考研数学二(二次型)模拟试卷9(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷9 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知实二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )
A．A是正定矩阵。
B．A是可逆矩阵。
C．A是不可逆矩阵。
D．以上结论都不对。
正确答案：B
解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型f正定，所以对任意x≠0,f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。所以选B。 知识模块：二次型
2． 设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )
A．xT(A+B)x。
B．xTA一1x。
C．xTB一1x。
D．xTABx。
正确答案：D
解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设APj=λjPj，则，A一1的n个特征值必都大于零，这说明A一1为正定阵，xTA一1x为正定二定型。同理，xTB一1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。 知识模块：二次型
3． 设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( )
A．A一1+B一1。
B．AB。
C．A*+B*。
D．2A+3B。
正确答案：B
解析：A，B为正定矩阵，则A一1，B一1仍是正定矩阵，故A一1+B一1也是正定矩阵。类似地，选项C、D中的矩阵均为正定矩阵。故应选B。事实上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩阵。
知识模块：二次型
4． 下列条件不能保证n阶实对称阵A正定的是( )
A．A一1正定。
B．A没有负的特征值。
C．A的正惯性指数等于n。
D．A合同于单位矩阵。
正确答案：B
解析：A一1正定表明存在可逆矩阵C，使CTA一1C=E，两边求逆得到C一1A(CT)一1=C一1A(C一1)T=E，即A合同于E，A正定，因此不应选A。D选项是A正定的定义，也不是正确的选择。C选项表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵。由排除法，故选B。事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。 知识模块：二次型
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5． 已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。
正确答案：二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。所以3是A的特征值，(1，2，1)T是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值，(1，一1，1)T是与一1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有由方程组解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T。则经正交变换x=Qy，有xTAx=yTAy=3y12一y32。
涉及知识点：二次型
6． 设矩阵有一个特征值是3，求y，并求可逆矩阵P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。
正确答案：因为3是A的特征值，故｜3E—A｜=8(3一y一1)=0，解得y=2。于是由于AT=A，要(AP)T(AP)=PTA2P=A，而是对称矩阵，即要A2～A，故可构造二次型xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x4x4=y12+22+5y32+y42，其中y1=x1，y2=x2,，y4=x4，即 涉及知识点：二次型
设二次f(x1，x2，x3)=xAx在正交变换x=Qy下的标准形为y1+y2，且Q的第三列为
7． 求A；
正确答案：由题意知QTAQ=A，其中，则A=QAQT，设Q的其他任一列向量为(x1，x2，x3)T。因为Q为正交矩阵，所以即x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α1=(一1，0，1)T，α2=(0，1，0)T.把α1单位化得，所以 涉及知识点：二次型
8． 证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。
正确答案：证明：因为(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+层为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。 涉及知识点：二次型
已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。
9． 求实数a的值；
正确答案：由r(ATA)=2可得所以a=一1。 涉及知识点：二次型
10． 求正交变换x=Qy将f化为标准形。
正确答案：由(I)中结果，令矩阵解得矩阵B的特征值为λ1=0，λ2=2，λ3=6。由(λiE—B)x=0，得对应特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分别为η1=(一1，一1，1)T，η2=(一1，1，0)T，η3=(1，1，2)T。将η1，η2，η3单位化可得：则正交变换x=Qy可将原二次型化为2y22+6y32。 涉及知识点：二次型
设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x3+2x1x3—2x2x3。
11． 求二次型f的矩阵的所有特征值；
正确答案：二次型的矩阵为，则有所有特征值是λ1=a，λ2=a—2，λ3=a+1。
涉及知识点：二次型
12． 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
正确答案：若规范形为y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为0。则由于a—2＜a＜a+1，所以a—2=0，即a=2。 涉及知识点：二次型
13． 设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明：合同。
正确答案：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=C1TA1C1。同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。 涉及知识点：二次型
14． 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。
正确答案：必要性：设BTAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0。于是，Bx≠0.因此，Bx=0只有零解，故有r(B)=n。充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量X≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB为正定矩阵。 涉及知识点：二次型
设为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
15． 计算PTDP，其中
正确答案： 涉及知识点：二次型
16． 利用的结果判断矩阵B一CTA一1C是否为正定矩阵，并证明结论。
正确答案：由(I)中结果知矩阵D与矩阵合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B—CTA-1C是对称矩阵。对m维零向量x=(0,0，…，0)T和任意n维非零向量y=(y1，y2，…yn)T，都有依定义，yT(B一CTA-1C)y为正定二次型，所以矩阵B—CTA-1C为正定矩阵。
涉及知识点：二次型
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
17． 证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
正确答案：f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT。 涉及知识点：二次型
18． 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
正确答案：设A=2ααT+ββT，由于｜α｜=1，αTβ=βTα=0，则Aα=(2ααT+ββT)α=2α｜α｜2+ββTα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。而矩阵A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y12+y22。 涉及知识点：二次型
19． 用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x3x3化为标准形，并给出所施行的正交变换。
正确答案：二次型的矩阵为特征多项式为矩阵A的特征值为λ1=一7，λ2=λ3=2。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=一7和λ2=λ3=2对应的特征向量分别为α1=(1，2，一2)T，α2=(一2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α2,α3正交化，即再将α1，β2，β4单位化，即则二次型xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为一7y12+2y22+2y32。 涉及知识点：二次型
设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形2y12+2y22+6y32。
20． 求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；
正确答案：二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为由矩阵B可知矩阵A的特征值为2，2，6。由矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵2E—A的秩为1，而所以a=一1。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1对应的特征向量分别为α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化，即再将β1，β2，α3单位化，即则正交变换矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)= 涉及知识点：二次型
21． 求f在xTx=3下的最大值。
正确答案：二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为2y2+2y2一y2。条件xTx=3等价于yTQTy=y2+y2+y2=3，此时f=2y12+2y22一y32=6—3y2的最大值为6，所以f在xTx=3下的最大值是6。 涉及知识点：二次型
已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。
考研数学二(二次型)模拟试卷18
考研数学二（二次型）模拟试卷18
(总分：56.00，做题时间：90分钟)
一、 选择题(总题数：2，分数：4.00)
1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________
解析：
2.二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 -4x 3 2 -4x 1 x 2 -2x 2 x 3 的标准形为
（分数：2.00）
A.2y 1 2 -y 2 2 -3y 3 2 √
B.-2y 1 2 -y 2 2 -3y 3 2
C.-2y 1 2 +y 2 2
D.2y 1 2 +y 2 2 +3y 3 2
解析：解析：f既不正定(因f(0，0，1)=-4＜0)，也不负定(因f(1．0，0)=2＞0)，故(D)、(B)都不对，又f的秩为3，故(C)不对，只有(A)正确．或用配方法．
二、 填空题(总题数：3，分数：6.00)
3.设二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2ax 1 x 2 +2βx 2 x 3 +2x 1 x 3 经正交变换
化成了标准形f=y 1 2 +2y
2 2 ，其中P为正交矩阵，则α= 1，β= 2．
（分数：2.00）
填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）
填空项1:__________________ （正确答案：0）
解析：解析：α=β=0，A=
的秩=f的秩=2， ｜A｜=0， α=β，又0=｜E-A｜=-2α 2 ，
α=β=0．
4.若二次型f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 +2λx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3 为正定二次型，则λ的取值范围是 1．
考研数学二(解答题)模拟试卷87(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷87 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设a1＝1，a2＝2，3an+2－4an-1＋an＝0，n＝1，2，…，求．
正确答案：由3an+2－4an+1＋an＝0，得3(an+2－an+1)＝an+1－an(n＝1，2，…)． 令bn＝an+1－an，则bn+1／bn＝1／3(n＝1，2，…)， 由b1＝1，得bn＝(n＝1，2，…)，即 解得an＝1＋，所以 涉及知识点：函数、极限、连续
2．
正确答案： 涉及知识点：高等数学部分
3． 在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0．22)，表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{｜一a｜＜0．1}≥0．95，n的最小值应不小于多少?
正确答案：由已知条件 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交．
正确答案：因为AT=－A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(－Ax)Tx=(－y，x)，得(x，y)=0． 涉及知识点：向量组的线性关系与秩
5． 已知线性方程组的一个基础解系为：(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T． 试写出线性方程组的通解，并说明理由．
正确答案：记方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的系数矩阵分别为A、B，则可以看出题给的(Ⅰ)的基础解系中的n个向量就是的n个行向量的转置向量．因此，由(Ⅰ)的基础解系可知 ABT＝O 转置即得BAT＝0 因此可知AT的n个列向量——即A的n个行向量的转置向量都是方程组(Ⅱ)的解向量． 由于B的秩为n(B的行向量组线性无关)，故(Ⅱ)的解空间的维数为2n－r(B)＝2n－n＝n，所以(Ⅱ)的任何n个线性无关的解就是(Ⅱ)的一个基础解系．已知(Ⅰ)的基础解系含n个向量，即2n－r(A)＝n，故r(A)＝n，于是可知A的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成(Ⅱ)的一个基础解系，因此(Ⅱ)的通解为 y＝c1(a11，a12，…，a1，2n)T＋c2(a21，a22，…，a2，2n)T＋…＋cn(an1，an2，…，an，2n)T其中c1，c2，…，cn为任意常数． 涉及知识点：线性方程组
2009考研数学(二)真题及参考答案
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2009年研究生入学统一考试
数学二试题与解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数3sinxxfxnx的可去间断点的个数为（ ）
A1. B2. C3. D无穷多个.
（2）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx是等价无穷小，则（ ）
A11,6ab. B11,6ab. C11,6ab. D11,6ab
（3）设函数,zfxy的全微分为dzxdxydy，则点0,0（ ）
A不是,fxy的连续点. B不是,fxy的极值点.
C是,fxy的极大值点. D是,fxy的极小值点.
（4）设函数,fxy连续，则222411,,yxydxfxydydyfxydx（ ）
A2411,xdxfxydy. B241,xxdxfxydy.
C2411,ydyfxydx. D.221,ydyfxydx
（5）若fx不变号，且曲线yfx在点1,1上的曲率圆为222xy，则fx在区间1,2内（ ）
A有极值点，无零点. B无极值点，有零点.
C有极值点，有零点. D无极值点，无零点.
（6）设函数yfx在区间1,3上的图形为
1 ()fx-2 0 2 3 x-1 O 狮子1213 免费为大家分享
则函数0xFxftdt的图形为（ ）
A. B.
C. D.
（7）设A，B均为2阶矩阵，**AB，分别为A，B的伴随矩阵.若23AB，，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（ ）
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
正确答案：D
解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )
A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C
解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学
3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )
A．C=P—1AP
B．C=PAP—1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵
4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A．2．
B．一1．
C．．
D．一2
正确答案：D
解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选
D． 知识模块：一元函数微分学
5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )
2021考研数学二真题及答案解析
数学（二）试题及解析第1页（共12页）2021年全国硕士研究生招生考试
数学（二）
（科目代码：302）
考试时间：180分钟，试卷总分：150分
考生注意事项
1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指
定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。
2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书
写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题册上答题无效。
3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写
部分必须使用2B铅笔填涂。
4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生编号
考生姓名数学（二）试题及解析第2页（共12页）一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的．
1.当0x，2
3
0(e1)dx
tt
是7x的
A.低阶无穷小.B.等价无穷小.C.高阶无穷小.D.同阶但非等价无穷小.
【答案】C.
【解析】2
36
6
0
755
000e1d2e1
2
limlimlim0
77x
tx
xxxt
x
xxx
,故选C.
2.
函数e1
,0,
()
1,0x
x
fx
x
x
在0x
处
A.连续且取极大值B.连续且取极小值
C.可导且导数等于零D.可导且导数不为零
【答案】D【解析】因为)0(11e
lim
0f
xx
x
，故连续；又因为
211e11e
lim
22
0
xx
xxxx
x，故可
导，所以选D.
3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2/cms
，3/cms
，当底面半径为
10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为
A.32125/,40/cmscms
B.32125/,40/cmscms
C.32100/,40/cmscms
D.32100/,40/cmscms
2023年考研《数学二》真题及详解【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】
一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中,
合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。只有一个选项是最符
1.曲线y = xln（e^-LA
的渐近线方程为（ ）。
A. y=x+e
B. y=x+l/e
C. y=x
D. y=x—1/e
【试题答案】B
【试题解析】由已知y = xln（e^ —
\ JC 1
xln
y
k = lim — = lim----
X—00 JQ
XTOO,则可得:
limln e +
X—00 I1
=1
b = lim (y-Ax) = lim
XT8 ' / XToox-1
扁仁上、
—X=limxL|' 1
、
e +--------1
_ l X-ly
X—>00、
x — l)
1
lim xln
XToo1+lim
XToo
所以斜渐近线方程为y=x+l/e。
2.__,x<0
函数 x/l
+、
2
[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（
A.尸("In +
—
jv )
jv < 0
(x + l)cos x - sin x, x > 0
B.尸("In ^/1 + %2 — 1, x V 0
(x + l)cos x - sin x, x > 0
C.In ^/1 + x2 + x) x V 0
(x + l)sin x + cos >
0D. F(x)=
jv V 0
(x + l)sin x + cos > 0
【试题答案】D
【试题解析】当xWO时，可得:
当x〉0时，可得:
j f (x)ch = j(x + l)cos xdx
=j (x + l)dsinx
=(x + l)sin x - j sin xdx
=(x + l)sin x + cos x + C2
在x=O处，有：
lim In @ + J1 +
工
2 > G = G, lim (x + l)sin % + cos % + C2 = 1 + C2
由于原函数在(一8, +8)内连续，所以Ci = l+C2,令C2=C,则C1 = 1+C,故
2016年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2016年考研（数学二）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设a1=x(cos一1)，a2=，a3=一1．当x→0+时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是__________．
A．a1，a2，a3
B．a2，a3，a1
C．a2，a1，a3
D．a3，a2，a1
正确答案：B
2． 已知函数f(x)=则厂(x)的一个原函数是___________．
A．F(x)=
B．F(x)=
C． F(x)=
D． F(x)=
正确答案：D
3． 反常积分①，②的敛散性为___________．
A．①收敛，②收敛
B．①收敛，②发散
C．①发散，②收敛
D．①发散，②发散
正确答案：B
4． 设函数厂(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则_________．
A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点
B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点
C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点
D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点
正确答案：B
5． 设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi(x0)，则_________．
A．fx一fy=0
B．fx+fy=0
C．fx－fy=f
D．fx+fx=f
正确答案：D
7． 设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是_______．
A．AT与BT相似
B．A－1与B-1相似
C．A+AT与B+BT相似
D．A+A-1与B+B-1相似
正确答案：C
8． 设二次型f(x1，X2，X3)=a()+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则___________．
A．a>1
B．a<一2
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．1ln1yxex曲线的渐近线方程为（ ）。
A．y＝x＋e
B．y＝x＋1/e
C．y＝x
D．y＝x－1/e
【答案】B
【解析】1ln11limlimlimln1,1xxxxeyxkexxx
11limlimlnlimln11111limln1lim11xxxxxbykxxexxexxxxexexe
所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e．
2．函数21,011cos,0xfxxxxx的原函数为（ ）。
A．2ln1,01cossin,0xxxFxxxxx
B．2ln11,01cossin,0xxxFxxxxx
C．2ln1,01sincos,0xxxFxxxxx
D．2ln11,01sincos,0xxxFxxxxx
【答案】D
【解析】当x≤0时，
212ddln11xfxxxxCx
当x＞0时，
2d1cosd1dsin1sinsind1sincosfxxxxxxxxxxxxxxC
原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处
2110limln1xxxCC，220lim1sincos1xxxxCC
2019年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2019年考研（数学二）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 当x→0，x—tanx与xk是同阶无穷小，求k( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：因x—tanx～，若要x—tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选
C．
2． y=xsinx+2cosx[x∈]的拐点坐标是( )
A．
B．(0，2)
C．(π，—2)
D．
正确答案：B
解析：y′=sinx+xcosx—2sinx，y″= —xsinx，令y″=0得x=0，x=π，又因为y″′= —sinx—xcox，将上述两点代入y″′(π)≠0，所以(π，—2)是拐点．
3． 下列反常积分发散的是( )
A．∫0+∞xe—xdx
B．∫0+∞xe—x2dx
C．
D．
正确答案：D
解析：对A：∫0+∞xe—xdx=∫0+∞xd(—e—x)= —xe—x｜0+∞+∫0+∞e—xdx= —e—x｜0+∞=1；对B：∫0+∞xe—x2dx=；
4． 已知微分方程y″+ay′+by=cex的通解为y=(C1+C2x)e—x+ex，则a，b，c依次为( )
A．1，0，1
B．1，0，2
C．2，1，3
D．2，1，4
正确答案：D
解析：由条件知特征根为λ1=λ2= —1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=e*为特解，代入得c=4，故选
D．
5． 已知平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤}，，试比较I1，I2，I3的大小( )
A．I3＜I2＜I1
B．I1＜I2＜I3
C．I2＜I1＜I3
D．I2＜I3＜I1
正确答案：A
解析：因为，所以I2＜I1，I3＜I1．所以I3＜I2，所以I3＜I2＜I1，故选A．
2014年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2014年考研（数学二）真题试卷 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 当x→0+时，若ln2(1+2x)，(1-cosx)1/a均是比x高阶的无穷小，则a的取值范围是
A．(2，+∞)．
B．(1，2)．
C．(1/2，1)．
D．(0，1/2)．
正确答案：B
解析：a＞0时， lna(1+2x)～(2x)a(x→0+)，它们均是比x高阶的无穷小，即因此a∈(1，2)，选
B．
2． 下列曲线中有渐近线的是
A．y=x+sinx
B．y=x2+sinx
C．y=x+sin(1/x)
D．y=x2+sin(1/x)
正确答案：C
解析：显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线．对于
C．故有斜渐近线y=x．选
C．
3． 设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上
A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)
B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)
C．当f’’(x)≥0时，f(x)≥g(x)
D．当f’’(x)≥0时，f(x)≤g(x)
正确答案：D
解析：【分析一】 y=f(x)在[0，1]上是凹函数(设f(x)在[0，1]二阶可导，不妨f’’(x)＞0)，y=g(x)是连接(0，f(0))与(1，f(1))的线段．由几何意义知f(x)≤g(x)(x∈[0，1])．选
D． 【分析二】 令ω(x)：f(x)-g(x)==>ω(0)=f(0)-f(0)=0，ω(1)=f(1)-f(1)=0
在[0，1]上，当f’’(x)≥0时，ω’’(x)=f’’(x)-g’’(x)=f’’(x)≥0==>ω(x)≤0，即f(x)≤g(x)．选
D．
4． 曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是
A．
B．