考研数学二(二次型)模拟试卷15(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷15 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．
A．存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵
B．存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵
C．存在可逆矩阵P，使得P-1(A＋B)P为对角矩阵
D．存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B
正确答案：D
解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ＝B，选
D． 知识模块：二次型
2． n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．
A．A无负特征值
B．A是满秩矩阵
C．A的每个特征值都是单值
D．A-1是正定矩阵
正确答案：D
解析：A正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，选项A不对； 若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，选项B不对； 选项C既不是充分条件又不是必要条件； 显然选项D既是充分条件又是必要条件． 知识模块：二次型
3． 下列说法正确的是( )．
A．任一个二次型的标准形是唯一的
B．若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同
C．若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型
D．二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的
正确答案：D
解析：选项A不对，如f＝χ1χ2，令则f＝y12－y22； 若令 则f＝y12－9y22； 选项B不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同； 选项C不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n； 选D，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一． 知识模块：二次型
4． 设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X( )．
A．规范形与标准形都不一定相同
B．规范形相同但标准形不一定相同
C．标准形相同但规范形不一定相同
D．规范形和标准形都相同
正确答案：B
解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选
B． 知识模块：二次型
5． 设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．
A．可逆矩阵
B．实对称矩阵
C．正定矩阵
D．正交矩阵
正确答案：B
解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP＝A，从而A＝(PT)-1AP-1＝(P-1)TAP-1，AT＝[(P-1)TAP-1]T＝(P-1)TAP-1＝A，选
B． 知识模块：二次型
6． 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP＝B，则( )．
A．A，B合同
B．A，B相似
C．方程组AX＝0与BX＝0同解
D．r(A)＝r(B)
正确答案：D
解析：因为P逆，所以r(A)＝r(B)，选
D． 知识模块：二次型
7． 设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．
A．r(A)＝r(B)
B．｜A｜＝｜B｜
C．A～B
D．A，B与同一个实对称矩阵合同
正确答案：D
解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选
D． 知识模块：二次型
8． 设，则A与B( )．
A．相似且合同
B．相似不合同
C．合同不相似
D．不合同也不相似
正确答案：C
解析：由｜λE－A｜＝0得A的特征值为1，3，－5，由｜λE－B｜＝0得B的特征值为1，1，－1，所以A与B合同但不相似，选
C． 知识模块：二次型
9． 设A，B为三阶矩阵，且特征值均为－2，1，1，以下命题： (1)A～B； (2)A，B合同； (3)A，B等价； (4)｜A｜＝｜B｜中正确的命题个数为( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
正确答案：B
解析：因为A，B的特征值为－2，1，1，所以｜A｜＝｜B｜＝－2，又因为r(A)＝r(B)＝3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选
B． 知识模块：二次型
填空题
10． 二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(χ1－2χ2)2＋4χ2χ3的矩阵为_______．
正确答案：A＝
解析：因为f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22－4χ1χ2＋4χ2χ3， 所以A＝ 知识模块：二次型
11． 设，则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为_______．
正确答案：
解析：令 β3＝α3， 正交规范化的向量组为 知识模块：二次型
12． 设二次型2χ12＋χ22＋χ32＋2χ1χ2＋aχ2χ3的秩为2，则a＝_______．
正确答案：±
解析：该二次型的矩阵为A＝，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜＝0，解得a＝±． 知识模块：二次型
13． 设5χ12＋χ22＋tχ32＋4χ1χ2－2χ1χ3－2χ2χ3为正定二次型，则t的取值范围是_______．
正确答案：t＞2
解析：二次型的矩阵为A＝，因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，＝1＞0，｜A｜＞0，解得t＞2． 知识模块：二次型
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14． 用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ2χ3为标准二次型．
正确答案：令，即X＝PY， 其中 则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(PTAP)Y＝y12＋y22－y32． 涉及知识点：二次型
15． 用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32为标准形．
正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32＝(χ1＋χ2＋χ3)2－(χ2＋χ3)2－4χ32， 即X＝PY，其中P＝， 则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXy12－y22－4y32． 涉及知识点：二次型
16． 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝ (1)求正交变换X＝QY将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．
正确答案：(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3， 因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重，显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝5． 由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解， 故α1＝，α2＝＝－1对应的线性无关解． 令α3＝为λ3＝5对应的特征向量， 因为AT＝A，所以解得α3＝， 令 规范化得 令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX－y12－y22＋5y32． (2)由QTAQ＝得 涉及知识点：二次型
17． 用正交变换法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋χ32－4χ1χ2－4χ1χ3－4χ2χ3为标准二次型．
正确答案：f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX其中 由｜λE－A｜＝＝(λ＋3)(λ－3)2＝0得λ1＝－3，λ2＝λ3＝3． 由(－3E－3A)X＝0得λ1＝－3对应的线性无关的特征向量为α1＝； 由(3E－A)X＝0得λ2＝λ3＝3对应的线性无关的特征向量为 将α2，α3正交化得 单位化得 则f(χ1，χ2，χ3)＝XTAXYT(QTAQ)Y＝－3y12＋3y22＋3y32． 涉及知识点：二次型
18． 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(a－1)χ12＋(a－1)χ22＋2χ32＋2χ1χ2(a＞0)的秩为2． (1)求a； (2)用正交变换法化二次型为标准形．
正确答案：(1)A＝，因为二次型的秩为2，所以r(A)＝2，从而a＝2． (2)A＝，由｜λE－A｜＝0得λ1＝λ2＝2，λ3＝0． 当λ＝2时，由(2E－A)X＝0得λ＝2对应的线性无关的特征向量为 当λ＝0时，由(0E－A)X＝0得λ＝0对应的线性无关的特征向量为α3＝． 因为α1，α2两两正交，单位化得 则f＝XTAXYT(QTAQ)Y＝2y12＋2y22． 涉及知识点：二次型
19． 设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2＝A(A称为幂等阵)． 求：(1)二次型XTAX的标准形； (2)｜E＋A＋A2＋…＋An｜的值．
正确答案：(1)因为A2＝A，所以｜A｜｜E－A｜＝0，即A的特征值为O或者1， 因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)＝r得A的特征值为λ＝1(r重)，λ＝0(n－r重)，则二次型XTAX的标准形为y12＋y22＋…＋yr2． (2)令B＝E＋A＋A2＋…＋An，则B的特征值为λ＝n＋1(r重)，λ＝1(n－r重)，故 ｜E＋A＋A2＋…＋An｜＝｜B｜＝(n＋1)r． 涉及知识点：二次型
20． 设A为n阶实对称可逆矩阵，f(χ1，χ2，…，χn)＝ (1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把二次型f(χ1，χ2，…，χn)写成矩阵形式； (2)二次型g(X)＝XTAX是否与f(χ1，χ2，…，χn)合同?
正确答案：(1)f(X)＝(χ1，χ2…χn) 因为r(A)＝n，所以｜A｜≠0，于是A*＝A-1，A*，A-1都是实对称矩阵． (2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(χ1，χ2，…，χn)与g(X)＝XTAX规范合同． 涉及知识点：二次型
21． 设A是三阶实对称矩阵，且A2＋2A＝O，r(A)＝2． (1)求A的全部特征值； (2)当k为何值时，A＋kE为正定矩阵?
正确答案：(1)由A2＋2A＝O得r(A)＋r(A＋2E)≤3，从而A的特征值为0或－2，因为A是实对称矩阵且r(A)＝2，所以λ1＝0，λ2＝λ3＝－2． (2)A＋kE的特征值为k，k－2，k－2，当k＞2时，A＋kE为正定矩阵． 涉及知识点：二次型
22． 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋2χ32＋2tχ1χ2＋2χ1χ3为正定二次型，求t的范围．
正确答案：二次型的矩阵为A＝，因为该二次型为正定二次型， 所以有解得－＜t＜． 涉及知识点：二次型
23． 设A是n阶正定矩阵，证明：｜E＋A｜＞1．
正确答案：因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得 QTAQ＝ 其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0， 因此QT(A＋E)Q＝ 于是｜QT(A＋E)Q｜
考研数学(数学二)模拟试卷489(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷489 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设则f(x，y)在点O(0，0)处 ( )
A．两个偏导数存在，函数不连续．
B．两个偏导数不存在，函数连续．
C．两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微．
D．可微．
正确答案：C
解析：所以函数在点(0，0)处连续，且fˊx(0，0)与fˊy(0，0)均存在．再看可微性，若f(x，y)在点(0，0)处可微，则f(△x，△y)－f(0，0)= fˊx(0，0)△x+ fˊy(0，0)△y+成立．上面已有fˊx(0，0)= 0，fˊy(0，0)=0，于是应有f(△x，△y) ．而当(x， y)→(0，0)时．不妨设y=kx→0，则并不趋于0所以当(△x，△y)→(0，0)时，f(△x，△y)不是的高阶无穷小．故f(x，y)在点O(0，0)处不可微．选
C．
2．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
3．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：
4．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
5．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
6．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
7． 已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：A
解析：设αi＝(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i＝1，2，3)，由已知条件有 βiTαi＝0(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)， 即βi(i＝1，2，3，4)为方程组的非零解． 由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4，的秩为1，选A．
2023年江苏考研数学二试题及答案
2023年江苏考研数学二试题及答案
一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.1
ln(e)
1yx
x
的斜渐近线为()
A.eyxB.1
eyx
C.yxD.1
eyx
【答案】B.【解析】由已知1
lne
1yx
x
，则
1
limlimlnelne1
1
xxy
xx
，
11
limlimlnelimlne1
11
xxxyxxxx
xx
1
limlnelne
1
xx
x
1
limln1
e(1)
xx
x
1
lim
e(1)e
xx
x
，所以斜渐近线为1
eyx.故选B.
2.
函数21
,0
()
1
(1)cos,0x
fx
x
xxx
的一个原函数为（）.
A．
2ln1,0
()
(1)cossin,0xxx
Fx
xxxx
B．
2ln11,0
()
(1)cossin,0xxx
Fx
xxxx
C．
2ln1,0
()
(1)sincos,0xxx
Fx
xxxx
D．
2ln11,0
()
(1)sincos,0xxx
Fx
xxxx
【答案】D.
【解析】由已知
00lim()lim()(0)1
xxfxfxf
，即()fx连续.
所以()Fx在0x
处连续且可导，排除A，C.
又0x
时，[(1)cossin]cos(1)sincos(1)sinxxxxxxxxx，
排除B.
故选D.
3.设数列{},{}
nnxy满足
111111
,sin,
22nnnnxyxxyy
,当n时().
A.
nx
是
ny
的高阶无穷小B.
ny
是
nx
的高阶无穷小
2015考研数学二真题及答案
2015考研数学二真题及答案
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
(1) 下列反常积分收敛的是 ( )
(A)
21dxx
(B)
2lnxdxx
(C)
21lndxxx
(D)
2xxdxe
【答案】(D)
【解析】(1)xxxdxxee，则
2222(1)3lim(1)3xxxxxdxxeexeee.
(2) 函数20sinlim(1)xtttfxx 在(,)内 ( )
(A) 连续
(B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点
(D) 有无穷间断点
【答案】(B)
【解析】220sinlim0sin()lim(1)txtxxtxtttfxeex，0x，故()fx有可去间断点0x.
(3)设函数1cos,00,0xxxfxx(0,0),若'fx在0x处连续则:( )
(A)0 (B)01
(C)2 (D)02
【答案】(A)
【解析】0x时，0fx00f
1001cos010limlimcosxxxxfxxx
0x时，11111cos1sinfxxxxxx
1111cossinxxxx
fx在0x处连续则：10100limcos0xffxx得10
++1100110lim=limcossin=0xxffxxxxx
2015年考研数学二真题及答案解析
/
2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。）(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数在(-,+)内
(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B
【解析】这是“”型极限，直接有
,
在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数，().若在处连续，则
(A) (B)(C) (D)
【答案】A
/
【解析】易求出
，
再有不存在，，
于是，存在，此时.
当时，，
=不存在，，因此，在连续。选A
综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其
二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为A O B
(A) (B)(C) (D)【答案】C
【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是
的点及不存在的点。的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧
异号，对应的点就是的拐点。虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点
(5)设函数满足，则与依次是
(A)(B)
(C)(D)
【答案】D
【解析】先求出
令
于是
因此
/
综上所述，本题正确答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
2015考研数学二真题及解析
2015考研数学二真题及解析
2015年考研数学二真题及解析
一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．．指定的位置上.
(1) 下列反常积分收敛的是 (A)
21
dx
x
(B)
2ln
dx
x
x
(C)
21
d
lnx
xx
(D)
2d
xx
x
e
【答】应选(D). 【解】因d(1)x
xx
xxe
e
,则
222
2(1)3limd(1)3xx
xxxeexeex
x
e
,故选(D).
(2)
函数
2
0
sin
()lim(1)x
t
tt
fx
x
在(,)
内
(A) 连续 (B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
【答】应选(B).
【解】显然0x
时,
()fx
无定义,故()fx
有间断点.又在0x
时,有
2
22
000sinsinsin
lnlim(1)limln(1)lim
()x
t
ttttxtxt
x
xtxtxfxeeee
(0x
),因此0x
是()fx
的可去间断点,故选(B). 注解: 几个常见的反常积分(广义积分)
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ,. 2015考研数学二真题及解析
(3)
设函数1
cos,0
()(0,0)
0,0xx
fx
x
x
,若()fx
在0x
处连续,则
(A) 1
(B) 01
(C) 2
(D) 02
【答】应选(A).
【解】因()fx
在0x
处连续,故()fx
在0x
处可导,于是有(0)(0)ff
,即
001
cos0
00
limlim
xxx
x
xx
,亦即1
01
limcos0
xx
x
,因此10
.又因为
()fx
在0x
处连续,所以
00lim()lim()(0)
xxfxfxf
2015考研数学二真题与答案
2015年考研数学二真题
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
；
；
；
，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内
(A) (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“”型极限，直接有
,
在处无定义，
且所以是的可去间断点，选B。
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(3)设函数().若
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【解析】易求出
再有
于是，存在此时.
当，，
=
因此，在连续。选A
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数的图形如右图所示，
则曲线的拐点个数为 A O B
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。
的可疑拐点是的点及不存在的点。 4 / 19 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而()
2015年考研数学二真题及答案
2015年考研数学二真题
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)下列反常积分中收敛的是
(A)∫1√𝑥+∞2𝑥𝑥 (B)∫𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥
(C)∫1𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥 (D) ∫𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫1√𝑥+∞2𝑥𝑥=2√𝑥|2+∞=+∞；
∫𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥=∫𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥(𝑥𝑥𝑥)=12(𝑥𝑥𝑥)2|2+∞=+∞；
∫1𝑥𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥=∫1𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥(𝑥𝑥𝑥)=ln?(𝑥𝑥𝑥)|2+∞=+∞；
∫𝑥𝑥𝑥+∞2𝑥𝑥=−∫𝑥+∞2𝑥𝑥−𝑥=−𝑥𝑥−𝑥|2+∞+∫𝑥−𝑥+∞2𝑥𝑥
=2𝑥−2−𝑥−𝑥|2+∞=3𝑥−2，
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数𝑥(𝑥)=lim𝑥→0(1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑥2𝑥在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点
(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有𝑥(𝑥)=lim𝑥→0(1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥)𝑥2𝑥
=𝑥lim𝑥→0𝑥2𝑥(1+𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥−1)=e 𝑥lim𝑥→0𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥=𝑥𝑥(𝑥≠0),
𝑥(𝑥)在𝑥=0处无定义，
且lim𝑥→0𝑥(𝑥)=lim𝑥→0𝑥𝑥=1,所以 𝑥=0是𝑥(𝑥)的可去间断点，选B。
考研数学二(填空题)模拟试卷125(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷125 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)=则f[f(x)]=_______．
正确答案：
解析：因为f(x)≥0， 知识模块：高等数学
2． 求极限＝_______．
正确答案：0 涉及知识点：函数、极限、连续
3． =______
正确答案：
解析：当x→0时， 知识模块：函数、极限、连续
4． =__________。
正确答案：
解析：令x=sint，则 知识模块：一元函数积分学
5． 设f(χ，y)＝eχysinπy＋(χ－1)arctan，则df(1，1)＝_______．
正确答案：dχ－πedy 涉及知识点：多元函数微积分
6． 若z=f(x，y)可微，且则当x≠0时=______
正确答案： 涉及知识点：多元函数微积分
7． 设矩阵A=有一特征值0，则a=_________，A的其他特征值为________。
正确答案：1；2
解析：因A有一个零特征值，所以｜A｜=2(a一1)=0，即a=1。A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ一2)2λ=0，解得A的其他特征值为λ=2(二重)。 知识模块：矩阵的特征值和特征向量
8． 设f(x)连续，且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=_____.
正确答案：
解析：由∫0x(2x-t)dt∫2xx(2x-u)f(u)(-du)=∫x2x(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-
∫x2xuf(u)du.得2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=arctanx2，等式两边对x求导得2∫2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=，整理得2∫x2xf(u)du-xf(x)=取x=1得2∫12f(u)du-f(1)=，故∫12f(x)dx= 知识模块：高等数学
2015考研数学二真题及解析 2
2015考研数学二真题及解析
2015年考研数学二真题及解析
一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上.
(1) 下列反常积分收敛的是
(A) 21dxx (B) 2lndxxx
(C) 21dlnxxx (D) 2dxxxe
【答】应选(D).
【解】因d(1)xxxxxee,则2222(1)3limd(1)3xxxxxeexeexxe,故选(D).
(2) 函数20sin()lim(1)xtttfxx在(,)内
(A) 连续 (B) 有可去间断点
(C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
【答】应选(B).
【解】显然0x时, ()fx无定义,故()fx有间断点.又在0x时,有222000sinsinsinlnlim(1)limln(1)lim()xtttttxtxtxxtxtxfxeeee(0x),因此0x是()fx的可去间断点,故选(B). 注解: 几个常见的反常积分(广义积分)
(1) ,1,11d,0pappxax收敛发散;
(2) ,1,11d,1lnpappxaxx收敛发散;
(3) ,0,0ed,0kxaxxk收敛发散;
(4) ,1,11d()bpappxxa收敛发散,10,1,11dpppxx收敛发散. 2015考研数学二真题及解析
(3) 设函数1cos,0()(0,0)0,0xxfxxx,若()fx在0x处连续,则
2015年考研数学二真题试卷及答案解析
新东方2015考研数学二真题
一、选择题
(1) 下列反常积分中收敛的是（）
（A）
21
dx
x
（B）
2lnx
dx
x
(C)
21
lnxdx
x
( D)
2xx
dx
e
（2）函数2
0sin
()lim(1)x
t
tt
fx
x
在（-,+）内
（A）连续 （B）有可去间断点 (C)有跳跃间断点 ( D)有无穷间断点
（3）设函数1
cos,0
(
0,0x
fx
x
x
(0,0)
若()fx
在0x
处连续，则
（A）
1
（B）
01
(C)
2
( D)
02
（4）设函数
()fx在（-,+）连续，其2阶导函数
()fx
的图形如右图所示，则
曲线
()yfx的拐点个数为：
（A）0 （B）1 (C) 2 ( D) 3
（5）设函数(,)fuv满足
2
(,)y
fxyxy
x，则
1
1|
u
vf
u
与
1
1|
u
vf
v
依次是
（A）1
2，0 （B）0，1
2(C) 1
,0
2 ( D) 1
0,
2
(6)设D是第一象限中曲线21,1xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，
函数(,)fxy在D上连续，则(,)
Dfxydxdy（A）1
3sin2
1
42sin2(cos,sin)dfrrrdr
（B）1
sin2
3
1
4
2sin2(cos,sin)dfrrrdr
(C) 1
3sin2
1
42sin2(cos,sin)dfrrdr
( D) 1
sin2
3
1
4
2sin2(cos,sin)dfrrdr
（7）设矩阵
2111
1
1A
a
，
21
b
d
，若集合{1,2}
，则线性方程组
Axb
有无穷多个解的充分必要条件为
（A）,ad
（B）,ad
（C）,ad
（D）,ad
（8）设二次型
123(,,)fxxx在正交变换xPy