大学数学(高数微积分)专题三第1讲(课堂讲义)

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《微积分》讲义

《微积分》讲义

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念:f=A要点:⑴x 为变量;⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件:f=A f=A,f=A 例:判定是否存在?三、极限的四则运算法则⑴=f±g⑵=f·g⑶=……g≠0⑷k·f=k·f四、例:⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴=1 =1⑵=e =e ………型理论依据:⑴两边夹法则:若f≤g≤h,且limf=limh=A,则:limg=A⑵单调有界数列必有极限。

例题:⑴=⑵=⑶=⑷=⑸=六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义:在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义:在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小,低阶无穷小,同阶无穷小,等价无穷小。

4、定理:f=A f=A+a (a=0)七、函数的连续性1、定义:函数y=f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x:⑴x0时,y0。

即:y=0⑵f=f⑶左连续:f=f右连续:f=f2、函数y=f在区间上连续。

3、连续函数的性质:⑴若函数f和g都有在点处连续,则:f±g、f·g、(g()≠0)在点处连续。

⑵若函数u=j在点处连续,而函数y=f在点=j()处连续,则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例:===4、函数的间断点:⑴可去间断点:f=A,但f不存在。

⑵跳跃间断点:f=A ,f=B,但A≠B。

⑶无穷间断点:函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质:若函数f在闭区间上连续,则:⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号,则方程f=0 在内至少有一根。

例:证明方程式-4+1=0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y=f在点处导数的定义:x y=f-f=A f'=A ……y',,。

2、函数y=f在区间上可导的定义:f',y',,。

3、基本初等函数的导数公式:⑴=0⑵=n·⑶=,=⑷=·lnɑ,=⑸=cosx,=-sinx=x,=-=secx·tanx,=-cscx·cotx⑹=-=-4、导数的运算:⑴、四则运算法则:=±=·g(x)+f(x)·=例:求下列函数的导数y=2-5+3x-7f(x)=+4cosx-siny=⑵、复合函数的求导法则:y u,u v,v w,w x y x'=''''例:y=lntanxy=lny=arcsin⑶、隐函数的求导法则:把y看成是x的复合函数,即遇到含有y 的式子,先对y求导,然后y再对x求导。

微积分讲解ppt课件

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多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系,通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ,微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律,微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等,用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程,可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用,如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关,ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。

高等数学第三版教学课件3-1-2

高等数学第三版教学课件3-1-2

《高等数学》
课堂练习
§3.1.2不定积分的计算
用凑微分法求下列不定积分
(1) (3x 1)5dx ;
(2)
1 dx ; x4
(3) sin2 xcos xdx ;
(4) xex2 dx ;
《高等数学》
新知识
§3.1.2不定积分的计算
2. 不定积分的分部积分法
分部积分法是与两个函数乘积的导数运算法则对应的,也是一种基本积分方法.
例 14 求 xln xdx .

x
ln
xdx
ln
xd(
1 2
x2
)
1 2
x2
ln
x
1 2
x2d(
ln
x)
1 2
x2
ln
x
1 2
x2
1 x
dx
1 2
x2
ln
x
1 2
xd x
1 x2 ln x 1 x2 C .
2
4
有时需要连续两次凑微分,然后应用分部积分公式进行计算
《高等数学》
知识巩固
§3.1.2不定积分的计算
例 15 求 xcos2xdx .

xcos2xdx
1 2
xcos2xd(2x)
1 2
xd(sin2x)
1 2
(
x sin
2x
sin2xdx)
1 2
[x
sin
2x
1 2
sin2xd(2x)]
1 2
[x
sin
2x
1 2
cos
2x]
C
1 xsin 2x 1 cos 2x C .
2

微积分专题讲座讲义

微积分专题讲座讲义

d dy dy 2 dy dt d y dt dx ) 公式法) ;⑷参数方程确定的函数(用导数公式: , 2 ;⑸抽象函数(正确使用导数记 dx dx dx dx dt dt
号,注意 f ( x ) 和 [ f ( x )] 的区别) ;⑹幂指函数(对数求导法) ;⑺反函数(导数公式:

2 0

f (sin x)dx ;
▲记 I n

2 0
sin n xdx 2 cos n xdx ,则有递推公式 I n
0

n 1 I n2 . n
⑤含 f , f (用分部积分) ⑥变限积分(用分部积分) 若 f ( x) 在 [ a, b] 上连续,则 ( x) 公式

x a
f (t )dt 在 [a, b] 上可导,且 x [a, b] , ( x) f ( x) .
d b d ( x) f (t )dt f ( x) ; f (t )dt f ( ( x)) ( x) ; dx x dx a d ( x) f (t )dt f ( ( x)) ( x) f ( ( x)) ( x) dx ( x ) ▲当被积函数含变量 x 时不能直接求导, 必须将变量 x 从被积函数中分离出去, 常用的方法是: 提出去或者换元.
【- 4 -】
一、一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式是: F ( x, y, y) 0 ,解出 y :
dy f ( x, y ) ,要求掌握变量可分离的微分方程、一阶 dx
线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步骤是:判断方程的类型并用相应的方法求解. 二、可降阶的微分方程 1. y f ( x) 型的微分方程 特点:右端仅含 x .解法:积分两次. 2. y f ( x, y) 型的微分方程 特点:右端不显含未知函数 y .解法:换元,化为一阶方程求解. 步骤如下: ⑴令 y p ,则 y

《高等数学(一)微积分》讲义

《高等数学(一)微积分》讲义
1.概念回顾
2、极限的求法, )
1)数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A .
n→∞ x
2)函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点:设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ,
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.(1) lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5:
x+5 . 求 lim 2 x →∞ x − 9
解:
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0. lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
(3) lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +

微积分高等数学课件完整版

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y csc x
5.反三角函数
反正弦函数 y arcsin 函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y f (x)
f ( x2 )
f ( x1 )
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记作
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域 自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x ), x D} 称为函数的值域 .
函数的两要素: 定义域与对应法则.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数, x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明:两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的 乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数,并指出其定义域. x e e

《微积分》第一篇第三章讲-义--导数的应用市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

高等数学基础
微积分
第三章 导 数 应 用
本章要点:
•极大(小)值,边际及需求弹性概念
本章难点:
•极值点,导数在几何、经济分析中旳 应用
注:3.2节--“函数极值”只要了解概念
一、函数旳单调性
主要学会用导数去判断函数旳单调性。
1、单调性定义: P-8
什么叫函数旳单调性?1.1节中定义函 数旳单调性为:一种函数在一种区间之间 伴随自变量旳增长,函数值也在增长,叫 做单调增长旳;假如伴随自变量旳增长, 函数值却在降低,叫做单调降低旳.
措施一:用定义鉴别,见P-9例8。 这种措施一般较麻烦、计算困难。
措施二:用一阶导数鉴别法 定理3.1
定理3.1
P-124
设函数y f (x)在区间[a,b]上连续,在
区间(a, b)上可导.
(1)如果x (a,b)时f (x) 0,则f (x)在
[a, b]上单调增加;
(2)如果x (a,b)时f (x) 0,则f (x)在
2
二、函 数 极 值
1、函数极值旳定义:
(1) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 大值, 称x0为函数f (x)的极大值点. (2) f (x) f (x0 ),则称f (x0 )为函数f (x)的极 小值, 称x0为函数f (x)的极小值点.
函数旳极大值与极小值统称为函数 旳极值,极大值点与极小值点统称为极 值点.
(1) 列出目旳函数:此处旳目旳函数就是使所 求实际问题到达最大值或最小值旳函数。 (2) 对目的函数求导数;
(3) 令目旳函数旳导数为0,求出驻点;
(4) 若驻点惟一,则该驻点就是我们所求旳最 值点; (5) 得出结论。
3、经济分析中旳最值问题 例3.2 生产某种产品q台的边际成本为C(q)

第一课同济大学微积分第三版课件第一章第一节


典型问题一 面积问题
如图, 求由曲线 y x2 , x 1与x轴围成区域的面积.
解决方法
1.将区间0,1n 等分, 分点依 y
次为
1 , 2 , , n 1.
nn
n
y x2
O
1x
2.以这些分点为基础, 构作n个矩形, 并以矩形面积
之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
Sn

前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节中 我们将全面引入各类形式的极限.
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0
1 n


1 n
2

1 n


2 n
2

1 n



n
n
1
2

1 n

1 n3
12

22


(n
1)2

1 n3
n(n
1)(2n 6
1)

1 6
1

1 n


2
Hale Waihona Puke 1 n ,
3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 近. 由此得到曲边三角形面积S.
为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的 内容.
在本章中, 我们将介绍极限的概念、性质和运算法则. 介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要 角色的无穷小量; 我们还将求得两个应用非常广泛的重 要极限.
在本章的最后部分将引入一类最重要的函数—— 连续函数.
第一节 微积分中的极限方法

高数3-1

第三章 微分中值定理与导数的应用 本章主题词:中值定理、罗必达法则、单 调性、凸性、极值、拐点、弧微分、渐近线
数学还有另一个重要的作用,这就 是通过对数学知识的介绍,对数学问题 的解决,教会人们一种重要的分析问 题,解决问题的思想方法。简单地讲, 数学教会人如何进行逻辑推理,如何进 行正确的抽象思维,如何在纷繁的事物 中抓住主要的联系,并如何使用明确的 概念,等等。丁石孙(中国数学家)
(0 < θ < 1).
3. 记a = x0 , b = x0 + Δx , 则有 f ( x 0 + Δx ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx ( 0 < θ < 1). 也可写成 Δy = f ′( x 0 + θΔx ) ⋅ Δx (0 < θ < 1).
ξ在a与b之间.
2. 注意到,只要 a ≠ b, 均有 ξ −a ξ −a =θ 0< <1 记
b−a
b−a 则 ξ = a + θ (b − a ), 于是,拉格朗日中值公式又有形式:
(0 < θ < 1)
f (b) − f (a ) = f ′(a + θ (b − a ))(b − a ),
则F ( x )在[a , b]上连续,在 (a , b )内可导, f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) a = , F (a ) = f (a ) − b−a b−a f (b) − f (a ) bf (a ) − af (b) b = , F (b) = f (b) − b−a b−a ∴ F (a ) = F (b ). 即F ( x )满足罗尔定理的条件 , 则在( a , b )内至少存在一点 ξ, 使得 F ′( ξ ) = 0.

微积分31微分中值定理省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件


比如,
x2 -1 x 1
f (x)
0 x 1
f (0) 0
0 1X
第6页
例1 证明方程 x5 x 1 0 有且仅有一个正实根 . 证: 1)存在性
设 f ( x) x5 x 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
且 f (0) 1, f (1) 1. 由零点定理
x0 (0,1),使 f ( x0 ) 0. 即为方程正实根.
f ( x) a0 a1( x x0 ) an ( x x0 )n o( x x0 )n
Pn ( x)
Rn ( x)
误差 Rn( x) f ( x) Pn( x)
第18页
2 Pn和 Rn的确定
近似程度越来越好
分析:
1.若在 x0 点相交
y
Pn ( x0 ) f ( x0 )
在(a, b)内每一点处均不为零,那末在(a, b) 内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' () 成立. ' ()
第13页
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
一点C(F (), f ()),在
该点处的切线平行于
A
X F(x)
C
Y
f (x)
M
B
N
D
ln(1 x) x , 1
又0 x 1 1 1 x
1 1 1,
1 x 1
x x x, 1 x 1
即 x ln(1 x) x. 1 x
第12页
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西(Cauchy)中值定理 如果函数 f (x)及F(x)
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栏 目
项和.
开 关
(1)若 a1>0,当 Sn 取得最大值时,求 n 的值;
(2)若 a1=-46,记 bn=Sn-n an,求 bn 的最小值.
热点分类突破
解 (1)设{an}的公差为 d,则 由 3a5=5a8,得 3(a1+4d)=5(a1+7d),∴d=-223a1.
∴Sn=na1+nn-2 1×-223a1=-213a1n2+2243a1n
本 讲
思想的运用.

目 开
(2)等差数列的性质

①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差数列; ③am-an=(m-n)d⇔d=amm--ann(m,n∈N*);
热点分类突破

an bn

A2n-1 B2n-1
(A2n-1,B2n-1分别为{an},{bn}的前2n-1项的
则 10<4+λ,得 λ>6.
热点分类突破
等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法
(1)等差数列与等比数列交汇的问题,常用“基本量法”求
本 讲
解,但有时灵活地运用性质,可使运算简便.

目 开
(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问

题,求解时用等差(比)数列的相关知识,将问题转化为相应
公差为13的等差数列,
本 则 bn=1+13(n-1)=n+3 2,
讲 栏 目
则 an=3nbn=(n+2)×3n-1,

关 从而有n+an2=3n-1,
故 Sn=a31+a42+a53+…+n+an2
=1+3+32+…+3n-1=11--33n=3n-2 1,
热点分类突破
则SS2nn=332nn--11=3n+1 1,
解得q=32(q=-1不合题意,舍去).
答案 (1)D
3 (2)2
热点分类突破
(1)证明数列是等比数列的两个方法:①利用定
义:aan+n 1(n∈N*)是常数,②利用等比中项a2n=an-1an+1(n≥2,
本 n∈N*).

栏 目
(2)等比数列中的五个量:a1,an,q,n,Sn可以“知三求

关 二”.
所有正整数 n 的值.

关 (1)证明 由 bn=3-nan 得 an=3nbn,
则 an+1=3n+1bn+1.
代入an+1-3an=3n中,得3n+1bn+1-3n+1bn=3n,
即得bn+1-bn=13.
所以数列{bn}是等差数列.
热点分类突破
(2)解 因为数列{bn}是首项为 b1=3-1a1=1,
主干知识梳理
(1)定义法
(1)定义法
(2)中项公式法:2an+1=an+ (2)中项公式法:a2n+1=
an+2(n≥1)⇔{an}为等差数列 an·an + 2(n≥1)(an≠0)

判 (3) 通 项 公 式 法 : an = pn + ⇔{an}为等比数列
讲 栏 目
定 q(p、q 为常数)⇔{an}为等差 (3)通项公式法:
本 =2n+5n0-52≥2 2n×5n0-52=-32,

栏 目 开 关
当且仅当2n=5n0,即n=5时,等号成立.
故 bn 的最小值为-32.
热点分类突破
(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公
差,只要根据已知条件求出这两个量,其他问题就可随之而
解,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程
本 讲 栏
B.若数列{Sn}有最大项,则d<0
目 开 关
C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0
D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=
-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于
()
A.3
本 讲 栏
由1218<SS2nn<14,得1128<3n+1 1<14,

开 关
即3<3n<127,得1<n≤4.
故满足不等式1128<SS2nn<14的所有正整数n的值为2,3,4.
热点分类突破
1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn 五个量中知道其
中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般
第1讲 等差数列、等比数列
【高考考情解读】
高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式:
本 讲
1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用等差、等比数列

目 开
的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的

计算问题,属于基础题;
2.以解答题的形式考查,主要是等差、等比数列的定义、通
项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题,考
热点分类突破
考点三 等差数列、等比数列的综合应用
例3 已知等差数列{an}的公差为-1,且a2+a7+a12=-6.
(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn;
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺
本 讲
序恰为等比数列{bn}的前3项,记{bn}的前n项和为Tn,若存

假设存在 n,使得 Sn≥2 013,
本 则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.

栏 目
当 n 为偶数时,(-2)n>0.上式不成立;

关 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,
即 2n≥2 012,则 n≥11.
综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为 {n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
{Sn}是递增数列,但 S1=-1<0,故 C 错误;
对任意 n∈N*,Sn 均大于 0 时,a1>0,d>0,{Sn}必是递增数列, D 正确.
热点分类突破
(2)am=2,am+1=3,故 d=1,
因为 Sm=0,故 ma1+mm2-1d=0,
本 故 a1=-m-2 1,

栏 目 开
因为 am+am+1=5,

讲 栏 目 开
=-213a1(n-12)2+12434a1.

∵a1>0,∴当 n=12 时,Sn 取得最大值.
(2)由(1)及 a1=-46,得 d=-223×(-46)=4,
∴an=-46+(n-1)×4=4n-50,
Sn=-46n+nn- 2 1×4=2n2-48n.
热点分类突破
∴bn=Sn-n an=2n2-5n2n+50
{logaan}为等差数列
且 a≠1)
主干知识梳理
(1)若 m、n、p、q∈N*,(1)若 m、n、p、q∈N*,
且 m+n=p+q,则
本 讲 栏 目 开 关
性质
且 m+n=p+q,则 +an=ap+aq (2)an=am+(n-m)d
am
am·an=ap·aq (2)an=amqn-m (3)等比数列依次每
本 和).

栏 目
(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)

关 是n的二次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+
Bn(A2+B2≠0).
热点分类突破
(1)(2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数
列{an}的前n项和,则下列命题错.误.的是
()
A.若d<0,则数列{Sn}有最大项
故aan-n 1=-2,故 an=(-2)n-1.
热点分类突破
(2)(2013·湖北)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3
成等差数列,且a2+a3+a4=-18.
①求数列{an}的通项公式;
②是否存在正整数n,使得Sn≥2 013?若存在,求出符合条
本 讲
件的所有n的集合;若不存在,说明理由.
开 关
数列 方
an=c·qn(c、q 均是不为
法 (4)前 n 项和公式法:Sn=An2 0 的 常 数 , n∈N*) ⇔
+Bn(A、B 为常数)⇔{an}为 {an}为等比数列
等差数列
(4){an} 为 等 差 数 列 ⇔
(5){an}为等比数列,an>0⇔ {a an } 为 等 比 数 列 (a>0
B.4
C.5
D.6
热点分类突破
解析 (1)利用函数思想,通过讨论 Sn=d2n2+a1-d2n 的单调
性判断.
本 讲
设{an}的首项为 a1,则 Sn=na1+12n(n-1)d=d2n2+a1-d2n.

目 开
由二次函数性质知 Sn 有最大值时,则 d<0,故 A、B 正确;

因为{Sn}为递增数列,则 d>0,不妨设 a1=-1,d=2,显然

目 开 关

①设等比数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
S2-S4=S3-S2, a2+a3+a4=-18.
即- a1qa11q+2-qa+1qq32==a1-q21,8,
解得aq1==-3,2. 故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n-1.
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②由①有 Sn=3[11----22n]=1-(-2)n.
目 开
在m∈N*,使对任意n∈N*,总有Sn<Tm+λ恒成立,求实数

λ的取值范围.
解 (1)由a2+a7+a12=-6得a7=-2,∴a1=4,
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