2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期初数学试题

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2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题(解析版)

点 N 在线段 OA 的延长线上，设 N (a, 2a), a 1 ，
当 a = 4 时， N (4,8), S = 16 ，
当 a 1，且 a 4 时，直线 MN 方程为
y − 2 = 2a − 2 (x − 4) ，令 y = 0, x = 4 − a − 4 = 3 + 3 ，
a−4
a −1 a −1
an = 3n−1, S3 = 1+ 3 + 9 = 13 .
故答案为:13. 【点睛】
本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.
9．已知 F1, F2
是椭圆 C :
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
0,b
0) 的左，右焦点， A
是C
的左顶点，点 P
在过 A 且斜率为 3 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2 P = 1200 ，则 C 的离心 6
____________. 【答ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】12
【解析】求出直线 OA 方程，设点 N 坐标，求出直线 MN 的方程，进而求出直线 MN 与 x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积 S 表示成 N 点坐标的函数，根据函数特征，利
用基本不等式求出最小值. 【详解】
点 A(1, 2) ，直线 OA 方程为 y = 2x ，
所以 sin C 的最大值为 34 . 6
故答案为: 34 . 6
【点睛】
本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于
中档题.
4x −1 , x 1
14．已知函数
f
(x)
=
6
，若方程 f ( f ( x)) = a 恰有 5 个不同的实数根，

2020届江苏省南京市高三下学期阶段考试数学试题(解析版)

A x x 3 x 0 0,3 B x y lg 2 x
B x 2 x 0 , 2
A B 0, 2 故答案为：0, 2 .
【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．某中学有高一学生 400 人，高二学生 300 人，高三学生 500 人，现用分层抽样的方法在这三个年级中抽取 120 人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为______.
再次执行循环体后，
I 15 2 17
，满足退出循环的条件，
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故输出的 P 值为 64
故答案为： 64 .
【点睛】
本题主要考查了根据利用循环结构计算并输出结果，解题关键是掌握框图基础知识，考
查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．设
f
x
x2 2x 1, x 2x 6, x 0
2020 届江苏省南京市高三下学期阶段考试数学试题
一、填空题
1．集合 A x x2 3x 0 , B x y lg 2 x ，则 A B ______.（用区间表示）
【答案】0, 2
【解析】化简集合 A, B ，根据交集运算，即可求得答案.
【详解】
A x x2 3x 0 ,
【答案】 96 里.
【解析】根据题意可知此人行走的里程数为等比数列，设出第一天行走的里程，即可由
等比数列的前 n 项和公式，求得首项.即可求得第二天行走的路程里数.
【详解】
由题意可知此人行走的里程数为等比数列
设第一天行走的路程为 m ,且等比数列的公比为 q 1 2
则由等比数列的前
n
项和公式
Sn
1
【答案】

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期期初检测试题数学试题(含附加题) Word版含答案

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知{}231,x A x xR +=≥∈，211,3x B x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，则A B =I __________．2．复数(1)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的在第__________象限． 3．某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为__________．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是__________．5．抛物线28y x =的焦点坐标为__________．（第4题）（第13题）6．若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从1，2两个数中任取的一个数，则关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根的概率是__________．7．已知某圆锥底面圆的半径1r =，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为__________． 8．已知等差数列{}n a 中，3421a a -=-，30a =，则{}n a 的前10项和是__________．9．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为__________．10．已知点A （0，3），直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．若圆C 上存在点M ，使得|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为__________． 11．已知不等式2121xx ->-的解集为A ，不等式()22100x x m m ++-≤>的解集为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 12．已知0a >，0b >，且31126a b a b++≤+，则3ab a b +的最大值为__________．13．如图，已知AB AC ⊥，3AB =，AC =A 是以A 为圆心半径为1的圆，圆B是以B 为圆心的圆．设点P ，Q 分别为圆A ，圆B 上的动点，且12AP BQ =u u u r u u u r ，则CP CQ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________．14．若1x ，2x 是函数()2ln 2f x x m x x =+-，m R ∈的两个极值点，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ．（1）求证：A ＝C ；（2）若b ＝2，BA →·BC →＝1，求sin B 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证：（1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．17．（本小题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O e 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ．（1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．（第16题）BACDD 1B 1A 1C 1（第17题）18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为12，右准线方程为x ＝4，A ，B分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（其中，M 在x 轴上方）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设线段MN 的中点为D ，若直线OD 的斜率为－12，求k 的值；（3）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝32，求M 的坐标．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝ln x ＋ax＋1，a ∈R ．（1）若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x ＋b ，求a ，b 的值；（2）记g (x )＝f (x )＋ax ，若函数g (x )在区间(0，12)上有最小值，求实数a 的取值范围；（第18题）（3）若当a ＝0时，关于x 的方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．20．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且111λ+++-=-n n n n n na S a S a a 对一切*n ∈N 都成立．（1）当λ＝1时， ①求数列{}n a 的通项公式；②若,)1(n n a n b +=求数列{}n b 的前n 项的和T n ；（2）是否存在实数λ，使数列{}n a 是等差数列．如果存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤2 1 1 2．（1）求M 2；（2）求矩阵M 的特征值和特征向量．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p＞0)及点M(2，0)，动直线l过点M 交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设nnnx a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn kk S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值；（2）求n S ．南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷数学试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（必做题，160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．[]2,4- 2．二 3．6 4．55．()2,0 6．58 7．38．2529．12 10．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．[)4,+∞ 12．19 13．[]1,11- 14．3ln 2,02⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos Acos C ，得 (sin A cos B ＋sin B cos A ) cos C ＝sin C cos A ，…………2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，…………4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．…………6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．…………8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．…………10分所以cos B ＝13．…………12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．…………14分16．（本小题满分14分）解：（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，所以AD ∥BC ．…………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1，所以BC ∥平面ADD 1A 1．…………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，…………8分在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以DD 1⊥BC ，…………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面BDD 1B 1，…………12分因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．…………14分 17．（本小题满分14分）解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以»103AB π=，…………2分所以广场的面积为2211050(1010)10100233ππ⋅⋅+=+-答：广场的面积为501003π+-6分（2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===，…………8分由余弦定理得2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥o ，…………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=o时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+=因此求4条小路的总长度的最小值为答：4条小路的总长度的最小值为14分 18．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，c a ＝12，且a 2c ＝4，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．…………4分（2）设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1．两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，14＋13·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以14＋13·k ·(－12)＝0，得k ＝32． …………8分（3）由题意，S 1S 2＝32，即12·|AF |·|y 1| 12·|BF |·|y 2|＝32，整理可得|y 1||y 2|＝12，…………10分所以→NF ＝2→FM ．代入坐标，可得⎩⎨⎧1－x 2＝2(x 1－1)－y 2＝2y 1，即⎩⎨⎧x 2＝3－2x 1y 2＝－2y 1．…………12分又点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 124＋y 123＝1 (3－2x 1)24＋(－2y 1)23＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝74y ＝38 5．所以M 的坐标为(74，358)．…………16分19．（本小题满分16分）解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x ＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．…………2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2．设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12) ，则m (0)＝－a ＜0 ，m (12)＝a 4＋12－a ＞0 ，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．…………6分（ii ）若a ＜0，此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．…………10分 ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．…………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be2＜0．又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．…………16分20．（本小题满分16分）解：（1）①若1λ=，因为111n n n n n n a S a S a a λ+++-=-，则()()1111n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵0n a >，0n S >，∴1111n n n nS a S a +++=+，∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．① ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②②－①，得12n n a a +=，即()122n na n a +=≥． ∵当1n =时，22a =，1n =时上式也成立，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n n a -=．…………4分②因为()1n n b n a =+，∴()112n n b n -=+⋅．所以012212232422(1)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以123122232422(1)2n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，所以1212222(1)2n nn T n --=++++-+⨯L 12(12)2(1)2212n n n n n --=+-+⨯=-⨯-，所以2nn T n =⋅．…………8分（2）令1n =，得21a λ=+．令2n =，得()231a λ=+．要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得0λ=．当0λ=时，()111n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．…………10分当2n ≥时，()()()1111n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+，从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=．…………14分综上所述，()*1Nn a n =∈，所以0λ=时，数列{}n a 是等差数列．…………16分第Ⅱ卷（选做题，40分）21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1） M 2＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ＝⎣⎡⎦⎤5445 ．…………4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．…………6分 ①当λ＝1时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x y ，得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1．…………8分②当λ＝3时，⎣⎡⎦⎤ 2 1 1 2 ⎣⎡⎦⎤x y ＝3⎣⎡⎦⎤xy ，得⎩⎨⎧x －y ＝0，x －y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎡⎦⎤11．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎡⎦⎤1－1，⎣⎡⎦⎤11．…………10分 B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：分别化为普通方程得直线1x =与圆22(1)1x y +-=，…………4分易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，，…………6分所以交点Q 的极坐标是)π4，．…………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．…………4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k．…………6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k (x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k(x －2)，…………8分解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k ，即P (1，1k)，所以，点P 在定直线x ＝1上．…………10分 23．（本小题满分10分）解：（1）0111111101=-=+=a a S ；231121111112102=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ．…………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤，因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………8分所以∑==nk k n a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=．…………10分。

南师附中2020届高三年级第二学期期初检测试卷及答案(含附加题)

数学试题
第卷（选做题，40 分）
21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知矩阵 M＝
2 1
1 2
．
（1）求 M2；
（2）求矩阵 M 的特征值和特征向量．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设线段
MN
的中点为
D，若直线
OD
的斜率为－1，求 2
k
的值；
（3）记 AFM， BFN 的面积分别为 S1，S2，若SS12＝32，求 M 的坐标．
y
x＝4
l
M
FB
A
O
x
N （第 18 题）
19．（本小题满分 16 分）已知函数 f(x)＝lnx＋ax＋1，a R．（1）若函数 f(x)在 x＝1 处的切线为 y＝2x＋b，求 a，b 的值；（2）记 g(x)＝f(x)＋ax，若函数 g(x)在区间(0，12)上有最小值，求实数 a 的取值范围；
高三数学试卷第 4 页共 5 页
（3）若当 a＝0 时，关于 x 的方程 f(x)＝bx2 有两个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围．
20．（本小题满分 16 分）
设各项均为正数的数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1 = 1 ，且 an Sn+1 − an+1Sn = an+1 − λan
D1
C1
A1 B1
D
C
A B
（第 16 题）
17．（本小题满分 14 分）
如图，圆 O 是一半径为10 米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中 A, B 两点在 O 上， A, B,C, D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在 A, B, C, D 四点处安装四盏照明设备，从圆心 O 点出发，在地下铺设 4 条到 A, B,C, D 四点线路 OA,OB, OC, OD ．

江苏省南京师大附中2020届高三数学下学期模拟考试试题2含解析

（1)当立柱和立柱高度相同时，求两立柱的总造价;
(2）求立柱和立柱总造价的最小值．
【答案】（1）万元；（2) 万元．
【解析】
【分析】
设两立柱的总造价为y万元．
（1）过C作的垂线分别交，于，，根据题中数据,求出，即可得出结果；
（2）过B作的垂线，垂足为F，过C作的垂线，垂足为G，设，
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可知与共线反向，令 ,然后由和列方程求解即可。
【详解】解：因为平面向量与的夹角是 ,
所以设，即，
因为，所以 ,得 ,
因为，所以 ,
所以 ,
故答案为：
【点睛】此题考查共线向量,向量的模,向量的坐标运算，属于基础题.
10. 已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点,且的最大值为，则椭圆的离心率为______．
试题解析：（1）在直三棱柱中， , ，所以 ,因为，所以 ,又，所以，因为，所以，因为在平面中，，所以四边形为正方形，因为点分别为的中点，所以 ∽ ，所以，所以，即，又因为，所以。
（2）连接交于点 ,连接交于点，连接，
在正方形中利用及平面几何知识可得，在正方形中利用 ∥ 且可得，所以在中, ，所以，又平面，平面，所以平面．
12. 在△ABC中,角A，B,C的对边分别是a，b，c．已知a＝2，3bsinC－5csinBcosA＝0，则△ABC面积的最大值是．
【答案】2
【解析】
试题分析:由正弦定理得: 又即．
又 ∴ ，，
由余弦定理得，
当且仅当时，等号成立；
所以，

江苏省南京师范大学附属中学2020届高三下学期六月押题数学试卷含附加题

江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷(2020．6)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n (x i －x)2，其中x ＝1nx i .锥体的体积V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．球体的表面积S ＝4πr 2，其中r 是球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z }，B ＝{x|－1，0，1，6}，则A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝(1－2i)(a ＋i)，其中i 是虚数单位．若z 的实部为0，则实数a 的值为________．3. 样本数据6，7，10，14，8，9的方差是________．4. 右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为________．5. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛郑2次，则出现向上的点数之和为6的倍数的概率是________．6. 已知函数y ＝sin(2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于点(2π3，0)对称，则φ的值是________．7. 已知PABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16 π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，则该三棱锥的体积为________．8. 若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则抛物线y ＝14x 2的焦点到双曲线C 的渐近线距离为________．9. 已知函数f(x)＝sin x ＋2x ＋x 3.若f(a －6)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＋a 2＋a 5＝47，a 3＋a 4＝28.若存在正整数k ，使得对任意的n ∈N *都有S n ≤ S k 恒成立，则k 的值为________．11. 已知圆O ：x 2＋y 2＝m(m ＞0)，直线l ：x ＋2y ＝10与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．若圆O 上存在点P 使得△PAB 的面积为252，则实数m 的最小值为________．12. 已知点G 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点．若AB →·GD →＝6，AC →·GF →＝32，则BC →·GE →＝________．13. 已知函数f(x)＝a |x|，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，－x ＋116，x ≤0.若关于x 的方程f(x)＝g(x)有3个不同的实数根，则实数a 的取值集合为________．14. 在锐角三角形ABC 中，已知cos 2B ＋cos 2Asin 2B ＝4cos 2Acos 2B ，则sin 2Asin 2B4cos 2C ＋2sin 2Asin 2B的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在△ABC 中，已知sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C.(1) 求cos(B ＋π3)的值；(2) 若D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．16.(本小题满分14分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为菱形，且AB ＝BC 1，点E ，F 分别为BB 1，A 1C 1的中点．求证：(1) 平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC ； (2) EF ∥平面A 1BC.某处有一块闲置用地，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧AB ︵和两条线段AC ，BC构成．已知圆心O 在线段AC 上，现测得圆O 半径为2百米，∠AOB ＝2π3，BC ⊥AC.现规划在这片闲置用地内划出一片梯形区域用于商业建设，该梯形区域的下底为AC ，上底为MN ，点M 在圆弧AD ︵(点D 在圆弧AB ︵上，且OD ⊥OA)上，点N 在圆弧BD ︵上或线段BC 上．设∠AOM ＝θ.(1) 将梯形ACNM 的面积表示为θ的函数；(2) 当θ为何值时，梯形ACNM 的面积最大？求出最大面积．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，其右焦点F 到其右准线的距离为1，离心率为22，A ，B 分别为椭圆Γ的上、下顶点，过点F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆Γ交于C ，D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q.(1) 求椭圆Γ的标准方程；(2) 当CD ＝852时，求直线l 的方程；(3) 求证：OP →·OQ →为定值．设f(x)＝a(x －1)2－e x ＋ex ，g(x)＝e x (x －1)＋12ax 2－(a ＋e)x ，a ∈R ，其中e 为自然对数的底数(e ＝2.718 2…)．(1) 当a ＝e 时，求g(x)在(1，g(1))处的切线方程； (2) 设F(x)＝f(x)＋g(x)，求F(x)的单调区间； (3) 当≥1时，f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围．已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，且满足a1＝a，a n＋1－a n＝d（a n＋1＋a n）.(1) 若d＝1，a3＝6，求a的值；(2) 设数列{b n}满足b n＝a n＋1－a n，其前n项的和为S n.①求证：{b n}是等差数列；②若对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得S n＝b m成立．求证：S n≤(2n－1)b1.江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b ，点P(3，－1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(3，5)． (1) 求a 和b 的值；(2) 求矩阵A 的特征值．B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin(θ－π6)＝a ，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ.若直线l与曲线C 相切，求实数a 的值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ，b ，c 为正实数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋2ca ＋b的最小值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校举办的体育节设有投篮项目．该项目规定：每位同学仅有三次投篮机会，其中前两次投篮每投中一次得1分，第三次投篮投中得2分，若不中不得分，投完三次后累计总分．(1) 若甲同学每次投篮命中的概率为25，且相互不影响，记甲同学投完三次后的总分为X ，求随机变量X 的概率分布列；(2) 若(1)中的甲同学邀请乙同学一起参加投篮项目，已知乙同学每次投篮命中的概率为12，且相互不影响，甲、乙两人之间互不干扰．求甲同学的总分低于乙同学的总分的概率．23.在空间直角坐标系中，有一只电子蜜蜂从坐标原点O 出发，规定电子蜜蜂只能沿着坐标轴方向或与坐标轴平行的方向行进，每一步只能行进1个单位长度，若设定该电子蜜蜂从坐标原点O 出发行进到点P(x ，y ，z)(x ，y ，z ∈N )经过最短路径的不同走法的总数为f(x ，y ，z)．(1) 求f(1，1，1)，f(2，2，2)和f(n ，n ，n)(n ∈N *)；(2) 当n ∈N *，试比较f(n ，n ，n)与（4n ＋1）2n4n ·（n ！）2的大小，并说明理由．江苏省南师附中2020届高三模拟考试试卷数学参考答案及评分标准1. {－1，0，1}2. －23. 2034. 1005. 166. －π37. 9438. 139. ⎣⎡⎦⎤－2，32 10. 1011. 5 12. －92 13. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2e 14. [613，12)15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，sin 2A －2sin A ·sin C ＝sin 2(A ＋C)－sin 2C ，所以由正弦定理可知BC 2－2BC ·AB ＝AC 2－AB 2，BC 2＋AB 2－AC 2＝2BC ·AB ，(2分)cos B ＝BC 2＋AB 2－AC 22BC ·AB＝22.因为在△ABC 中，B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(5分)所以cos(B ＋π3)＝cos Bcos π3－sin Bsin π3＝22×12－22×32＝2－64.(7分)(2) 由余弦定理可知，在△ACD 中，cos C ＝DC 2＋AC 2－AD 22AC ·DC ＝32＋72－522×7×3＝114，(9分)因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，sin C ＝1－cos 2C ＝1－（114）2＝5314.(11分)由正弦定理可知，在△ABC 中，AB sin C ＝AC sin B ，所以AB 5314＝722，所以AB ＝562.(14分)16. 证明：(1) 连结AC 1交A 1C 于O 点，连结BO. 在△ABC 1中，因为AB ＝BC 1，所以BO ⊥AC 1.(2分) 因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线A 1C ⊥AC 1.(4分)因为BO ∩A 1C ＝O ，BO ，A 1C ⊂平面A 1BC ，所以AC 1⊥平面A 1BC.(6分) 因为AC 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面AA 1C 1C ⊥平面A 1BC.(7分)(2) 连结FO ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，所以对角线互相平分，点O 为A 1C 的中点．因为点F 为A 1C 1的中点，所以在△A 1CC 1中，FO ∥CC 1，FO 綊12CC 1，(9分)在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧棱BB 1綊CC 1，又点E 为BB 1的中点，所以BE 綊12CC 1.又FO 綊12CC 1，所以BE 綊FO ，四边形BEFO 是平行四边形，(12分)所以EF ∥BO.因为EF ⊄平面A 1BC ，BO ⊂平面A 1BC ，所以EF ∥平面A 1BC.(14分)17. 解：(1) 因为点M 在圆弧AD ︵上，OD ⊥OA ，当点M 分别与点A ，D 重合时，梯形不存在，所以θ∈(0，π2)．过点B 作BB′∥CA ，且BB′交圆弧AD ︵于点B′，连结B′O ，因为OD ⊥OA ，所以BB′⊥OD. 由垂径定理可知OD 垂直平分BB′，因此∠B′OD ＝∠BOD ＝∠AOB －∠AOD ＝2π3－π2＝π6，∠AOB ′＝∠AOD －∠B′OD＝π2－π6＝π3，因此，当θ∈(π3，π2)时，点N 在圆弧BD ︵上，当θ∈(0，π3]上时，点N 在线段BC 上．设OD ∩MN ＝H ，① 当θ∈(π3，π2)时，因为MN ∥CA ，所以∠HMO ＝∠AOM ＝θ.又OD ⊥OA ，所以MN ⊥OD.由垂径定理可知HM ＝HN ，在Rt △OHM 中，HM ＝OMcos ∠OMH ＝2cos θ， HO ＝OMsin ∠OMH ＝2sin θ，BC ⊥AC ，所以在Rt △OBC 中，∠COB ＝π－∠AOB ＝π－2π3＝π3，CO ＝OBcos ∠BOC ＝2cosπ3＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(2MH ＋AO ＋OC)＝sin θ(4cos θ＋3)，(4分)② 当θ∈(0，π3]时，因为BC ⊥AC ，OD ⊥OC ，MN ⊥OD ，所以四边形OCNH 为矩形，故NH ＝OC ＝1，所以梯形ACNM 的面积S(θ)＝12OH ·(MN ＋AC)＝12OH ·(MH ＋NH ＋AO ＋OC)＝2sin θ(cos θ＋2)．(6分)综上，S(θ)＝⎩⎨⎧2sin θ（cos θ＋2），θ∈（0，π3]，sin θ（4cos θ＋3），θ∈（π3，π2）.(7分)(2) ① 当θ∈(π3，π2)时，S(θ)＝sin θ(4cos θ＋3)，S ′(θ)＝cos θ(4cos θ＋3)＋sin θ(－4sin θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4.因为θ∈(π3，π2)时，cos θ∈(0，12)，cos 2θ＜14，所以S′(θ)＝8cos 2θ＋3cos θ－4＜8×14＋3×12－4＝－12＜0，故S(θ)在(π3，π2)上单调递减，S(θ)＜S(π3)＝sin π3·(4cos π3＋3)＝532.(10分)② 当θ∈(0，π3]时，S(θ)＝2sin θ(cos θ＋2)，S ′(θ)＝2cos θ(cos θ＋2)＋2sin θ(－sin θ)＝4cos 2θ＋4cos θ－2.因为θ∈(0，π3]时，cos θ∈[12，1)，cos 2θ≥14，。

南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟数学试卷数学模拟参考答案

数学试卷参考答案第 1 页共 7 页南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅰ试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{1，2} 2．1 3．2 4．11 5．[1，2) 6．61 7．338π 8．12π9．5 10．15 11．3 12．),3()0,(+∞⋃-∞ 13．43-14．),2ln 23[+∞- 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……………… 2分因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ，于是12sin B ＝13sin B cos B ，……………… 4分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213．……………… 7分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513．……………… 9分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26．……………… 11分又因为a ＋c ＝15，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，……………… 13分因此b ＝55．……………… 14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE ．……………… 3分又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE ．……………… 5分（2）连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥．……………… 7分又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1AC CC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ．又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥．……………… 9分在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形，又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC AC ⊥．……………… 11分又1BCAC C =，BC ⊂平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥．……………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）22211122S r r θθ=-113692323ππ=⨯⨯-⨯⨯()292m =π，数学试卷参考答案第 2 页共 7 页答：花坛的面积为()292m π．……………… 4分（2）圆弧AB 的长为1r θ米，圆弧CD 的长为2r θ米，线段AD 的长为21()r r -米．由题意知()()2112602901200r r r r θθ⋅-++=，即()()21214340r r r r θθ-++=(*)，……………… 6分 ()()22212121111222S r r r r r r θθθθ=-=+-，……………… 9分由(*)式知，()212140433r r r r θθ+=--，记21,r r x -=则010x <<．所以1404233S x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()()225050,1033x x --+∈，．……………… 12分当5x =时，S 取得最大值，即215r r -=时，花坛的面积最大．答：当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大．……………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）由题得1c =，12c e a ==，2a ∴=，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆C 方程为22143x y +=．……………… 4分（2）设()00,B x y ，B 是AP 中点，()4,0P ，()0024,2A x y ∴-． ,A B 都在椭圆上，()22002200143244143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨-⎪+=⎪⎩解得00748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，7,48B ⎛∴ ⎝⎭或7,48B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．……………… 6分87644l k ∴==--或87644l k ==-， ∴直线l60y --=60y +-=．……………… 9分（3）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,E x y -，设D 为直线AE 与x 轴的交点，且(),0D m ，,,A D E 三点共线，1212y y x m x m -∴=--解得122112x y x y m y y +=+．……………… 11分设直线l 方程为()4y k x =-，0k ≠，则()114y k x =-，()224y k x =-，()()()()121212121212242488kx x k x x x x x x m k x x k x x -+-+∴==+-+-，联立()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222343264120k x k x k +-+-=，21223234k x x k ∴+=+，2122641234k x x k-=+，……………… 13分则()222212122122641232242434341328834k k x x x x k k m k x x k-⨯-⨯-+++===+--+．……………… 15分数学试卷参考答案第 3 页共 7 页∴直线AE 与x 轴相交于定点()1,0．……………… 16分19．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，则1(21)(1)()212x x f x x x +-+'=-+=，当1x ＞时，()0f x '＜，()f x 单调递减；当01x ＜＜时，()0f x '＞，()f x 单调递增；所以当1x =时，()f x 的极大值为(1)0f =，无极小值．……………… 4分（2）方法一：∵0x ＞，∴由()0f x ≤恒成立得ln xa x x≤-恒成立，令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=，令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， ∵0x ＞，故()0h x '＞，∴2()1ln h x x x =-+在(0，+∞)单调递增，又(1)0h =，∴()0,1x ∈，()0h x ＜，()1,x ∈+∞，()0h x ＞，即()0,1x ∈，()0g x '＜，()1,x ∈+∞，()0g x '＞， ∴()0,1x ∈，()g x 单调递减，()1,x ∈+∞，()g x 单调递增，∴1x =时，()g x 取极小值即最小值(1)1g =，∴1a ≤．……………… 8分方法二：2121()22x ax f x x a x -++'=-+=，由二次函数性质可知，存在()00x ∈+∞,，使得0()0f x '=，即2210x ax -++=，且当()00,x x ∈时，0()0f x '＞，当()0,x x ∈+∞时，0()0f x '＜，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，∴22000000()()ln ln 1f x f x x x ax x x ==-+=+-，由题意可知，2max 000()()ln 10f x f x x x ==+-≤，设2()ln 1g x x x =+-，则1()20g x x x'=+＞，即()g x 单调递增． ∴()0g x ≤的解集为(0，1]，即(]00,1x ∈，∴(]0012,1a x x =-∈-∞．……………… 8分（3）由（2）可知200()ln 1f x x x =+-，则曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，由题意可知对任意k ∈R ，证明：方程2ln 1x x kx +-=均有唯一解，设2()ln 1h x x x kx =+--，则2121()2x kx h x x k x x-+'=+-=．……………… 9分 ①当0k ≤时，()0h x '＞恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，∵(1)0h k =-≥，22()1(1)10k k k k k f e k e ke k e e =+--=-+-≤所以存在0x 满足201kex ≤≤时，使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 11分②当0k ＞且280k ∆=-≤，即0k ≤＜()0h x '≥恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，数学试卷参考答案第 4 页共 7 页∵(1)0h k =-＜，(()236333()310f e e ke e k e =+--=-+＞，∴存在()301,x e∈使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 13分③当k ＞时，()0h x =有两解12,x x x =，不妨设12x x ＜，因为1212x x ⋅=，所以122x x ，列表如下：由表可知，当1x x =时，()h x 的极大值为21111()ln 1h x x x kx =+--，∵211210x kx -+=，∴2111()ln 20h x x x =--＜．∴21()()0h x h x ＜＜，22222222()1()10k k k k k h e k e ke e k e k =+--=-+-＞ ∴存在()202,k x x e∈，使得0()0h x =，又()h x 单调递增，所以0x x =为唯一解．……………… 15分综上，原命题得证．……………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）由23n n S a +=①，得()11232n n S a n --+=≥②，由①—②得120n n n a a a -+-=，即()1123n n a a n -=≥，对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以113n n a a -=为常数，……………… 2分所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，*n N ∈．……………… 4分（2）①由113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得对于任意*n N ∈有2111211111333333n n n n n b b b b n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭③，则()()2221231111131323333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，则()23111231111112233333n n n n n b b b b n n -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，由③—⑤得()212n b n n =-≥，对③取1n =得，11b =也适合上式，……………… 5分因此21n b n =-，*n N ∈．……………… 8分②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则()11412121333n n n n nn n n c c +--+--=-=，所以当1n =时，1n n c c +=，即12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，即{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，故12345c c c c c =>>>>…，……………… 9分假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈，由于12345c c c c c =>>>>…，可不妨设s p r <<，则2p s r c c c =+(*)，数学试卷参考答案第 5 页共 7 页即()1112212121333p s r p s r ------=+，……………… 10分因为s ，p ，*r N ∈且s p r <<，则1s p ≤-且2p ≥，由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -≥，即12212333s p s p ----≥，因为12103r r r c --=>，所以()11122212121233333p s r p p s r p --------=+>，即()122212333p p p p ---->，化简得72p <，……………… 12分又2p ≥且*p N ∈，所以2p =或3p =，当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r ≥时，21r c c <=，此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．……………… 13分当3p =时，由题意得1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==，代入(*)式得19r c =，因为数列{}n c 在2n ≥且*n N ∈上单调递减，且519c =，4r ≥，所以5r =，……………… 15分综上所述，数列{}n c 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．……………… 16分南京师范大学附属扬子中学2020届高三年级一模模拟试卷数学Ⅱ试题参考答案21．[选做题]（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A ．解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………… 4分（2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x yy x ''=+⎧⎨=⎩，因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．……………… 10分B ．解：把直线化为普通方程为2x y +=，……………… 2分将圆化为普通方程为22220x x y y ++-=，即()()22112x y ++-=．……………… 5分圆心C 到直线l的距离d == 8分所以直线l 与圆C 相切．……………… 10分C ．证明：由柯西不等式，得2222111x y z x y z yz x ⎛⎫⎛⎫++++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2222111111x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴222111x y z y z x x y z++≥++．……………… 8分当且仅当x y z ==时等号成立．……………… 10分[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）数学试卷参考答案第 6 页共 7 页解：（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A ，则A 为一次取出的3个小球上有两个数字相同，∴()114739281843C C P A C ===()12133P A ⇒=-=．……………… 4分（2）由题意可知ξ所有可能的取值为：2，3，4，5．()21122222394128421C C C C P C ξ+====；()211242423916438421C C C C P C ξ+====； ()21126262393634847C C C C P C ξ+====；()28392815843C P C ξ====． ∴ξ的分布列为：……………… 8分则()143185234521217321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．答：随机变量ξ的期望是8521．……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（1）()()()()()()!!!!!!!!!!!k m m k mn k n n m n m n k n C C C C k n k m k m m n m k m n k ----=⋅-⋅-----！()()()()!!0!!!!!!n n m n k k m m n k k m =-=----．……………… 2分（2）由（1）得k m m k mn k n n m C C C --=，令1m =可得1111k k n k n n C C C C --=，即11k k n n kC nC --=，所以1111k k n n C C n k--=，……………… 3分 ()()()()1111111=1nnn n k n k n kk m k k m k k m k n k n k n k k m k m k m F x C C x x C C x x C C x x k nn -----===∴=⋅-=--∑∑∑()()()()1111n n n k n m k m m k m k m m k m k m n n m n n m k m k mC C x x C x C x x n n ---------===-=-∑∑()111n m m m m m m m n n a C x x x C x x n n n-=-+==⎡⎤⎣⎦，因此，mm n a C =．……………… 5分（3）()()()1112342234111111111k n n nn nk k nn n n nA a a a a a C C C C +++=---==-+-++=-+-++∑L L ，所以()222123421212121211111n n n n n n n A CC CC +++++++-=-+-++L，即212321221212121212111111n n n n n n n n n A C C C C C +-++++++=-+-+-+L ①，2121221222212121212111111n n nn n n n n n n A C C C C C ++--+++++=-+-+-L ②，①+②得2121221211122n n n n n A C C ++++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，212122121111212121n n nn n nA C C n n ++++∴=-=-=++，……………… 6分下面用数学归纳法证明2111121123n n n n n n n>++++++++．数学试卷参考答案第 7 页共 7 页（i ）当1n =时，则有2132>，结论成立；……………… 7分（ii ）假设当()n k k N*=∈时，21112112k kk k k k>+++++++L ，那么当1n k =+时，()()1112311k k k k ++++++++L 11111111231111k k k k k k k k k k =++++++-++++++++++L 21112111121111121212222k k k k k k k k k k k k <++-=+-=-+++++++++++()()2112212323211k k k k k ++<-==++++，所以当()1n k k N*=+∈时，结论也成立．……………… 9分根据（i ）（ii ）211111123n A n n n n n+>+++++++恒成立．……………… 10分。

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2020届江苏省南京师大附属扬子中学高三下学期期
初数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 已知集合，，若，则
________．
2. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数______.
3. 一组数据4，5，6，8，的平均数为7，则该组数据的方差为______.
4. 袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有
“1”?“2”?“3”?“4”这四个数.现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______.
_____．
S←1
I←2
While S≤100
I←I + 2
S←S×I
End Whlie
Print I
6. 设双曲线的离心率为，则的渐近线方程为
___________.
7. 在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．
8. 若函数为偶函数，则的值为
________．
9. 如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的
值为________.
10. 已知函数，则不等式的解集为
_________.
11. 如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若
，，，则的值为
______．
12. 若为半圆直径延长线上的一点，且，过动点作半圆的切线，切点为，若，则面积的最大值为____．
13. 已知的三个角所对的边为.若，为边
上一点，且，则的最小值为_________.
14. 已知函数，若，使得，则的取值范围是______
二、解答题
15. 已知，，其中.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求证：
（1）BC//平面ADD1A1；
（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.
17. 如图，在南北方向有一条公路，一半径为100的圆形广场（圆心为）与此公路所在直线相切于点，点为北半圆弧（弧）上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，计划在内（图中阴影部分）进行绿化，设的面积为（单位：），
（1）设，将表示为的函数；
（2）确定点的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．
18. 已知椭圆（）的离心率为，椭圆上一点到椭圆两焦点距离之和为，如图，为坐标原点，平行与的直线l交椭圆于不同的两点、．
（1）求椭圆方程；
（2）当在第一象限时，直线，交x轴于，，若PE＝PF，求点
的坐标．
19. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）令，已知函数有两个极值点，且，①求实数的取值范围；
②若存在，使不等式
对任意（取值范围内的值）恒成立，求实数的取值范围．
，若为等差数列，且．20. 已知等差数列的前n项和为S
n
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；
（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．
21. 已知矩阵M＝
（1）求M2；
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．
22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.
23. 现有4个旅游团队，3条旅游线路．
（1）求恰有2条线路被选择的概率；
（2）设被选中旅游线路条数为X，求X的分布列和数学期望．
24. 已知
（1）求的值；
（2）求的值．。