《信号检测与估计》第九章习题解答
T x 2 (t )dt −2 A
0
Tx(t
0
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
+
A
2
T 0
sin
2
(ω
0
t
+θ
)dt
⎟⎞ ⎠
由于 ∫0Tsin 2 (ω0t
+ θ )dt
=
1 2
∫0T(1 − cos 2(ω0t
+ θ ))dt
=
T 2
，得到
( ) ∫ ∫ f
x A,θ
−1
= Fe N0
T x 2 (t )dt 2 A
ω0
ω0
s(t
)
=
⎪ ⎨
A
⎪
⎪ ⎪⎩
A（1
+
cos
ω0t）
− 2mπ < t ≤ 2mπ
ω0 2mπ
<t
≤
(2ωm0 +1)π
ω0
ω0
试证明时延τ
的无偏估计量的方差为
σ
2 τˆ
≥
3 + 4m
(2E / N0 )ω02
。其中 E 为信号能量。
解：略
9.4 接收信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t)的到达有时延τ ，求时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差。其中 n(t)
⎤ ⎥⎦
∫ ∫ ∫ ∫ [ ] = 4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T /2
E
−T / 2
n(t )n(u )
∂s(u −τ ) dudt
∂τ
=
4
N
2 0
T / 2 ∂s(t −τ )
−T / 2 ∂τ
T / 2 N0 δ (t − u) ∂s(u −τ ) dudt
−T / 2 2
N0 2
的高斯白噪声。求信号时
延τ 的 Bayes 估值。 A、ω0 皆为已知常量。
解：略
9.3 接收信号 x(t) = s(t −τ ) + n(t) ，其中τ 是信号 s(t)到达的时延， n(t) 是功率谱密度为 N0 的高斯白
2
噪声， s(t)的表达式为
⎧ ⎪
A(1 + cosω0t)
⎪
− (2m +1)π ≤ t ≤ − 2mπ
= 4A2 N0Δ
得到τˆ 的最小方差为
Var[τˆ] ≥
1
E
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
∂
ln
f（x ∂α
τ）⎟⎟⎠⎞2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
=
N0Δ 4 A2
-3-
∫ ∫ = Fe N0 0
e 2N0
1
∫ 2π
2A
2π e N0
T
x
0
(t
)(sin
ω
0
t
sin
θ
+
cos
ω0
t
cos
θ
)dt
dθ
0
∫ ∫ 令 xc
=
Tx(t
0
)
cos
ω
0
tdt
=
z cos ϕ
，
xs
=
Tx(t
0
)
sin
ω0
tdt
=
z
sin ϕ
，得到
z2
=
xc2
+xs2Fra bibliotek，ϕ=
arctg
xs xc
θ θ 1
1
=
1
E
⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
∂
ln
f（x ∂α
τ）⎟⎟⎠⎞2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
E ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
2 N0
[ ( ) ∫−TT/
2 /2
xt
−
s(t
−
τ
)]
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
⎟⎟⎠⎞2
⎤ ⎥ ⎥⎦
由于 x(t) − s(t −τ ) = n(t)，代入上式得
E ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
2 N0
[ ( ) ( ∫T /2
Tx(t
0
)(sin
ω0
t
sin
θ
+
cos
ω0
t
cos
θ
)dt
dθ
2π 0
=
−
Fe
1 N0
∫T
0
x2
(t )dt − e
A2T 2N0
I0 ⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
⎟⎟⎠⎞
（z >0）
-1-
《信号检测与估计》习题解答
( ) ln
f
xA
= ln F −
1 N0
∫0T x2
(t )dt
−
A2T 2N0
+
0
e N0
Tx(t
0
)
sin
(ω0
t
+θ
)dt
e
−
A2T 2N0
对θ 积分，得到
∫ f (x A) =
2π
f
(x
A, θ
)
f
(θ
)dθ
0
− 1 T x 2 (t )dt − A2T
∫ ∫ = Fe N0 0
e 2N0
1
∫ 2π
2A
2π e N0
T
x
0
(t
)sin
(ω
0
t
+θ
)dt
dθ
0
− 1 T x 2 (t )dt − A2T
上式中， T = L + Δ 22
( ) ln f
xτ
=
ln
F
−
1 N0
[ ( ) ∫−TT/
2 /2
xt
−
s(t
−τ
)]2 dt
( ) ∂ ln f xτ
∂τ
=
2 N0
∫−TT/
2 /2
[x(t
)
−
s(t
−τ
)]
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
根据克拉美—罗不等式，时延τ 的无偏估计量τˆ 的最小方差为
Var[τˆ] ≥
−T / 2
xt
−s t
−
τ
)]
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
E ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛
2 N0
∫−TT/
2 /2
n(t
)
∂s
(t −
∂τ
τ
)
dt
⎟⎟⎠⎞
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
=
4
N
2 0
E
⎢⎣⎡∫−TT/
2 /2
n(t
)
∂s(t −
∂τ
τ
)
dt
∫−TT/
2 /2
n(u
)
∂s(u −
∂τ
τ
)
du
是功率谱密度为 N0 的高斯白噪声， s(t)如图题 9.4 所示。
2 s(t)
A
0
t
Δ
L
Δ
图题 9.4
解：由 s(t)信号图可知，梯形信号由宽度为 Δ 的上升沿、下降沿和宽度为 L 的平顶三部分组成，表
达式为
⎧ ⎪ ⎪
A Δ
⎜⎛ t ⎝
+
L 2
+
Δ ⎟⎞ ⎠
s(t )
=
⎪ ⎪
A
⎨
⎪− ⎪
A Δ
⎜⎛ t ⎝
ln
I
0
⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
⎟⎟⎠⎞
振幅 A 的最大似然估计量必须满足下列方程
( ( )) ∂ ln f x A
∂A
A= Aˆ
=
∂ ln
I0
⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
∂A
⎟⎟⎠⎞
−
AT N0
A= Aˆ = 0
9.2
接收信号 x(t) =
A[1+ cosω0 (t −τ )]+ n(t) ，其中 n(t) 是功率谱密度为
e ∫ d = 1 2π
2A N0
T
x
0
(t
)(sin
ω0
t
sin
θ
+
cos
ω
0t
cosθ
)dt
e d 2π
2A N0
(
xs
sin θ
+
xc
cosθ
)
π ∫ π ∫ 2 0
20
∫ ∫ = 1 2π
θ e d = 1 2π
2 A (z sinϕ sinθ + z cosϕ cosθ )
N0
0
2π
2π 0
2 Az cos(θ −ϕ )
e N0
dθ
=
I0 ⎜⎜⎝⎛
2 Az N0
⎟⎟⎠⎞
∫ 上式中， 1 2π
2eπxp[x cosθ ]dθ = I0 (x) 为零阶修正贝塞尔函数。得到
0
( ) ∫ ∫ − 1 T x2 (t )dt − A2T
f x A = Fe N0 0
e 2N0
1
∫ 2 A
2π e N0
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第九章习题解答
9.1 接收信号 x(t) = Asin(ω0t + θ ) + n(t)，其中 n(t) 是高斯白噪声，θ 在 (0，2π )均匀分布，现在需求振
《信号检测与估计》第十章习题解答
《信号检测与估计》第十章习题解答10.1 设线性滤波器的输入信号为()()()t n t s t x +=，其中()[]0E =t s ，()[]0E =t n ，并且已知()ττ-e =S R ，()ττ-2e=N R ，()0=τsn R ，求因果连续维纳滤波器的传递函数。
解：连续维纳滤波器与离散维纳滤波器的形式是相同的，即()()()()+⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=s B s P s B s H xs w112opt σ 因此需要求解()t s 的复功率谱和()t x 的时间信号模型。
考虑到信号与噪声不相关，因此观测数据的功率谱就等于信号的复功率谱加上噪声的复功率谱。
对观测数据的复功率谱进行谱分解，就可以得到()t x 的时间信号模型。
()t s 的复功率谱为()()()20s -10s 1-s --121111e e e e s s s d d d s P S −=−++=+==∫∫∫∞−+∞++∞∞−τττττττ ()t n 的复功率谱为()2s -2-44e es d s P N −==∫+∞∞−τττ因此，观测数据的复功率谱为()()()()()()()()()s s s s ss ss s P s P s P N S X −+−++=−+−=+=2211-226441122 取12=w σ()()()()s s ss B +++=2126()()()()()()()()()s s s s s s s s B s P s B s P N xs +=−==1-2-262-2-1-2612--2令()()()s B s P s F xs -=，()τf 是()s F 的拉普拉斯反变换。
要求()τf 是因果的，可将s 平面右半平面的极点扔掉，()()()[]12e 61,e Re e21-s s +=−==∫τττπτs F s ds s F jf C给()τf 取因果，并做拉普拉斯变换，得到()s d s F +⋅+=⋅⋅+=∫∞++11126e e 1260s --τττ()()()()()()())()()122261112626211112opt +++=+×+×+++×=⎦⎤⎢⎣⎡−⋅⋅=+ss ss s s s B s P s B s H xs wσ10.2 设已知()()()n n n s n x +=，以及()()()z z z G S 4.014.0192.01−−=−，()1=z G N ，()0=z G sn ()n s 和()n n 不相关。
数字信号处理第9章答案
滤波器？ 为什么？
（该题21分， （1）15分， （2）6分） （自测时间2.5~3小时， 满分100分）
第 9 章
自
测
题
题9图
第 9 章
自
测
题
9.4 自 测 题 (四)
1. 设
0.19 X ( z) (1 0.9 z )(1 0.9 z 1 )
试求与X(z)对应的所有可能的序列x(n)。 (该题12分) 2. 假设x(n)=R8(n), h(n)=R4(n)。 （1）令y(n)=x(n)*h(n)， 求y(n)。 要求写出y(n)的表达式， 并画出y(n)的波形。
ˆ （1） 写出 x (t ) 的表达式;
（2） 求出理想低通滤波器的输出信号y(t)。
（该题14分 ， （1）6分， （2）8分） 4. 假设线性非时变系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号
x(n)分别用下式表示：
h(n)=R8(n), x(n)=0.5nR8(n) (1) 计算并图示该系统的输出信号y(n);
y1(n)=IDFT［Y(k)］
（FFT计算作为一个框图）， 并注明FFT的最小计算区间N
等于多少。 （该题22分, （1） 7分, （2） 7分, （3） 8分）
第 9 章
自
测
题
5. 二阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为
H a (s) 1 s 2 2s 1
采样间隔T=2 s， 为简单起见， 令3 dB截止频率Ωc=1 rad/s， 用 双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器H(z)， 要求: (1) 求出H(z); (2) 计算数字滤波器的3 dB截止频率; (3) 画出数字滤波器的直接型结构图。 （该题15分， （1） 5分, （2） 5分, （3） 5分）
《信号与系统》第九章习题解答
shown in Figure 1. (a) Determine the system function of the system, is this system causal? (b) Determine the unit impulse response of this system. (c) If the input is x ( t ) = u ( − t ) , determine the output y ( t ) . (d) Draw a block diagram representation of this system.
17
Chapter 9
例：某连续时间 LTI 系统的系统函数为 H ( s ) =
Problem Solution
s +1 为常数。 ，其中 a, b 为常数。已知系统函 2 s + as + b
t
数 在 s = −2 有 一 个 极 点 ， 且 输 入 为 x ( t ) = e , − ∞ < t < +∞ 时 ， 系 统 的 输 出
Problem Solution
y′′(t ) − y′(t ) − 2 y (t ) = x(t )
(b) Determine h(t ) for each of the following cases: −1/ 3 1/ 3 1 1 H (s ) = 2 = = + s − s − 2 (s + 1)(s − 2 ) s + 1 s − 2 1. The system is stable. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) − e u (− t ) − 1 < Re{s} < 2 3 3 2. The system is causal. 1 −t 1 2t h(t ) = − e u (t ) + e u (t ) Re{s} > 2 3 3 3. The system is neither stable nor causal.
信号检测与估计试题——答案(不完整版)
一、概念：1. 匹配滤波器。
概念：所谓匹配滤波器是指输出判决时刻信噪比最大的最佳线性滤波器。
应用：在数字信号检测和雷达信号的检测中具有特别重要的意义。
在输出信噪比最大准则下设计一个线性滤波器是具有实际意义的。
2. 卡尔曼滤波工作原理及其基本公式(百度百科)首先，我们先要引入一个离散控制过程的系统。
该系统可用一个线性随机微分方程（Linear Stochastic Difference equation）来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。
A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。
Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。
W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。
他们被假设成高斯白噪声(White Gaussian Noise)，他们的covariance 分别是Q，R（这里我们假设他们不随系统状态变化而变化）。
对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。
下面我们来用他们结合他们的covariances 来估算系统的最优化输出（类似上一节那个温度的例子）。
首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。
假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) (1)式(1)中，X(k|k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1|k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。
到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的covariance还没更新。
我们用P表示covariance：P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q (2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)对应的covariance，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的covariance。
信号检测与估计理论(复习题解)
最大似然估计法具有一致性和渐近无偏性等优点，但在小样本情况下可能存在偏差。此外，该方 法对模型的假设较为敏感，不同的模型假设可能导致不同的估计结果。
最小二乘法
01
原理
最小二乘法是一种基于误差平方和最小的参数估计方法， 它通过最小化预测值与观测值之间的误差平方和来估计模 型参数。
02 03
步骤
首先，构建包含未知参数的预测模型；然后，根据观测数 据计算预测值与观测值之间的误差平方和；接着，对误差 平方和求导并令其为零，得到参数的估计值；最后，通过 求解方程组得到参数的最小二乘估计值。
优缺点
最小二乘法具有计算简单、易于实现等优点，但在处理非 线性问题时可能效果不佳。此外，该方法对异常值和噪声 较为敏感，可能导致估计结果的偏差。
01
小波变换基本原理
小波变换是一种时频分析方法，通过伸缩和平移等运算对信号进行多尺
度细化分析，能够同时提供信号的时域和频域信息。
02
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换具有良好的时频局部化特性，可以用于信号的去噪处理。通过
对小波系数进行阈值处理等操作，可以有效去除信号中的噪声成分。
03
小波变换在信号特征提取中的应用
3. 观察相关函数的峰值，判断是否超过预设门限。
实现步骤
2. 将待检测信号与本地参考信号进行相关运算。
优缺点：相关接收法不需要严格的信号同步，但要求参 考信号与待检测信号具有较高的相关性，且容易受到多 径效应和干扰的影响。
能量检测法
原理：能量检测法通过计算接收信号的能量来判断信号 是否存在。在噪声功率已知的情况下，可以通过比较接 收信号的能量与预设门限来判断信号是否存在。 1. 计算接收信号的能量。
经典参数估计方法
信号检测与估计复习纲要与习题参考答案_2012
2011《信号检测与估计》复习纲要“信号检测与估计”理论是现代信息科学的一个重要组成部分，它是把所要处理的问题，归纳为一定的“数学模型”→运用“概率论”、“随机过程”、“数理统计”等数学工具→以普遍化的形式提出，以寻求普遍化的答案和结论，并且理论与工程实践相结合，以雷达系统、通信系统、声纳系统为主要研究对象，主要内容包括：● 随机信号与噪声理论(The Theory of Random Signals and Noise)——分析随机信号与噪声的数学工具● 统计判决（检测）理论(Statistical Decision Theory)——研究在噪声干扰背景中，所关心的信号是属于哪种状态的最佳判决问题(Detection of Signals in Noise)● 参量估计理论(Estimation Theory of Signal Parameters)——研究在噪声干扰背景中，通过对信号的观测，如何构造待估计参数的最佳估计量问题(Estimation of Signal Parameters)● 滤波理论(Filtering Theory)——为了改善信号质量，研究在噪声干扰中所感兴趣信号波形的最佳恢复问题，或离散状态下表征信号在各离散时刻状态的最佳动态估计问题(Estimation of Signal Waveform) 复习重点：信号检测与参量估计 ● 信号检测：根据有限观测，“最佳”区分一个物理系统不同状态的理论 ● 参量估计：根据有限观测，“最佳”找出一个物理系统不同参数的理论如何选择一个估计量&估计量选择的决策过程信号处理否估计量LSE经典方法贝叶斯方法如何选择一个检测器－二元信号检测如何选择一个检测器－多元信号检测*注：ARMA：自回归滑动平均BLUE：最佳线性无偏估计CFAR：恒虚警率CRLB ：Cramer-Rao下限EM：数学期望最大化GLRT：广义似然比检验IID：独立同分布LLR：对数似然比LMMSE：线性最小均方误差LMP：局部最大势LRT：似然比检验LSE：最小二乘估计LSI：线性时不变MAP：最大后验概率MLE：最大似然估计MMSE：最小均方误差估计MVU：最小方差无偏NP：Neyman-Pearson准则PRN：伪随机噪声RBLS：Rao-Blackwell-Lehmann-Scheffe定理ROC:接收机工作特性UMP：一致最大势WGN：白色高斯噪声WSS：广义平稳2011《信号检测与估计》复习参考题参数估计部分：1.基本概念理解：最小方差无偏估计，最佳线性无偏估计，最大似然估计，最小二乘估计，矩方法估计，最小均方误差估计，最大似然估计，线性最小均方误差估计，一般（经典）线性模型和贝叶斯线性模型。
信号检测与估计简答题集
3一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
信号检测与估计简答题集
一、简答题注释简答题（每题5分，共20分）或（每题4分，共20分）二、第1章简答题1．从系统和信号的角度看，简述信号检测与估计的研究对象。
答：从系统的角度看，信号检测与估计的研究对象是加性噪声情况信息传输系统中的接收设备。
从信号的角度看，信号检测与估计的研究对象是随机信号或随机过程。
2．简述信号检测与估计的基本任务和所依赖的数学基础。
答：解决信息传输系统接收端信号与数据处理中信息恢复与获取问题，或从被噪声及其他干扰污染的信号中提取、恢复所需的信息。
信号检测与估计所依赖的数学基础是数理统计中贝叶斯统计的贝叶斯统计决策理论和方法。
3．概述信号在传输过程中与噪声混叠在一起的类型。
答：信号在传输过程中，噪声与信号混杂在一起的类型有3种：噪声与信号相加，噪声与信号相乘（衰落效应），噪声与信号卷积（多径效应）。
与信号相加的噪声称为加性噪声，与信号相乘的噪声称为乘性噪声，与信号卷积的噪声称为卷积噪声。
加性噪声是最常见的干扰类型，也是最基本的，因为乘性噪声和卷积噪声的情况均可转换为加性噪声的情况。
三、第2章简答题1．简述匹配滤波器概念及其作用。
答：匹配滤波器是在输入为确定信号加平稳噪声的情况下，使输出信噪比达到最大的线性系统。
匹配滤波器的作用：一是使滤波器输出有用信号成分尽可能强；二是抑制噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号处理的影响。
2．根据匹配滤波器传输函数与输入确定信号及噪声的关系，简述匹配滤波器的原理。
答：匹配滤波器传输函数等于输入确定信号频谱的复共轭除以输入平稳噪声的功率谱密度，再附加相位项T ω-，其中T 为输入确定信号的持续时间或观测时间。
由于匹配滤波器传输函数的幅频特性与输入确定信号的幅频特性成正比，与输入噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小。
从而起到加强信号，抑制噪声的作用。
对于信号，匹配滤波器的相频特性与输入信号的相位谱互补，使输入信号经过匹配滤波器以后，相位谱将全部被补偿掉。
《信号检测与估计》第九章习题解答
《信号检测与估计》第九章习题解答9.1 接收信号(((t n t A t x ++=θω0sin ,其中(t n 是高斯白噪声,θ在(π20,均匀分布,现在需求振幅A 的最大似然估计量。
由于θ的先验知识已知,故可先对θ求平均得到(A x f ,试问要求振幅A 的最大似然估计量必须解什么样的方程? 解:接收信号(t x 的似然函数为((([]((((((((⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−−+++−−+−−∫∫∫∫∫===T TT TTdt t A dt t t x A dt t x N dtt A t t Ax t xN dtt A t x N FeFeFeA x f 0002200200022020200sin sin 21sin sin 21sin 1,θωθωθωθωθωθ由于(((∫=+−=∫+TTT dt t dt t 0000222cos 121sin θωθω,得到 ((((020000202sin 21,N TA dt t t x N A dtt x N e eFeA x f T T−+−∫∫=θωθ对θ积分,得到(((((((((θπθπθθθπθωθωπθωπd eeFed e e Fed f A x f A x f dt t t t x N A N T A dt t x N dt t t x N A N T A dt t x N T TTT∫∫∫∫∫∫∫+−−+−−===20cos cos sin sin 22120sin 221 2000000202000020202121,令(ϕωcos cos 00z dt t t x x Tc ==∫,(ϕωsin sin 00z dt t t x x T s ==∫,得到222s cx x z +=,csx x arctg =ϕ (((((⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====∫∫∫∫∫−+++0020cos 220cos cos sin sin 220cos sin 220 cos cos sin sin 22212121210 000N Az I d ed ed e d eN Azz z N Ax x N Adt t t t x N A c s Tθπθπθπθππϕθπθϕθϕπθθπθωθω 上式中,[](cos exp 21020x I d x =∫πθθπ为零阶修正贝塞尔函数。
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
第二章 随机信号及其统计描述1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。
解： 变量X 的概率密度 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=其他，,01)(b x a a b x p均值 []⎰∞∞-+===2)(ba dx x xp X E m X方差 ⎰∞∞--=-=12)()()(222a b dx x p m x X Xσ2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为0),exp(>-=a ax y试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。
解： 反函数0,ln 1>-=a y ax 雅可比式为 aydy dx J 1-==所以 0),ln 1(1)ln 1()(>-=-⋅=a y ap ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=式中，0ω是常数，A 和B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。
求)(t X 的均值和自相关函数。
7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即 ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。
8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττe R X ，求)(t X 均值、二阶原点矩和方差。
解： 可按公式求解[])()0(,)0()(,)(222∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。
但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： ()12)10cos(2)()()(1021++=+=-τττττeR R R X X X由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为 是随机变量为常数，ϕϕA t A t X ),10cos()(1+=所以[]0)(1=t X E而对于12)(102+=-ττeR X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R从而有 []5)0()(2==X R t X E ，)()0(2∞-=X X X R R σ=4因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为[]1)(±=t X E []5)(2=t X E 42=X σ9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(21)(0τωτ=X R ，求)(t X 的功率谱密度。