位单精度浮点数的IEEE表示法
IEEE_754关于浮点数的规定
习题: 1.将下列十进制数用16进制IEEE 754 单精 度代码表示 (1) –35 (2) 3.75 (3) 5 2.将下列16进制IEEE 754 单精度代码转换成 十进制数 (1) 41F00000 (2) BF600000 (3) 3F800000
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
一、 IEEE754对阶码作如下规定
偏移阶码E 0 1 2 … 127 128 129 … 254 255 实际阶码值 保留做操作数 -126 -125 0 1 2 127 保留做操作数
二、对上溢和下溢的处理 当运算结果小于规格化浮点数所能表示的 最小值时，以前硬件处理策略，或者结果置0 或者产生一个下溢陷阱，这两种方案均不能 令人满意。 IEEE754 处理方法是使用非规格化数。 这时阶码为0（即移码-127），尾数没有隐含 位，最高位是0。 这样的结果是降低精度，扩大表示范围。 如原来规格化单精度最小值是 1.0x2-126, 而非 规格化单精度最小值是2-23 x2-126=2-149(只有1 位有效位) 。
255 255
任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
ieee754浮点表示法
ieee754浮点表示法IEEE 754浮点表示法是一种用于计算机中浮点数表示和计算的标准。
它定义了浮点数的表示格式、舍入规则和算术操作，确保了在不同平台上的数值计算的一致性和可移植性。
IEEE 754浮点表示法使用科学计数法来表示浮点数。
它将一个浮点数分为三部分：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位表示数值的正负，指数位表示数值的大小，尾数位表示数值的精度。
在IEEE 754浮点表示法中，一个浮点数的二进制表示为：(-1)^s * M * 2^E，其中s表示符号位，M表示尾数位，E表示指数位。
符号位用于表示数值的正负。
当符号位为0时，表示数值为正；当符号位为1时，表示数值为负。
尾数位用于表示数值的精度。
它是一个二进制小数，由多个二进制位组成。
尾数位的长度取决于浮点数的精度要求。
例如，单精度浮点数使用23位的尾数位，双精度浮点数使用52位的尾数位。
指数位用于表示数值的大小。
它是一个整数，由多个二进制位组成。
指数位的长度取决于浮点数的范围要求。
例如，单精度浮点数使用8位的指数位，双精度浮点数使用11位的指数位。
在IEEE 754浮点表示法中，指数位和尾数位都采用了偏移码的表示方式。
偏移码是通过将真实值加上一个偏移量来表示的。
对于单精度浮点数，偏移量为127；对于双精度浮点数，偏移量为1023。
这样做的目的是为了方便计算机进行浮点数的比较和计算。
使用IEEE 754浮点表示法可以表示各种大小和精度的浮点数。
例如，单精度浮点数可以表示的最小正数为2^-126，最大正数为(2-2^-23) * 2^127；双精度浮点数可以表示的最小正数为2^-1022，最大正数为(2-2^-52) * 2^1023。
在进行浮点数的计算时，IEEE 754浮点表示法定义了一系列的舍入规则。
舍入规则用于确定浮点数计算结果的精度和舍入方式。
常见的舍入规则包括向上舍入、向下舍入、向零舍入和最近舍入。
不同的舍入规则适用于不同的计算场景，可以根据需要选择合适的舍入规则。
ieee754中浮点数的表示范围
ieee754中浮点数的表示范围
IEEE 754浮点数标准定义了多种浮点数格式，每种格式的表示范围略有不同。
以下为IEEE 754标准中三种常见的浮点数格式的表示范围：
单精度浮点数（32位）的表示范围为：
- 最大正数：约3.4 x 10^38
- 最小正数：约1.4 x 10^-45
- 最大负数：约-3.4 x 10^38
- 最小负数：约-1.4 x 10^-45
双精度浮点数（64位）的表示范围为：
- 最大正数：约1.8 x 10^308
- 最小正数：约4.9 x 10^-324
- 最大负数：约-1.8 x 10^308
- 最小负数：约-4.9 x 10^-324
扩展精度浮点数（80位）的表示范围为：
- 最大正数：约1.2 x 10^4932
- 最小正数：约4.9 x 10^-4966
- 最大负数：约-1.2 x 10^4932
- 最小负数：约-4.9 x 10^-4966
需要注意的是，由于浮点数的表示采用了有限的位数，浮点数的范围总是有限的，而不是无限的。
在表示范围之外的数值将被截断或舍入为特殊的值，如正无穷大、负无穷大或NaN （非数值）。
ieee 754-1985 浮点数表示方法
IEEE 754-1985 浮点数表示方法一、背景介绍IEEE 754-1985是一种用于计算机系统中浮点数表示的标准。
这一标准定义了浮点数的格式、表示范围、精度以及运算规则，是科学计算、工程计算和数据处理中广泛使用的一种标准。
它的出现改变了以往各种不同计算机系统之间浮点数表示的不一致性，促进了软件开发和数据交换的统一和规范化。
二、基本结构IEEE 754-1985标准定义了三种不同的浮点数格式：单精度、双精度和扩展双精度。
其中，单精度浮点数占用32位，双精度浮点数占用64位，扩展双精度浮点数占用80位。
这三种浮点数格式都包括三个部分：符号位(S)、指数位(E)和尾数位(M)。
具体的格式如下：1. 单精度浮点数符号位：1位指数位：8位尾数位：23位2. 双精度浮点数符号位：1位指数位：11位尾数位：52位3. 扩展双精度浮点数符号位：1位指数位：15位尾数位：64位三、浮点数表示范围根据IEEE 754-1985标准，不同格式的浮点数可以表示的范围也不同。
以双精度浮点数为例，它可以表示的范围大约是1.7 x 10^(-308)到1.7 x 10^308，而单精度和扩展双精度浮点数的表示范围也可以根据其格式类似地计算出来。
四、浮点数表示精度除了表示范围之外，IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的表示精度。
双精度浮点数具有大约15位有效数字，这意味着它的表示精度可以达到小数点后15位。
单精度和扩展双精度浮点数的表示精度也可以通过类似的方式得出。
五、浮点数运算规则IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的运算规则，包括加减乘除、开方、取模等一系列运算。
这些运算规则不仅规定了浮点数之间的运算规则，还规定了特殊值(如正无穷、负无穷、NaN)的处理方式，以及溢出、下溢等异常情况的处理方式。
六、浮点数表示的优缺点根据IEEE 754-1985标准，浮点数可以表示大范围的数值，并且具有较高的精度，这使得它在科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。
ieee 754标准的浮点数表示方法
ieee 754标准的浮点数表示方法
IEEE 754标准定义了浮点数的表示方法，包括单精度和双精
度浮点数。
单精度浮点数（32位）的表示方法如下：
- 1位符号位（S），用来表示正负号，0表示正数，1表示负数。
- 8位指数位（E），用来表示指数部分，采用偏移表示法，即
真正的指数值等于E - 127，其中E的取值范围为1到254，保留了0和255两个特殊值。
- 23位尾数位（M），用来表示尾数部分，在计算机内部以二
进制表示的小数部分。
双精度浮点数（64位）的表示方法如下：
- 1位符号位（S），用来表示正负号，0表示正数，1表示负数。
- 11位指数位（E），用来表示指数部分，采用偏移表示法，
即真正的指数值等于E - 1023，其中E的取值范围为1到2046，保留了0和2047两个特殊值。
- 52位尾数位（M），用来表示尾数部分，在计算机内部以二
进制表示的小数部分。
根据上述规定，浮点数的数值表示为：(-1)^S * (1.M) * 2^(E-
偏移值)。
其中，(1.M)表示1加上尾数M的二进制表示值，偏移值为
127（对于单精度浮点数）或1023（对于双精度浮点数）。
例如，对于单精度浮点数0.15625，其二进制表示为：
- 符号位S为0表示正数。
- 指数位E为3，表示指数部分为3 - 127 = -124。
- 尾数位M为10000000000000000000000（二进制表示），表示尾数部分。
因此，浮点数0.15625的IEEE 754标准单精度表示为：0 01111100 10000000000000000000000。
IEEE 754关于浮点数的规定
五、浮点数说明形式 在汇编语言中，可用DD、 和 来分 在汇编语言中，可用 、DQ和DT来分 别说明单精度、双精度和扩展精度的浮点数。 别说明单精度、双精度和扩展精度的浮点数。 在MASM 6.11系统提供了新的浮点数说 系统提供了新的浮点数说 明方法。 明方法。 可用REAL4、REAL8和REAL10来分别 即：可用 、 和 来分别 代替DD、 和 。 代替 、DQ和DT。
习题: 习题 1.将下列十进制数用 进制 将下列十进制数用16进制 将下列十进制数用 进制IEEE 754 单精 度代码表示 (1) –35 (2) 3.75 (3) 5 2.将下列 进制 将下列16进制 将下列 进制IEEE 754 单精度代码转换成 十进制数 (1) 41F00000 (2) BF600000 (3) 3F800000
2、还原阶码： 、还原阶码： 10000011 – 01111111＝100 ＝ 3、该浮点数的规格化形式： 、该浮点数的规格化形式： 1.1001001×24 × (其中前面的“1.”从隐含位而来 其中前面的“ 从隐含位而来 从隐含位而来) 其中前面的 4、该浮点数的非规格化形式： 、该浮点数的非规格化形式： 11001.001 5、该浮点数的十进制数为-25.125 (因为符 、该浮点数的十进制数为 因为符 号位为1，所以，该数是负数) 号位为 ，所以，该数是负数
IEEE 754 关于浮点数的规定 在计算机中，浮点数一般由三部分组成： 在计算机中，浮点数一般由三部分组成： 数值的符号位、阶码和尾数。 数值的符号位、阶码和尾数。 这种浮点数是用科学记数法来表示的， 这种浮点数是用科学记数法来表示的， 即： 浮点数＝符号位.尾数 尾数× 浮点数＝符号位 尾数×2阶码。
在定义浮点数时， 在定义浮点数时，要使用伪指 令.8087、.287或.387等。 、 或 等 例如： 例如： .387 0000 3F9DF3B6 Data1 DD 1.234 ;定义单精度浮点数 定义单精度浮点数 0004 C1BB3333 Data2 DD –23.4 0008 43D20000 Data3 REAL4 4.2E2 ;定义单精度浮点数 定义单精度浮点数
ieee 浮点数运算
ieee 浮点数运算IEEE（电气电子工程师协会）浮点数标准定义了浮点数的表示方法和运算规则。
在IEEE 754标准中，浮点数分为单精度（32位）和双精度（64位）两种类型。
在IEEE 754标准中，浮点数的表示格式如下：1.符号位：1位，用于表示浮点数的正负。
2.指数位：对于单精度浮点数，为8位；对于双精度浮点数，为11位。
3.尾数位：对于单精度浮点数，为23位；对于双精度浮点数，为52位。
在IEEE 754标准中，浮点数的表示方法如下：1.正数表示：符号位为0，指数位和尾数位按照规定的格式表示。
2.负数表示：符号位为1，其余部分按照规定的格式表示。
在IEEE 754标准中，浮点数的运算规则如下：1.加法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相加即可。
如果相加结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
2.减法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相减即可。
如果相减结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
3.乘法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相乘即可。
如果相乘结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
4.除法：将两个浮点数的符号位相加，指数位和尾数位分别相除即可。
如果相除结果超过规定的表示范围，需要进行舍入或溢出处理。
5.舍入：当浮点数运算结果超过规定的表示范围时，需要进行舍入处理。
具体舍入方式有三种：向最接近的偶数舍入、向最接近的整数舍入、向最接近的可表示的浮点数舍入。
6.溢出：当浮点数运算结果超过了最大可表示的数值时，会发生溢出。
此时需要将结果设为最大可表示的数值或无穷大。
c51程序 ieee-754标准的单精度浮点数
IEEE-754标准的单精度浮点数1. 介绍IEEE 754是一种二进制表示浮点数的标准，它定义了浮点数的表示和运算规则。
这个标准最初是由IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers)制定的，它定义了浮点数的表示方式、舍入规则、溢出和下溢、异常值处理等内容。
单精度浮点数是IEEE-754标准中的一种浮点数表示格式，它用32位表示一个浮点数，其中1位表示符号位，8位表示指数，23位表示尾数。
2. 单精度浮点数的表示单精度浮点数由三个部分组成：符号位、指数部分和尾数部分。
其中，第1位是符号位，表示数的正负；接下来的8位是指数部分，用来表示数的数量级；最后的23位是尾数部分，用来表示数的精度。
单精度浮点数采用以下方式表示一个数：S EEEEEEEE MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM其中，S为符号位，EEEEEEEEE为指数部分，MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM为尾数部分。
3. 单精度浮点数的范围单精度浮点数可以表示的范围约为1.18e-38到3.4e38之间，它可以表示的精度约为7位有效数字。
这个范围和精度可以满足大部分科学计算和工程计算的需要。
4. 单精度浮点数的运算单精度浮点数的运算包括加减乘除、开方、求倒数等基本运算，以及求平方、求立方、取对数、取指数等高级运算。
在进行浮点数运算时，需要遵守IEEE 754标准中定义的舍入规则和溢出、下溢、异常值处理规则，以确保运算结果的正确性。
5. 单精度浮点数的应用单精度浮点数广泛应用于科学计算、工程计算、图形处理、物理模拟等领域。
在这些领域，对计算速度和内存占用有较高要求，因此使用单精度浮点数可以提高计算效率和节省内存空间。
6. 总结IEEE 754标准的单精度浮点数是一种用来表示浮点数的标准格式，它具有较高的表示范围和精度，广泛应用于科学计算和工程计算等领域。
在进行浮点数运算时，需要遵守IEEE 754标准中定义的规则，以确保运算结果的正确性。
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32位单精度浮点数的IEEE表示法
float 共计32位(4字节)
31位是符号位，1表示该数为负，0反之
30~23位，一共8位是指数位(-128~127)
22~ 0位，一共23位是尾数位，尾数的编码一般是原码和补码
IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示：
n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
其中，
S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
值得注意的是，M虽然是23位或者52位，但它们只是表示小数点之后的二进制位数，也就是说，假定 M为“010110011...”, 在二进制数值上其实是“.010110011...”。
而事实上，标准规定小数点左边还有一个隐含位，这个隐含位通常，哦不，应该说绝大多数情况下是1，那什么情况下是0呢？答案是N 对应的n非常小的时候，比如小于 2^(-126)(32位单精度浮点数)。
不要困惑怎么计算出来的，看到后面你就会明白。
总之，隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=1.010110011...”或者“m=0.010110011...”
计算e、m
首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。
掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是，规格化、
非规格化本身的概念几乎不怎么重要。
请牢记这句话：规格化与否全看指数E！
下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:
1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。
此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：
上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则
|E|=132,e=132-127=5 。
k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。
此时m的计算公式如下图所示：
标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。
如M="101"，则
|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.625
2、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。
此时e，m 的计算都非常简单。
注意，此时小数点左侧的隐含位为0。
为什么e会等于(1-bias)而不
是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。
后文我们还会继续讨论。
有了非规格化形式，我们就可以表示0了。
把符号位S值1,其余所有位均
置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。
非规格化数
还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually unde rflow)”属性。
3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。
此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。
范例
仔细研读第四点后，再回忆一下文章开头计算n的公式，你应该写出一个浮点编码的实际值n了吧？还不能吗？不急，我先给你示范一下。
浮点数C0A00000H，二进制形式为( 1100 0000 1010 0000 ... 0000 0000)。
红色数字为E，可以看出|E|=129>0, 则e=129-bias=129-127=2 ；
蓝色数字为M, 且|E|>0，说明是规格化数，则m=|1.M|=|1.01000..000|=1.25 ; 由n的计算公式可以求得 n=(-1)^1 * 1.25 * 2^2 = - 5，结果被验证了。