指数和对数运算学案
初中数学教案对数与指数的计算
初中数学教案对数与指数的计算初中数学教案：对数与指数的计算引言：在初中数学中，对数与指数是重要的概念。
对数可以帮助我们简化大数的计算，指数则在多项式和函数的求解中发挥关键作用。
本教案将详细介绍对数与指数的计算方法及其应用。
一、对数的基本概念和运算1. 对数的定义：对数是指数的逆运算。
若a^x=b，则x=logₐb，其中a为底数，b为真数，x为对数。
2. 对数的运算特性：a) 对数的乘法法则：logₐ(mn) = logₐm + logₐnb) 对数的除法法则：logₐ(m/n) = logₐm - logₐnc) 对数的幂法法则：logₐm^p = p * logₐm3. 常用对数与自然对数：a) 常用对数：以10为底的对数，常用符号为logb) 自然对数：以e为底的对数，常用符号为ln二、指数的基本概念和运算1. 指数的定义：指数是同一个数连乘若干次的结果。
例如，a的n 次方可表示为a^n。
2. 指数的运算特性：a) 指数的乘法法则：a^n * a^m = a^(n+m)b) 指数的除法法则：a^n / a^m = a^(n-m)c) 指数的幂法法则：(a^n)^m = a^(n*m)3. 负指数和零指数：a) 负指数：a的负n次方等于1除以a的n次方，即a^(-n) = 1 / a^nb) 零指数：任何非零数的零次方都等于1，即a^0 = 1三、对数与指数的运算应用案例1. 对数的应用案例：a) 简化大数的运算：通过对数运算，我们可以将复杂的大数计算转化为简单的对数运算，便于计算和比较。
b) 科学计数法的转换：对数的运算可以帮助我们进行科学计数法的转换，方便计量和表示。
2. 指数的应用案例：a) 阶乘计算：阶乘是一个重要的概念，在排列组合等问题中经常出现，指数运算可以简化阶乘的计算。
b) 多项式展开式的计算：指数运算在多项式的展开和化简中发挥重要作用，帮助我们快速计算多项式的值。
四、例题解析与练习1. 例题解析：通过具体的例题，帮助学生理解和掌握对数和指数的计算方法及应用。
初中指数对数教案
初中指数对数教案教学目标：1. 理解指数和对数的概念及它们之间的关系。
2. 掌握指数和对数的运算规则。
3. 能够应用指数和对数解决实际问题。
教学重点：1. 指数和对数的定义及运算规则。
2. 指数和对数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 指数和对数的运算规则的理解和应用。
2. 解决实际问题时指数和对数的运用。
教学准备：1. 教学PPT或者黑板。
2. 教学素材和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入指数和对数的概念，让学生回顾已学的有理数和分数的知识。
2. 提问学生：有理数和分数之间有什么关系？它们如何相互转化？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解指数的概念和运算规则。
2. 讲解对数的概念和运算规则。
3. 通过示例和练习题，让学生理解和掌握指数和对数的运算规则。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学的指数和对数的运算规则。
2. 教师巡回指导，解答学生的疑问。
四、应用拓展（10分钟）1. 讲解指数和对数在实际问题中的应用。
2. 提供一些实际问题，让学生应用指数和对数进行解决。
五、总结（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调指数和对数的运算规则及其在实际问题中的应用。
2. 提醒学生要注意指数和对数在实际问题中的运用，培养学生的数学思维能力。
教学反思：本节课通过讲解指数和对数的定义及运算规则，让学生理解和掌握指数和对数的运算方法。
在课堂练习环节，通过练习题让学生巩固所学的知识，同时教师巡回指导，解答学生的疑问。
在应用拓展环节，讲解指数和对数在实际问题中的应用，提供一些实际问题让学生进行解决，培养学生的数学思维能力。
通过本节课的教学，学生应该能够掌握指数和对数的基本概念和运算规则，并能够应用到实际问题中。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数的定义和性质。
2. 掌握对数的定义和性质，了解对数函数的图像和应用。
3. 掌握对数的运算法则，并能应用于实际问题中。
过程与方法：1. 通过实例和图形，培养学生的观察和分析能力，提高学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解。
2. 通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作和沟通能力，提高学生对对数运算法则的掌握。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生对幂函数、指数函数和对数函数的学习热情。
2. 培养学生的耐心和细心，提高学生在解决实际问题中的数学应用能力。
二、教学内容第一节：幂函数1. 幂函数的定义和性质2. 幂函数的图像和应用第二节：指数函数1. 指数函数的定义和性质2. 指数函数的图像和应用第三节：对数函数1. 对数的定义和性质2. 对数函数的图像和应用第四节：对数的运算法则1. 对数的加法和减法法则2. 对数的乘法和除法法则3. 对数的幂法则三、教学重点与难点重点：1. 幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 对数的运算法则。
难点：1. 对数函数的图像和应用。
2. 对数的幂法则的理解和应用。
四、教学方法与手段教学方法：1. 讲授法：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题中的应用，展示对数函数的图像。
3. 小组讨论法：分组讨论对数的运算法则，促进学生之间的交流和合作。
教学手段：1. 多媒体课件：展示幂函数、指数函数和对数函数的图像和实例。
2. 练习题：提供练习题，帮助学生巩固所学知识和技能。
1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况，评价学生的学习兴趣和主动性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评价学生的理解和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对数运算法则的理解和应用。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.4 对数学案(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数
§4对数知识点一对数的有关概念[填一填](1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N.(3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N.[答一答]1．对数概念的理解？提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算．(2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数．知识点二对数的运算性质[填一填]如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n·log a M(n∈R)．[答一答]2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n .log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．(2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价．(3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式[填一填]log b N ＝log a N log a b(a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)．[答一答]3．如何准确的应用换底公式？提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．(3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝nmlog a b .1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因2.对对数的三点说明(1)对数式是指数式的另一种表现形式，是求指数式中幂指数的一种运算方式，因此指数式和对数式之间可以互相转化，即a b ＝N ⇔b ＝log a N .(2)对数通过符号log a N 表达，log a N 是一个整体，不是表示log a 和N 的乘积，字母a 和N 都有相应的意义和范围要求．(3)对数表示的是一个可正、可负也可为零的实数.类型一 对数式与指数式的互化【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19； (2)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；【解】 (1)log 319＝－2.规律方法 指数运算与对数运算是一对互逆运算，在对数式log a N ＝x 与指数式a x ＝N (a >0，且a ≠1)的互化过程中，要特别注意a ，x ，N 的对应位置．将下列对数式化成指数式或将指数式化成对数式． (1)54＝625; (2)；(3)3a ＝27; (4)log 101 000＝3. 解：(1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.(3)∵3a ＝27，∴log 327＝a . (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000. 类型二 利用对数的运算法则进行计算【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)(lg5)2＋lg2·lg50.【思路探究】 (1)对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算；(2)对于含有对数式的多项式运算问题：①可以将式中真数的积、商、幂、方根运用运算性质化为对数的和、差、积，然后化简求值；②可以将式中的对数的和、差、积化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．【解】 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg2＋1－lg2＝1.(3)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝1.规律方法(1)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．(2)对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．(3)对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．解：类型三换底公式的应用【例3】已知log189＝a,18b＝5，求log3645的值．(用含a，b的式子表示)【思路探究】(1)利用换底公式可以把题目中不同底数的对数化成同底数的对数，应用对数性质进行计算；(2)题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化．【解】 解法1：因为18b ＝5，所以log 185＝b ， 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a .解法2：因为log 189＝a ，所以18a ＝9.又因为18b ＝5， 所以45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b .令log 3645＝x ， 则36x ＝45＝18a ＋b ，即36x ＝(183×183)x ＝18a ＋b ，所以(1829)x ＝18a ＋b，所以x log 181829＝a ＋b ，所以x ＝a ＋b log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 规律方法 用已知对数表示未知对数，就是把表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质，但应注意运用性质只有在同底的情况下才能运算．(1)log 916·log 881的值为( C ) A ．18 B.118 C.83D.38解析：原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.解析：＝lg2lg3＋lg5lg3＝1lg3＝log 310. (3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． 解：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83) ＝⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39·⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28＝⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32·⎝⎛⎭⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54. 类型四 对数方程的解法 【例4】 解下列方程： (1)log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1； (2)3lg x －2－3lg x ＋4＝0；【思路探究】 根据对数方程的特点，将对数方程化为一般代数方程并求解． 【解】 (1)由原方程得log 2(x ＋1)＝log 4(x ＋4)＋1， ∴log 2(x ＋1)2＝log 2[4(x ＋4)]，∴(x ＋1)2＝4(x ＋4)，解得x ＝5或x ＝－3， 经检验x ＝－3为增根，应舍去． 故原方程的解为x ＝5. (2)设3lg x －2＝y ，则原方程可化为y －y 2＋2＝0，解得y ＝－1或y ＝2. ∵3lg x －2≥0，因此，y ＝－1为增根，应舍去． 由3lg x －2＝2，得lg x ＝2，∴x ＝100.经检验，x ＝100为原方程的解．(3)等式两边取常用对数得[(lg x )3－2lg x ]lg x ＝lg0.1，(lg x )4－2(lg x )2＋1＝0，∴[(lg x )2－1]2＝0，(lg x )2＝1，lg x ＝±1， ∴x ＝10或x ＝110.规律方法 解对数方程就是将其转化成同底的对数式，或利用换元法将其转化成一元二次方程求解，在转化或化归的过程中，不是同解变形的，必须把所求的解代入原方程进行检验．对数方程的题型与解法： 名称 题型解法基本型 log a f (x )＝b 将对数式转化为指数式f (x )＝a b 同底数型 log a f (x )＝log a φ(x ) 转化为f (x )＝φ(x )(必须验根)需代换型F (log a x )＝0换元，令t ＝log a x 转化为关于t 的代数方程解下列关于x 的方程： (1)log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )； (2)12(lg x －lg3)＝lg5－12lg(x －10)； 解：(1)由log 2(2x ＋1)＝log 2(3x )得2x ＋1＝3x ， 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x ＋1>0,3x >0.故x ＝1. (2)原方程可化为lgx3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0， 解得x ＝15或x ＝－5，检验：当x ＝－5时，x3<0，x －10<0，此时根式无意义，舍去；当x ＝15时，满足题意，故x ＝15.——易错误区—— 因忽略真数的范围致误【错解】 0或4或2【正解】 4 由已知得lg(xy )＝lg(x －2y )2， 从而有xy ＝(x －2y )2整理得x 2－5xy ＋4y 2＝0， 即(x －y )(x －4y )＝0，所以x ＝y 或x ＝4y . 但由x >0，y >0，x －2y >0① 得x >2y >0.所以x ＝y 应舍去，故xy ＝4.【错因分析】 1.在①处忽略对数式本身的限制条件导致得到增解0. 2．在②处，计算时因对数的运算法则不熟导致运算错误． 【防范措施】 1.注意对数运算法则的适用条件对数运算法则的适用条件是同底且真数均大于零，如本例中真数“x －2y >0”，隐含着x >2y .2．熟练掌握对数的运算法则已知2log 3x －y 2＝log 3(xy )(x >y >0)，则xy＝3＋2 2. 解析：由题意有x >y ，xy >0且(x －y2)2＝xy .所以x 2－6xy ＋y 2＝0，所以(x y )2－6(x y )＋1＝0.所以xy ＝3±2 2.因为x >y >0，所以x y >1，所以xy＝3＋2 2.一、选择题1．当a >0，a ≠1时，下列结论正确的是( C ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①② B ．②④ C ．②D ．①②③④解析：①M ≤0时不对；②正确；③应为M ＝±N ；④M ＝0时不对． 2．已知x ，y 为正实数，则( D )解析：10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y 故A 错，B 、C 公式不对，D 项10ln x y ＝10ln x －ln y ＝10ln x 10ln y .选D.3．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示是( A ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1解析：log 38－2log 36＝log 323－2(log 32＋log 33)＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2.故选A.二、填空题4．2log 525＋3log 264－8ln1＝22.解析：原式＝2×2＋3log 226－8·ln1＝4＋3×6－0＝22. 5．log 6[log 4(log 381)]＝0.解析：log 6[log 4(log 381)]＝log 6[log 4(log 334)]＝log 6(log 44)＝log 61＝0.三、解答题6．求下列各式的值．(1)log 1627·log 8132； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)． 解：(1)原式＝lg27lg16·lg32lg81＝lg33lg24·lg25lg34＝3lg34lg2·5lg24lg3＝1516.。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义、性质及运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 幂函数的定义与性质2. 指数函数的定义与性质3. 对数的定义与性质4. 对数的运算法则5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的定义与性质，对数的运算法则。
2. 难点：对数函数的理解和应用，对数运算法则的推导。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义与性质。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的幂函数、指数函数和对数函数。
3. 采用小组讨论法，探讨对数运算法则的推导。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引入幂函数、指数函数和对数函数的概念。
2. 讲解：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义与性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的幂函数、指数函数和对数函数。
4. 小组讨论：探讨对数运算法则的推导。
6. 练习：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，针对学生的掌握情况，调整教学节奏和难度。
注重引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
加强实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
对数函数的理解和应用是教学难点，可通过举例、小组讨论等方式，帮助学生理解和掌握。
六、教学评价：1. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生对幂函数、指数函数、对数函数的理解和应用。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度和广度，以及团队合作能力。
七、教学资源：1. 教材：提供相关的教材或教学参考书，以便学生可以在家中复习和学习。
2. 课件：制作详细的课件，辅助学生理解和记忆幂函数、指数函数、对数函数的概念和性质。
3. 实际问题案例：收集一些实际问题，用于课堂分析和讨论，帮助学生理解函数的应用。
高中数学教案指数与对数的性质与计算
高中数学教案指数与对数的性质与计算高中数学教案：指数与对数的性质与计算导入：数学是科学的一种表达方式，也是一种工具。
在现代社会中，数学的运用无处不在。
而在数学的学习中，指数与对数是非常重要的概念和工具。
今天我们将学习指数与对数的性质与计算方法，帮助我们更深入地理解和应用这两个概念。
一、指数的性质1. 指数的定义：指数是表示一个数按照一定规律连乘自身的运算。
常用形式为aⁿ，其中a为底数，n为指数。
2. 指数的性质：- 底数为正数且不等于1时，指数函数是递增的。
即当n₁ > n₂时，aⁿ₁ > aⁿ₂。
- 任何数的0次方都等于1，即a⁰ = 1。
- 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹ = a。
3. 指数的计算方法：- 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
即aⁿ₁ * aⁿ₂ = aⁿ₁⁺ⁿ₂。
- 乘积的幂等于各因子的幂的乘积。
即(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ。
- 分数指数的运算是依据指数的定义，a^(m/n) = (m次方根√a)ⁿ。
二、对数的性质1. 对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
常用形式为logₐN，其中a为底数，N 为真数。
2. 对数的性质：- logₐ(a) = 1，即对数等于其底数。
- logₐ(1) = 0，即底数为a时，对数等于0。
- logₐ(aⁿ) = n，即对数中的指数等于实数的指数。
3. 对数的计算方法：- 对数的运算法则：logₐ(M * N) = logₐM + logₐN。
- 对数的换底公式：logₐN = logᵦN / logᵦa。
三、指数与对数的应用1. 指数的应用：- 科学计数法：通过指数表示法将大数或小数进行简洁表示。
- 指数函数在物理学、生物学等领域的应用，如指数增长和衰减。
- 调和平均数的求解：通过对数求解调和平均数问题。
2. 对数的应用：- 对数函数在求解指数函数方程、指数函数不等式等问题中的应用。
- 图表的绘制与分析中，对数坐标系的应用。
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数 对数的运算学案含解析新人教A版必修第一册
4．3.2 对数的运算[目标] 1.理解对数的运算性质；2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；3.了解对数在简化运算中的作用．[重点] 对数的运算性质的推导与应用．[难点] 对数的运算性质的推导和换底公式的应用．知识点一 对数的运算性质[填一填]如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．[答一答]1．若M ,N 同号,则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？ 提示：不一定,当M >0,N >0时成立,当M <0,N <0时不成立． 2．你能推导log a (MN )＝log a M ＋log a N 与log a MN ＝log a M －log a N(M ,N >0,a >0且a ≠1)两个公式吗？提示：①设M ＝a m ,N ＝a n ,则MN ＝a m ＋n .由对数的定义可得log a M ＝m ,log a N ＝n ,log a (MN )＝m ＋n .这样,我们可得log a (MN )＝log a M ＋log a N . ②同样地,设M ＝a m ,N ＝a n ,则M N ＝a m －n .由对数定义可得log a M ＝m , log a N ＝n ,log a MN ＝m －n ,即log a MN ＝log a M －log a N .知识点二 换底公式[填一填]前提原对数的底数a 的取值范围a >0,且a ≠1条件 原对数的真数b 的取值范围 b >0 换底后对数的底数c 的取值范围c >0,且c ≠1公式log a b ＝log c blog c a换底公式常见的推论： (1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n m log a b ,特别log a b ＝1log b a ；(3)log a b ·log b a ＝1； (4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .[答一答]3．换底公式的作用是什么？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数． 4．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416,求m 的值． 提示：∵log 34·log 48·log 8m ＝log 416,∴lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝log 442＝2,化简得lg m ＝2lg3＝lg9, ∴m ＝9.类型一 对数运算性质的应用 [例1] 计算下列各式： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8；(3)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[分析] (1)(2)正用或逆用对数的运算性质化简；(3)用lg2＋lg5＝1化简．[解] (1)(方法1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12. (方法2)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝lg 10＝12. (2)原式＝lg4＋lg31＋lg0.6＋lg2＝lg12lg (10×0.6×2)＝lg12lg12＝1.(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.利用对数的运算性质解决问题的一般思路：(1)把复杂的真数化简；(2)正用公式：对式中真数的积、商、幂、方根,运用对数的运算法则,将它们化为对数的和、差、积、商,然后再化简；(3)逆用公式：对式中对数的和、差、积、商,运用对数的运算法则,将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.[变式训练1] (1)计算：log 53625＝43；log 2(32×42)＝9.(2)计算：lg8＋lg125＝3；lg 14－lg25＝－2；2log 36－log 34＝2.类型二 换底公式的应用[例2] (1)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)； (2)已知log 189＝a,18b ＝5,试用a ,b 表示log 3645.[解] (1)原式＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8＝⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54. (2)由18b ＝5,得log 185＝b ,∴log 3645＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝log 185＋log 1891＋log 18189＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b 2－a.利用换底公式可以统一“底”,以方便运算.在用换底公式时,应根据题目特点灵活换底.由换底公式可推出常用结论：log a b ·log b a ＝1.[变式训练2] 计算下列各式：(1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． (2)log 89log 23×log 6432. 解：(1)方法1：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28 ⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22·⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法2：原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.(2)方法1：原式＝log 29log 28÷log 23×log 232log 264＝2log 233÷log 23×56＝59.方法2：原式＝lg9lg8÷lg3lg2×lg32lg64＝2lg33lg2×lg2lg3×5lg26lg2＝59.类型三 与对数方程有关的问题[例3] (1)若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ,求xy 的值；(2)解方程：log 2x ＋log 2(x ＋2)＝3. [解] (1)由题可知lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy ), 所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ,即x 2－xy －2y 2＝0. 所以⎝⎛⎭⎫x y 2－x y －2＝0. 解得x y ＝2或xy＝－1.又因为x >0,y >0,x －y >0.所以x y ＝2.(2)由方程可得log 2x ＋log 2(x ＋2)＝log 28. 所以log 2[x (x ＋2)]＝log 28, 即x (x ＋2)＝8.解得x 1＝2,x 2＝－4. 因为x >0,x ＋2>0,所以x ＝2.对数方程问题的求解策略：,利用对数运算性质或换底公式将方程两边写成同底的对数形式,由真数相等求解方程,转化过程中注意真数大于零这一条件,防止增根.[变式训练3] (1)方程lg x ＋lg(x －1)＝1－lg5的根是( B ) A ．－1 B ．2 C ．1或2D ．－1或2(2)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ),则log2xy的值为4. 解析：(1)由真数大于0,易得x >1,原式可化为lg[x (x －1)]＝lg2⇒x (x －1)＝2⇒x 2－x －2＝0⇒x 1＝2,x 2＝－1(舍)．(2)因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y ), 所以lg xy ＝lg(x －2y )2,所以xy ＝(x －2y )2,即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0,解得x ＝y 或x ＝4y .因为x >0,y >0,x －2y >0,所以x ＝y 应舍去, 所以xy＝4.故log2xy＝log 24＝4.类型四 对数的实际应用[例4] 人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系．声音强度I 的单位用瓦/平方米(W/m 2)表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L 1表示,它们满足以下公式：L 1＝10lg II 0(单位为分贝,L 1≥0,其中I 0＝1×10－12W/m 2,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端)．回答下列问题：树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2,耳语的强度是1×10－10W/m 2,恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2,试分别求出它们的强度水平．[解] 由题意,可知树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2,则I 1I 0＝1,故LI 1＝10·lg1＝0,则树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I 2＝1×10－10W/m 2,则I 2I 0＝102,故LI 2＝10lg102＝20,即耳语声的强度水平为20分贝． 同理,恬静的无线电广播强度水平为40分贝．对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛,其运用问题大致可分为两类：一类是已知对数应用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指数式.另一类是先建立指数函数应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边进行取对数运算.[变式训练4] 抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的0.1%,则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)解：设至少抽n 次可使容器内空气少于原来的0.1%,则a (1－60%)n <0.1%a (设原先容器中的空气体积为a ),即0.4n <0.001,两边取常用对数得n ·lg0.4<lg0.001,所以n >lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次．1．设a ,b ,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：由换底公式得log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝log c b ,所以B 正确．2．2log 32－log 3329＋log 38的值为( B )A.12 B ．2 C ．3D.13解析：原式＝log 34－log 3329＋log 38＝log 34×8329＝log 39＝2.3．lg 5＋lg 20的值是1.解析：lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 100＝1.4．若a >0,且a ≠1,b >0,且b ≠1,则由换底公式可知log a b ＝lg b lg a ,log b a ＝lg a lg b ,所以log a b ＝1log b a ,试利用此结论计算1log 321＋1log 721＝1.解析：1log 321＋1log 721＝lg3lg21＋lg7lg21＝lg (3×7)lg21＝1.5．计算：(1)3log 72－log 79＋2log 7⎝⎛⎭⎫322；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25.解：(1)原式＝log 78－log 79＋log 798＝log 78－log 79＋log 79－log 78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5 ＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.——本课须掌握的两大问题1．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n ＝(log a N )n ,②log a (MN )＝log a M ·log a N ,③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．2．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用,逆用；使用的关键是恰当选择底数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．。
高三数学复习学案——指数与对数运算
课 题
指数与对数运算
编制人
审核人
学习
目标
与
评价
设计
目标及要求
是否达标
识记
理解
应用
理解指数与对数的意义
熟练掌握指数运算与对数运算，会解指对方程
例1
例2
重点
难点
重点：指数与对数的意义
难点：指数与对数运算
预 习 学 案
学生纠错（教师点拨）
学 案 内 容
【预习时间】30min。
【我的问题】请同学们将预习中的疑难问题写出来。
（1）loga(M·N)＝____________；（2）loga ＝_____________；
（3）logaMn＝______；（4）_________数没有对数；
班级小组姓名________使用时间编号4
第1页
学 案 内 容
学生纠错（教师点拨）
（5）loga1＝___；（6）logaa＝____；
【我的纠错】请同学们记录自己的错题并分析原因。
一、知识梳理
1．根式性质：
当n为奇数时， ＝___；
_______没有偶次方根；
零的任何次方根都是零．
2．指数幂化简与求值原则：
（1）化简原则：负化正，根式化分数指数幂，小数化分数；
（2）结果要求：题目中给出什么形式结果就用什么形式，
（7）alog N＝_______；（8）logaan＝_______．
4．对数换底公式
（1）logaN＝ (a，b＞0，且均不为1)，特别地logaN＝ ＝ ；（换底公式）
（2）logab＝ ，logab·logba＝_____，logab·logbc·logca＝_____；
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指数(一)一、预习提纲1．整数指数幂的概念*)(N n a a a a an n ∈⋅⋅=个)0(10≠=a a ,0(1N n a a a nn∈≠=- 2．运算性质： )()(),()(),(Z n b a ab Z n m aa Z n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3.根式的运算性质：当n 为任意正整数时，(n a )n =a.当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .2.根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）. (1)nmnmnmaaa11==- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0.(3)0的负分数指数幂无意义.3．分数指数幂的运算性质： )()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+二、讲解新课：1．根式：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数 例1求值① 33)8(-= ；②2)10(-=;②44)3(π-= ；④)()(2b a b a >-= .例2求值：63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++解：例3:求值：4332132)8116(,)41(,100,8---. 例4：用分数指数幂的形式表示下列各式：a a a a a a ,,3232⋅⋅ (式中a ＞0)例5：计算：()[]91385256323075.0--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--- 三、课练试题： 1. 求下列各式的值(1)44100; (2)55)5.0(-; (3)2)4(-π; (4)).()(66y x y x >- 2.比较63123,11,5的大小. 3.用根式的形式表示下列各式. (1)51a ; (2)43a ; (3)53-a; (4)32-a.四、课后作业：1．用分数指数幂表示下列各式(其中各式字母均为正数)⑴43a a ⋅; ⑵a a a ; ⑶32)(b a -; ⑷322b a ab +.2.化简：()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2123( )。
3:3:33:33:--D C B A3.(1)要使3243)1()215(-+--x x 有意义,则x 的取值范围是.(2)用分数指数幂表示=3x x ;=53ab ab .4.求下列各式的值.⑴2325; ⑵3227; ⑶23)4936(; ⑷23)425(-; (5)432981⨯; (6)633332⨯⨯5.计算:()1))()((121212121---+-+a a a a a a ()()5.0023241214.31.08332⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫⎝⎛--π 6．对任意实数b a ，下列等式正确的是（ ）。
315331513153313221312132::::a a D aa C a a B a a A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 7．已知：72=a ，25=b ，求35433343143223342233969ba b bba b a bba +⋅+-----的值.指数(二)例1.计算下列各式（式中字母都是正数）： ⑴ )3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-；⑵88341)(-nm .例2 计算下列各式：⑴ 435)12525(÷-；⑵322aa a ⋅(a>0).例3:化简：)()(41412121y x y x -÷-例4:已知31=+-x x ,求下列各式的值.(1);2121-+xx (2);2323-+x x (3);2121--x x (4).2323--x x三、课练试题：1. 练习求下列各式的值：(1)2325 （2）23)4936(（3）23)425(- （4）423981⨯2.(1)已知3)(21=+-a a ,求33-+a a 的值;(2)已知122+=xa,求xx xx aa a a --++33的值; 四、课后作业： A 组：1．求下列各式的值： (1)21121 （2）21)4964(-（３）4310000-（4）32)27125(- 2．计算下列各式:(1);2121212121212121ba b a ba b a -+++- (2))()2(2222---÷+-a a a a3.已知32121=+-aa ,求下列各式的值.(1);1-+a a (2);22-+a a (3).21212323----aa a a4.对任意实数下列等式成立的是( )A.312132)(a a = B.313221)(a a = C.513153)(a a=-- D.515331)(a a =5．计算：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3241322131214321y x y x y x ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----32213141416342y x y x xB 组： 6.若),21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++=S ,则S 等于( )A.1321)21(21--- B.1321)21(--- C.32121-- D.)21(21321-- 7.已知322=+-aa ，求a a -+88。
8．设()()22xx x x e e x g e e x f --+=-=，。
求证：()()[]()[]1122=-x f x g ()()()()x g x f x f ⋅=222()()()[]()[]2223x g x f x g +=对数的概念一、课前预习：1、对数的定义： 3、讲解范例：例1将下列指数式写成对数式： （1）45=625 （2）62-=641（3）a 3=27 (4) m）（31=5.73 例2 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）2log 128=7；（3）lg0.01=-2；（4）ln10=2.303例3计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345例4：（1）若()[]0log log log 432=x ，则=x ；（2）若41log 16-=x ，则=x 。
三、课堂练习：1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８ （２）52＝32 （３）12-＝21（４）312731=-2.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ （２）5log １２５＝３（３）2log 41＝－２（４）3log 811＝－４ 3.求下列各式的值(1)5log 25 （２）2log 161（３）lg 100（４）lg 0.01（５）lg 10000（６）lg 0.0001 4.求下列各式的值(1)15log 15 （２）4.0log 1 （３）9log 81（４）5.2log 625 （５）7log 343 （６）3log 243 四、课后作业：1.下列写法中，有意义的是（ ）A ．)8(log 2-B ．22)2(log - C ．0log 2 D ．8log 2- 2．在对数式)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A ．25<>a a 或 B ．52<<a C ．5332<<<<a a 或 D ．43<<a3．已知c b a =2log ，则（ ）A ．c a b =2 B ．b a c =2 C ．a b c 2= D ．b c a=24．已知z y x =7log ，则x 、y 、z 之间的关系是（ ）A ．z x y =7 B ．zxy 7= C ．z x y 7= D ．xzy 77=5．某企业的年产值每年比上一年增长p ％，经过n 年产值翻了一番，则=n ( )()()()()%1log :%1log :2log :%12:22%1p D p C B p A p ++++6．已知778206lg ⋅≈，则≈⋅7782210．7．7log 122-=．8．若x x f =)(log 2，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ．9．若()[]()[]0log log log log log log 243432==y x ，则=+y x ． 10．求下列各式的值： ⑴25log 5⑵161log 2⑶100lg ⑷010lg ⋅ 11．下列各式：①()010lg lg =；②()0ln lg =e ；③若0lg =x ，则10=x ；④若214log 25=，则5±=x ，其中正确的是（填序号）12．已知n m a a ==3log 2log ，，求n m a 32-的值。
对数的运算性质一、课前预习：对数的运算法则： 二、课内互动：例1 计算（1）5log 25，（2）4.0log 1， （3）2log （74×52）， （4）lg 5100例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zyx zxy aa ．例3计算：(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg (3)2.1lg 10lg 38lg 27lg -+（4）50lg 2lg 25lg ++三、课堂练习：1.求下列各式的值：（1）2log ６－2log ３，（2）lg ５＋lg ２，（3）5log ３＋5log 31（4）3log ５－3log １５． 2. 用z y x lg lg lg ，，表示下列各式：(1)；()xyz lg （２）lg z xy 2 （３）zxy 3lg （４）z y x2lg四、课后作业：1．若0>a ，且1≠a ，R x ∈，R y ∈且0>x ，0>y ，给出下列各式：①)(log log log y x y x a a a +=⋅；②)(log log log y x y x a a a +=+； ③)(log log y x y x a a -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛； ④y x y x a a a log log )(log =-． 其中正确的个数是（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个2．0>a ，且1≠a ，R x ∈，R y ∈且0>xy ，则下列各式不恒成立的是（ ）①x x a a log 2log 2=；②x x a a log 2log 2=；③y x xy a a a log log )(log +=；④y x xy a a a log log )(log +=．A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 3．若23=a，则8log 6log 233-等于（ ） A ．a -2 B ．12+-a a C ．a 52- D ．a a 32- 4．给出下列四组不等式：①2)3lg(2<-x 与1)3lg(<-x ；②0)2lg(lg >-+x x 与0)2lg(2>-x x ； ③1log )3(log 22>-+x x 与)2(log )3(log 22x x >+；③ 1)32(log 22<--x x 与2322<--x x ．其中的两不等式同解的组数有（ ）A ．0组B ．1组C ．2组D ．3组5．如果方程03lg 2lg lg )3lg 2(lg lg 2=⋅+++x x 的两个根为1x 、2x ，那么21x x ⋅的值为（ ）A ．3lg 2lg ⋅B ．3lg 2lg +C ．61D ．-6 6．方程()13lg lg =++x x 的解=x ．7．=++120lg 1000lg 8lg 27lg ．8．计算：(1)a log ２＋a log 21()10≠>a a ， （2）3log 18－3log ２ (3) lg41－lg25 (4)２5log 10＋5log 0.25 （5）２5log 25＋３2log 64 (6)2log （2log 16）9．已知lg ２＝0.3010，lg ３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)(1) lg ６ （２）lg ４ （３）lg12 （４）lg23 10．用()()y x y x z y x a a a a a -+log log log log log ，，，，表示下列各式： (1)a log zy x 23（２）a log （3221-z xy ） （3）a log 22y x xy -（4）a log （y y x y x ⋅-+） 11．设z y x ，，都大于0且zy x 643==。