6-3正态总体样本均值和样本方差的分布

12
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 72 1 【注】 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 3 3 1 ．
20 30 4
0．. 9 5 4 4
•7
§3 正态总体样本均值和样本方差的分布
（本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布（重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布（简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的
1) ．
•6
例 3.3 从总体 X ~ N(1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个 独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2⑴ ，可 得 X Y ~ N(0, 1) ，所以
4 P{ X Y 1} P{ X Y 2}
Xi
，样本方差为 S12
1 n1 1
n1 i1
(Xi
X )2
．
(Y1,Y2 ,L
,Yn2 ) 为来自总体Y
~
N
(2
,
2 2
)
的一个样本，样本均
值为Y
1 n2
n2
Yi ，样本方差为 S22
i 1
1 n2 1
n2 i1
(Yi
Y )2
，且
X1, X 2 ,L , X n1 与 Y1,Y2 ,L ,Yn2 相互独立．则
例 3.1 设 (X1, X2,L , X9 ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个 样本，求 P{0.4656 X 0.9655}．
S
解 由定理 3.1⑵知， X ~ t(8) ， 所以
S9
P{0.4656 X 0.9655} P{1.3968 X 2.8965}
S
S9
P{t0.10 (8)
X S
9
t0.01 (8)}
P{t0.90 (8)
X S
9
t0.01 (8)}
0.90 0.01 0.89 ．
•3
例 3.2 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个样
本，其中 n
1．令 S02
1 n
n i 1
(Xi
)2
，分别计算
E(S02 ) ， D(S02 ) ， E(S 2 ) 和 D(S 2 ) ． 考研必须掌握其
解 由定理 3.1⑶和⑷知，
方法和结论！
nS02
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2
(n)
，
(n
1)S
2
2
~
2 (n 1) ，
所以
E
(
nS02
2
)
n,
D(
nS02
2
)
2n
，
E[
(n
1)S
2
2
]
n
1,
D[
(n
1)
2
S
2
]
2(n
1)
，
故得 E(S02 )
2,
D(S02 )
2 4
n
， E(S2)
2,
D( S 2 )
2 4 ．
n 1 •4
二、双正态总体样本均值差和样本方差比的分布
定理 3.2
设 ( X1, X 2 ,L
, X n1 1
)
的样本，
样本均值为 X
1 n1
n1 i1
•5
⑴
X
Y
~
N (1
2
,
12
n1
2 2
n2
)
；
⑵
当
12
,
2 2
未知，但
12
=
2 2
2
时，
T ( X Y ) (1 2 ) ~ t(n1 n2 2) ，
Sw
11 n1 n2
其中 S
(n1 1)S12 (n2 1)S22 ；
n1 n2 2
⑶
F
S12 S22
12
2 2
~
F (n1 1, n2
一个样本，则
⑴
X
~
N (,
2
) ，或
U X ~ N(0,1) ；
n
n
差别
⑵ T X ~ t(n 1) ，
Sn
不同
n
(Xi )2
不同
⑶ 2 i1 2
~ 2 (n) ；
n
差别
⑷ 2
(n 1)S 2
(Xi
i 1
X )2
~
2 (n 1) ，
2
2
且 X 与 S 2 相互独立．
•2