实数 (第一课时)
实数复习课(第一课时)教学设计
实数复习课(第一课时)教学设计【课题】苏科版数学八年级上册第四章实数复习课（第一课时）【教材简解】“实数”是八年级上册第四章内容，从有理数到实数是数的范围的一次重要的扩充，学生对实数的认识就由有理数的范围扩大到实数范围。
本章的概念多，并且比较抽象，但却是以后学习的基础，在初中数学中占有重要的地位，对今后学习数学有着重要的意义，是后面学习二次根式、一元二次方程以及解直角三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等大部分知识作好准备。
【目标预设】1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。
2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。
3、通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体悟相关的数学思想方法。
4、培养学生的数学应用意识，提高学生分析解决问题的能力。
【重点、难点】1、重点：无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。
2、难点：利用平方根、算术平方根、立方根及实数运算法则解决问题。
【设计理念】复习课并非单纯的知识的重述，而应是知识点的重新整合、深化、升华。
教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，处理好传授知识与培养能力的关系。
复习课应重视发展学生的数学思维能力，通过复习旧知识，拓展学生思维，提高学生学习能力，增强学生分析问题，解决问题的能力。
同时还应关注个体差异，要尽可能兼顾每一位不同学习层次的学生，要让每一个学生都有所得，满足不同学生的学习需要。
【设计思路】本节课的教学过程由创设情境，引入新课?D?D活动交流，互动探究?D?D知识深化，应用提高?D?D反思提炼，形成结构?D?D评价反馈，挑战自我五个环节构成，以学生活动为主线，让学生在复习中温故而知新，在应用中获得发展，从而使知识转化为能力。
通过“做一做”、“议一议”、“练一练”、“想一想”、“试一试”等丰富数学活动的经历积累数学分析的经验，通过“合作与交流”让学生在活动中体验到知识的深化和分析数学问题的快乐，提升自我价值，体现学生的主体地位。
七年级数学下册(人教版)6.3.1实数的相关概念及分类(第一课时)优秀教学案例
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过购物找零的实际例子，让学生感受到实数的实际意义，激发学生的学习兴趣，提高学生对实数的理解和运用能力。
2.问题导向的设计：通过设计具有启发性和针对性的问题，引导学生进行思考和探究，激发学生的思维活力，培养学生的解决问题的能力。
4.运用实际例子，引导学生将实数知识应用到生活中，培养学生的实践能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，使学生感受到数学的趣味性和魅力，激发学生学习数学的内在动力。
2.培养学生的团队合作意识，使学生在合作交流中体验到学习的乐趣，增强学习的自信心。
3.培养学生严谨治学的态度，使学生养成认真思考、细致观察的学习习惯，提高学生的学习效果。
2.利用数轴情境导入：在数轴上标出几个关键点，如0, 1, -1等，引导学生观察实数在数轴上的位置，引出实数的分类。
3.利用故事情境导入：讲述“兔子与胡萝卜”的故事，引发学生对实数的思考，如兔子每天跑的距离是无理数，胡萝卜的数量是有理数，引出实数的概念和分类。
（二）讲授新知
1.实数的定义和分类：讲解实数的概念，引导学生理解实数是包括有理数和无理数两大类的数，并讲解实数与数轴的关系。
5.教学策略的灵活运用：结合学生的认知水平和学习兴趣，设计丰富的教学活动，注重引导学生通过自主探究、合作交流，深入理解实数的本质特征和分类依据，提高实数知识的系统性和灵活运用能力。同时，运用多媒体教学手段，直观地展示实数的性质和规律，帮助学生更好地理解和掌握实数知识。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和思维能力，提高学生对实数概念和分类的理解。
第一课时 实数的有关概念
［2010²巴中］下列各数：
1A. 2
,0，
，0.303003„„，
中无理数的个数为（ B. 3 ，1-
B
C .Байду номын сангаас4
【解析】属于无理数的是：
,0.303 003„„, ∴选B.
【点悟】实数可分为有理数（整数、分数）和无理数，只要是整数、分数,就一定不是无 理数.
类型之二
倒数、相反数和绝对值
（1）［2011²扬州］A. 2 B. 12
18，19，20，21，22，23，24题中的预测变形3，4题.
［学生用书P1］ 1.［2011²湖州］-5的相反数是（ A. 5 B. -5 C.
A A
）
） D. -1 ） D.
2.［2011²义乌］-3的绝对值是（ A. 3 B. -3 C.
3.［2011²广东］-2的倒数是（
A. 2 B. - 2 C.
若实数x,y满足|x-2|+(3-y)2=0,则代数式xy-x2的值为 2 【解析】由非负数的意义确定x,y的值，再求代数式xy-x2的值. 由题意得 解得 【点悟】 （1）常见的非负数有|a|,a2, （a≥0）；
.
（2）若几个非负数（式）的和为零，那么这几个数（式）都为零.
精确度：一个近似数，四舍五入
到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到 精确到的数位 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.
8.平方根与立方根 平方根：如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根（也叫二次方根），记 为x=± （a≥0 ) .
［学生用书P1］ 类型之一 实数的概念 、sin30°中，无理数的个数为( D.4 B )
《实数》PPT课件下载(第一课时)
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人教版数学七年级下册
第六章 实数
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B．大小介于两个有理数之间的无理数有无数个
C．－1的立方是－1，立方根也是－1
D．两个实数，较大者的平方也较大
【详解】
∵数轴上的点和实数一一对应，故选项A正确；
无理数是无限不循环小数，故选项B正确；
-1的立方是-1，立方根也是-1，故选项C正确；
实数包括正数和负数，故选项D错误．故选D．
随堂测试
第一课时实数的有关概念
《初中数学总复习》第一课时《实数的有关概念》教学案一、考试要求1.了解有理数、无理数以及实数的有关概念和实数的分类组成．2.理解数轴、相反数、绝对值、非负数等概念的意义.3.会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小.4.会画数轴，了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较实数的大小.5、通过概念的复习和典型例题评析，使学生掌握实数的有关概念和实数的分类，并通过适当的练习得到提高。
三、教学重点：正确理解实数的有关概念，及典型例题评析。
四、教学难点：含字母的代数式的绝对值的化简，综合运算能力的提高。
五、教学准备：直尺、三角板、粉笔六、教学过程：活动一、课前检测：（1）-5的相反数是（2）用科学记数法表示：3580000=（3）432的倒数是 （4）若│2x+y-3│+(x-3y-5)2=0,则3x-2y=活动二、知识梳理1、实数的分类：（按定义分、按正负分：学生自主学习）2、数轴:(1)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
(2)数轴的作用：（1）直观地比较实数的大小；（2）明确体现绝对值意义；（3）建立点与实数的一一对应关系.3、相反数：(1)相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。
(2)在一个数的前面添上“－”号，就成为这个数的相反数。
即实数 a 的相反数是－a ；在数轴上表示相反数的两点以原点对称。
(3)相反数的性质：（1）a 、b 互为相反数 <====>和为0,商为-1( a ≠0).（2）a ≠0时，a ≠-a ；（3）a 与-a 在数轴上的位置是在原点两侧( a ≠0)；4、倒数：(1)倒数：１除以一个不等于零的数的商叫做这个数的倒数。
(2) a 、b 互为倒数 <====> ab=1a 、b 互为负倒数 <====> ab=－1注意：0没有倒数(因为没有一个数与0相乘的积等于1)5、绝对值：（1）绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。
实数(第一课时)
实数（第一课时）教学目标1．通过实际问题，让学生经历无理数发现的过程，使学生认识到数的扩充的必要性．2．能对实数按要求进行分类，会用所学定义正确判断所给数的属性.3.了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义.4.通过对有关无理数的数学史的了解，进一步增强学生对数学的兴趣.重点、难点重点：1.让学生经历无理数发现的过程，使学生认识到数的扩充的必要性．2. 无理数概念的探索过程及无理数概念的建立3. 能对实数进行分类,并判断所给数的属性.难点：1.无理数概念的探索过程. 2.用所学定义正确判断所给数的属性.教学过程一、创设问题情境1、教师活动：组织学生动手操作，让学生体会无理数产生的实际背景和学习无理数的必要性学生活动：动手制作一张面积为4平方厘米的正方形纸片，并动手试一试，看能否折叠出一个面积为2平方厘米的正方形吗。
学生活动：小组讨论，然后派一名同学上讲台演示教师活动：提问：你知道折叠出的正方形边长是多少吗？为什么？cm2在哪两个数之间吗？在哪两个数之间是有理数吗？学生活动：学生在独立思考的基础上，进行交流.然后让把结果展示在黑板上.师生互动：教师和学生一起对各小组的结果进行评价,然后教师告诉学生可=1.414 .教师活动：给出无理数的定义:无限不循环小数叫做无理数教师给学生介绍"无理数"的由来(具体内容见课本P16阅读与思考)是不同于有理数的数,在这个过程中让学生体会无限逼近的思想,同时引出无理数的定义.二、上新课1、引入实数并对实数分类教师活动：提出问题：你能举出一些你见到过的无理数吗?是无理数吗? π是无理数吗? 0.01001000100001…是无理数吗? 3，35-，911,478是无理数吗? 学生活动：小组交流、讨论，必要时可以使用计算器。
探究：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？教师活动：举例并讲解： 3=3.0，30.65-=-，90.8111=， 47 5.8758=都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数．因为分数可以写成有限小数或无限循所以凡是能表示成分数的数都是有理数.师生共同归纳：有理数和无理数的本质区别1无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．2任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．教师活动：给出实数定义:有理数与无理数统称为实数.教师活动：提出问题：请:给实数分类学生活动：学生讨论、回答，教师引导学生达成共识：实数也可以分为有理数和无理数两大类,也可以分为正实数、0、负实数三大类.(1) 你能举出一些你见到过的无理数吗？(2) 有理数 是否也可以用数轴上的点来表示呢？(3)你能在数轴上找到表示 、π 这样的无理数的点吗？（4）把下列各数分别填入相应的集合内：（相邻两个3之间的7的个数逐次加1）95 ,9011 ,119 ,847 ,53 ,3-95 ,9011 ,119 ,847 ,53 ,3-,23,41,7,π,25-,2,320,94,0,5-,83-⋅⋅⋅3737737773.0有理数集合 无理数集合教师活动：利用多媒体给出实数的分类。
第一课时：实数 二次根式 大小比较及运算
知识点 1 实数的概念及分类1．整数和________统称为有理数；____________叫无理数；有理数和无理数统称为________．分类：(1)按定义分类 实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数负分数有限小数或 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数 小数 (2)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数⎩⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数【名师提醒】1、任何分数都是有理数，如23，－45等；2、常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.1010010001……；③π及含π的数，如π，π＋4等．3、2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
4、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数.提分必练：下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点2 实数的相关概念1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，互为相反数的两 个数（除0以外）分别位于数轴上原点的两侧， 且到原点的距离__________。
3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，倒数是它本身的数是___，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离 的 距离叫做这个数的绝对值。
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 。
化简绝对值的公式： |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ （a ≥0），（a<0），一对相反数在数轴上的对应点到原点的距离相等，因此它们的绝对值__________。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】提分必练：1.－12的绝对值的相反数是( )A .12B ．－12C ．2D ．－2 2.－2015的相反数是________． 3．|－8|的倒数是________．知识点 3 科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成________或_______的形式(其中________≤|a|<________，n 为整数)，这种记数法称为科学记数法．例如574000记作________，－0.000737记作________．2.精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用________表示：近似数一般由________取得，________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.3746精确到0.001或精确到千分位是________.4.46万是精确到________位．提分必练：已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为( )A ．1.239×10－3g /cm 3 B ．1.239×10－2g /cm 3C ．0.1239×10－2g /cm 3D ．12.39×10－4g /cm 3 【方法点拨】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a 和n 的值． (1)a 值的确定：1≤|a|<10； (2)n 值的确定：A ．当原数大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；B ．当原数大于0且小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；知识点 4 数的开方1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。
6.3.1 实数的相关概念及分类(第一课时)七年级数学下册(人教版)
自学导航
有理数和无理数统称为实数.
（1）按定义分
有理数
正有理数
0
有限小数或者无限循环小数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
自学导航
有理数和无理数统称为实数.
（2）按性质分
正有理数
正实数
实数
正无理数
0
负有理数
无理数π可以用数轴上的点来表示出.
合作探究
如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形
对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 2，与负半轴的交点就表示
- 2.(为什么)
合作探究
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行分
类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴
上的点表示无理数.（难点）
自学导航
我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，
它们有什么特征？
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
1. 2
9
. .
9
0. 81
11
它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
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教学设计
1.教学目标.
(一)知识技能
1、了解无理数和实数的概念以及实数的分类.
2、知道实数与数轴上的点是一对应的关系.
(二)数学思考
1、经历对实数进行分类的过程,发展学生的分类意识.
2、经历从无理数的产生及数的范围扩充到实数的过程,让学生了解人类对数的认识是不断发展的.
(三)解决问题
学生对数的认识由有理数扩充到实数.会在数轴上表示√2
2学情分析评论 .
学生在上学期学习了有理数,在学习本节课前,已掌握平方根、立方根同时也初步接触过等具体的无理数,本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来,再采用与有理数对照的方法引出无理数,揭示他们的区别与联系,进而产生实数。
无理数的概念比较抽象,特别是无理数在数轴上的表示、实数与数轴上的一一对应关系都需要一个渐进的理解过程。
这些要让学生充分讨论与思考,归纳与总结,历经知识发展与运用。
3重点难点评论 .
重点:了解无理数和实数的概念及实数的分类.
难点:对无理数的认识及π、√2在数轴上的表示
4教学过程 .
4.1.1教学活动 .
活动1【导入】创设情景，提出问题
1、把两个边长为1的小正方形通过剪、拼,得到一个面积为2的正方形。
面积为2的正方形的边长为多少?
2、√2的小故事和它的计算机所算结果
3、√2、π满屏的数字,有什么共同特征? 无限的、不循环的小数
活动2【活动】适时引导，探索新知评论 .
把有理数转换成小数的形式,它们又有什么特征?
第一组 3,-38 ,119 ,-13
第二组 52 ,0,911 ,227
归纳新知
1)任何一个有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式
2)反过来任何有限小数和无限循环小数都是有理数
你能对照有理数的新定义给无限的不循环小数也下个定义吗?
活动3【讲授】分类举例, 剖析新知.
你能举出一些无限不循环小数的例子吗?
无理数的概念:无限不循环小数叫无理数
√2 ,-√5 ,3√3 ,-√33 ,√3−1
π,π/2,-π+2
3.01001000100001...
通过刚才所举的例子,同学们能否归纳出无理数常见的表现形式呢?
无理数的表示形式: 1、开不尽的方根;
2、含π的数;
3、有规律但不循环的无限小数
有理数与无理数之间的关系?
实数的概念:有理数和无理数统称实数
自然数→添加正分数→非负有理数→添加负数→有理数→添加无理数→实数
活动4【活动】课堂游戏，深入探究评论 .
1、辨一辨: 我是谁
你可否能辨认自己的身份,找到自己的集合?
√2 ,π,0,-6,-0.3的循环节,-0.373773777...,−89
3√−1 3√−9 ,3√8 ,√3 ,0.1001000100001...,0
从而得到实数的两大分类
2、找一找:我在哪
既然你们都辨认了自己的身份,找到了自己的王国,接下来,请每个王国里派出几个代表在数轴这条直线上找到自己的位置
无理数能在数轴上找到自己准确的位置吗?
问题:无理数能在数轴上表示出来吗?如何在数轴上找到表示√2和π的点?
活动5【活动】小组讨论，探究新知 .
将π在数轴上表示出来
将√2在数轴上表示出
从而得到实数与数轴上的点是一一对应的,右边的数总是大于左边的数
活动6【练习】巩固练习，应用新知评论 .
1、下列各数π,-17 ,√(−3)2 ,√2 , 3.14,0 中,有理数的个数是( )
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
2、在3√−1 , 3√−9 ,3√8 ,√3 ,0.100100100001...,0中,无理数分别是_____________
3、下列说法正确的是( )
A、无限小数就是无理数
B、无理数包括正无理数、0、负无理数
C、无理数都是无限不循环小数
D、π8 是一个分数
4、判断正误:
(1)实数不是无理数就是有理数 ( )
(2)所有有理数都可以用数轴上的点表示,反过来,数轴上所有的点都表示有理数( )
(3)无理数是无限小数 ( )
(4)带根号的数都是无理数 ( )
(5)两个无理数之和一定是无理数 ( )
(6)所有实数都可以用数轴上的点表示出来,反过来数轴上所有点都
表示实数( )
(7)在数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大( )
5、把下列各数填入相应的集合内:
6、把下列各数填入相应的集合内:
(1)有理数集合:{ ... }
(2)无理数集合:{ ... }
(3)整数合:{ ... }
(4)负数合:{ ... }
(5)分数合:{ ... }
(6)实数合:{ ... } 活动7【活动】课堂小结，梳理新知对自己说我有哪些收获?
活动8【作业】课后演练，反馈新知。