2.2 正态总体均值的区间估计
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
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理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
第五节正态总体参数的区间估计汇总
解: Q S 2 是 2 的无偏估计，且统计量：
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1)
是不依赖于任何未知参数的。
概率统计
故对于给定的置信水平，
按照 2分布的上 分
位点的定义有：
P
{|
(n
1)
2
s2
|
2
2(n
1)}
1
从中解得：
P{
求: 的 95% 的置信区间.
X
解: 由已知： Q 1 95% 5%,
n
~ N (0,1)
查正态分布表得： z z0.05 z0.025
((z0.025 ) 1 0.025 0.975)
2
2
u(1 0.025) 1.96
得：
0.029
n
z
2
1.96 0.014 16
概率统计
例4. 求 例3 中的 (1), (2)两种情况下， 2 的置信度为
0.9 的置信区间.
(1) 用金球测定观察值为: 6. 683, 6. 681, 6. 676,
取统计量：
解: 在(1)中
6. 678, 6. 679, 6. 672
(n 1) s2 (6从而 的 95%的置信区间为：
(2.705 0.014, 2.705 0.014) (2.691, 2.719)
即用 X 2.705 来估计 值的可靠程度达到 95%
的区间范围是 (2.691, 2.719)
(2). 方差 2 未知的情形
Q 2 未知，但考虑到样本方差是 2的无偏估计，
2
1
2(n
1)
(n 1)S 2
区间估计公式正态总体二项总体与泊松总体的区间估计公式
区间估计公式正态总体二项总体与泊松总体的区间估计公式区间估计公式是统计学中常用的方法，用于估计总体参数的范围。
在正态总体、二项总体和泊松总体中，也存在相应的区间估计公式。
本文将分别介绍这三个总体的区间估计公式。
一、正态总体的区间估计公式在正态总体中，我们通常关注总体均值的估计。
假设样本容量为n，样本均值为x，总体标准差为σ。
若总体标准差已知，则总体均值的区间估计公式为：[公式1]其中zα/2是正态分布的分位数，代表了α/2的上分位数。
例如，若置信水平为95%，则α为0.05，z0.025为1.96。
若总体标准差未知，则总体均值的区间估计公式为：[公式2]其中s是样本标准差，tα/2是自由度为n-1的t分布的上分位数。
与正态分布不同，t分布考虑了样本容量的影响。
二、二项总体的区间估计公式在二项总体中，我们通常关注总体比例的估计。
假设样本容量为n，成功次数为x，总体成功率为p。
总体比例的区间估计公式为：[公式3]其中zα/2为正态分布的分位数，p为样本比例，n为样本容量。
三、泊松总体的区间估计公式在泊松总体中，我们关注总体平均到达率的估计。
假设样本容量为n，观测到的平均到达率为x。
总体平均到达率的区间估计公式为：[公式4]其中zα/2为正态分布的分位数，λ̂为样本平均到达率，n为样本容量。
以上是正态总体、二项总体和泊松总体的区间估计公式。
根据不同的总体类型和参数类型，选择合适的公式进行区间估计。
这些公式可以帮助我们对总体参数进行估计，并提供了对估计结果的置信区间，从而更好地理解总体特征。
在实际应用中，我们可以根据采样数据和问题背景选择适合的区间估计方法，得出有意义的结论。
正态分布总体的区间估计与假设检验汇总表
（单侧检验）
2
(n
1)S 2
2 0
～2n1
2
2 /2
n
1
或
2
2 1- / 2
n 1
2 2 n 1
2
≥
2 0
2
<
2 0
（单侧检验）
2
2 1-
n
1
2. 两个正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平 α)
条件 原假设 H0 备择假设 H1
检验统计量
拒绝域
12
，
2 2
已知
1 =2 1 2 1 2
1 2
1 2
（单侧检验）
SW
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
T < - t (n1 n2 2)
1，2
未知
2 1
=
2 2
2 1
≤
2 2
2 1
≠
2 2
（双侧检验）
2 1
>
2 2
（单侧检验）
F
S12 S22
～
F ( n1 - 1, n2 - 1)
F ≥ F /2 n1 1, n2 1
已知
0 / n
X
0 n
u
/2,
X
0 n
u
/2
2 未知 T X 0 ～ t(n 1) S/ n
X
S n 1
t / 2
n
1 ,
X
S n
1
t
/
2
n
1
方差 2
未知
2
(n 1)S 2
2 0
～2n1
(n 2 /
1)S 2
双正态总体参数的区间估计
双正态总体参数的区间估计双正态总体参数的区间估计是统计学中的一种方法，用于估计由两个正态分布组成的总体的参数。
这种方法适用于当我们需要估计两个总体的平均值或比例时，且这两个总体可以被假定为来自两个不同的正态分布。
下面我们将详细介绍双正态总体参数的区间估计的原理和步骤。
双正态总体参数的区间估计可以分为两种情况：一种是当我们需要估计两个总体的平均值，另一种是当我们需要估计两个总体的比例。
首先，假设我们需要估计两个总体的平均值。
我们可以用样本平均值来估计总体平均值，并通过计算标准误差来构建置信区间。
如果我们假设两个总体的方差相等，则可以使用统计学中的配对t检验方法来进行推断。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本的观测值。
2.计算样本平均值。
对于每个总体，计算对应样本的平均值。
3.计算差值。
对于每个配对样本，计算它们的差值。
如果我们关注的是总体平均值的差异，则用两个总体对应样本的平均值之差来作为差值。
4.计算标准差。
计算差值样本的标准差，用来估计差值的标准误差。
5.确定置信水平。
选择一个置信水平，通常为95%。
这意味着我们希望有95%的置信度认为估计的区间包含真实的总体差异。
6.计算临界值。
确定配对t检验的自由度，并使用自由度和置信水平来查找相应的t临界值。
7.构建置信区间。
使用差值平均值±t临界值*标准误差来构建置信区间，这个区间将包含真实的总体差异。
另一种情况是当我们需要估计两个总体的比例。
在这种情况下，我们可以使用两个样本中的比例差异来估计总体的比例差异。
具体步骤如下：1.收集样本数据。
从每个总体中随机抽取一定数量的样本，并记录下每个样本中的成功次数和总次数。
2.计算样本比例。
对于每个总体，计算对应样本的比例，即成功次数除以总次数。
3.计算差异。
对于每个配对样本，计算它们的比例之差。
4.计算标准误差。
计算比例差异样本的标准误差，用来估计比例差异的标准误差。
2.2正态总体均值的区间估计
一、复习
（一）点估计量的常用评价准则： 无偏性：
估计量的数学期望与总体待估参数的 真值相等： E(ˆ)
有效性:
在两个无偏估计量中方差较小的估计量 较为有效。
则称区间 [ˆ1,ˆ2 ]是 的置信水平（置信度、
置信概率）为 1 的置信区间. ˆ1和ˆ2 分别称为置信下限和置信上限.
（二）、正态总体均值u的区间估计 p(z)
(1) 2 02已知
①选 的点估计为X
②取 Z X ~N(0, 1)
Z
1
n
2
Z
1
若我们能给出一个区间，在此区间 内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了.
也就是说，我们希望确定一个区间，使我
们能以比较高的可靠程度相信它包含真参
数值.
湖中鱼数的真值
[ ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率，置信度或置信水平.
习惯上把置信水平记作1 ，这里 是一个
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数θ的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 机变量 Z，要求其分布为已知.
3. 若置信水平是 1 ,
求出使P(a Z b) 1成立的a，b；
4. 把P(a Z b) 1变形为P(1 2) 1
n
Z1 , X 2
n
Z1 ] 2
(2)u的置信度为1 - 的置信区间为[ X
正态总体参数的区间估计
总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
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实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
两个正态总体均值差的区间估计
两个正态总体均值差的区间估计实验一一、实验目的熟悉SPSS的参数估计功能，熟练掌握两个正态总体均值之差（独立样本）的区间估计方法及操作过程，对SPSS运行结果能进行解释。
二、实验内容【例】（数据文件为data03—1。
sav）为估计两种方法组装产品所需要时间的差异，分别对两种不同的组装方法个随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分钟）。
数据如表1所示：表1 两种方法组装产品所需的时间方法1方法2方法1方法228.330。
129.037。
632.128。
827.622.231.033.820.030.236.037。
238。
534。
428。
030.031.726。
032.031.233.426。
5试以95%的置信水平确定两种方法组装产品所需时间差值的置信区间。
解:第一步，打开数据文件“data03—1。
sav"，选择菜单“Analyze→Compare Means→Independent-samples T Test”项，弹出“Independent- samples T Test”对话框。
从对话框左侧的变量列表中选“时间”，进入“Test Variable(s)”框，选择变量“方法”,进入“Grouping Variable”框。
如图4—7所示图4-7第二步：点击“Define Groups”按钮弹出“Define Groups"定义框，在Group 1中输入“1"，在Group 2中输入“2".第三步:点击“Options”按钮弹出“Confidence Interval”定义框，在“Confidence Interval”框中输入“95”，点击“Continue”第四步：单击“OK"按钮，得到输出结果。
Independent Samples TestLevene'sTest forEqualityofVariances t-test for Equality of MeansF Sig.t dfSig.（2—tailed)MeanDifferenceStd。
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求 使 (a < Z < b) =1−α成 的 ， ； 出 P 立 a b P 形 4. 把 (a < Z < b) =1−α变 为P(θ1 <θ <θ2) =1−α
ˆ ˆ P(θ1 <θ <θ2 ) =1−α
ˆ ˆ 是 置信水平（置信度、 则称区间 [θ1,θ2 ] θ 的置信水平（置信度、
置信概率） 的置信区间. 置信概率）为 1−α 的置信区间 ˆ θ 分别称为置信下限 置信上限. 置信下限和 θ1和 ˆ2 分别称为置信下限和置信上限
（二）正态总体均值 的区间估计 正态总体均值u的区间估计 均值
(1)σ 2 = σ 0 2已知
p( z)
①选 µ的点估计为 X Z X −µ Z ~N(0, 1) −Z ② 取 Z= σ n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |< Z α ) =1−α 查正态分布表得 Z α , 1− 1− σ n 2 2
1−
α
1−
α
2
2
④ (X − P
σ
n
Z
1−
1−
(2).σ2未知 σ
α
2
1−
α
2
S
n
2
2
S S ④ (X − P T α <µ< X + T α ) =1−α n 1− 2 n 1− 2
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为 S S T α,X + T α] n 1− 2 n 1− 2
例5.2.3 （第116页） 页
N (u ,
X −u
σ2
n
)
~ N (0,1)
L .1） （5 L .2） （5 L .3） （5
或者 σ
n
X −u （2） ~ S n
t (n − 1)
1 n 其中S = ( X i − X ) 2 为样本标准差。 ∑ n − 1 i =1
二、新课引入
前面，我们讨论了参数点估计 前面，我们讨论了参数点估计. 它 是用样本算得的一个值去估计未知参数. 是用样本算得的一个值去估计未知参数 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个 但是， 近似值， 近似值，它没有反映出这个近似值的误 差范围，使用起来把握不大. 差范围，使用起来把握不大 区间估计 正好弥补了点估计的这个缺陷 .
也就是说，我们希望确定一个区间， 也就是说，我们希望确定一个区间，使我 们能以比较高的可靠程度 可靠程度相信它包含真参 们能以比较高的可靠程度相信它包含真参 数值. 数值 湖中鱼数的真值 [ • ]
这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的， 称为置信概率 置信度或置信水平. 置信概率， 称为置信概率，置信度或置信水平 习惯上把置信水平记作1−α，这里 α是一个 很小的正数. 很小的正数
例5.2.2
n = 15 区间估计精度
(高) (低)
置信度 置信区间 置信区间长度 (1)95% 低）【193.021,203.779】 10.758 （ （短） (2)99% 高）【191.333,205.467】 （ 14.134 长） （
说明：在样本容量不变的情况下，置信区间的 说明：在样本容量不变的情况下，置信区间的 置信度和区间长度构成一对矛盾。
(1)σ 2 = σ 0 2已知
p( z)
①选 µ的点估计为 X Z X −µ Z ~N(0, 1) −Z ② 取 Z= σ n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |< Z α ) =1−α 查正态分布表得 Z α , 1− 1− σ n 2 2
1−
α
1−
α
2
2
④ (X − P
σ
n
Z
1−
置信水平的大小是根据实际需要选定的. 置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如， 例如，通常可取置信水平1−α=0.95或0.9等. 或 等 根据一个实际样本，由给定的置信水平， 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我
ˆ ˆ， 们求出一个尽可能 们求出一个尽可能 小的区间 (θ1,θ2 ) 使
ˆ ˆ P(θ1 <θ <θ2 ) =1−α
ˆ ˆ 称区间(θ1,θ2 )为 θ 的 置信水平为1−α 的
置信区间. 置信区间
三、新课
（一） 置信区间定义 一个待估参数， 设 θ 是 一个待估参数，给定 α > 0, 若由样本X 若由样本 1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ˆ ˆ , θ1 =θ1(X1, X2,L Xn),θ2 =θ2(X1, X2,L Xn) , ˆ ˆ (θ1 <θ2 ) 满足
譬如，在估计湖中鱼数的问题中， 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数N的估 我们根据一个实际样本，得到鱼数 的估 计为1000条. 计为 条 实际上， 的真值可能大于 的真值可能大于1000条， 实际上，N的真值可能大于 条 也可能小于1000条. 也可能小于 条 若我们能给出一个区间， 若我们能给出一个区间，在此区间 的真值位于其中. 内我们合理地相信 N 的真值位于其中 这样对鱼数的估计就有把握多了. 这样对鱼数的估计就有把握多了
六、作业 第119页 第3题 页 题
（三）置信区间的求法
1.寻找未知参数 的一个良好估计 寻找未知参数θ的一个良好估计 寻找未知参数 的一个良好估计T. 2.寻找一个与待估参数和估计量有关的随 寻找一个与待估参数和估计量有关的随 寻找一个与待估参数和估计量有关的 机变量 Z，要求其分布为已知 ，要求其分布为已知. 3. 若置信水平是 1−α,
σ
σ
n n
Z
1−
α,X +
2
σ
σ
n
Z Z
1−
α]
2
Z3α , X +
4
n
1−
α]
4
−α置信区间不唯一 注：µ的1−α置信区间不唯一 −α 。
例5.2.2 （第115页） 页
（二）正态总体均值 的区间估计 正态总体均值u的区间估计 均值
p (T )
①选 µ的点估计为 X X −µ ② 取 T= ~ t(n −1 ) T −T T S n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |<T α ) =1−α 查正态分布表得 T−α , 1 1−
1−
(2).σ2未知 σ
α
2
1−
α
2
S
n
2
2
S S ④ (X − P T α <µ< X + T α ) =1−α n 1− 2 n 1− 2
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为 S S T α,X + T α] n 1− 2 n 1− 2
（三）、置信区间的求法 ）、置信区间的求法
α
2
<µ< X +
σ
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为
σ
n
n
Z
Z
1−
α ) =1−
2
α
Z
1−
1−
α,X +
2
σ
n
α]
2
3α 4 −Z
1−
α
4
Z
α
2
Z
Z
α
2
1−
Z
3α 4
Z
1−
α
4
(1 u的 信 为 -α的 信 间 [X − ) 置 度 1 置 区 为 (2)u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为
ˆ ˆ P(θ1 <θ <θ2 ) =1−α
ˆ ˆ 是 置信水平（置信度、 则称区间 [θ1,θ2 ] θ 的置信水平（置信度、
置信概率） 的置信区间. 置信概率）为 1−α 的置信区间 ˆ θ 分别称为置信下限 置信上限. 置信下限和 θ1和 ˆ2 分别称为置信下限和置信上限
（二）、正态总体均值u的区间估计 ）、正态总体均值 的区间估计 正态总体均值
求 使 (a < Z < b) =1−α成 的 ， ； 出 P 立 a b P 形 4. 把 (a < Z < b) =1−α变 为P(θ1 <θ <θ2) =1−α
四、练习 第119页 第2题 页 题
五、小结
（一） 置信区间定义 一个待估参数， 设 θ 是 一个待估参数，给定 α > 0, 若由样本X 若由样本 1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ˆ ˆ , θ1 =θ1(X1, X2,L Xn),θ2 =θ2(X1, X2,L Xn) , ˆ ˆ (θ1 <θ2 ) 满足
α
2
<µ< X +
σ
∴u的 信 为 -α的 信 间 [X − 置 度 1 置 区 为
σ
n
n
Z
Z
1−
α ) =1−
2
α
Z
1−
1−
α,X +
2σnFra bibliotekα]2
（二）正态总体均值 的区间估计 正态总体均值u的区间估计 均值
p (T )
①选 µ的点估计为 X X −µ ② 取 T= ~ T(n −1 ) T −T T S n ③对给定的置信水平 1−α, X −µ P(| |<T α ) =1−α 查正态分布表得 T−α , 1 1−