第十九讲正态总体均值及方差的区间估计
正态分布总体 总体均值已知 方差的置信区间
正态分布总体总体均值已知方差的置信区间【文章开头】一、引言在统计学中，正态分布总体是相当常见的一种总体类型。
当我们需要对一个正态分布总体的总体均值进行推断时，有时候我们会面临到总体均值已知，但方差未知的情况。
对于这样的情况，我们可以使用置信区间来进行推断。
二、什么是置信区间？置信区间是指在统计推断中，对总体参数的估计范围。
通常，我们会给出一个置信水平，比如95%的置信水平，表示对总体参数的估计有95%的把握是正确的。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示总体参数可能落在这个范围内的概率。
三、正态分布总体的总体均值已知的情况下，方差的置信区间如何计算？当正态分布总体的总体均值已知时，我们可以使用样本标准差来作为总体方差的估计。
我们可以利用样本大小、置信水平和样本标准差来计算方差的置信区间。
四、计算步骤1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取样本，并记录样本数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
样本标准差是总体方差的一个无偏估计。
3. 确定置信水平：根据需要的置信水平，确定置信水平对应的临界值。
临界值可以从统计表中查找。
4. 计算置信区间：利用样本大小、样本标准差和置信水平的临界值，计算方差的置信区间。
五、示例假设我们想研究某种药物对血压的影响。
我们从正态分布的总体中随机抽取了100个样本，并记录了每个样本的血压数据。
我们已知总体均值为120，方差未知。
现在，我们想要计算方差的95%置信区间。
1. 收集样本数据：从正态分布总体中随机抽取100个样本，并记录血压数据。
2. 计算样本标准差：利用样本数据计算样本标准差。
假设计算得到样本标准差为10。
3. 确定置信水平：我们希望得到95%的置信区间，因此置信水平为0.95。
4. 计算置信区间：根据样本大小100，样本标准差10，和置信水平0.95的临界值，我们可以计算得到方差的置信区间。
【文章主体】六、方差的置信区间是如何帮助我们进行推断的？方差的置信区间为我们提供了一个总体参数可能的取值范围。
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。
①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。
由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n S X α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。
αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。
正态总体均值的区间估计
的下α/2分位数。
实例二
总结词
在未知总体标准差的情况下，可以使用样本标准差来估 计总体均值的区间。
详细描述
当总体标准差未知时，我们可以使用样本标准差来代替总 体标准差进行区间估计。具体来说，对于一个样本容量为n 的随机样本，其样本均值和样本标准差分别为和s。根据中 心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值近似服从正 态分布，其均值和标准差分别为μ和s/√n。因此，可以使 用μ±Zα/2s/√n来估计总体均值的置信区间。
实例三：小样本下的总体均值区间估计
总结词
在小样本情况下，可以使用t分布的性质来估计总体均 值的区间。
详细描述
当样本容量n较小时，样本均值的标准误差较大，使用 正态分布进行区间估计可能不准确。此时可以使用t分布 进行区间估计。具体来说，对于一个自由度为n-1的t分 布，其上侧分位数记为tα/2(n-1)，那么可以使用 μ±tα/2(n-1)s/√n来估计总体均值的置信区间。与正态 分布相比，t分布的尾部更厚，因此在小样本情况下更为 稳健。
THANKS
感谢观看
理论依据
许多统计方法和模型都以正态分布为基础。
实际应用
在自然科学、社会科学和工程领域中，许多 现象都可以用正态分布来描述和分析。
03
总体均值的区间估计方法
样本均值和样本标准差
样本均值
表示样本数据的平均水平，计算公式 为 $bar{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是样 本数量，$x_i$ 是每个样本值。
区间估计的应用
区间估计在统计学、经济学、社会学等领域有着广泛的应用。例如，在市场调查中，通过 抽样调查得到样本数据，然后利用区间估计方法估计总体市场占有率或平均价格等指标。
6.4正态总体均值与方差的区间估计
2 的置信水平为1-α的单侧置信区间
( n 1) S 2 0, 2 ( n 1) 1
2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为
2 ( n 1 ) S 2 2 1 ( n 1)
例6.4.4 从一批灯管中随机抽取5只做寿命试验，测 得寿命（单位：h）为
1 0.99, / 2 0.005 , 解: 由题意知， n 9，
查 t 分布表知， t / 2 (8) t0.005 (8) 3.3554 ,
s s x t 2 ( n 1) 1515 .66, t 2 ( n 1) 1484 .34, 于是， x n n
2
所以， σ2的置信水平为 0.95的置信区间为
(0.0176, 0.1243).
例5 某自动包装机包装洗衣粉,其重量服从正态分布, 随机抽查12袋,测得重量分别为
1001 1004 1003 997 1004 1000 996 1002
999 1000 998 999
如何估计包装机所包装的洗衣粉重量的方差(α0.05)
L 2 u 2
1.75 2 1.96 1.5， n n
2
2 1.96 1.75 n 1.5
20.9 21
(2) 上例中,求 μ 的置信水平是 0.90 的置信区间.
0.1， u / 2 u0.05 1.64,
u 2
X ~ t ( n 1), S/ n
X P t 2 ( n 1) t 2 ( n 1) 1 S/ n
S S PX t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1) 1 n n
概率论——区间估计
概率与 概率与统计
第十九讲 区间估计
主讲教师: 主讲教师: 于红香 e-mail:fishr2001@
概率论与数理统计
第四节
区间估计
学习要求
理解区间估计的概念 会求单个正态总体的均值和方差的置信区间 会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间
对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述； 对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来 表述。
N( µ, σ2 )的情况 单个总体
2 2 N( µ1, σ1 ),N( µ2 , σ2 )的情况 两个总体
课堂练习 小结 布置作业
概率论与数理统计
一、单个总体 N( µ, σ ) 的情况
2
X
N( µ, σ2 ),并设 X1,K, Xn 为来自总体的
样本 , X, S2 分别为样本均值和样本方差 .
的置信水平（ 则称区间 ( θ,θ ) 是 θ 的置信水平（置信度 )为1−α 为 置信区间 的置信区间.
θ 和 θ 分别称为置信下限和置信上限 分别称为置信下限 置信上限. 置信下限和
概率论与数理统计
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在区间( θ,θ ) 内，就是说，概率 P{θ < θ < θ} 要尽可能大 . 就是说， 即要求估计尽量可靠. 即要求估计尽量可靠 2. 估计的精度要尽可能的高 如要求区间长度 估计的精度要尽可能的高. 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. θ − θ 尽可能短，或能体现该要求的其它准则 可靠度与精度是一对矛盾， 可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度. 精度
7.5正态总体均值与方差的区间估计
1)
1,
即
P
X
S n t / 2 (n 1)
X
S n
t
/
2
(n
1)
1
,
于是得 的置信度为 1 的置信区间
X
S n
t
/
2
(n
1)
.
例1 有一大批糖果, 现从中随机地取16袋, 称得
重量(克)如下:
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
2
2
/
2
(n
1)
1,
即
(n 1)S 2
P
2
/
2
(
n
1)
2
(n 1)S 2
2 1
/
2
(n
1)
1 ,
于是得方差 2 的置信度为1 的置信区间
(n
2 /
1)S 2(n
2
1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
进一步可得:
标准差 的一个置信度为1 的置信区间
n 1S ,
只要n1和n2都很大(实用上 50即可), 则有
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
X
Y
z / 2
S12 n1
S22 n2
.
(3)
2 1
22
2,
但 2 为未知,
1 2的一个置信度为1 的置信区间
X Y t / 2(n1 n2 2)Sw
1 n1
1 n2
.
其中
Sw2
2. 两个总体方差比 12 的置信区间 22
概率论与数理统计：单正态总体均值和方差的区间估计
教学内容一、新课概述：单正态总体的区间估计首先分均值的区间估计和方差的区间估计，然后在均值的区间估计中又分为方差已知和方差未知两种情况。
二、讲授新课：1、均值μ的置信区间：（1）2σ已知：①),(~2n N X σμ)1,0(~:N n X U σμ-=得ααα-=<<-1)(2/2/1u U u P 2/2/1ααu u -=-其中ασμαα-=<-<-1)(2/2/u nX u P 则 ασμσαα-=+<<-1)(2/2/u n X u n X P 则的置信区间。
的置信度为为αμσσαα-+-1),(2/2/u n X u n X例1滚珠直径x 服从正态分布，其均值μ未知，方差已知为0.0006，从某天生产的滚珠中随机抽取6个测得其直径如下，求μ的置信度为95%的置信区间。
解：要求均值μ的置信区间，且方差已知为0.0006，因此，这里选取它作为统计量，其分布为标准正态分布)1,0(~N n X U σμ-=然后利用题目所给的样本值求出样本均值，样本个数等一些量。
495.1=X 6=n 95.01=-α05.0=α025.02=α接着就要求两个分位点了，利用标准正态分布的表查到两个分位点分别是-1.96和1.96。
ασμ-=<-<-1)96.196.1(nX P 最后把已知的值都代入，解这样一个含有未知参数μ的不等式，就得到了要求的置信区间。
αμ-=⨯+<<⨯-1)96.160006.0495.196.160006.0495.1(P 直径均值μ的置信度为95%的置信区间为(1.4754,1.5146)②置信区间的特点：接下来观察一下这个置信区间有什么特点，区间的大小又跟什么相关。
αμσμμσαα-=+<<-1)(2/2/n X n X Pi ：置信区间是一个以X 为中心的对称的区间。
(为什么是对称的区间呢？前面介绍了当区间的可信度确定的情况下，我们就要提高区间的精度，也就是区间长度越短越好，而对称区间是在相同的置信度下，长度最短的区间。
7.4 (正态总体均值与方差的区间估计)
,
计算得到灯泡平均使用寿命µ 的90%、95%及99%的 、 及 的 置信区间分别为(1479.15,1500.85)、(1476.80,1503.20) 置信区间分别为 、 其长度分别为21.7,26.4和36.48． 和(1471.76,1508.24),其长度分别为 其长度分别为 和 ． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长． 可以看出置信水平越高，置信区间的长度越长．
( n − 1) S 2 2 = ~ χ （n − 1) σ2
Xi − X 作为枢轴量 作为枢轴量. σ i =1
n 2
所以， 所以，可以取 χ 2 = ∑
已知的情形， 的一个信水平为1– 类似µ 已知的情形，容易得到σ2的一个信水平为 α n 的置信区间为 n 2 2 即
计．
（一）
正态总体均值的区间估计
1. σ2已知时，µ 的置信区间 已知时，
X −µ ~ N (0, 1) 的无偏估计， 由于 X 是µ 的无偏估计，且有 σ/ n 容易想到将 Z = X − µ 作为求µ 的置信区间的枢轴 σ/ n
量． 对给定的置信水平1 对给定的置信水平1 – α， 由右图易知
X −Y ± z α 2
1
n1
+
n2
2
两正态总体均值差的区间估计 说明: 说明 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的, 实际应用中两个总体方差的信息往往是未知的 在两个样本容量都比较大的情况下(n 在两个样本容量都比较大的情况下 1,n2≥ 30)，一 ， 般采用两个样本方差S 近似代替σ 般采用两个样本方差 12和S22近似代替σ12和σ22，于 的一个置信水平为 是，µ1 – µ2的一个置信水平为1 – α 的置信区间可 以由
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第十九讲 正态总体均值及方差的区间估计1. 单个正态总体方差的区间估计设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。
①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此，)1,0(~N X i σμ-（,2,1=i n , ）。
由2χ分布的定义知：∑=-ni i n X 1222)(~)(χσμ，据)(2n χ分布上α分位点的定义，有：αχσμχαα-=<-<∑=-1)}()()({21222122n X n P ni i从而αχμσχμαα-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-∑∑1)()()()(2112221222n X n X P ni i ni i 故2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∑∑)()(,)()(211221222n X n X ni i n i i ααχμχμ ②当μ未知时，据抽样分布有：)1(~)1(222--n S n χσ类似以上过程，得到第七章 参数估计第5节 正态总体均值及方差的区间估计单个正态总体均值的区间估计 ①当2σ已知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±2ασz n X （5.1） ②当2σ未知时，μ的置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±)1(2n t n S X α.（5.4）注意：当分布不对称时，如2χ分布和F 分布，习惯上仍然取其对称的分位点，来确定置信区间，但所得区间不是最短的。
αχσχαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(21222222n S n n S n P 2σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 例２ 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 求总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.解：总体均值μ未知，σ的置信度为α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1()1(,)1()1(2122222n S n n S n ααχχ 此时，,975.021,025.02,05.0=-==ααα16=n ，查表得,488.27)15(025.0=χ,262.6)15(975.0=χ由给出的数据算得.4667.382=s 因此，σ的一个置信度为0.95的置信区间为（4.58，9.60）.2. 两个正态总体均值差的区间估计设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求21μμ-的一个置信区间。
（1）当2221,σσ已知时，由第六章定理1知，),(~211mN X σμ，),(~222nN Y σμ，又X 与Y 相互独立，所以),(~222121nmN Y X σσμμ+--，即)1,0(~)()(222121N nmY X σσμμ+---；所以可以得到21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅±-n m z Y X 22212)(σσα（2）当22221σσσ==，但2σ未知时，由第六章定理4知：)2(~)()(1121-++---n m t S Y X nmwμμ其中2w w S S =，2)1()1(22212-+-+-=n m Sn S m S w，从而可得：21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：在实际中常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，引起总体均值、总体方差有所改变，我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值差或方差比的估计问题。
()n m wSn m t Y X 11)2(2+⋅-+±-α例２: 为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口平均速度为)/(5001s m x =，标准差)/(10.11s m s =，取Ⅱ型子弹20发，得到枪口平均速度为)/(4962s m x =，标准差)/(20.12s m s =，假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等，求两总体均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间。
解：结合实际，可认为来自两个总体的样本相互独立。
因两个总体的方差相等，却未知，所以21μμ-的一个置信水平为α-1的置信区间为：()n m wSn m t Y X 11)2(2+⋅-+±-α其中2w w S S =，2)1()1(22212-+-+-=n m S n S m S w此处，,025.02/,95.01==-αα20,10==n m ,282=-+n m ,查表得 0484.2)28(025.0=t ，又2820.11910.19222⨯+⨯=ws ,1688.12==w w s s ，故所求置信区间为：()()93.04)28(201101025.021±=+⋅±-t s xx w即 ()93.4,07.33. 两个正态总体方差比的区间估计在该题中所得置信区间的下限大于0，在实际中我们就认为1μ比2μ大（可信度为95%）；相反，若下限小于0，则认为1μ与2μ没有显著的差别。
设总体),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，),,(21m X X X 来自X 的一个样本，),,,(21n Y Y Y 为来自Y 的一个样本，且设2221,,,S S Y X 分别为总体X 与Y 的样本均值与样本方差，对给定置信水平α-1，求2221σσ的一个置信区间。
据抽样分布知：)1,1(~//22212221--n m F S S σσ由F 分布的上α分位点的定义知，ασσαα-=--<<---1)}1,1(//)1,1({22222122211n m F S S n m F P 即ασσαα-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1,1(//)1,1(/221222122212221n m F S S n m F S S P 于是得2221σ的一个置信水平为α-1的置信区间为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(/,)1,1(/22122212221n m F S S n m F S S αα 例３: 研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径, 随机地抽取机器A 生产的管子18只, 测得样本方差;34.0221mm s =抽取机器B 生产的管子13只, 测得样本方差.29.0222mm s =设两样本相互独立,且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布),(211σμN 和),(222σμN , 这里222121,,,σσμμ均未知,求方差比2221/σσ的置信度为0.90的置信区间.解：记机器A 生产的钢管为总体X, 机器B 生产的钢管为总体Y ，由题意知，),,(~211σμN X ),(~222σμN Y ，且来自X 与Y 的两个样本相互独立，因此，2221σσ的一个置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----)1,1(/,)1,1(/22122212221n m F s s n m F s s αα 此处，95.021,05.02,90.01=-==-ααα，,13,18==n m 查表求?)12,17(05.0=F能够得到数据62.2)12,15(05.0=F ，54.2)12,20(05.0=F ，采用线性插值方法有62.2)12,17(151762.254.2152005.0--=--F得59.2)12,17(05.0≈F 。
又由F 函数的性质),(1),(1m n F n m F αα-=得38.21)17,12(1)12,17(05.095.0==F F .于是所求置信区间为⎪⎭⎫⎝⎛⨯38.229.034.0,59.229.0/34.0 即 ()79.2,45.0由于2221σ的置信区间包含1，在实际中我们认为2221,σσ两者没有显著差别。
（课间休息）4. （0—1）分布参数的区间估计 问题：设有一容量50>n 的大样本，它来自（0—1）分布的总体X ，X 的分布律为1,0,)1();(1=-=-x p p p x f x x ，其中p 为未知参数。
现在来求p 的置信水平为α-1的置信区间。
易知（0—1）分布的均值和方差分别为).1(,2p p p -==σμ设大样本n X X X ,,,21 来自（0—1）分布的总体X ，由中心极限定理知)1,0(~)1()1(1N p np np X n p np npXni i近似--=--∑=于是有ααα-≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--<-1)1(2/2/z p np np X n z P从而得到p 的一个置信水平为α-1的置信区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±-a ac b b 242， 其中22/αz n a +=，()22/2αz X n b +-=，2X n c =。
例４: 从一大批产品中任取100件产品进行检验，发现其中有 60 件是一级品。
试求这批产品的一级品率 p 的置信度为 95%的置信区间.解：产品的一级品率p 是(0—1)分布的参数，且样本的容量较大，因此，一级品率 p 的一个置信水平为0.95的置信区间为(独立同分布的中心极限定理) （林德伯格—勒维定理） 设 ,,,,21n X X X 相互独立，服从同一分布, 且具有数学期望和方差：,)(μ=i X E ,)(2σ=i X D,,,2,1n i =, 则)(lim )(lim 1x x n n X P x F n i i n n n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=∑=∞→∞→σμ 中心极限定理的另类描述： 均值为μ, 方差为02>σ的独立同分布的随机变量 ,,,,21n X X X 的算术平均值X , 当n 充分大时近似地服从均值为μ,方差为n /2σ的正态分布.由于不等式2/2/)1(ααz p np npX n z <--<-等价于()222/)1(αz p np np X n -<-，将不等式化简，222222222/2/2p nz p nz p n p X n X n αα-<+-222222/2/2p z p z np p X n X n αα-<+- ()()0222222/2/<++-+Xn p z X n p z n αα以p 为自变量的函数()()22222/2/2X n p z X n p z n y ++-+=αα对应于一个开口朝上的抛物线。