6-3正态总体样本均值和样本方差的分布
正态分布 概率密度函数 均值方差
一、概述在统计学和概率论中，正态分布是一种非常重要的连续概率分布。
它是由高斯-欧拉二人独立发现的，因此也称为高斯分布。
正态分布在实际的统计建模和研究中被广泛应用，因为许多自然现象都呈现出它的特征。
本文将从正态分布的定义、概率密度函数、期望和方差等方面进行介绍。
二、正态分布的定义在概率论中，如果一个随机变量X服从数学期望为μ、标准差为σ的正态分布，记为X∼N(μ,σ^2)，其概率密度函数为：f(x) = (1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，e是自然对数的底数，μ是分布的均值，σ^2是方差，π是圆周率。
正态分布的概率密度函数是一个关于x的对称函数，其图形呈钟型，中心在μ处，标准差σ决定了钟型曲线的宽窄。
三、概率密度函数正态分布的概率密度函数f(x)描述了随机变量X落在某个区间内的概率。
根据正态分布的性质，有以下几点需要注意：1. 当x=μ时，概率密度函数取得最大值，即为峰值；2. 随着x与μ的距离增加，概率密度函数逐渐减小，但是永远不会降至0，而是趋近于0；3. 当x向正负无穷方向延伸时，概率密度函数趋近于0。
四、均值和方差在正态分布中，均值μ决定了钟型曲线的中心位置，而标准差σ则决定了钟型曲线的宽度。
均值和方差是描述正态分布中心位置和数据分散程度的重要统计量。
1. 均值：均值μ是正态分布曲线的中心点，也是正态分布的位置参数。
均值的大小决定了曲线的对称中心和数据的聚集程度。
当μ增大时，钟型曲线向右平移；当μ减小时，钟型曲线向左平移。
2. 方差：方差σ^2是数据分散程度的度量，它决定了钟型曲线的宽窄。
方差越大，曲线越宽；方差越小，曲线越窄。
方差的平方根称为标准差σ，是用来度量数据波动的一个指标。
五、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，使其在实际应用中得到广泛的运用。
1. 正态分布的曲线呈钟型，左右对称，且在均值处取得最大值。
2. 由于正态分布曲线的特殊形状，负无穷到正无穷的全区间内，其概率密度函数的面积等于1。
《概率与数理统计》第06章 - 样本及抽样分布
(3)g( x1, x2 ,L xn )是统计量g(X1, X2 ,L Xn )的观察值
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
X
2 i
i 1
nX
2
样本标准差
S
1 n
n
1
(
i 1
X
i
是来自总体的一个样本，则
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估计法的 理论根据
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,L .
(3)证明：E(S2 )
定义 设X1 , X2 ,L , Xn是来自总体X的一个样本， g( X1 , X 2 ,L , X n )是X1 , X 2 ,L , X n的函数，若g 中不含未知参数，则g( X1 , X 2 ,L , X n )称是一 个统计量.
请注意 :
(1)X1, X2 ,L
X
是样本，也是随机变量
n
(2)统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
1
e
(
xi 2
2
)2
2
n
( xi )2
1
e i1 2 2
n
2
第二节
抽样分布
6-3正态总体样本均值和样本方差的分布
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 72 1 【注】 D(X Y ) D(X ) D(Y ) 3 3 1 ．
20 30 4
0．. 9 5 4 4
•7
§3 正态总体样本均值和样本方差的分布
（本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布（重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布（简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1 设 (X1, X2,L , Xn ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的
1) ．
•6
例 3.3 从总体 X ~ N(1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个 独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2⑴ ，可 得 X Y ~ N(0, 1) ，所以
4 P{ X Y 1} P{ X Y 2}
Xi
，样本方差为 S12
1 n1 1
n1 i1
(Xi
X )2
．
(Y1,Y2 ,L
,Yn2 ) 为来自总体Y
~
N
(2
,
2 2
)
的一个样本，样本均
值为Y
1 n2
n2
Yi ，样本方差为 S22
i 1
1 n2 1
n2 i1
(Yi
Y )2
，且
X1, X 2 ,L , X n1 与 Y1,Y2 ,L ,Yn2 相互独立．则
例 3.1 设 (X1, X2,L , X9 ) 为来自总体 X ~ N (, 2 ) 的一个 样本，求 P{0.4656 X 0.9655}．
S
概率论与数理统计A第6章
几个常见统计量
样本平均值
样本方差
它反映了总体 方差的信息
X
1 n
n i1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
S2n11in1(Xi X)2
n1 1i n1Xi2nX2
样本标准差 S n1 1i n1(Xi X)2
样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i1
Xik
k=1,2,…
样本k阶中心矩
Mk
1 n n i1
(1)
(n1)S2
2
~2(n1)
(2) X与S2独立 .
n取不同值时 (n 1)S 2
2
的分布
推论1 (样本均值的分布)
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(,2)
的样本, X和S2 分别为样本均值和样本方差,
则有
X ~t(n1)
Sn
证由定 1、 2理 t,分布的定义可得
X~N(0,1), n
X ~ N(,2) n
即 X~N(0,1) n
X ~ N(,2) X ~ N(0,1) n n
请注意 : 在已知总体，2时， 可用本定理计算样 本均值X.
n取不同值时样本
均值 X 的分布
定理 5 (样本方差的分布)
设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N(,2)的样本,
X和S2分别为样本均值和样本方差, 则有
的 点 t ( n ) 为 t ( n ) 分 布 的 上 分 位 数 。 如 图 所 示 .
t ( n )
t分布的上分位点的性质： t1(n)t(n)
t分 布 的 左 侧 分 位 点 t(n)可 查 表 求 得 ， 例 t0.975(15)6.262.
当n45时，对于常 的 用值 的，可用正态近
样本均值的方差
样本均值的方差引言：在统计学中，方差是衡量数据集分散程度的重要指标之一。
它能够告诉我们样本中的数据点相对于样本均值的偏差程度。
本文将讨论样本均值的方差以及其在统计分析中的应用。
1. 方差的定义和计算方法:方差是用来描述一组数据点与其均值之间差异的测度。
在统计学中，有两种方差的计算方法：总体方差和样本方差。
- 总体方差：总体方差是在对整个总体进行测量时所得到的方差。
它用总体参数的平方差来衡量总体数据的分散程度。
总体方差的计算方法是将每个数据点与总体均值之差的平方求和，然后除以总体数据点的个数。
- 样本方差：样本方差用于根据一部分数据估计整个总体的方差。
它是将每个数据点与样本均值之差的平方求和，然后除以样本数据点的个数减1来计算的。
样本方差的计算方法与总体方差类似，但是由于样本中的自由度减少了1，所以对于样本数据而言，样本方差会有所偏高。
2. 样本均值的方差的意义：样本均值的方差是对样本数据的分散程度进行量化的指标。
它可以告诉我们样本中数据点相对于样本均值的偏离程度，有助于我们了解样本的可靠性和稳定性。
较小的方差表示样本中的数据点相对于样本均值较为接近，反之则表示数据点的离散程度较大。
3. 样本均值的方差与总体方差之间的关系:样本均值的方差与总体方差之间存在一定的关系。
当我们通过样本均值的方差来估计总体方差时，由于样本的自由度减少了1，所以样本均值的方差会偏高一些。
但是，随着样本量的增大，样本均值的方差与总体方差之间的差距将逐渐减小。
4. 样本均值的方差的应用：样本均值的方差在统计分析中有着广泛的应用：- 推断统计：通过样本均值的方差估计总体的方差，进而进行推断统计分析，如假设检验和置信区间估计。
- 质量控制：样本均值的方差可以用来判断生产过程中数据的变异情况，进而进行质量控制和改进。
- 建模和预测：在建立统计模型和进行预测时，样本均值的方差是对数据的变异性进行衡量的重要指标。
- 实验设计：在进行实验设计时，样本均值的方差可以用来评估实验结果的重复性和可靠性。
统计学第六版贾俊平
6 -3
统计学(第6版)
6. 1 统计量
6. 1 统计量
6.1.1 统计量的概念
统计量是样本的函数，它不依赖于任何未知参 数； 根据不同的研究目的，可构造不同的统计量； 利用构造的统计量，用样本性质推断总体的性 质； 统计量是统计推断的基础，在统计学中占据着 非常重要的地位。
6 -5
统计学(第6版)
6 - 17
n=1
n=4 n=10
当自由度增加时， 卡方分布的概率 密度曲线趋于对
n=20
称。当n趋于无
穷大时，卡方分
布的极限分布就
2 是正态分布。
不同容量样本的卡方分布
统计学(第6版)
6.3 由正态分布得到的几个重要分布
2分 布 的 性 质 1 . 数学期望为：2E)( n 2 . 方差为：D2() 2 n 3 .2分布的可加性，即12若~ 2( n 1 ),22 ~ 2( n 2 ) , 且独立，则
（1）抽检的100个元件中有3个不合格； （2）抽检的100个元件中前3个不合格；
100
在产品检验中，二项分布的统计量T X i是不合格
品率p的充分统计量。
i 1
6 - 11
统计学(第6版)
6. 2 关于分布的几个概念
6. 2 关于分布的几个概念
6.2.1 抽样分布
近代统计学的创始人之一，英国统计学家费希尔曾把 抽样分布、参数估计和假设检验看作统计推断的三个 中心内容。
6.2.2 渐近分布
当n无限增大时，统计量T(X1，X2，…Xn)的极限 分布常称为统计量的渐近分布； 第4节中的中心极限定理揭示的就是样本均值的 渐近分布； 不少重要的统计方法就是基于渐近分布提出的。
6 - 14
概率论与数理统计第6章
以分组区间为底，以
Yj
Wj X j1 X j
Wj 5
为高
作频率直方图
23
从频率直方图可看到：靠近两个极端的数据出现比 较少，而中间附近的数据比较多，即中间大两头小的分 布趋势，——随机变量分布状况的最粗略的信息。
在频率直方图中， 每个矩形面积恰好等于样本值 落在该矩形对应的分组区间内的频率，即
S j
Wj X j1
Xj
X j1 X j
Wj
频率直方图中的小矩形的面积近似地反映了样本数
据落在某个区间内的可能性大小，故它可近似描述X的
分布状况。
24
12
第二．计算样本特征数
1.反映集中趋势的特征数：样本均值、中位数、众数等 样本均值MEAN 中位数MEDIAN 众数
X 90.3
91
91, 94
代表性——即子样( X1, X2 ,
,
X
)的每个分量
n
X
与
i
总体 X 具有相同的概率分布。
独立性——即 X1, X2, , Xn 是相互独立的随机变量。
满足上述两点要求的子样称为简单随机子样.获得简 单随机子样的抽样方法叫简单随机抽样.
从简单随机子样的含义可知，样本 X1, X2 , , Xn 是来自总体 X、与总体 X具有相同分布的随机变量.
2分布 t 分布 数理统计的三大分布(都是连续型). F分布 它们都与正态分布有密切的联系.
在本章中特别要求掌握对正态分布、 2分布、 t分布、F分布的一些结论的熟练运用. 它们
是后面各章的基础.
31
一、 2分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X2,..., Xn 是 X
概率论与数理统计：6-3样本均值与样本方差的分布
n
m Xi
T
i 1
的概率分布。
nm
n
X
2 i
i n 1
解
由题设可知：X1
,
X
2
,
X
相互独立，且
nm
Xi N 0, 2 ,i 1, 2, , n m.
n
n
Xi
故
Xi ~ N (0, n 2 ),
i 1
则
i1 ~ N (0,1).
n
而
nm
i n 1
基本定理
定理 设随机变量X1, X 2 , , X n 相互独立,且
Xi ~ N ( i , i2 ) (i 1, 2, , n)
则它们的任一确定的线性函数
n
n
n
ci Xi ~ N ( cii ,
ci2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
其中c1, c2 , , cn为不全为零的常数.
一、单个正态总体的抽样分布
第6.3节 样本均值与样本方差的分布
一、基本定理 二、例题
三、小结
既然统计量是依赖于样本的,而后者又是随 机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的 分布.称这个分布为“抽样分布”.也即抽样分布就 是统计量的分布
抽样分布
精确抽样分布
渐近分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
例4 设 X ~ N 1, 12 , X1, X2,......Xn 是X 的一个样本
Y ~ N
2
,
2 2
, Y1,Y2,......Yn 是 Y的一个样本。
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一个样本，则
X ⑴ X ~ N ( , ) ，或 U ~ N (0,1) ； n n
差别
⑵ T
X ~ t (n 1) ， S n
2 ( X ) i i 1 n
不同 不同
⑶
2
2
~ 2 ( n) ；
n i 1
差别
⑷ 2
(n 1) S 2
•3
例 3.2 设 ( X1, X 2 ,, X n ) 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样 n 1 2 本，其中 n 1 ．令 S0 ( X i )2 ，分别计算 n i 1 2 2 E(S0 ) ， D(S0 ) ， E (S 2 ) 和 D(S 2 ) ． 考研必须掌握其 方法和结论！ 解 由定理 3.1⑶和⑷知，
4 4 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 , D( S0 ) 故得 E ( S0 ， E ( S ) , D( S ) ． n n 1 •4
二、双正态总体样本均值差和样本方差比的分布
定理 3.2 设 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为来自总体 X ~ N (1,12 ) 的样本，
2 (n1 1)S12 (n2 1)S2 其中 S ； n1 n2 2
S12 12 ⑶ F 2 2 ~ F (n1 1, n2 1) ． S2 2
•6
例 3.3
从总体 X ~ N (1,3) 中分别抽取容量为 20, 30 的两个
独立样本，求其样本均值差的绝对值小于1 的概率．
解 设 两个 样本均 值分 别为 X 和 Y ， 由定 理 3.2 ⑴ ，可 得
1 X Y ~ N (0, ) ，所以 4
X Y P{ X Y 1} P{ 2} 12
2 ( 2 ) 1 2 0 , 9 7 7 2 1
3 3 1 【注】 D( X Y ) D( X ) D(Y ) ． 20 30 本节为第七章和第八章的基础）
内容： 单正态总体样本均值和样本方差的分布 （重点讲授） 双正态总体样本均值和样本方差的分布 （简单介绍）
•1
一、单正态总体样本均值和样本方差的分布
定理 3.1
设 ( X1, X 2 ,, X n ) 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的
2 2 且 X 与 S 2 相互独立．
2 ( X X ) i
~ 2 (n 1) ，
•2
例 3.1
设 ( X1, X 2 ,, X 9 ) 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个
X 0.9655} ． 样本，求 P{0.4656 S
X 解 由定理 3.1⑵知， ~ t (8) ，所以 S 9 X X P{0.4656 0.9655} P{1.3968 2.8965} S S 9 X X P{t0.10 (8) t0.01 (8)} P{t0.90 (8) t0.01 (8)} S 9 S 9 0.90 0.01 0.89 ．
2 nS0
2
1
2 2 ( X ) ~ (n) ， i 2 i 1
n
(n 1) S 2
2
2 nS0
~ 2 (n 1) ，
所以
E[ (n 1) S 2
E(
2 nS0
2
) n, D[
D(
2
) 2n ，
2
] n 1,
(n 1) S 2
2
] 2(n 1) ，
1
n1 1 n1 1 2 样本均值为 X X i ，样本方差为 S12 ． ( X X ) i n1 i 1 n1 1 i 1
2 (Y1 , Y2 ,, Yn2 ) 为来自总体 Y ~ N (2 , 2 ) 的一个样本，样本均
n2 1 1 n2 2 2 ( Y Y ) 值为 Y Yi ，样本方差为 S2 ，且 i n2 1 i 1 n2 i 1
X1 , X 2 ,, X n1 与 Y1 , Y2 ,, Yn2 相互独立．则
•5
⑴ X Y ~ N (1 2 ,
2 12 2
n1
n2
)；
2 2 ⑵ 当 12 , 2 未知，但 12 = 2 2 时，
( X Y ) ( 1 2 ) ~ t (n n 2) ， T 1 2 1 1 Sw n1 n2
． 0 .9544
•7