多元函数微分习题课课件

习题课第九章 多元函数微分法及其应用

一、 基本概念

二、多元函数微分法

三、多元函数微分法的应用

1. 多元函数的定义、极限 、连续• 定义域及对应规律

• 判断极限不存在及求极限的方法• 函数的连续性及其性质

1. 多元函数的定义、极限 、连续• 定义域及常见的几种规律：

()

()()()()()()()()2

),( ),,(tan 1

, ,,arccos ,arcsin 0

, ,,ln 0

, ,,0, ,,1

2π

π+

≠≤>≥≠k y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u y x u n

其中其中）（其中其中其中

1. 多元函数的定义、极限 、连续

• 判断极限不存在及求极限的几种方法：

1. 多元函数的定义、极限 、连续• 函数的连续性及其性质

()()

()()

,,,,lim 0

0y x f y x f y x y x =→有界性

最值定理介值定理一致连续性定理

()上连续

在有界闭区域若D P f

2. 几个基本概念的关系

连续

偏导数存在

偏导数连续

可微

方向导数存在

例1 求函数 的定义域，并求 。 ()⎪⎭

⎫ ⎝⎛--+=221ln 22,y x y

x y x f ()()()

y x f y x ,lim 0,0,→解

定义域：{}{}

10),(01),(2

2

2

2

2

2

<+<=≠+<+=y x y x y x y x y x D 且2

2

y

x t +=设()1

111

lim 1ln lim 0

-=--=-=→→t

t t t t 原式洛必达法则

思考与练习

例2 讨论极限解法1解法2 时, 下列算法是否正确？

y

x xy

y x +→→0

0lim 0

111

lim

0=+=→→x

y y x 原式01lim ,0

=+==→k

k

x kx y x 原式令11100=+==x

y y x ×

×

()1lim ,

2

2

2

-=-+-=-=→x

x x x x x x x y x 原式令

例3 证明函数 在点 处的两个偏导数都存在，

(

)xy y x f z ==,()0,0但 在点 处不可微。

()0,0()y x f ,证

()()()()()()0

0lim 0,00,0lim 0,00

0lim 0,00,0lim 0,00

00

0=∆=∆-∆+=∂∂=

=∆=∆-∆+=∂∂=

→∆→∆==→∆→∆==y

y f y f y

z

f x

x f x f x z

f y y y x y

x x y x x

例3 证明函数 在 处的两个偏导数都存在，

(

)xy y x f z ==,()0,0但 在点 处不可微。

()0,0()y x f ,证

()()y

x f y x f z ∆∆=-∆+∆+=∆0,00,0()()0

0,00,00

=∆+∆===y f x f dz

y

x

y x ()()

21

2lim lim 0

2

2

≠=∆∆=∆+∆-∆→∆=∆→∆=∆x x y x dz z x y x y 即()()()

ρo y f x f z y

x

+∆+∆≠∆0,00,0可微：

()())

(

d 2

2

y x o z z ∆+∆+=∆

二、多元函数微分法

显式结构

1. 分析复合结构(画变量关系图)

隐式结构

自变量个数 = 变量总个数 – 关系式总数

自变量与因变量由所求对象判定

2. 正确使用求导法则

“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”

注意正确使用求导符号

3. 利用一阶微分形式不变性

或偏导数, 求 .x

z

d d =∴

x

z

d d )

0(2

3

≠'+''F F f x =x

z

d d +'1F

2

3

F F f x '-''-=

1 3

2

F F f x '

''-1

2

F F f x f f x '

-''+'-2

2

1

F f f F x f F x '

-''-''f x f x

z

x y f x '

+=+'-d d d d 1

3

2

d d d d F x

z F x y F '-='+'+f ⋅'f x )

d d 1(x

y ++'x

y F d d 2

0d d 3

='x z

F