第6章塑性应力-应变关系01分析

第6章 塑性应力－应变关系在20世纪50年代，经典塑性理论有了很大的发展，表现在：（1）极限分析的基本定理（Drucker 等，1952）；（2）Drucker 假设或稳定材料的定义（Drucker ，1951）；（3）正交性条件的概念或关联流动法则（Drucker ，1960）等的建立和发展。

理想塑性体的极限分析理论产生了能更直接地估计结构和土体承载力的实际方法（Chen ，1982，Chen 和Liu ，1990）。

稳定材料的概念提供了一个统一的方法和塑性体的应力－应变关系的广义观点。

正交性条件的概念提供了塑性应力－应变关系的屈服准则或加载函数之间的必要联系。

所有的这些进展导出了金属塑性经典理论严格的基础，也为后来土体、岩石和混凝土类的其他材料的更复杂的塑性理论发展打下了基础（Chen 和Han ，1988，Chen 和Mizuno ，1990）。

6.1 加载准则在应力空间上的屈服面确定了当前的弹性区的边界。

如果一个应力点在屈服面的里面，就称之为弹性状态而且只有弹性特性；如果一个应力点在屈服面上，其应力状态为塑性状态，产生弹性或者弹塑性特性。

在数学上，弹性状态和塑性状态作如下定义：0<f 时，弹性状态 0=f 时，塑性状态这里，f 就是在应力空间定义了屈服面的屈服函数。

对于强化材料，如果应力状态趋向于移出屈服面的趋势，则可获得一个加载过程，而且能观察到弹塑性变形；会产生附加的塑性应变且当前的屈服（或加载）面构形也会发生改变，使应力状态总保持在后继加载面上。

如果应力状态有移进屈服面以内的趋向，则称为卸载过程，此时只有弹性变形发生，加载面仍然保持原样。

应力从塑性状态开始改变的另一种可能就是应力点沿着当前屈服面移动，这个过程叫做中性变载，与其相关的变形是弹性的。

区分这些现象的数学表达式就叫做加载准则，可用下列式子表示0=f 且0>∂∂ij ijd fσσ时，加载 0=f 且0=∂∂ij ijd fσσ时，中性变载（6-1）0=f 且0<∂∂ij ijd fσσ时，卸载 通常，f 函数形式是这样定义的，使得梯度矢量f ij ijn f=∂∂σ的方向总是沿着屈服面0=f 向外的法线方向。

因此，这些加载准则能用图6-1作简单的说明。

（a ） （b ）图6-1 加工强化材料的加载准则 （a ）单轴情况； （b ）多轴情况对于理想塑性材料，当应力点沿着屈服面移动时，能观察到弹塑性变形。

但是，它并不总是引起塑性变形而有可能被归到中性变载情况，因此对这种材料的加载准则给出定义如下0=f 且0=∂∂ij ijd fσσ时，加载或中性变载 0=f 且0<∂∂ij ijd fσσ时，卸载（6-2）应当指出，加载和中性变载过程不能用上述准则加以区别。

已经有人提出表述加载准则的不同的形式，可以用应变增量代替应力增量作出判断0=f 且0>∂∂kl ijkl ijd C fεσ时，加载 0=f 且0=∂∂kl ijkl ijd C fεσ时，中性变载（6-3）0=f 且0<∂∂kl ijkl ijd C fεσ时，卸载 在这里，ijkl C 是弹性刚度张量。

在Chen 等（Chen 和Zhang ，1991）的论文中可以找到关于上述加载准则的进一步讨论。

对于理想塑性材料来说，这种形式更具普遍性也更适用。

例如即将在后面6.3.1节中看到的，对于理想塑性材料，即使当0=∂∂ij ijd fσσ时也能找到塑性应变增量的值为零，也就是在式（6-4）中定义的0=λd 。

这是在式（6-4）中定义的中性变载过程。

在有限元分析中，需要从给出的或已知的应变增量中算出应力增量，这个计算需要给出或知道发生的变形是哪种形式。

式（6-1）和式（6-2）中惯用的准则并不很方便，因为要用他们就必须知道应力增量，而后面式（6-3）中的准则能使我们用很直接的方法去解决这个难点。

>ij d σ0=ijn 'σ6.2 流动法则在加载过程中会产生塑性应变，为了描述弹塑性变形的应力—应变关系，必须定义出塑性应变增量矢量p ij d ε的方向和大小，即：（1）各分量的比率；（2）它们相应于应力增量ij d σ的大小。

下面将以一个类似于理想流体流动问题的方式介绍塑性势能函数g 的概念，我们把流动法则规定如下：ijp ij gd d σλε∂∂= （6-4）其中，λd 是一个贯穿于整个塑性加载历史的非负标量函数。

梯度矢量ij g σ∂∂/规定了塑性应变增量矢量pij d ε的方向，也就是势能面0=g 在当前应力点的法线方向，由于这个原因，该流动法则也称作正交条件。

另一方面，塑性应变增量矢量的长度或大小由λd 确定。

如果塑性势能面与屈服面有相同的形状，也就是f g =，那么流动法则与屈服条件是相关联的，可用下式表示为ijp ij fd d σλε∂∂= （6-5）在这种情况下，塑性应变沿着当前加载面的法线方向产生。

式(6-5)中的正交条件虽很简单，但以此为基础建立的任何应力—应变关系，对一个给定的边界值问题有惟一解。

6.2.1 von Mises 形式的塑性势能函数von Mises 函数在应力空间中表示为圆柱体，其偏截面如图6-2所示。

这个塑性势能函数表示为0)(2=-=k J g ij σ（6-6）其中，k 为常数。

因此，由流动法则可得λεd s d ij p ij =（6-7）此式表明，应力主轴和塑性应变增量张量相应主轴是一致的，从式（6-7）可得到0==λεd s d kk p kk（6-8）所以，对这种类型的材料，体积变化是纯弹性的，不能产生塑性体积变化。

σ3σ'图6-2 在偏平面上的Tresca 和von Mises 准则由式（6-7）可推出λτγτγτγεεεd d d d s d s d s d zxpzxyz p yz xy p xy z p z y p y x p x ======222 （6-9）上述等量关系就是Prandtl —Reuss 方程。

它是Prandtl 在1925年扩展了原先的Levy —Mises方程（式6-10）得到的，而且第一次提出了理想弹塑性材料在平面应变情况下的应力－应变关系。

Reuss 在1930年又把Prandtl 方程扩展到三维情况并给出式（6-9）的一般形式。

在大塑性流动的问题中，弹性应变可以忽略不计。

在这种情况下，材料可以被认为是理想刚性塑性体，总的应变增量ij d ε和塑性应变增量p ij d ε可以认为相等。

这种材料的应力—应变关系可以写成λεd s d ij ij =（6-10a ）或λτγτγτγεεεd d d d s d s d s d zxzxyz yz xy xy z z y y x x ======222 （6-10b ）这个等量关系式就是Levy －Mises 方程。

在它们的发展过程中，St. Venant 在1870年第一个提出了应变增量主轴与应力主轴重合，上面的应力－应变关系由Levy 在1871年和von Mises 在1913年分别提出。

6.2.2 Tresca 形式的塑性势能函数在主应力空间，Tresca 函数表示为由六个平面组成的正六角棱柱体。

这个棱柱的偏平面见图6-2。

假设主应力的大小次序是321σσσ>>，那么就能定出相应的势能函数为 0231=--=k g σσ（6-11） 其中，k 为常数。

根据式(6-5)，与Tresca 势能涵数相关联的主应变增量则为)1,0,1(),,(321-=λεεεd d d d p p p（6-12）对于主应力1σ、2σ、3σ大小的其他五种代数顺序的组合可以得出类似的结果。

)(a 1-σ2-σk 2d 22,εσp d 33,ε1-σk2=)(b图6-3 与Tresca 屈服准则函数相关的流动法则（a ）塑性应变增量矢量的正则性 （b ）作为光滑面极限的顶点A在一个如图6-3(a )所示的主应力（主应变）增量组合空间里，塑性应变增量能用几何图形来讨论。

可以看出在321σσσ>>的平面AB 上的任何地方，塑性应变增量的方向都互相平行且垂直于Tresca 六角棱柱体的AB 面。

对于六角棱柱体的其他平面也能得到类似的关系。

在某些特殊情况下，比如321σσσ=>，情况就更复杂，因为最大剪应力值不仅在平行于2X 轴的045剪切面上，而且在平行于3X 轴的045剪切面上与屈服值k 相等。

因此有两种塑性应变增量的可能：（1）1max σσ=，3min σσ=)1,0,1(),,(1321-=λεεεd d d d p p p ，对于01≥λd（2）1max σσ=，2min σσ=)0,1,1(),,(2321-=λεεεd d d d pp p ，对于02≥λd在这种情况下，假定塑性应变增量矢量是前面所给两个增量的线性组合，即)0,1,1()1,0,1(),,(21321-+-=λλεεεd d d d d p p p ，对于0,21≥λλd d（6-13）这种假定适合于当前应力状态ij σ位于塑性势能面的顶点或奇异点的特殊情况。

一般地，塑性应变增量矢量必须位于六边形两相邻边的法线方向之间（图6-3（b ））。

一般地，在几个光滑势能面相交的奇异点处，应变增量通常可以表示成，在这点相交的各面的法线方向所确定的增量的线性组合，即∑=∂∂=nk ijkkp ijg d d 1σλε (6-14)式（6-13）、式(6-14)表明，在顶点处，塑性应变增量的方向是不确定的，要克服这个难点的一个办法，就是使顶点处光滑而且把Tresca 势能面看作这个光滑面的极限情况。

为此，我们采用Tresca 函数的另一种形式031sin 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k J g πθ（6-15）此处，θ在0与3/π之间取值。

当0=θ或θ＝3π时，上式简化为 32σ=J（6-16）实际上，上式就是von Mises 准则，而且表明顶点处的塑性应变方向由外接Tresca 面的von Mises 面来确定。

相反地，塑性势能面的顶点能被看作光滑表面的极限情况，而且对于角点处仍作为光滑面可应用流动法则。

如相应于Tresca 面的光滑面就是von Mises 面，如图6-2和图6-3（b ）中的点A 所示。

6.3 理想塑性材料的增量应力－应变关系理想塑性材料的加载准则要求应力增量矢量ij d σ相切于屈服面，而流动法则要求塑性应变增量矢量p ij d ε是在塑性势能面的法线方向。

接着再确定p ij d ε的大小，即λd ，一旦λd 确定，就能建立ij d σ和p ij d ε之间的关系。

6.3.1 一般形式设主应变增量为弹性应变增量与塑性应变增量之和，即p ij eij ij d d d εεε+=（6-17）弹性应力增量与应变增量的关系通过虎克定律确定eklijkl ij d C d εσ= （6-18）塑性应变pij d ε从式（6-4）中的流动法则可以得到。