考研数学二(二次型)模拟试卷10(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，已知r(A)=2，并且A满足A2－2A=0．则下列各标准二次型(1)2y12+2y22． (2)2y12． (3)2y12+2y32． (4)2y22+2y32．中可用正交变换化为f的是( )．
A．(1)．
B．(3)，(4)．
C．(1)，(3)，(4)．
D．(2)．
正确答案：C
解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2． 知识模块：二次型
2． A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同<=>它们的特征值正负性相同．｜A｜=－3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有D中的矩阵的行列式是负数． 知识模块：二次型
3． 矩阵A=合同于
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由矩阵A的特征多项式知矩阵A的特征值为1，3，－2．即二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1．故应选
B． 知识模块：二次型
4． 设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是
A．A，B有相同的特征值．
B．A，B有相同的秩．
C．A，B有相同的行列式．
D．A，B有相同的正负惯性指数．
正确答案：D
解析：A是充分条件．特征值一样=>有相同的正、负惯性指数=>合同．但不是必要条件．例如，特征值不同，但A
B．B是必要条件．由CTAC=B，C可逆=>r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．C既不必要也不充分．例如，行列式不同但合同，又如，虽行列式相同但不合同．故应选
D． 知识模块：二次型
填空题
5． 二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是________．
正确答案：
解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x2+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵A=
知识模块：二次型
6． 若二次型2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3的秩为2，则t=________．
正确答案：
解析：r(f)=2，即r(A)=2．因｜A｜中有2阶子式≠0，故r(A)=2｜A｜=0．由
知识模块：二次型
7． 设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2－2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈________．
正确答案：
解析：二次型矩阵A=，顺序主子式△1=1，△2==1－t2＞0，△3=｜A｜=－5t2－4t＞0，所以t∈(，0)． 知识模块：二次型
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
8． 用配方法化下列二次型为标准型(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2－2x1x3+2x2x3．(2)f(x1，x2，x3)=x1x2+x1x3+x2x3．
正确答案：(1)f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2－2x1x3+2x2x3=[x12+2x1x2－2x1x3+(x2－x3)2]－(x2－x3)2+2x22+2x2x3=(x1+x2－x3)2+x22+4x2x3－x32=(x1+x2－x3)2+x22+4x2x3+4x32－5x32=(x1+x2－x3)2+(x2+2x3)2－5x3)2．原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12+y22－5y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换f(x1，x2，x3)=y12－y22+2y1y3．虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了：y12－y22+2y1y3=(y1+y3)2－y22－y32．则f(x1，x2，x3)=z12－z22－z32．变换矩阵 涉及知识点：二次型
9． 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1－a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．(1)求a．(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
正确答案：(1)此二次型的矩阵为则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=－8a，得a=0．(2)得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量：得(A－2E)X=0的同解方程组x1－x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)T，η2=(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=．方程x1－x2=0的系数向量(1，－1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0求得通解为：，c任意． 涉及知识点：二次型
10． A=，求作一个3阶可逆矩阵P，使得PTAP是对角矩阵．
正确答案：对这样的题，可能会想到构造正交矩阵Q，使得Q－1AQ是对角矩阵，则QTAQ=Q－1AQ是对角矩阵．这样做首先会遇到特征值计算的困难，如本题中的矩阵用本课程的知识是不能求出特征值的．即使可以求出，这个方法的计算量也比较大．一个比较简单的方法是利用与A对应的二次型用配方法标准化，则变换矩阵就是所求． f(x1，x2，x3)=XTAX=x12+4x22－2x32－4x1x2+4x2x3=(x1－2x2)2－2x32+4x2x3 =(x1－2x2)2－2(x2－x3)2+2x22．原二次型化为f(x1，x2，x3)=y12－2y22+2y32．从上面的公式反解得变换公式：变换矩阵 涉及知识点：二次型
11． 设A是一个可逆实对称矩阵，记Aij是它的代数余子式．二次型(1)用矩阵乘积的形式写出此二次型．(2)f(x1，x2，…，xn)的规范形和XTAX的规范形是否相同?为什么?
正确答案：(1)由于A是实对称矩阵，它的代数余子式Aij=Aji，i，j，并且A－1也是实对称矩阵，其(i，j)位的元素就是4ij｜A｜，于是f(x1，x2，…，xn)=XTA－1X．(2)A－1的特征值和A的特征值互为倒数关系，因此A－1和A的正的特
征值的个数相等，负的特征值的个数也相等，于是它们的正，负惯性指数都相等，从而A－1和A合同，f(x1，x2，…，xn)和XTAX有相同的规范形． 涉及知识点：二次型
12． 二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a－1)x32+2x1x3－2x2x3．①求f(x1，x2，x3)的矩阵的特征值．②如果f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22，求a．
正确答案：①f(x1，x2，x3)的矩阵为求出B的特征多项式｜λE－B｜=λ3+λ2－2λ=λ(λ+2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a+1．②因为f(x1，x2，x3)的规范形为y12+y22时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a=2． 涉及知识点：二次型
13． 已知A是正定矩阵，证明｜A+E｜＞1．
正确答案：此题用特征值较简单．设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则A+E的特征值为λ1+1，λ2+1，…，λn+1．因为A正定，所以λi＞0，λi+1＞1(i=1，2，…，n)．于是｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1． 涉及知识点：二次型
14． 已知二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2． a1，a2，…，an满足什么条件时f(x1，x2，…，xn)正定?
正确答案：记y1=x1+a1x2，y2=x2+a2x3，…，yn=xn+anx1，则简记为Y=AX． 则f(x1，x2，…，xn)=YTY=XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(x1，x2，…，xn)的矩阵．从而f正定就是ATA正定． ATA正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜=1+(－1)n－1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(－1)n． 涉及知识点：二次型
15． 设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A+B)=n，证明ATA+BTB正定．
正确答案：用正定的定义证明．显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA+BTB也是n阶实对称矩阵．由于r(A+B)=n，n元齐次线性方程组(A+B)X=0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A+n)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA+BTB)α=αTATAα+αTBTBα=‖Aα‖2+‖Bα‖2＞0．根据定义，ATA+BTB正定． 涉及知识点：二次型
16． 设A是3阶实对称矩阵，满足A2+2A=0，并且r(A)=2．(1)求A的特征值．(2)当实数后满足什么条件时A+kE正定?
正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设λ是A的一个特征值，则λ2+2λ是A2+2A的特征值．而A2+2A=0，因此λ2+2λ=0，故λ=0或－2．又因为r(A－0E)=r(A)=2，特征值0的重数为3－r(A－0E)=1，所
考研数学(数学二)模拟试卷489(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷489 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设则f(x，y)在点O(0，0)处 ( )
A．两个偏导数存在，函数不连续．
B．两个偏导数不存在，函数连续．
C．两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微．
D．可微．
正确答案：C
解析：所以函数在点(0，0)处连续，且fˊx(0，0)与fˊy(0，0)均存在．再看可微性，若f(x，y)在点(0，0)处可微，则f(△x，△y)－f(0，0)= fˊx(0，0)△x+ fˊy(0，0)△y+成立．上面已有fˊx(0，0)= 0，fˊy(0，0)=0，于是应有f(△x，△y) ．而当(x， y)→(0，0)时．不妨设y=kx→0，则并不趋于0所以当(△x，△y)→(0，0)时，f(△x，△y)不是的高阶无穷小．故f(x，y)在点O(0，0)处不可微．选
C．
2．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
3．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：
4．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
5．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
6．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：
7． 已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：A
解析：设αi＝(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i＝1，2，3)，由已知条件有 βiTαi＝0(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)， 即βi(i＝1，2，3，4)为方程组的非零解． 由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4，的秩为1，选A．
考研数学二(选择题)模拟试卷90(题后含答案及解析)
考研数学二（选择题）模拟试卷90 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )
A．低阶无穷小
B．高阶无穷小
C．等价无穷小
D．同阶但非等价无穷小
正确答案：D
解析：先改写其中，则。故选D。 知识模块：函数、极限、连续
2． 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( )
A．ln3—1。
B．一ln3—1。
C．一ln2—1。
D．ln2—1。
正确答案：C
解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。故选C。 知识模块：一元函数微分学
3． 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )
A．C=P—1AP
B．C=PAP—1
C．C=PTAP
D．C=PAPT
正确答案：B
解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。 知识模块：矩阵
4． 设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )
A．2．
B．一1．
C．．
D．一2
正确答案：D
解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选
D． 知识模块：一元函数微分学
5． 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( )
考研数学二(填空题)模拟试卷101(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷101 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)可导且在x=0处连续，则a=_________
正确答案：3
解析：由因为g(x)在x=0处连续，所以a=3． 知识模块：函数、极限、连续
2． =_____________.
正确答案：e9
解析：化为指数函数求极限，则有 知识模块：函数、极限、连续
3． 对数螺线，ρ＝eθ在点(ρ，θ)＝处的切线的直角坐标方程为_______．
正确答案：； 涉及知识点：一元函数微分学
4．
正确答案：1 涉及知识点：一元函数积分学
5． ＝_______．
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
6． 已知当x→0时，(1+ ax2)一1与cosx 一1是等价无穷小，则常数a=________．
正确答案： 涉及知识点：高等数学
7． 设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立． ①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关． ③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关． ④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．其中成立的为________．
正确答案：①，③，④．
解析：①直接从定理3．2得到．②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定为4，线性无关．④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4． 知识模块：向量组的线性关系与秩
考研数学二(解答题)模拟试卷103(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷103 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 证明=(n+1)an．
正确答案：本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法．记此行列式为Dn，对第1行展开，得递推公式 Dn=2aDn－1－a2Dn－2．用数列技巧计算． Dn=2aDn－1－a2Dn－2．改写为Dn－aDn－1=a(Dn－1－aDn－2)，记Hn=Dn－aDn－1(n≥2)，则n≥3时Hn=aHn－1，即{Hn}是公比为a的等比数列．而H2=D2－aD1=3a2－2a2=a2，得到Hn=an，于是得到一个新的递推公式
Dn=aDn－1+an，两边除以an，得Dn／an=Dn－1／an－1+1．于是{Dn／an}是公差为1的等差数列．D1／a=2，则 Dn／an=n+1，Dn=(n+1)an． 涉及知识点：行列式
2． 求
正确答案：因为∫01(1-u)sinxudu=sinx，∫12(u-1)sinxudu=所以原式
涉及知识点：高等数学
3．
正确答案：令f(χ)＝arctanχ，由微分中值定理得 涉及知识点：函数、极限、连续
4． 求极限
正确答案：原式= 涉及知识点：函数、极限、连续
5． 设
正确答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n=1时，a1=设n=k时，ak≤3，当n=k+1时，ak+1=由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以存在．令 涉及知识点：函数、极限、连续
6． 设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx，其中f，φ都具有一阶连续偏导数，且≠0。求
正确答案：在等式u=f(x，y，z)的两端同时对x求导数，得到如下等式而，再在等式φ(x2，ey，z)=0的两端同时对x求导数，得到 涉及知识点：多元函数微积分学
7． 设f(x)在[x1，x2]可导，0＜x1＜x2，证明：∈(x1，x2)使得
考研数学二(解答题)模拟试卷193(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷193 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 讨论函数f(x)=的连续性，并指出间断点的类型．
正确答案：x=0为可去间断点,x=1为跳跃间断点，x=2k(k=±1．±2，…)为无穷间断点，其余点处连续． 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 求下列极限：
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 设矩阵A、B的行数都是m．证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．
正确答案：设B、X按列分块分别为B=[b1，b2，…，bm]，X=[x1，x2，…，xp]，则Ax=B即[Ax1，Ax2，…，Axp]=[b1，b2，…，bp]，故Ax=B有解线性方程组Axj=bj(j=1，2，…，p)有解，由非齐次线性方程组有解的充要条件，即得AX=B有解r(A)=r[A┆bj](j=1，2，…，p)A的列向量组的极大无关组也是矩阵[A┆bj](j=1，2，…，p)的列向量组的极大无关组r(A)=r[A b1 b2 … bp]=r(A┆B)． 涉及知识点：线性方程组
4． 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
正确答案：(Ⅰ)由条件知，A的特征值为1，1，0，且ξ=(1，0，1)T为A的属于特征值0的一个特征向量．设A的属于特征值1的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则ξ⊥x，得x1+x3=0，取A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量为(1，0，-1)T、(0，1，0)T．得正交矩阵Q=，则有QTAQ=diag(1，1，0)，故
A=Qdiag(1，1，0)TQ=(Ⅱ)A+E的特征值为2，2，1都大于零，且A+E为实对称矩阵，所以A+E为正定矩阵. 涉及知识点：二次型
考研数学(数学二)模拟试卷500(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷500 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设α是实数，f(χ)＝f(χ)在点χ＝1处可导，则α的取值范围( )
A．α＜－1
B．－1≤α＜0
C．0≤α＜1
D．a≥1
正确答案：A
解析：由导数定义知：f′+(1)＝ 当a＋1＜0，即a＜－1时，(χ－1)-(α＋1)为无穷小，sin为有界变量，故当α＜－1时，f′+(1)＝0，f′-(1)＝0，故f′(1)＝0．
2．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：
3．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：
4．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：
5．
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：
6． 设函数f(x)在(—∞，+∞)上连续，且分别在(—∞，0)与(0，+∞)上二次可导，其导函数f′(x)的图像如图(1)所示，则f(x)在(—∞，+∞)有
A．一个极大值点与两个拐点
B．一个极小值点与两个拐点
C．一个极大值点，一个极小值点与两个拐点
D．一个极大值点，一个极小值点与三个拐点
正确答案：D
解析：设a，b，c，d各点如图(2)所示，由题设可得下表：(注意，表中对应于x=x0处注有“拐点”是指对应的点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的一个拐点．)这表明函数f(x)有一个极大值点，一个极小值点以及三个拐点，结论D正确．
7． 下列函数在指定区间上不存在原函数的是
A．f(χ)＝∫0χ｜t｜dt，χ∈[－1，2]．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：选项A、B中的函数在给定区间上均连续，因而存在原函数．选项C、D中的函数除点χ＝0外均连续，χ＝0是它们的间断点．不同的是，选项C中点χ＝0是函数f(χ)的第二类间断点，选项D中χ＝0是函数f(χ)的第一类间
考研数学二(填空题)模拟试卷142(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷142 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 极限＝_______．
正确答案：e2； 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 若=______.
正确答案：5
解析：令2x3=y，则故=3+2=5． 知识模块：极限、连续与求极限的方法
3． 曲线上对应于t=1点处的法线方程为______。
正确答案：
解析：当t=1时，，则由此可得法线的斜率为一1，因此可得法线方程为即 知识模块：一元函数微分学
4． 设随机变量X与Y相互独立，且EX=μ1，EY=μ2，DX=σ12，DY=σ22，则COV(XY，X)=__________．
正确答案：μσ2．
解析：COV(XY，X)=E(XYX)-E(XY).EX=E(X2Y)一EX.E(XY)，因为随机变量X与Y相互独立，所以 cov(XY，X)=E(X2)EY-EX.EX.EY=[DX+(EX)2]EY-(EX)2.EY =(σ12+μ12)μ2-μ12μ2=μ2σ12． 知识模块：概率论与数理统计
5． 由方程χyz＋所确定的函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的全微分dz＝_______．
正确答案：dχ－dy 涉及知识点：多元函数微积分
6． y=sin4x+cos4x，则y(n)=___________(n≥1)．
正确答案：4n一1cos(4x+π)
解析： 知识模块：一元函数微分学
7． =______。
正确答案：
解析：设计算可得于是 知识模块：一元函数积分学
8． 设f(x)的一个原函数为xf’(x)dx=_________．
正确答案：
解析： 知识模块：高等数学
9． 设f(x)是以T为周期的连续函数，且F(x)=∫0xf(t)dt+bx也是以T为周期的连续函数，则b=_______．
正确答案：∫0Tf(t)dt．
解析：F(x+T)=∫0x+Tf(t)dt+b(x+T)=∫0xf(t)dt+bx+∫xx+Tf(t)dt+bT=F(x)+∫xx+Tf(t)dt+bT=F(x)+∫0Tf(t)dt+bT，由F(x+T)=F(x)，得b=∫0Tf(t)dt． 知识模块：高等数学部分
2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数二)
文档
1 / 15 2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数二）
一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1） 当0x时，下面4个无穷小量中阶数最高的是 （ ）
(A)2211xx(B)23545xxx
(C)33ln(1)ln(1)xx(D)1cos20sinxtdt
【答案】（D）
【解析】（A）项：当0x时，22222221111xxxxxx
（B）项：显然当0x时，235245xxxx
（C）项：当0x时，333333333122ln(1)ln(1)lnln12111xxxxxxxxx
（D）项：1cos322011100001sinsin(1cos)sin(1cos)2limlimlimlimxkkkkxxxxxtdtxxxxxkxkxkx
所以，13k，即4k时1cos200sinlimxkxtdtx存在，所以41cos20sin8xxtdt
（2）设0，函数在,有连续的三阶导数，000ff，且0()lim2xfxx，则下类选项中正确的是 （ ）
(A)(0)f是的极大值
(B)(0)f是()fx的极小值
(C)0,(0)f是()yfx的拐点 ()fx()fx1 2 3 4 5 6 7 8
D C A C B D D A 文档
2 / 15 (D)0x不是的极值点，0,(0)f也不是()yfx的拐点
【答案】（C）
【解析】由0()lim2xfxx00，当00x时，()0fxx，即()0fx，
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．1ln1yxex曲线的渐近线方程为（ ）。
A．y＝x＋e
B．y＝x＋1/e
C．y＝x
D．y＝x－1/e
【参考答案】B
【参考解析】1ln11limlimlimln1,1xxxxeyxkexxx
11limlimlnlimln11111limln1lim11xxxxxbykxxexxexxxxexexe
所以斜渐近线方程为y＝x＋1/e．
2．函数21,011cos,0xfxxxxx的原函数为（ ）。
A．2ln1,01cossin,0xxxFxxxxx
B．2ln11,01cossin,0xxxFxxxxx
C．2ln1,01sincos,0xxxFxxxxx
D．2ln11,01sincos,0xxxFxxxxx
【参考答案】D
【参考解析】当x≤0时，
212ddln11xfxxxxCx
当x＞0时，
2d1cosd1dsin1sinsind1sincosfxxxxxxxxxxxxxxC
原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x＝0处
2110limln1xxxCC，220lim1sincos1xxxxCC
考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=________。
正确答案：一1
解析：根据题意，β1(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即，因此可知，当a=一1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=－1。 知识模块：向量
2． 曲线直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为__________。
正确答案：
解析：直接利用旋转体的体积公式可得，如图1—3—10所示，x的积分从1到2。 知识模块：一元函数积分学
3． =________．
正确答案：3 涉及知识点：高等数学
4． 设x为3维单位列向量，E为3阶单位矩阵，则矩阵E一xxT的秩为__________.
正确答案：2
解析：由题设知，矩阵xxT的特征值为0，0，1，故E—xxT的特征值为1，1，0．又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E一xxT)=2． 知识模块：向量
5． 二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)的矩阵为________。
正确答案：
解析：f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)(b1x1+b2x2+b3x3)所以原二次型矩阵为。 知识模块：二次型