高二数学选修2-1《空间向量的运算》
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何
一、坐标运算
111222,,,,,axyzbxyz
121212121212111121212,,,,,,,,abxxyyzzabxxyyzzaxyzabxxyyzz则
二、共线向量定理
,0,=.abbabab充要对于使
三、共面向量定理
,,.abpabxypxayb充要若与不共线，则与共面使
,,,1.OOPxOAyOBPABxy充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线
,1.PABCOOPxOAyOBzOCPABCxyz充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点
11,1.PABCAPxAByACOPOAxOBOAyOCOAOPxOByOCxyOAxyzxyz证明：①必要性、、、四点共面，，，，令
1,1,xyzOPyzOAyOBzOCOPOAyOBOAzOCOAAPyABzACABCP②充分性，，、、、四点共面.
六、空间向量基本定理
,,abcpxyzpxaybzcabcabc若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，,,都叫做基向量.
七、立体几何中的向量方法
121212,,.nnllvv设平面和的法向量为和直线和的方向向量为
11121111121212121212nvlllnvlllvvllvvnnnn①或②若③④⑤⑥
八、角、距离
1异面直线的夹角，
coscos,ABCDABCDABCD则
2,线与面的夹角
sincosanan则
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
§3.1.1空间向量及其加减运算
§3.1.2空间向量的数乘运算
1. 下列命题中不正确的命题个数是( )
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+ CD+DA=0；
②对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面；
③若a、b共线，则a与b所在直线平行。
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若OG =xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为( )
A.（41，41，41）
B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32）
3．在平行六面体ABCD－EFGH中，AGxACyAFzAH，________.xyz则
4.已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________.
5.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分PC成定比2，N分PD成定比1，求满足MNxAByADzAP的实数x、y、z的值.
§3.1.3空间向量的数量积运算
1.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1AA=2AB，E为1AA重点，则异面直线BE与1CD所形成角的余弦值为( )
A.1010 B. 15 C.31010 D. 35
2．如图，设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ABAC，
_ C _ D _ A_ P _ N
_ B_ M 0ACAD，0ABAD，则△BCD的形状是( )
人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读
高中数学-打印版
精心校对 高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读
山东 尹承利
一、空间向量及其运算
1.空间向量及其加减与数乘运算
（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.
零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.
（2）空间向量的加减与数乘运算
①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；
②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如ABBCCDAD，ABBCCDDA0等．
2．共线向量的充要条件
（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()0，，abbab的充要条件是存在实数，使ab．
（2）空间直线的向量表过式：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OPOAta． ①
在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB． ②
①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．
（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点PAB，，共线()PBtPAOPOAtABtR．
3．共面向量的充要条件
（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
注：空间任意两个向量总是共面的．
（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，ab不共线，那么向量p与向量ab，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，xy，使pxayb．
（3）空间平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对xy，，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC． ③
③式称为平面ABC的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向高中数学-打印版
人教版高中数学选修2-1 空间向量及其运算导学案
3.1.1 空间向量及其运算
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
一、自主学习
1.预习教材P84～ P86, 解决下列问题
复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）；
叫零向量，记着 ；
叫单位向量.
叫相反向量， a的相反向量记着
.
叫相等向量. 向量的表示方法有 ，
，和
共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
1. 向量的加法和减法的运算法则有
法则 和
法则.
2. 实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与b ；
当λ＜0时，λa与b ；
当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
2.导学提纲
1.空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.
选修2-1空间向量及其运算ppt课件
仲元中学黄锡泉空间向量及其运算一.空间向量的有关概念1.空间向量的概念:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量2.零向量长度为0的向量叫做零向量3.单位向量模为1的向量称为单位向量4.相反向量长度相等而方向相反的向量,叫做互为相反向量5.相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量
仲元中学黄锡泉空间向量的加减1.运算法则ACBCABCBACABoABCabbabaab2.运算律abba)()(cbacba
仲元中学黄锡泉空间向量的数乘1.概念实数λ与空间向量的乘积称为向量的数乘.2.性质aaaababa)( ,)(baba//.3
仲元中学黄锡泉点在直线上的判断l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使其中向量叫做直线l的方向向量.aaatOAOPaABPO
仲元中学黄锡泉三点共线aABPO三点共线则或若PBAABtAPABtOAOP,,),(
仲元中学黄锡泉四点共面1.空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y,使ACyABxAPABCP
仲元中学黄锡泉2.空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y,对空间任意一点O有ACyABxOAOPABCPO
仲元中学黄锡泉2.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,满足向量关系式)1(zyxOCzOByOAxOP其中则P,A,B,C四点共面.
仲元中学黄锡泉巩固性训练11.如图,已知空间四边形ABCD,连结AC,BD,E,F分别是BC,CD的中点.化简下列各表达式ABCDEF)(21)3()(21)2(;)1(ACABAFBCBDABCDBCABADAFEF
仲元中学黄锡泉巩固性训练2DACD'BA'C'B'EF2.如图,已知正方体ABCD-A’B’C’D’,点E,F分别是上底面A’C’和侧面CD’的中心.求下列各式中x,y的值.')3(')2()'(')1(AAyABxADAFADyABxAAAECCBCABxAC(1) 121)2(yx21)3(yx
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空间向量
基础知识
本单元是全章的重点，主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用，共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.
本单元的重点是：空间向量的运算和运算律；空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间向量基本定理及其推论；两个向量的数量积的计算方法及其应用；空间右手直角坐标系；向量的坐标运算和向量的夹角公式、距离公式.
本单元的难点有：理解与运用空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间作图；两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题；向量坐标的确定和向量夹角公式、距离公式的应用等.
本单元把空间的平行(平移）性质转为向量表达式（共线、共面向量定理、向量数量积运算）和向量运算，使学习重点转到使用向量代数方法解决立体问题上来，这旨在培养使用向量代数方法解决立体几何问题的能力. 在第一单元空间平行（平移）概念的基础上，引入向量来解决立体几何问题，是综合推理训练转向代数推理训练，即用代数方法来研究解决立几问题，因此，要重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重掌握向量这一工具的性质和用途.
本单元所学的空间向量的知识容量大, 涉及的概念多, 公式多，因此，要抓住空间向量与平面向量之间存在的类似关系，能通过类比、比较，将所学的平面向量知识推广到空间，并通过应用逐步理解与掌握.
本单元的主要知识有：
1．共线向量
共线向量定理：对空间任意两个向量a，b (b ≠ 0 ), a∥b的充要条件是存在实数 使a = b. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充分条件是存在实数t，满足等式OP=OA+ta. 其中向量a叫做直线l的方向向量，等式OP=OA+ta称为空间直线的向量参数表示式，若在l上取AB= a，则等式可化为OP=（1 – t )OA+tOB.
人教版高中数学选修2-1空间向量运算的坐标表示课后习题
空间向量运算的坐标表示 课时操练 ·促提高
A 组
1.已知向量 = (2,3,4),点 A 的坐标是 (1,2,0),则点 B 的坐标是 ()
A.(1,1,4) B.(3,5,4)
C.(-1,1,-4) D.(3,6,3)
分析 :设点 B 的坐标为 (x,y,z),由点 A 的坐标为 (1,2,0),
则 = (x-1,y-2,z)= (2,3,4) .
即解得故点 B 的坐标为 (3,5,4) .
答案 :B
2.向量 a= ( -2,-3,1),b= (2,0,4),c= (-4,-6,2),以下结论正确的选项是 ( )
A. a∥ b,a⊥ b B. a∥b,a⊥ c
C.a∥ c,a⊥ b D. 以上都不对
分析 :由已知 a·b=- 2×2-3×0+ 4= 0,∴a⊥ b.
又 ∵c= 2a,∴a∥c.
答案 :C
3.设 A(3,3,1), B(1,0,5), C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到 C 的距离 |CM| 的值为 ( ) A .
B .
C.
D .
分析 :由于 AB 中点 M,且 C(0,1,0), 所以 ,故 M 到 C 的距离为 |CM|=||=.
答案 :C
4.已知 a= (1,0,1),b= (x,1,2),且 a·b= 3,则向量 a 与 b 的夹角为 ( ) A.
B.
C.
D.
分析 :∵a·b=x+ 2= 3,∴x= 1,
∴ b= (1,1,2),
∴ cos< a,b>=.
∴ a 与 b 的夹角为 .
答案 :D
5.在 △ ABC 中 ,∠ C= 90°,A(1,2,-3k) ,B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则 k 的值为 ( ) A. B.- C.2 D.±
分析 :∵= (-6,1,2k),= (-3,2,-k),
∴ = (-6)×(-3)+ 2+ 2k×(-k)=- 2k2+ 20.
苏教版选修(2-1)3.1《空间向量及其运算》word教案
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▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量的线性运算
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：
空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：
应用向量解决立体几何问题．
教学方法：
讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向； ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
高中数学选修2-1北师大版 空间向量及其线性运算教案
F1 F2
F3
aC'B'A'D'DABCa B l P 课 题：空间向量及其线性运算
教学目标：
1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；
3．理解空间向量共线的充要条件
教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；
教学难点：空间向量的线性运算及其性质。
教学过程：
一、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
二、建构数学
1．空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
baABOAOB
baOBOABA
)(RaOP
运算律：
⑴加法交换律：abba
⑵加法结合律：)()(cbacba
⑶数乘分配律：baba)(
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量a到DCBA的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－DCBA，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba//．
当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
5．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上CBAObbbaaA B
3.1.1空间向量及其加减运算 教案 -人教A版高二数学选修2-1
课题 3.1.1空间向量及其加减运算
作者姓名：王振安
教材
分析 1、新课标对这节内容的要求是：经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算.
2、本节内容包括空间向量的定义、空间向量的加减运算.本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，之前学习过平面向量，本章的研究方法即通过类比平面向量来研究空间向量的概念和运算，是后面继续学习空间向量运算的基础.
3、向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多立体几何问题的解决中有着重要的应用. 本章要学习的空间向量，为解决空间中图形的位置关系提供一个十分有效的工具.
学情
分析 这节课的授课班级是高二理科普通班，学生在高一时学习了平面向量的内容，能利用平面向量解决平面几何的问题.在本节学习过程中，应引导学生思考空间向量与平面向量的区别和联系，通过与平面向量及其运算作类比，数形结合等数学思想方法的渗透，让学生清楚学什么，更主要的是帮助学生理解为什么学，怎么学.我认为本节课学生对于平面向量和空间向量其相同点与不同点的理解有一定的困难.
教学
目标 1、知识与技能
掌握空间向量的有关概念，会进行空间向量的加法、减法运算.
2、过程与方法
运用现代教学信息技术手段，借助多媒体平台，运用课件展示，让学生能直观感受到空间向量，通过提出问题，学生自主学习，合作学习，小组汇报，自主探究体味到空间向量和平面向量没有本质区别，类比平面向量学习空间向量，增强了学生会用“类比归纳”解决数学问题的兴趣.
3、情感态度与价值观
通过类比平面向量学习空间向量以及推导证明空间向量运算性质，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生类比归纳能力，探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力，培养学生形成严谨的科学态度.
教学重难
点 教学重点 《课程标准》指出本节课的学习目标是：了解空间向量的概念，掌握空间向量的加减运算.因此，我认为本节课的教学重点为： 空间向量的概念认知过程以及空间向量的加减运算法则.