 2,，则 A B .
▲2.已知 z C ，且满足 1
z 5 i ，求 z .
▲3 已知向量 a 1,0,2, b 2,1,0，求 a 与b 的夹角为 .
▲4.已知二项式2x 15 ，则展开式中含 x2 项的系数为 .
x 0
▲▲5.已知 x、y 满足 y 0
x y 2
，求 z 2x 3y 的最小值为 .
▲▲6.已知函数 f x 周期为1，且当0 x 1时， f x log2 x ，则 f 3 . 2 ▲▲7.若 x、y R ，且 1 2 y 3 ，则 y 的最大值为 .
x x
▲▲8.已知数列an 前n 项和为 Sn ，且满足 Sn an 2 ，求 S5 .
▲▲▲9.过曲线 y2 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与曲线 y2 4x 交于 A、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2OB ，则 .
▲▲▲10.某三位数密码，每个数字可在0 ~ 9 这10 个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是 .
x2
y2
▲▲▲▲11.已知数列 an 满足 an an1 n N ，若 Pn n, an n 3 均在双曲线 6 2
x 1 1 上，则 2
lim Pn Pn1 .
n
▲▲▲▲12.已知 f x a x 1, a 0， f x 与 x 轴交点为 A ，若对于 f x 图像图像上任意一点
高考上海理科数学试题及答案(word解析版)
1普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对
得4
分，否则一律得零分．
（1）【2019年上海，理1，4分】设xR，则不等式31x
的解集为．
【答案】2,4
【解析】由题意得：131x，解得24x．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合
理运用．
（2）【2019年上海，理2，4分】设32i
iZ
，期中i为虚数单位，则Imz．
【答案】3
【解析】32i
23i,Imz3
iz
．
【点评】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的乘除运算法则的合理运用．
（3）【2019年上海，理3，4分】已知平行直线12:210,:210lxylxy，则12,ll的距离．
【答案】25
5
【解析】利用两平行线间距离公式得12
2222|||11|25
521cc
d
ab．
【点评】本题考查平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．
（4）【2019年上海，理4，4分】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，
1.69，
1.77则这组数据的中位数是（米）．
【答案】1.76
【解析】将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，这六个数
的中位数
是1.75与1.77的平均数，显然为1.76．
【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．
（5）【2019年上海，理5，4分】已知点3,9在函数()1xfxa的图像上，则fx的反函数1fx
．
【答案】2log11xx
【解析】将点3,9
带入函数1xfxa
的解析式得2a，所以12xfx
，用y表示x得2log1xy
，
所以1
2log1fxx
．
【点评】本题考查了反函数的求法、指数函数与对数函数的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．