结晶学第六讲—点群(2)
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固体物理-点群
转角的分反别映为面1，80º和120º，半共角2个为90º和60º
只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个动操作
群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
用
来描述
—— 绕通过A的转轴的任意对称操作，转过角度 B点转到B′点 —— B′点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A′ 点 —— A′点必有一个格点
且有
— n为整数
—— 任何晶体的宏观对称 1, 2, 3, 4, 6 性只能有以下十种对称素 1, 2, 3, 4, 6
2个二重轴2和2′
绕轴2的转动计为A 绕轴2′的转动计为B
—— 连续进行操作AB 轴上一点N回到原处， 轴2转到2″的位置
A和B均为对称操作
—— 是对称操作
—— C的操作则是绕NN′轴转过角度2
300 , 450 , 600 , 900
理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
十种对称素
—— 长方形、正三角形、正 方形和正六方形可以在平面 内周期性重复排列 —— 正五边形及其它正n边 形则不能作周期性重复排列
点群 —— 以10种对称素为基础组成的对称操作群
—— 由对称素组合成群时，对称轴的数目 对称轴之间的夹角将受到严格的限制
两个2重轴之间的夹角只能是
—— 如果存在一个n 重轴和与之垂直的二 重轴，就一定存在n 个与之垂直的二重轴
§1.6 点群
—— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 不同的形式原子排列形成的宏观对称性，对称操作也
2.2.3点群和空间群
该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心，不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的， 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面，相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子，把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线，位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面，则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中，对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素，由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律，倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中，只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群：在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心，因此不论如何进行对称操作，晶
体中至少有一个点是不变的，因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素， 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征，晶体结构可以分为 7 类， 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成
晶体点群
除了Dn群的特征外， 还含有n个对称面m。
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
Sn群
含有一个非真轴Sn(n为偶 数)，Sn=Cnh(n为奇数)。
Td与T群
Oh与O群
Ci群
国际符号一般由三 个位构成，每个位代表 一个窥视方向。每个晶 系的晶轴选择都有特别 的规定：
注意各晶系点 群国际符号中的不 同位置所代表的对 称性方向！
Raman
0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.1027430 0.1027695 0.1027755 N N N N N N Y Y Y
Point Group=32, Oh
萤石(CaF2) 计算Raman谱
319
分 子 点 群
>32
n
晶体学点群表示
极射赤面投影图
Schonflies符号 国际符号
N
O
S
N
S
N P
P’
S
极 射 赤 面 投 影 图
任何分子的全部对称元 素交于一点，其全部对 称操作必构成点群。 点群用熊夫利斯符号表 示，如Cn、Dn、Cnh等。
Arthur Schö nflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schö nflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
第六讲—点群(2)
Oblique, a ≠ b ≠ 90o
Rectangular, a ≠ b = 90o
正方
Square, a = b
= 90o
六角
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
结晶学点群：32种
结晶学点群是指一些点对称操作的集合。32种点群 可用来完全描述三维晶体的宏观对称性。 对称操作的一个集合，满足以下四条件，就构成一个群：
360o/n (n = 1,2,3,4,6)
旋转反演轴(非真旋转) ， n
n = 1n (iCn), Sn = σCn
国际方案 熊夫利斯方案
参考轴： a, b, c (无需正交) r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c 对称算符
x’ y’ z’
c r (x,y,z) a
y
x
2/m 2/m 2/m
E; C2; C2’ ; C2’; i; h; v; v
按晶系推到点群举例
正 交 晶 系
y
y
y
x
x
x
222
(3L2)
mm2
(L22P)
mmm
(3L23PC)
四 方 晶 系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四 方 晶 系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
m3
(3L24L33PC)
4/m
(L4PC)
32 种 点 群 及 其 点 对 称 操 作
2/m mmm
高二物理竞赛晶体的对称性,晶系,点群,空间群课件
P：简单Bravais格子； C：底心Bravais格子；
I：体心Bravais格子；
F：面心Bravais格子
13
Bravais格子和晶系
晶胞与轴矢坐标系
晶胞：既能反映晶体的对称性 特征又能反映晶格周期性（平 移对称性）的重复单元。 轴矢： a1、 a2、 a3或a、 b、 c 晶胞参量：a、 b、 c、、、
14
晶系 对称性特征 三斜 只有C1或Ci 单斜 唯一C2或CS 正交 三个C2或CS 三方 唯一C3或S6 四方 唯一C4或S4 六方 唯一C6或S3 立方 四个C3
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º
a=b=c = ＝ 90º
a=b c = ＝= 90º
P、C P、C、I、
F R
P、I
H
P、I、F 15
任何一种晶体，对应的晶格都是14种 点阵中的一种，指出晶体所属的点阵类型 不但表征了晶格的周期性，而且能从它所 属的晶系了解到该晶体宏观对称所具有的 基本对称性，因此点阵类型概括了晶体的 对称性，阐明晶体结构只要绘出它的带有 基元内容的点阵惯用原胞（晶胞）即可。
晶体的对称性，晶系，点群，空间群
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
1
晶体的宏观对称性
点对称操作
若一个空间图形经过一空间操作（线性变换）， 其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称 操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线 性变换为正交变换。
• 六方晶系 Hexagonal 最高对称具有唯一的6次轴或6次反轴
晶体学点群
Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
国际符号中 包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。
n m表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m
熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C2 n ，……的点群。Cnh表 示这种点群中还含有垂ห้องสมุดไป่ตู้于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数 目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作 数目也是Cn群的两倍。
2(C2)
m(C1h)
2 (C2 h ) m
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
3. 正交晶系 正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第 三个2次轴。
(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1，2[100] ， 2
[010] ， 2[001] }
2,m,2/m 222,mm2,mmm
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m 立方 2,m,4, `4
无， 2，m
X
无， 2，m
底对 角线
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm
3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
Z Z
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
国际符号中 包含n次旋转轴，所以实际有n个镜面m。
n m表示镜面m垂直于n次旋转轴，nm表示镜面m
熊夫利斯符号Cn表示一个含有Cn， C2 n ，……的点群。Cnh表 示这种点群中还含有垂ห้องสมุดไป่ตู้于Cn的镜面，点群Cnh中对称操作数 目是Cn群中的两倍。Cnv表示镜面含Cn轴。点群Cnv中对称操作 数目也是Cn群的两倍。
2(C2)
m(C1h)
2 (C2 h ) m
外延推演法推导7种晶系32种晶体学点群
3. 正交晶系 正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第 三个2次轴。
(1)正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1，2[100] ， 2
[010] ， 2[001] }
2,m,2/m 222,mm2,mmm
四方 4,`4，4/m Z
三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m 立方 2,m,4, `4
无， 2，m
X
无， 2，m
底对 角线
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm
3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
Z Z
结晶化学中的点群
1、其点群是3L23PC，mmm，斜方晶系，低级晶族。
晶格常数：a0≠b0≠c0，α=β=γ＝900。
定向原则：互相垂直的3L2＝X、Y、Z。
晶面数＝6。
（110），（1-10），（-110），（-1-10），（001），（00-1）。
斜方柱。
2、其点群是3L23PC,mmm，斜方晶系，低级晶族。
晶格常数：a0≠b0≠c0，α=β=γ＝900。
定向原则：互相垂直的3L2＝X、Y、Z。
晶面数＝8.（111），（11-1），（1-11），（-111），（-1-11），（-11-1），（1-1-1），（-1-1-1）。
斜方双锥。
3、其点群是L44L25PC,4∕mmm,四方晶系，中级晶族。
晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=γ＝900。
定向原则：L4＝Z,与L4垂直，且互相垂直的2L2做X、Y轴（棱中点的2L2）。
晶面数6。
（100），（010），（-100），（0-10），（001），（00-1）。
四方柱。
4、其点群是L44L25PC,4∕mmm, 四方晶系，中级晶族。
晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=γ＝900。
定向原则：L4＝Z,与L4垂直，且互相垂直的2L2做X、Y轴（棱中点的2L2）。
晶面数8。
（101），（011），（-101），（0-11），（10-1），（01-1），（-10-1），（0-1-1）四方双锥。
5、其点群是L33L24PC,-3m,三方晶系，中级晶族。
晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=900，γ＝1200。
定向原则：L3＝Z轴,夹角1200的3L2为X、Y、U轴（晶面的中心）。
晶面数5。
（10-10），（01-10），（-1-120），（0001），（000-1）。
三方柱。
6、其点群是L33L23PC, -3m,三方晶系，中级晶族。
晶格常数：a0＝b0≠c0,α=β=900，γ＝1200。
定向原则：L3＝Z轴,夹角1200的3L2为X、Y、U轴。
晶面数6。
（10-11），（01-11），（-1011），（10-1-1），（01-1-1），（-101-1）。
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{2[100]}{3[111]} = {?}
-0 -0 -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -0 = -1 -0 -0 -1 -1 -0 -0
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
立 方 晶 系
x
-0 -0 -1 -0 -0 -1
(110)
(111) (111)
(111)
(111)
100 (001) (010) (100)
001 010
001
010 001
010
z
100
100
x
(101) (011) (110)
y
110 011 011
110 101 101
110 011 011
(110)
110
100
110
(111) (111)
4、操作的乘法满足结合律
1 (L1)
三 斜 晶 系
极射赤面（平）投影
一般形
1 (C)
三 斜 晶 系
2 (L2)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
y
x
四 方 晶 系
4 (L4)
y
x
4/m (L4PC)
四 方 晶 系
x y
4 (L4); 42 = 2; 43 ; 44 = 1; m (P); 1(C); 4(Li4); 43
{4[001]}{m[001]} = {43[001]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -0 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
4或4沿c
3或3沿c 6或6沿c
4、4、2或2 沿<100>
2或2沿a±b
2或2a、b和a+b 2或2a、b和a+b 2或2沿<110>
3或3沿<111>
六 方 晶 系
6 (L6)
y
x
改成六个面
6/m (L6PC)
六 方 晶 系
改成六个面
y
x
{6[001]}{m[001]} = {35[001]}
四 方 晶 系
4mm (L44P)
y
x
四 方 晶 系
4/mmm (L44L25PC)
y
x
422 (42,
四 方 晶 系
x
{4[001]}{2[010]} = {2[110]}
-0 -1 -1 -0 -0 -0
44L2) L
y
-0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-0 -1 = -1 -0 -0 -0
x
y
3m (L33L23PC)
三 方 晶 系
x
y
y x
复习：
第三讲
晶体投影
意义： 1、投影是研究晶体外形和结构
的有用工具。2、极射赤面投影能清楚表达 晶体点群中对称要素的空间分布。
极射赤面投影
球面
N
Op = r tan(/2)
A
r
P
基圆
基圆平面
O
p
/2
球面坐标：极距角、方位角。 S
纬线、经线、子午面。
晶系
三 斜
单 斜 正交 四方 三方
特点
a ≠ b ≠ c, ≠ ≠
a ≠ b ≠ c, = = 90o ≠ a ≠ b ≠ c, = = = 90o a = b ≠ c, = = = 90o a = b ≠ c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
2/m (L2PC)
y
4 (Li4)
42m (Li42L22P)
x
第六讲
点群(II)
符号的顺序
晶系
三斜 单斜 正交 四方 三方 六方 立方
在 国 际 符 号 中 的 位 置 1 2 3
只用一个符号 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
2或2沿a 2或2沿b 2或2沿a和b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿a、b和a+b 2或2沿c
6 (S35, Li6)
6 (S35, Li6) = 3+P
x’ y’ z’ -1 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 x y z
对称操作元素
4 (S43, Li4)
4 (C4, L4)
4 (C4, L4); 42 = 2; 43; 44 = 1
4 (S43, Li4); 42 (S42) = 2; 43 (S4); 44 = 1
2/m
mmm
两个2(C2)或2(m) 正 交 4(C4)或4(S43)
四方 三方 六方 立方
4/mmm
3m
3(C3)或3(S6
5)
菱形
6(C6)或6(S35)
a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = = = 90o
6/mmm
m3m
四个三次轴
Crystal family Crystal system Triclinic Monoclinic Orthorhombic Tetragonal Hexagonal Cubic Total: 6 7 Trigonal Hexagonal
单 斜 晶 系 ( 主 轴 c)
-1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 第一种定向：c是唯一轴 (unique axis)
{M[001]}{2[001]} = {1}
-1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 = -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1
2 (L2)
2 (C2, L2)
+
+
+ + _ + _ +
1 (i, C)
+
_
,
+
+ _
x’ y’ z’
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
x y z
_
,
,
2 (P), m
_ ,+
,+
+ _
,
+
3 (S65, Li3)
3 (S65, Li3) = 3+C
x’ y’ z’ -0 -1 = -1 -1 -0 -0 -0 -0 -1 x y z
-0 -0 -1
四 方 晶 系
y
4 (Li4)
x
四 方 晶 系
42m (Li42L22P)
y
x
1 (L1) 1 (C)
2 (L2)
m (P)
222 (3L2) mm2 (L22P) mmm (3L23PC)
4 (L4) 4/m (L4PC) 4mm (L44P) 4/mmm (L44L25PC) 422 (42, L44L2)
晶系
晶系是由晶体的对称性来划分的。
各种不同的真旋转和非真旋转操作应用于单胞的 各个轴或点阵平移矢量，对单胞的几何形状(晶胞 参数)产生限制，导致七种晶系，即晶系是对称性 要求的结果。
七种晶系
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65)
110 101 111
001
111
(111) (111)
001 100 010
(111) (111)
010
011 111
011 111
010
y
101 110
100
110
x
Cu单晶体的极射赤面投影
45o 54o44’ 35o16’ 60o
001
23 (3L24L3)
100
010
y
100
110 101 111
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
m (P)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
2/m (L2PC)
单 斜 晶 系 ( 主 轴 b)
第二种定向：b是唯一轴 (unique axis)
222 (3L2)
-1 -1 -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -0 -1 -1 -1 = -1 -0 -0 -0 -0 -0 -1
六 方 晶 系
6mm (L66P)
4mm (L44P)
y
y
x
x
6/mmm (L66L27PC)
六 方 晶 系
y
4/mmm (L44L25PC)
正 交 晶 系
x
{2[001]}{2[100]} = {2[010]}
-1 -0 -0 -1 -0 -0
y
-0 -0 -1
-1 -0 -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
-1 -0 = -0 -1 -0 -0
-0 -0 -1
正 交 晶 系
mm2 (mm;L22P)
y
x
正 交 晶 系
mmm (3L23PC)
三 方 晶 系
x
y
3/m?
32 (L33L2)
三 方 晶 系